高三数学考试（文科）
一、选择题:
1.若集合 M={x| 1
2'( ) 3 0f x a x= − =
3
ax = ± E 3
a
3( )f x ax x= − 33
a ≥ 27a ≥
D
2sin 4 5y x
π = +
3
80x
π= 3
80x
π= −
3
20x
π= 3
20x
π= −
【分析】
根据 ,横坐标伸长为原来的 2 倍,即周期 变为原来的 2 倍，故 变为原来的一半，可
得函数解析式，再结合正切函数的对称轴，即可得解。
【详解】解：依题意得变换后的函数解析式为 ，令 ,
解得 ,再结合选项，
故选 .
【点睛】本题考查 函数的伸缩变换，及其对称轴的求法，属于基础题。
7.下列不等式正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
判断每个式子与 0,1 的大小关系，排除 A,B,C，再判断 D 选项得到答案.
【详解】∵
，
，
∴排除 A，B，C
故答案选 D.
【点睛】本题考查三角函数与对数的大小比较，考查推理论证能力
8.函数 在 上的图象大致为（）
2T
π
ω= T ω
2sin 2 5y x
π = + 2 ( )5 2x k k Z
π π π+ = + ∈
3 ( )20 2
kx k Z
π π= + ∈
C
( )siny A ωx φ= +
3sin130 sin 40 log 4° > ° > tan 226 ln 0.4 tan 48° < < ° ( )cos 20 sin 65 lg11− ° < ° < 5tan 410 sin80 log 2° > ° >
3sin 40 1 log 4° < < ln 0.4 0 tan 226< < ° ( )cos 20 cos20 sin 70 sin 65− = = >° ° ° °
5
1tan 410 tan50 1 sin80 log 22
° = ° > > ° > >
22cos( ) x
x xf x
e
−= [ ]π,π−
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据奇偶性排除 C，根据取值 ， 排除 B,D，故选 A
【详解】易知 为偶函数，排除 C
因为 ， ，所以排除 B，D
故答案选 A.
【点睛】本题考查函数图象的识别，应用特殊值法排除选项可以简化运算，是解题的关键，
考查推理论证能力
9.已知 ，则 的近似值为（）
A. 1.77 B. 1.78 C. 1.79 D. 1.81
【答案】B
【解析】
【分析】
化简式子等于 ，代入数据得到答案.
【 详 解 】
，
所以 的近似值为 1.78.
故答案选 B
02f
π −
( )f x
02f
π − > −
cos27 0.891° = ( )2 cos72 cos18°+ °
2cos27°
( )cos72 cos18 sin18 cos18 2 sin 18 45 2 sin 63 2 cos27= + =°+ ° ° ° ° = =°+ ° °
( )2 cos72 cos18 2 0.891 1.782°+ ° ≈ × =
( )2 cos72 cos18°+ °
点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力
10.设函数 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【 详 解 】 解 ：
则“ ”是“ ”的充要条件，
故选 .
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决
本题的关键．比较基础．
11.已知定义在 R 上 函数 满足 ，且 的图象关于点 对称，当
时， ，则 （）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由 的图象关于点 对称，则 ，结合 ，
则可得 ，即函数 的周期为 8，即有 ，又 ，
即可得解.
【详解】解：因为 的图象关于点 对称，所以 .又
【
的
1( ) ln 1
xf x x x
+= − − ( ) 0f a = 1( ) 0f a
=
1 11 1 1 1( ) 0 ln 0 ln 0 ln 0 ( ) 011 1 1
a a af a a a fa a a a
a
++ += ⇔ − = ⇔ − − = ⇔ − = ⇔ =− − −
( ) 0f a = 1( ) 0f a
=
C
( )f x ( ) (2 )f x f x= − ( )f x (3,0)
1 2x 3 ( ) 2 log (4 3)f x x x= + + 1609( )2f =
4− 5−
( )f x (3,0) ( ) (6 ) 0f x f x+ − = ( ) (2 )f x f x= −
( ) ( 8)f x f x= + ( )f x 1609 9( ) ( )2 2f f= 9( ) 52f = −
( )f x (3,0) ( ) (6 ) 0f x f x+ − =
，所以 ，所以 ，则 ，
即函数 的周期为 8，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
故选 C.
【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力.
12.已知函数 的导函数 满足 对 恒成立，且 ，
则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先构造函数 ，结合已知条件得到 对 恒成立，从而得到
在区间 单调递增，最后通过 ，即可求得答案。
【详解】解：令 ，则
，又因为 满足 对 恒成立，所以
在区间 恒大于 ，即 在区间 单调递增，故有 ，展开
化简得: ，
故选 .
【点睛】本题考查了利用导函数判断原函数 单调性，考查了不等关系与不等式，训练了函的
( ) (2 )f x f x= − (2 ) (6 ) 0f x f x− + − = ( ) ( 4)f x f x= − + ( ) ( 8)f x f x= +
( )f x 1609 9 9( ) ( 100 8) ( )2 2 2f f f= + × =
9 9( ) (6 ) 02 2f f+ − = ( )3
9 3( ) ( ) 3 log 9 52 2f f= − = − + = −
1609( ) 52f = −
( )f x ( )f x′ 1 ( ) ( )f x x f x′+ +＞ [0,2]x∈ (0) 1f = −
2 (1) 2 (2)e e ef e f− − − +＜ ＜ 22 (2) (1)e f ef e e− + − −＜ ＜
21 (1) (2)e f e f− − − +＜ ＜2 22 (2) (1) 1e f f e− + − −＜ ＜
( )( ) x
f x xg x e
+= '( ) 0g x > [0,2]x∈
( )g x [0,2] (0) (1) (2)g g g< < ( )( ) x f x xg x e += [ ] [ ] ( )2 ( ) 1 ( )( )( ) x x x x ' f' x e f x x ef x xg' x e e + − ++ = = [ ] [ ]( ) 1 ( ) x f' x f x x e + − += '( )f x 1 ( ) ( )f x x f x′+ +＞ [0,2]x∈ '( )g x [0,2] 0 ( )g x [0,2] (0) (1) (2)g g g< < 2 (1) 2 (2)e e ef e f− − − +＜ ＜ A
数构造法，解答此题的关键是结合选项的特点，正确构造出辅助函数，使抽象问题变得迎刃
而解，此题是中档题．
二、填空题
13.设函数 ，则 ________.
【答案】16
【解析】
【分析】
直接代入数据得到答案.
【详解】
故答案为 16
【点睛】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力
14.函数 在 上的极________(填“大”或“小”)值点为________.
【答案】 (1). 大 (2).
【解析】
【分析】
求得函数 导数 ，求得函数的单调性，结合极值的概念，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，可得 ，
当 时, ，函数单调递增；当 时, ，函数单调递减，
所以函数 在 上的极大值点为 .
故答案为：大，
【点睛】本题考查了导数在函数问题中的应用，其中解答中熟练应用导数求得函数的单调性，
熟记函数的极值的概念，准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
15.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价
格依次为 120 元/千克、80 元/千克、70 元/千克、40 元千克，为增加销量，张军对这四种干
的
2lg , 0
( ) 1 , 04
x
x x
f x
x
>
= ,6 2x
π π ∈ 0y′ < 2 4cosy x x= + ,2 2 π π − 6 π 6 π
果进行促销:一次购买干果的总价达到 150 元，顾客就少付 x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支
付成功后，张军会得到支付款的 80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各 1 千克，需要支付 180 元，则 x=________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大
值为_____.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。
【详解】解： ①顾客一次购买松子和腰果各 1 千克，需要支付 元，则 .
②设顾客一次购买干果的总价为 元，当 时，张军每笔订单得到的金额显然不
低于促销前总价的七折.当 时， .即 对 恒成立，
则 ， ，又 ,所以 .
【点睛】本题考查数学在生活中的实际应用，考查数学建模的数学核心素养.属于基础题。
16.函数 的值域为________.
【答案】
【解析】
【分析】
对原函数进行化简得到 ，即可得到答案。
【详解】解：
，所以 .
故答案为
【点睛】本题考查三角函数的二倍角公式、辅助角公式，以及三角函数的值域，属于中档题。
10 18.5
120 70 180x+ − = 10x =
M 0 150M< < 150M ≥ 0.8( ) 0.7M x M− ≥ 8M x 150M 8 150x 18.75x 2x∈Z max 18.5x = sin 4 3 cos4( ) sin 2 3 cos2 x xf x x x += − [ ]2 2− , ( ) 2sin(2 )6f x x π= − + 2sin(4 ) 2sin(2 )cos(2 )sin 4 3 cos4 3 6 6( ) sin 2 3 cos2 2sin(2 ) sin (2 )3 6 2 x x xx xf x x x x x π π π π π π + + ++= = = − − + − 2sin(2 )cos(2 )6 6 2sin(2 )6cos(2 )6 x x x x π π π π + + = = − + − + [ ]( ) 2,2f x ∈ − [ ]2 2− ,
三、解答题:
17.已知函数 ( 且 )的图象经过点 A(1.6).
(1)求 的解析式；
(2)求 的最小值.
【答案】（1） ；（2） 。
【解析】
【分析】
（1）将点的坐标带入到函数中即可得到 或 （舍去）。
（2）利用换元法，再结合一元二次函数的性质，即可求解。
【详解】解：
（1）由题意得 ，解得 或 （舍去），故所求解析式为
。
（2）令 ，得 ，当 时， 取得最
小值 ，故 的最小值为 。
【点睛】本题考查函数解析式和函数最值，属于基础题。
18.已知函数 .
(1)证明： 有 3 个零点；
(2)求 在[ 1，2]上的值域.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）通过求导，证明函数的极大值大于 0，极小值小于 0，即可得证。
（2）求出函数在区间上的端点值和极值，进行比较，即可求得值域。
【详解】解：（1） ，令 ，解得 ，所以
当 时， ， 单调递减，当 时， ，
2( ) 2x xf x a a a= − + 0a＞ 1a ≠
( )f x
( )f x
2( ) 2 2 4x xf x = − + 15
4
2a = 3−
2(1) 2 6f a a a= − + = 2a = 3−
2( ) 2 2 4x xf x = − +
2 , (0, )x t t= ∈ +∞
2
2 1 15( ) 4 2 4f t t t t = − + = − +
1
2t = ( )f t
15
4
( )f x 15
4
3( ) 1 6f x x x= + −
( )f x
( )f x -
4,4 2 1 − +
2( ) 3 6f' x x= − + '( ) 0f x = 2x = ±
( ), 2x∈ −∞ − '( ) 0f x < ( )f x ( )2, 2x∈ − '( ) 0f x > ( )f x
单调递增，当 时， ， 单调递减，又函数的极大值为
，函数的极小值为 ，故 有 3 个零点。
（2）由（1）得： 在 上先增后减，所以 ，
，所以 在[-1，2]上的值域为 。
【点睛】本题考查利用导函数，来求函数零点的个数以及函数的值域，属于中档题。
19.已知函数 的部分图象如图所示.
（1）求 ， ；
（2）若 ， ，求 .
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）根据图像得到 ， ，代入点 得到 .
（2）由（1）知， ，代入数据化简得到 ，
， 代入数据得到答案.
【详解】解；（1）由图可知
( )2,x∈ +∞ '( ) 0f x < ( )f x ( 2) 4 2 1 0f = + > ( 2) 1 4 2 0f − = − < ( )f x ( )f x [ ]1,2− max( ) ( 2) 4 2 1f x f= = + [ ]min min( ) ( 1), (2) 4f x f f= − = − ( )f x 4,4 2 1 − + ( ) 3sin( )( ,| | )2f x x πω ϕ ω ϕ= + > < ω ϕ 9 2 5f α = 5,3 6a π π ∈ sinα 2ω = 3 πϕ = − 3 4 3 10 + πT = 2 2T πω = = 5 ,312 π 3 πϕ = − ( ) 3sin 2 3f x x π = − 3sin 3 5 πα − = 4cos 3 5 πα − = sin sin 3 3 π πα α = − + 3 5 3 4 12 3 4T π π π = − − =
故 ，则
又 的图象过点 ，则 ，得 .
而 ，所以
（2）由（1）知， ，则
则
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
.
【点睛】本题考查了三角函数图像，三角恒等变换，其中 是解题
的关键.
20.已知函数 .
(1)求曲线 在点(0， )处的切线方程；
(2)证明: 对 x∈(0，+∞)恒成立.
【答案】（1） ；（2）证明过程见解析。
【解析】
【分析】
（1）由题意，求出导函数，得切线斜率，再根据函数，得到切点，即得答案。
（2）分段求解，当 时， ，当 时， ，得
，即可求证。
πT = 2 2T
πω = =
( )f x 5 ,312
π
5 312f
π =
5sin 16
+ =
π ϕ
| | 2
ϕ π< 3 πϕ = − ( ) 3sin 2 3f x x π = − 93sin2 3 5f α πα = − = 3sin 3 5 πα − = 5,3 6 π πα ∈ 0,3 2 π πα − ∈ 4cos 3 5 πα − = sin sin sin cos cos sin3 3 3 3 3 3 π π π π π πα α α α = − + = − + − 1 3 3 4 3 4 3 2 5 2 5 10 += × + × = sin sin 3 3 π πα α = − + ( ) sinxf x e x= + ( )y f x= (0)f ( ) cosf x x＞ 2 1y x= + 0 2x π< < sin cos 0xe x x+ − >
2x
π≥ 2xe e> >
2 sin 04
xe x
π + − >
【详解】解：（1） ，所以切线的斜率 ，又因为 ,所
以曲线 在点 处的切线方程为 。
（2）令 ，当 时， ，所以 ，又
，所以 ，
当 时， ， ，
所以 ，综上所述，命题得证。
【点睛】本题考查导函数求切线方程以及恒成立问题，属于中档题。
21.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
的图象.
（1）若 为偶函数， ，求 的取值范围.
（2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（1）化简得到 ，得到 ，根据偶函数
得到 ，化简得到 ，代入数据得到答案.
（2）计算 ，根据单调性得到 ，计
算得到答案.
【详解】解：（1）
( ) cosxf' x e x= + (0) 2k f'= = (0) 1f =
( )y f x= (0, (0))f 2 1y x= +
( ) sin cosxg x e x x= + − 0 2x
π< < 1 cosxe x> > cos 0xe x− >
sin 0x > ( ) sin cos 0xg x e x x= + − >
2x
π≥ 2xe e> > sin cos 2 sin 2, 24x x x
π − = − ∈ −
( ) sin cos 2 2 sin 04
xg x e x x x
π = + − > + − >
( ) 4sin cos 6g x x x
π = ⋅ + 0 2
πϕ ϕ < ≤ ( )f x ( )f x tan 2α > ( )f α
( )f x 7, 6
ππ
ϕ
113, 5
− − ,6 2
π πϕ ∈
( ) 2sin 2 16g x x
π = + − ( ) 2sin 2 2 16f x x
π ϕ = + + −
6
π=ϕ 2
4( ) 31 tanf α α= −+
2 2 2 2 ,2 26 6 2x
π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + +
26 2
0 2
π πϕ
πϕ
+ ≥
< ≤
∴
又 为偶函数，则 ，∵ ，∴
∴
∵ ，∴
又 ，∴ 的取值范围为 .
（2）∵ ，∴
∵ ，∴ ，
∵ 在 上是单调函数，∴
∴ .
【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，单调性，取值范围，意在考查学生的计算能力和
对于三角函数公式性质的灵活运用.
22.已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，设 的两个极值点为 ， ，证明: .
【答案】（1）详见解析（2）证明见解析。
3 1( ) 4sin cos sin 3sin 2 (1 cos2 ) 2sin 2 12 2 6g x x x x x x x
π = − = − − = + −
( ) 2sin 2 2 16f x x
π ϕ = + + −
( )f x 2 ( )6 2 k k
π πϕ π+ = + ∈Z 0 2
πϕ< ≤ 6 π=ϕ ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 cos sin 2 1 tan ( ) 2sin 2 1 2cos2 1 1 12 cos sin 1 tan x x x f x x x x x x π − − = + − = − = − = − + + tan 2α > 2 2
4 4 11( ) 3 31 tan 1 2 5f α α= − < − = −+ + 2 4( ) 3 31 tanf α α= − > −+ ( )f α 113, 5
− −
7, 6x
ππ ∈ 2 2 2 2 ,2 26 6 2x
π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + +
0 2
πϕ< ≤ 72 ,6 6 6 π π πϕ + ∈ 32 ,2 2 2 π π πϕ + ∈ ( )f x 7, 6 ππ 26 2 0 2 π πϕ πϕ + ≥ < ≤ ,6 2 π πϕ ∈ 2 21( ) 2 ln ( 0)2f x ax x a x a= − + ≠ ( )f x 1 3a = ( )f x 1x 2x 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) 1 1f x f x x x x x − +− ＜
【解析】
【分析】
（1）利用导函数分子的判别式分情况讨论，即可，注意参数 时，函数图像开口也会发生
相应的变化。（2）利用对数平均不等式，证明即可。
详解】解：（1） ， ，
对于一元二次方程 ， ，
①当 时，即 时， 无解或一个解，
有 时， ，此时 在 上单调递增，
②当 时，即 时， 有两个解，
其解为 ， 当 时， ，故在
及 时， ；且 时， ，即
在 及 上单调递增，在 上单调
递减，当 时，一个实根小于 0，一个实根大于 0，所以在 时，
，在 ， ，即 在 上单调递增，在
上单调递减。
综上所述：即 时， 在 上单调递增；
当 时，即 在 及 上单调递增，在
上单调递减；当 时， 在 上单调递增，
【
0a < 2 2 22 2( ) 1 ( 0)a ax x af' x ax ax x − += − + = ≠ (0, )x∈ +∞ 2 2 02ax x a− =+ 31 8a∆ = − 0∆ ≤ 1 2a ≥ 2 2 02ax x a− =+ (0, )x∈ +∞ '( ) 0f x ≥ ( )f x (0, )+∞ > 0∆ 1
2a < 2 2 02ax x a− =+ 31 1 8 2 ax a ± −= 10 2a< < 31 1 8 02 ax a ± −= >
31 1 80 2
ax a
− −< < 31 1 8 2 ax a + −> '( ) 0f x > 3 31 1 8 1 1 8
2 2
a axa a
− − + −< '( ) 0f x < ( )f x 3 (0, )1 1 8 2 a a − − 3 (1 1 8 ,2 )a a + − +∞ 3 31 1 8 1 1 8, 2( 2 )a a a a − − + − 0a < 31 1 80 2 ax a − −< < '( ) 0f x > 31 1 8
2
ax a
− −> '( ) 0f x < ( )f x 3 (0, )1 1 8 2 a a − − 3 (1 1 8 ,2 )a a − − +∞ 1 2a ≥ ( )f x (0, )+∞ 10 2a< < ( )f x 3 (0, )1 1 8 2 a a − − 3 (1 1 8 ,2 )a a + − +∞ 3 31 1 8 1 1 8, 2( 2 )a a a a − − + − 0a < ( )f x 3 (0, )1 1 8 2 a a − −
在 上单调递减。
（2）当 时， ， ，又因为 的两个极值
点为 ， ，则 ， 是方程 的两实数根， 设 。
又因为 ，故要证 ，
只需证 ，
只需证 ，
只需证 ，
下面证明不等式 ，不妨设 ，要证 ，即
证 ，即证 ，令 ，设
，则 ，所以，函数 在
上递减，而 ，因此当 时， 恒成立，即
成立，即 成立，
所以 ，得证。
3
(1 1 8 ,2 )a
a
− − +∞
1
3a = 2 2( ) ln6 9
1f x x x x= − + 23 9 2( ) 9
x xf' x x
− += ( )f x
1x 2x 1x 2x 23 9 2 0x x− + = 1 2 1 2
23, ,3x x x x+ = = 1 2x x>
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 ( )( ) ( ) ln ln )2 (( ) ( ) 6 9=
x x x x x xf x xx f x
x x x x
− ++ − −−
− −
−
1
2
2
1
2 ( 1
2
n ln9 l )x x
x x
−−
−
=
1 2
1 2 1 2
1 1 9
2
x x
x x x x
++ = = 1 2
1 2 1 2
( ) ( ) 1 1f x f x
x x x x
− +− ＜
2
1 2
1ln ln )
2
2 ( 1 99
2
x x
x x
− < − − 2 1 2 1 2 l n 5l 4n x x x x >−
1 2
1 2 1 2
ln ln 1x x
x x x x
− > 1 2
1 2 1 2
ln ln 1x x
x x x x
−
( ) 12ln ( 1)f t t t tt
= − + > ( ) ( )2
2 2
12 11 0tf t t t t
− +′ = − − = < ( )f t ( )1,+∞ ( )1 0f = 1t > ( ) 12ln 0f t t t t
= − + < 1 1 2 2 2 1 ln x x x x x x < − 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln 1 ( 0)x x x xx x x x − < > >−
1 2
1 2
2
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