三湘名校教育联盟·2020 届高三第一次大联考
文科数学
本试卷共 4 页.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷
上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求得集合 ，得到 或 ，再根据集合的交集运算，即可
求解.
【详解】由题意，集合 ， ，
则 或 ，所以 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念
和运算，以及正确求解集合 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
2.若复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
U = R ( ){ }| 2 0A x x x= − ≤ { }1,0,1,2,3B = − ( )∩ =UC A B
{ }1− { }1,3− { }1,2,3
{ }1,0,2,3−
{ | 0 2}A x x= ≤ ≤ { | 0UC A x x= < 2}x >
( ){ }| 2 0 { | 0 2}A x x x x x= − ≤ = ≤ ≤ { }1,0,1,2,3B = −
{ | 0UC A x x= < 2}x > ( ) { }1,3UC A B∩ = −
A
z ( )1 1 2i z i− = + z
【解析】
【分析】
先由复数的除法得 ，再求其共轭复数即可得解.
【详解】由 ，可得 .
在复平面内对应的点为 位于第三象限.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了复数的除法运算及共轭复数的概念，属于基础题.
3.“ ”是“ ”的（）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分
也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据 以及充分不必要条件的定义可得.
【详解】因为 ，
所以 ,
所以 ”是“ ”的充分不必要条件.
故选 A．
【点睛】本题考查了对数不等式以及充分必要条件,属基础题.
4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所
得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人
所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多
少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，丙所得为（ ）
A. 钱 B. 1 钱 C. 钱 D. 钱
【答案】B
【解析】
【分析】
1 3
2 2z i= − +
( )1 1 2i z i− = + 1 2 (1 2 )(1 ) 1 3 2 1 3
1 2 2 2 2
i i i iz ii
+ + + + −= = = = − +−
1 3
2 2z i= − − 1 3( , )2 2
− −
0 1x< < 2log ( 1) 1x + < 2log ( 1) 1 1 1x x+ < ⇔ − < < 2log ( 1) 1 1 1x x+ < ⇔ − < < (0,1) ( 1,1)− 0 1x< < 2log ( 1) 1x + < 2 3 4 3 5 3
依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得 a＝
﹣6d，结合 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5 即可得解．
【详解】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为 a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，
则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即 a＝﹣6d，
又 a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等差数列 应用，属于基础题.
5.已知函数 ， 是 的导函数，则函数 的图像大致为
（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
因为 ，显然 是奇函数，求导易得 在 R 上单调
递增.
【详解】因为 ，显然 是奇函数，
又 ,所以 在 R 上单调递增.只有 C 符合,
故选 C．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及利用导数判断函数的单调性,属中档题.
的
2( ) 2cosf x x x= + ( )f x′ ( )f x ( )y f x′=
( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′ ( )f x′
( ) 2 2sin 2( sin )f x x x x x′ = − = − ( )f x′
( ) 2 2cos 0f x x′′ = − ≥ ( )f x′
6.已知 ， 均为单位向量， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知结合向量数量积的性质可求 ，代入即可求解．
【详解】解： ， 均为单位向量，且 ，
，
，
则 ，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
7.在 中， ， ， ，则 的面积为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 可得 ，进而得 ，再利用面积公式即可得
解.
【 详 解 】 因 为 ， 解 得
.
所以 .
a b 3a b+ = ( ) ( )2 (a b a b+ ⋅ − = )
1
2
− 1
2
3
2
− 3
2
a b⋅
a b a b 3+ =
2 23 a 2a b b∴ = + ⋅ +
1a b 2
∴ ⋅ =
( ) ( ) 2 2 12a b a b 2a a b b 2
+ ⋅ − = − ⋅ − =
ABC∆ 1AB = 3AC = 1AB BC⋅ = ABC∆
1
2
5
2 5
( )AB BC AB AC AB⋅ = ⋅ − 2cos 3A = 5sin 3A =
2
( ) 1 3cos 1 1AB BC AB AC AB AB AC AB A⋅ = ⋅ − = ⋅ − = × − =
2cos 3A =
2 5sin 1 cos 3A A= − =
所以 的面积为 .
故选：C.
【点睛】本题主要考查了向量的数量积运算及三角形的面积公式，属于基础题.
8.要得到函数 的图像，只需将函数 的图像（ ）
A. 向左平移 个单位 B. 向右平移 个单位
C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
由三角恒等变换的公式，化简得 ，再结合三角函数的图象的变换，即可
求解.
【详解】由题意，函数
，
将 向左平移 个单位，可得 ，
故选：A.
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角恒等变换的应用，其中解答中熟练
利用三角恒等变换的公式，化简得到 的解析式，再结合三角函数的图象变换求解是解答
的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
9.设 ， ， ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
ABC∆ 1 1 5 5sin 1 32 2 3 2AB AC A⋅ ⋅ = × × × =
( ) cos2 sin 26f x x x
π = − −
( ) sin 2g x x=
12
π
12
π
6
π
6
π
( ) sin(2 )6g x x
π= +
( ) 1 3cos2 sin 2 cos2 ( cos2 sin 2 )6 2 2f x x x x x x
π = − − = − −
3 1sin 2 cos2 sin(2 )2 2 6x x x
π= + = +
( ) sin 2g x x=
12
π ( ) sin[2( )] sin(2 )12 6f x x x
π π= + = +
( )g x
4log 3a = 8log 6b = 0.12c =
a b c> > b a c> > c a b> > c b a> >
由对数的运算化简可得 ， ，结合对数函数的性质，求得 ，
又由指数函数的性质，求得 ，即可求解，得到答案.
【详解】由题意，对数的运算公式，可得 ，
，
又由 ，所以 ，即 ，
由指数函数 性质，可得 ，
所以 .
故选：D.
【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质，以及指数函数的图象与性质的应用，其中
解答中熟练应用指数函数与对数函数的图象与性质，求得 的范围是解答的关键，着重考
查了推理与运算能力，属于基础题.
10.定义在 R 上的奇函数 满足 ，且当 时， ，
则 （）
A. B. C. D. 1
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和 可推出函数的周期为 4,再根据周期性可求得.
【详解】∵ ， ，
∴ ， ，
．
故选 A.
的
2log 3a = 3
2log 6b = 1a b< < 0.12 1c = >
2
4 2 2
2
log 3 1log 3 log 3 log 3log 4 2a = = = =
32
8 2 2
2
log 6 1log 6 log 6 log 6log 8 3b = = = =
33 6 2< < 3 2 2 2log 3 log 6 log 2 1< < = 1a b< < 0.1 02 2 1c = > =
c b a> >
, ,a b c
( )f x (1 ) (1 )f x f x+ = − [0,1]x∈ ( ) (3 2 )f x x x= −
29( )2f =
1− 1
2
− 1
2
(1 ) (1 )f x f x− = +
( ) ( )f x f x− = − (1 ) (1 )f x f x− = +
( 1) ( 1) ( 3)f x f x f x+ = − − = − 4T =
29 29 3 1 1 1( ) ( 16) ( ) ( ) (3 2 ) 12 2 2 2 2 2f f f f= − = − = − = − − × = −
【点睛】本题考查了函数的奇偶性,对称性,周期性,属中档题.
11.设函数 ，若关于 x 的方程 对任意的 有三个
不相等的实数根，则 a 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将问题转化为当 时， 恒有两个正根,再根据二次方程实根分布列式可解得.
【详解】因为关于 x 的方程 对任意的 有三个不相等的实数根
所以当 时， ， 有一根，
当 时， 恒有两个正根，由二次函数的图象可知 对任意的
恒成立，所以 解得 ．故选 B．
【点睛】本题考查了函数与方程,不等式恒成立,属中档题.
12.已知 是 的导函数，且 ， ，则不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意构造函数 ，借助函数的单调性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
∴ 在 R 上为增函数，∴ 可化为 ，∴ ．
2
e 1, 0( )
, 0
x xf x
x ax x
−= − >
( ) 0f x m+ = (0,1)m∈
( , 2]−∞ − [2, )+∞ [ 2,2]−
( , 2] [2, )−∞ − +∞
0x > 2x ax m− = −
( ) 0f x m+ = (0,1)m∈
0x (0,1)m∀ ∈ 1xe m− = −
0x > 2x ax m− = −
2
02
4 0
a
a m
>
= − >
(0,1)m∈ 2 4a ≥ 2a
( )f x′ ( )( )f x x∈R ( ) ( )f x f x′ > (1)f e=
( ) e 0xf x − < ( , )e−∞ (e, )+∞ ( ,1)−∞ (1, )+∞ ( )( ) x f xF x e = ( )( ) x f xF x e = ( ) ( )( ) 0x f x f xF x e ′ −′ = >
( )F x ( ) 0xf x e− < ( ) (1)F x F< 1x
675 n≤ nS 0nS < 674n = nS na nS { }na n nS 5 19a = 5 55S = { }na 1 1 n na a + n nT 4 1na n= − ( )3 4 3 n n + 1 1 1 1 1 4 4 1 4 3n na a n n+ = − − + d 1 1 4 19 5 10 55 a d a d + = + = 1 3 4 a d = = ( )3 4 1 4 1na n n= + − = − ( )( )1 1 1 1 1 1 4 1 4 3 4 4 1 4 3n na a n n n n+ = = − − + − +
∴ .
【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算及裂项求和，属于基础题.
18.在 中，角 所对的边分别为 ， ．
（1）求 ；
（2） 为边 上一点， ， ，求 ．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【详解】分析：（1）由余弦定理可得 ，从而可得 ，进而得解；
（2）在 中，由正弦定理可得： ,①，在 中，
,②，联立①和②可得解.
详解：（1）由已知条件和余弦定理得：
即：
则
又 ， .
（2）在 中，由正弦定理可得： ,①
在 中， ,②
由①②可得： ，即： ,
化简可得： .
点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中
1 1 1 1 1 1 1
4 3 7 7 11 4 1 4 3nT n n
= − + − +⋅⋅⋅+ − − + ( )3 4 3
n
n
= +
ABC△ , ,A B C , ,a b c 2 22( ) 2 cosa b ac B bc− = +
A
D BC 3BD DC=
2DAB
π∠ = tanC
2
3
π 3 3
7
2 2 2a b c bc− − = cosA
ABC△
sin sin120
c BC
C
=
Rt ABC
( )sin 30 cC BD
+ =
2 2 2
2 22 2 2 2
a c ba b ac bcac
+ −− = ⋅ +
2 2 2a b c bc− − =
2 2 2 1cos 2 2
b c aA bc
+ −= = −
0 A π< ( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2 2 2log log log na a a+ +⋅⋅⋅+
( )( )1 1 2 16 n n n= + +
{ }na
2logn n nb a a= ⋅ { }nb n nT
2n
na = ( ) 11 2 2n
nT n += − ⋅ +
1n = 1 2a = ( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+
( )( )1 1 2 16 n n n= − − 2n
na =
2n
nb n= ⋅
1n = ( )2
2 1log 1a = 1na > 1 2a =
2n ≥ ( ) ( ) ( )2 2 2
2 1 2 2 2 1log log log na a a −+ +⋅⋅⋅+ ( )( )1 1 2 16 n n n= − −
( ) ( )( ) ( )( )2
2
1 1log 1 2 1 1 2 16 6na n n n n n n= + + − − − 2n= 2n
na =
1n = 2n
na =
（2） ，
∴ ， ，
两式相减得 ，
∴ .
【点睛】本题主要考查了和与项的递推关系及错位相减法求和，属于中档题.
21.设函数 .
（1）若 在其定义域上是增函数，求实数 的取值范围；
（2）当 时， 在 上存在两个零点，求 的最大值.
【答案】(1) ;(2)-2.
【解析】
分析：（1）由 在其定义域上是增函数，∴ 恒成立，转化为最值问题，然后
进 行 分 离 参 数 求 解 新 函 数 单 调 性 研 究 最 值 即 可 . （ 2 ） 当 时 ，
， 得 出 函 数 的 单 调 性 和 极 值 ， 然 后 根 据 在
上存在两个零点，列出等价不等式求解即可.
详解：
（1）∵定义域为 ， ，
∵ 在其定义域上是增函数，∴ ， ，
∵ ，∴实数 的取值范围是 .
（2）当 时， ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
的
2n
nb n= ⋅
1 21 2 2 2 2n
nT n= ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅ 2 3 12 1 2 2 2 2n
nT n += ⋅ + ⋅ +⋅⋅⋅+ ⋅
1 2 12 2 2 2n n
nT n +− = + +⋅⋅⋅+ − ⋅ ( ) 11 2 2nn += − ⋅ −
( ) 11 2 2n
nT n += − ⋅ +
2( ) 2 lnf x x ax x= − + +
( )f x a
3a = ( )f x [ , )( )ne n Z+∞ ∈ n
( ,2 2]−∞
( )f x ( )' 0f x ≥
3a =
( ) ( )( )2 2 1 12 3 1' x xx xf x x x
− −− += = ( )f x
)( ),ne n Z +∞ ∈
( )0,+∞ ( ) 1' 2f x x a x
= − +
( )f x ( )' 0f x ≥ 12a x x
≤ +
12 2 2x x
+ ≥ a ( ,2 2−∞
3a = ( ) ( )( )2 2 1 12 3 1' x xx xf x x x
− −− += =
( )' 0f x > ( )10, 1,2x ∈ ∪ +∞
( )' 0f x < 1 ,12x ∈ ( )f x 1 2x = 1 3 1ln 02 4 2f = + > 1x = ( )1 0f =
∴ 是一个零点，当 ， ，故只需 且 ，
∵ ， ，∴ 的最大值为-2.
点睛：考查导函数的单调性的应用以及零点问题，对于此类题型求参数的取值范围，优先要
想到能否参变分离，然后研究最值即可，二对于零点问题则需研究函数图像和 x 轴交点的问
题，数形结合解此类题是关键，属于较难题.
22.已知函数 ．
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）当 时， ，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)当 时,利用导数的几何意义求得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程;
(2)当 时,将 恒成立转化为 恒成立,由 使不等式成立得到
,然后构造函数 求导,对 分三种情况讨论可得.
【详解】（1）当 时， ， ．
， ，∴切线方程为 ，即 ．
（2）当 时， ，即 ，令 ，则 ，
，
当 时， ，满足题意；
当 时， ，∴ 在 上递增，由 与 的图
像可得 在 上不恒成立；
当 时，由 解得 ，当 时， ，当
时， ，∴ 在 上的最小值为 ，∴
1x = 1x > ( ) 0f x > 1
2
ne < ( ) 0nf e ≤ ( ) 2 1 2 2 1 3 1 32 1 0e ef e e e e − + −= − + − = > ( )2
4 2
1 3 0f e e e
− = − < n ( ) e 2xf x ax a= + + + 0a = ( )y f x= (1, (1))f 0x ( ) 2f x 2y ex= + [ 1,0]− 0a = 0x ≤ ( ) 2f x e 0x ax a+ + 0x = 1a ≥ − ( ) exh x ax a= + + a 0a = ( ) e 2xf x = + (1) e 2f = + ( ) exf x′ = (1) ef ′ = (e 2) e( 1)y x− + = − 2y ex= + 0x e 2 2x ax a+ + + e 0x ax a+ + ( ) exh x ax a= + + (0) 0h 1a − 0a = ( ) e 0xh x = >
0a > ( ) 0xh x e a′ = + > ( )h x ( ,0]−∞ xy e= ( 1)y a x= − +
( ) 0h x ( ,0]−∞
1 0a− ( )h x ( ,0]−∞ (ln( ))h a−
，解得 ．
综上可得实数 a 的取值范围是 ．
【点睛】本题考查了导数的几何意义,不等式恒成立,利用导数求函数的最值,属难题.
(ln( )) ln( ) 0h a a a− = − 1 0a−
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