湖南省益阳市湘潭市2020届高三数学(理)9月检测试卷(附解析Word版)
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湖南省益阳市湘潭市2020届高三数学(理)9月检测试卷(附解析Word版)

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资料简介
益阳市、湘潭市 2020 届高三 9 月教学质量检测 理科数学 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置; 2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效; 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 , ,则 () A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用集合的交集运算求解 【详解】 ,则 答案选 C 【点睛】本题考查集合的交集运算,需注意端点取不取得到的问题。 2.复数 ,在复平面内复数 的共轭复数对应的点位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】 先对 进行化简,再求 的共轭复数及 的共轭复数在复平面对应的点 【详解】 ,则 , 在复平面内对应的点为 ,为第四象限 答案选 D 【点睛】本题考查复数除法运算,共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系,难度不 { }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { }| 3 1B x x= − < < A B = { }| 3 1x x− < < { }| 3 3x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ < { }| 1 1x x− < < { } { }2| 2 3 0 | 1 3A x x x A x x= − − ≤ ⇒ = − ≤ ≤ A B = { }| 1 1x x− ≤ < 2 1z i = − z 2 1z i = − z z 2 1 i1 iz = = +− 1z i= − 1z i= − ( )1, 1− 大,综合性强 3.已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 等于() A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】 根据 ,可算出 ,又 ,根据等差中项 性质求解即可 【详解】由 ,又 , 答案选 B 【点睛】本题考查等差数列基本量的求法,常规思路为求解首项和公差,本通解题思路运用 了 和等差中项的性质,简化了运算 4.已知向量 , , ,若 ,则 的值为 () A. 2 B. C. D. -2 【答案】D 【解析】 【分析】 由 表示出 与 的基本关系,化简求解即可 【详解】 , 答案选 D 【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值,需熟记向量平行的坐标表 示法为: 或 5.某校有 1200 人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布 ,试卷满分 150 分,统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数 的 { }na n nS 15 30S = 10 4a = 9a 15 30S = 8a 10 4a = 15 8 815 30 2S a a= = ⇒ = 10 4a = 9 8 10 92 6 3a a a a= + = ⇒ = ( )2 1 2 1n nS n a− = − ( )2,1a =r ( )2,sin 1b α= − ( )2,cosc α= − ( )a b c+    tanα 1 2 1 2 − ( )a b c+    sinα cosα ( )4,sina b α+ =  ( ) 4cos 2sin tan 2a b c α α α+ ⇒ = − ⇒ = −    1 2 2 1x y x y= 1 1 2 2 x y x y = ( )( )2105, 0N σ σ > 占总人数的 ,则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为() A. 180 B. 240 C. 360 D. 480 【答案】C 【解析】 【分析】 根据正态分布对称性特征,成绩高于 120 分和成绩低于 90 分概率值应该相同,成绩在 90 分 到 105 分的占余下的 ,代入数值进行运算即可 【详解】由题知, , 所以 , 所以 , 所以此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 人。 答案选 C 【点睛】本题考查正态分布基本量的计算,解题一般思路:先确定对称轴,根据对称特点求 解相应数值 6.已知 , 为两个不同的平面, , 为两条不同的直线,有以下命题: ①若 , ,则 .②若 , ,则 .③若 , ,则 .④若 , , ,则 . 其中真命题有() A ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 ①由线面垂直的性质和面面平行的定义,命题正确 ② 与 有可能相交,命题错误 ③由面面垂直的判定定理判断,命题正确 ④成立的前提是面面垂直,命题错误 . 1 5 1 2 1( 120) ( 90)5P X P X> = = < 1 3(90 120) 1 2 5 5P X = − × =  1 3 3(90 105) 2 5 10P X = × =  31200 36010 × = α β m n m α⊥ m β⊥ α β∥ m α n α m n m α⊂ m β⊥ α β⊥ lα β = m α⊂ m l⊥ m β⊥ m n 【详解】对命题①,由线面垂直的性质和面面平行的定义可知,若 , ,则 平 面与 无公共点,可证 ,命题①正确 对命题②,若 与 为另一平行平面的两条交线,也满足条件,但推不出结论,命题②错误 对命题③,由面面垂直的判定定理可知:如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相 互垂直. ③中 , ,所以 。命题③正确 对命题④,若二面角的平面角为锐角时, 与 斜交,命题④错误。 【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明,旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间 想象能力 7.执行如图所示 程序框图,若输出的 的值为 14,则判断框内可以填入() A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 可依次执行循环语句,判断 满足的条件即可 【详解】由题可知,初始输入值 执行第一次循环可得: , 执行第二次循环可得: , 执行第三次循环可得: , 执行第四次循环可得: , …… 的 m α⊥ m β⊥ α β α β∥ m n m α⊂ m β⊥ α β⊥ m β i 90?s > 100?s > 110?s > 120?s > s 0 01, 1s i= = 1 0 1 2i i= + = 1 1 0 3s i s= + = 2 1 1 3i i= + = 2 2 1 6s i s= + = 3 2 1 4i i= + = 3 3 2 10s i s= + = 4 3 1 5i i= + = 4 4 3 15s i s= + = 由循环规律可知, , 当 ,将 代入 可得 即判断框中应为 答案选 B 【点睛】本题考查循环语句中对于判断框中条件的判断,解题时可从答案入手,分析大致规 律,如本题中可判断的是要执行多次循环,知道 满足的条件是大于多少,再由循环规律和题 干信息进行推导即可 8.已知函数 是定义在 上的偶函数, ,当 时, ,则不等式 的解集是() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据偶函数的定义域关于原点对称求出 ,再根据偶函数的对称性和题设给的 的 增减性解题即可 【详解】 是定义在 上的偶函数, ,解得 , 的定义域为 又 ,当 时, 在 单调递减, 再由偶函数的对称性可知 ,解得 答案选 C 【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式,易错点为解题过程中忽 1ni n= + ( )( )1 2 2n n ns + += 1 14 13ni n n= + = ⇒ = 13n = ( )( )1 2 2n n ns + += 14 15 1052ns ×= = 100?s > s ( )f x [ ]1 2 ,m m− [ ]1 2, 0,x x m∀ ∈ 1 2x x≠ ( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− −  ( ) 0f x ax− = a 2 ,44 e     ,44 e     ,4 e +∞   2 ,4 e +∞   ( )g x ax= ( ) 0f x ax− = 时,两函数图像有四个交点,再分别分析临界点所对应的 值,即可求出范围 【详解】 由图像分析可知,当 时 应有两解,即 ,解得 ,此时应满足 ,解得 当 ,若 与 图像相切,设切点坐标为 ,由 ①,又 ,即 ② 联立①②可得 , , 综上所述, 答案选 A 【点睛】本题考查函数零点的求法,采用构造函数法,再根据交点个数是零点的具体体现来 进行转化,同时利用导数来研究函数零点,本题中解法也是解决函数问题中常用解法 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知实数 , 满足约束条件 ,则 的最大值是______. 【答案】6 【解析】 【分析】 根据线性约束条件画出可行域,再将 进行平移寻找最值点即可 ( ) ( )f x g x= a 0x ≤ ( ) 0f x ax− = 2 4 0x x ax+ − = 1 20, 4x x a= = − 4 4 0a− < − < ( )0,4a∈ 0x > ( )g x ax= ( )f x ( )0 0,x y 00 0 2 0 0 xx y ax ax eey x =  ⇒ = = ( )0 0 2 0 1' xe xf x ax −= = ( )02 0 0 1xax e x= − 0 2x = 2 4 ea = 2 4 ea∴ > 2 ,44 ea  ∈   x y 3 0 3 3 0 x y x y y − + ≥  + ≤  ≥ 2z x y= + 2 xy = − 【详解】如图,根据线性约束条件画出可行域, 画出符合条件的可行域,将 进行平移,当移到最高点 时,得到 的最大 值, 则 的最大值是 6 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题. 14.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺):礼、乐、射、御、书、数。某校国学 社团周末开展“六艺”课程讲座活动,一天连排六节,每艺一节,排课有如下要求:“射” 不能排在第一,“数”不能排在最后,则“六艺”讲座不同的排课顺序共有______种. 【答案】504 【解析】 【分析】 利用先分类再分步的方式,分“射”排最后一位和“射”排中间 4 位的情况进行求解 【详解】第一种情况,当“射”排最后一位时,共有 种方法 第二种情况,当“射”排中间 4 个位置中的 1 个时共有 种方法 不同的排列方式共有 种 所以“六艺”讲座不同的排课顺序共有 504 种 【点睛】本题主要考查排列组合问题,由于题中出现了特殊位置,所以解题时优先从特殊位 置着手,再对剩下位置进行全排列 15.已知数列 的各项均为正数,记 为数列 的前 项和,若 , ,则 ______. 2 xy = − ( )0,3 2z x y= + max 2 3 6z = × = 2z x y= + 5 5 120A = 1 1 4 4 4 4 384A A A⋅ ⋅ = 384 120 504+ = { }na { }nS { }na n ( )2 * 1 1 2 n n n n aa n Na a+ + = ∈− 1 1a = 6S = 【答案】63 【解析】 【分析】 对 进行化简,可得 ,再根据等比数列前 项和公式进行求 解即可 【详解】由 数列 为首项为 ,公比 的等比数列, 所以 63 【点睛】本题考查等比数列基本量的求法,当处理复杂因式时,常用基本方法为:因式分解, 约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质 16.已知双曲线 : 的左右焦点分别为 , ,过 的直线 与圆 相切于点 ,且直线 与双曲线 的右支交于点 ,若 ,则双曲线 的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意,作出图形,结合双曲线第一定义,再将所有边长关系转化到直角三角形 中, 化简求值即可 ( )2 * 1 1 2 n n n n aa n Na a+ + = ∈− 1 2n n a a + = n 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 2n n n n n n n n n n n n n aa a a a a a a a a aa a+ + + + + + = ⇒ − ⋅ = ⇒ − = + ⋅− ( )( ) ( ) 1 1 1 1 1 2n n n n n n n n n n n n aa a a a a a a a a a a + + + + +⇒ + − = + ⇒ − = ⇒ = { }na 1 1a = 2q = ( ) ( )6 6 1 6 1 1 1 2 631 1 2 a q S q − × − = = =− − 6S = C ( )2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b − = > > 1F 2F 1F l 2 2 2x y a+ = T l C P 1 14F P FT=  C 5 3 2MPF 【详解】 如图,由题可知 , ,则 , 又 , , , 又 , 作 ,可得 , ,则 在 , ,即 , 又 ,化简可得 ,同除以 ,得 解得 双曲线的离心率为 【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题,利用双曲线的第一定义和中 位线定理将所有边长关系转化到直角三角形 中是解题关键,一般遇到此类题型,还是建 议结合图形来进行求解,更直观更具体 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17.在 中,角 、 、 的对边分别是 、 、 ,若 . (1)求角 ; (2)若 的面积为 , ,求 的周长. 【答案】(1) (2) 【解析】 1 2OF OF c= = OT a= 1FT b= 1 14F P FT=   3TP b∴ = 1 4F P b∴ = 1 2 2PF PF a− = 2 4 2PF b a∴ = − 2 / /F M OT 2 2F M a= TM b= 2PM b= 2MPF∆ 2 2 2 2 2PM MF PF+ = ( )22 2c b a= − 2b a c= + 2 2 2c a b= + 2 23 2 5 0c ac a− − = 2a 23 2 5 0e e− − = 5 3e = 5 3 2MPF ABC∆ A B C a b c ( )sin sin 3 cosa c B b C b A+ − = A ABC∆ 4 3 6a = ABC∆ 60A =  6 2 21+ 【分析】 (1)利用正弦定理边化角进行化简求值即可 (2)利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出 整体即可 【详解】解:(1)由正弦定理得: , ∵ ,∴ ,∵ 是 的内角,∴ . (2)∵ 的面积为 ,∴ , 由(1)知 ,∴ , 由余弦定理得: , ∴ ,得: , ∴ 的周长为 . 【点睛】本题主要考查解三角形基础知识,一般解题思路为正弦定理边化角,余弦定理结合 面积公式解决周长、面积问题 18.在四棱锥 中, , , . (1)若点 为 的中点,求证: 平面 ; (2)当平面 平面 时,求二面角 的余弦值. 【答案】(1)详见解析(2) 【解析】 【分析】 (1)通过作 的中点 ,连结 , ,通过中位线定理分别证明 , b c+ ( )sin sin sin sin sin 3sin cosA C B B C B A+ − = sin 0B ≠ tan 3A = A ABC∆ 60A =  ABC∆ 4 3 1 sin 4 32 bc A = 60A =  16bc = 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + − ( )2 3b c bc= + − ( )2 48 36b c+ − = 2 21b c+ = ABC∆ 6 2 21+ P ABCD− 4BC BD DC= = = 2AB = 2 3AD PB PD= = = E PC / /BE PAD PBD ⊥ ABCD C PD B− − 22 11 CD M EM BM EM PD 来证明平面 平面 ,从而证明 平面 (2)当平面 平面 时,再结合题干信息,可作 的中点 ,连接 ,以 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向建立空间直角坐 标系,用向量法来求解二面角 的余弦值 【详解】解:(1)取 的中点 ,连结 , . ∵ 为等边三角形,∴ . ∴ ,又 , ∴四边形 是平行四边形,∴ . 又∵ 平面 , 平面 , ∴ 平面 . ∵ 为 的中点, 为 的中点,∴ . 同理: 平面 . ∵ ,∴平面 平面 . ∵ 平面 ,∴ 平面 . (2)取 的中点 ,连结 , ,则 , . ∵平面 平面 , , ∴ 平面 ,∴ , , . 以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向, 建立空间直角坐标系 . BM AD BEM  PAD / /BE PAD PBD ⊥ ABCD BD O PO OC x OB y OP z C PD B− − CD M EM BM BCD∆ 2 3BM = 2 3AD BM= = 2AB DM= = ABMD BM AD BM ⊄ PAD AD ⊂ PAD BM∥ PAD E PC M CD EM PD EM  PAD EM BM M= BEM  PAD BE ⊂ BEM / /BE PAD BD O CO PO CO BD⊥ PO BD⊥ PBD ⊥ ABCD PO BD⊥ PO ⊥ ABCD PO CO⊥ 2 2PO = 2 3CO = O OC x O xyz− 则 , , . ∴ , , 平面 的一个法向量为 . 设平面 的法向量为 ,则 ,即 . 令 ,得 , ,∴平面 的一个法向量 , ∴ . 设二面角 的大小为 ,结合图形可知 . 【点睛】本题考查立体几何基本知识,第一问考查了线面平行的证法,证线面平行一般有两 种思路:一种通过证直线和平面里的一条直线平行来证线面平行;另一种通过证面面平行, 说明直线在其中一个平面,从而证线面平行。第二问考查了用空间向量求解二面角余弦值的 一般方法,建立合适的空间坐标系,正确表示各点坐标和相应平面的法向量是关键,在向量 法求解二面角余弦值时,要注意夹角是锐角还是钝角,从而正确求解二面角余弦值 19.某市旅游局为了进一步开发旅游资源,需要了解游客的情况,以便制定相应的策略,在某 月中随机抽取甲、乙两个景点各 10 天的游客数,画出茎叶图如下:若景点甲中的数据的中位 数是 126,景点乙中的数据的平均数是 124. (1)求 , 的值; ( )0, 2,0D − ( )2 3,0,0C ( )0,0,2 2P ( )2 3,2,0DC = ( )0,2,2 2DP = PBD ( )1 1,0,0n = PCD ( )2 , ,n x y z= 2 2 0 0 n DC n DP  ⋅ = ⋅ =     2 3 2 0 2 2 2 0 x y y z  + = + = 6y = 2x = − 3z = − PCD ( )2 2, 6, 3n = − − 1 2 1 2 1 2 2 22cos , 112 6 3 n nn n n n ⋅ −< >= = = − + +⋅      C PD B− − θ 22cos 11 θ = x y (2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据(视样本频率为概率). 今从这段时期内任取 4 天,记其中游客数不低于 125 人的天数为 ,求概率 ; (3)现从上图的共 20 天的数据中任取 2 天的数据(甲、乙两景点中各取 1 天),记其中游客 数不低于 115 且不高于 135 人的天数为 ,求 的分布列和期望. 【答案】(1) , (2) (3)详见解析 【解析】 【分析】 (1)通过中位数和平均数的定义进行求解即可 (2)分析题意可知,该分布符合独立重复试验特点,属于二项分布,采用二项分布公式进行 求解 (3)该分布特点符合相互独立实验特点,采用相互独立实验公式进行求解 【详解】(1)由题意知甲的中间两位数的尾数为 7、x,根据中位数为 126,即 乙中以 124 位标准数,则 109 为表示为-15,115 可表示为-9,可列出等式 则 124-10=114, ,所以 , ; (2)由题意知,因为景点甲的每一天的游客数不低于 125 人的概率为 , 任取 4 天,即是进行了 4 次独立重复试验,其中有 次发生,故随机变量 服从二项分布, 则 ; (3)从图中看出:景点甲的数据中符合条件的有 3 天,景点乙的数据中符合条件的有 7 天, 所以在景点甲中被选出的概率为 ,在景点乙中被选出的概率为 . 由题意知: 的所有可能的取值为 0,1,2. 则 , , , ξ ( )2P ξ ≤ η η 5x = 4y = 328 625 7 6 52 x x + = ⇒ = 15 9 6 1 2 9 11 17 10− − − + + + + + = 4y = 5x = 4y = 6 3 10 5 = ξ ξ ( ) 0 4 3 2 2 0 1 2 4 4 4 3 3 3 2 3 22 15 5 5 5 5 5P C C Cξ           ≤ = − + +                     328 625 = 3 10 7 10 η ( ) 7 3 210 10 10 100P η = = × = ( ) 3 3 7 7 291 10 10 10 10 50P η = = × + × = ( ) 3 7 212 10 10 100P η = = × = 所得分布列为: 0 1 2 . 【点睛】本题以茎叶图形式考查概率统计基本量的计算问题,当有偶数个数时,中位数为中 间两位数之和的平均值,有奇数个数时,中位数为中间的那位数,求解时要注意对数据排序; 平均数的求法可采用设标准数法,此法可减小运算量;(2)(3)问求解的关键在于分清是哪 一种分布特点,独立重复试验最大特点为每次实验互不受影响,相互独立实验区别于二项分 布的地方在于各实验事件对应概率一般不同,解题时要加以区分 20.已知圆 : ,椭圆 : 的离心率为 ,圆 上任 意一点 处的切线交椭圆 于两点 , ,当 恰好位于 轴上时, 的面积为 . (1)求椭圆 的方程; (2)试判断 是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由. 【答案】(1) (2) 为定值且定值为 ,详见解析 【解析】 【分析】 (1)根据题意,结合图形特点求解出 与 的长,再结合椭圆的离心率特点代换出关 于 的椭圆标准方程,将点 坐标代入椭圆方程即可求得标准方程 (2)分两种情况进行讨论,当过点 的圆的切线斜率为 0 或不存在时, ,当斜率存在时,设切线方程为 ,采用解析几何方法 η P 21 100 29 50 21 100 ( ) 21 29 210 1 2 1100 50 100E η = × + × + × = O 2 2 4 3x y+ = C ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > 2 2 O P C M N P x OMN∆ 4 3 C PM PN⋅ 2 2 14 2 x y+ = PM PN⋅ 4 3 OP MN b M P 2 3 2 3 4 3 3 3PM PN⋅ = × = y kx m= + 联立切线与椭圆标准方程,得出关于两点横坐标的韦达定理,再用弦长公式表示出 , 最终将表达式进行化简求值即可 【详解】解:(1)由椭圆的离心率为 知 得 , ∴椭圆 的方程为 . 由圆的切线性质、圆的对称性及 的面积为 得: , 又 ,∴ , 设 ,则 , ,将其代入椭圆方程得 , , ∴椭圆 的方程为 . (2)①当过点 的圆的切线斜率为 0 或不存在时, , ②当过点 的圆的切线斜率存在且不为 0 时,设切线的方程为 , , ,∴ ,即 . 联立直线和椭圆的方程得: ,即 , 则 , PM PN⋅ 2 2 2 2 2 1 2 a b a − = 2a b= C 2 2 2 2 12 x y b b + = OMN∆ 4 3 1 4 2 3OP MN⋅ ⋅ = 2 3 3OP = 4 3 3MN = ( )1 1,M x y 2 1 4 3x = 2 1 4 3y = 2 2b = 2 4a = C 2 2 14 2 x y+ = P 2 3 2 3 4 3 3 3PM PN⋅ = × = P y kx m= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 3 31 m k = + ( )2 24 13m k= + ( )22 2 4x kx m+ + = ( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m+ + + − = ( ) ( )( )2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 4 4 1 2 2 4 0 4 2 1 2 4 2 1 km k m kmx x k mx x k  ∆ = − + − >  + = − +  −= + 设 ,则 , 由 ,解得 , ∴ , 综上所述, 为定值且定值为 . 【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,求证过圆的切线与椭圆交线的弦长乘积的定值问题, 第一问考点较为基础,第二问整体难度较大,关键在于解析几何中的参数代换问题,韦达定 理表示弦长问题也是常规解法,参数代换的难点在于怎样将多个参数代换成一个参数,这就 需要做题时挖掘隐藏条件,如本题中根据垂直推到出的斜率之积为-1 的表达式,如根据点 O 到切线距离为定值的表达式。 21.已知函数 ( 为常数). (1)讨论函数 的单调性; (2)若 为整数,函数 恰好有两个零点,求 的值. 【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)整数 的值为-3,-2,-1. 【解析】 【分析】 (1)先求导,再讨论参数 的正负,进一步判断函数的单调性 (2)通过(1)的结论可判断 ,代入极值点可求得函数的最大值,根据题意要使最大值 ( )0 0,P x y 2 2 1 0 2 01 1PM PN k x x k x x⋅ = + − ⋅ + − ( ) ( )2 2 1 2 0 1 2 01 k x x x x x x= + − + + 0 0 0 0 1y x k y kx m  = −  = + 0 21 mkx k −= + ( ) 22 2 2 2 2 2 2 4 41 1 2 1 2 1 1 m mk mk mkPM PN k k k k k − − − − ⋅ = + − ⋅ +  + + + +  ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 411 2 1 2 1 m m k m kkk k k −= + − ++ + + ( ) ( ) ( )( ) 2 2 22 2 2 2 2 3 22 4 11 2 1 2 1 m k km kk k k +−= + −+ + + ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 2 4 3 2 4 13 11 2 31 2 1 k k k k kk k k + × − + + = + − ⋅+ + + 4 3 = PM PN⋅ 4 3 ( ) ( )2ln 2 2f x x ax a x= + + + + a ( )f x a ( )f x a a a 0a ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( )' 0f x > 10 x a < < − ( )' 0f x < 1x a > − ( )f x 10, a  −   1 ,a  − +∞   0a ≥ ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x ( )0, ∞+ 0a < ( )f x 10, a  −   10, a  −   ( )max 1 1 1ln 1f x f a a a    = − = − − +       ( ) ln 1g x x x= + + ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ( )1 1 1 1 1ln 1 5 ln 256 5 ln 2434 4 4 4 4g   = + + = − < −   ( )1 5 5ln3 04 = − < ( )( )1 1 1 2ln 1 2 ln 3 33 3 3 3g   = + + = −   ( )22 2 ln 03 e> − = ( )g x 10, 4     1 ,3  +∞  a ( )maxf x ( )f x 3a = − ( )maxf x ( ) 2ln 2f x x x x< − + + ( )10 ln10 100 10 2 0f < − + + < ( )f x 10, a  −   ( ) 2ln 2 ln 3f x x x x x< − + + < + 3 3 1 1ln 3 0f e e   < + =   ∴函数 在 上有两个零点. 综上所述,函数 有两个零点,整数 的值为-3,-2,-1. 【点睛】本题主要考查根据导数研究函数单调性、利用导数判断函数最值与零点的关系,考 查数学转化的思想方法,难度较大,在解决此类题型中,最值点一般是研究重点,在最值点 处函数的增减性会发生变化,抓住最值点研究零点问题也是导数求解问题中的难点,对于最 值点与零点的交汇问题应学会归纳题型,强化训练,才能攻克此难点 (二)选做题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第 一题计分。 22.在平面直角坐标系 中,曲线 ( 为参数),以坐标原点 为极点, 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 . (1)求曲线 的直角坐标方程; (2)若点 是曲线 上的点,点 是曲线 上的点,求 的最小值. 【答案】(1) (2)2. 【解析】 【分析】 (1)根据极坐标方程与直角坐标方程的互化,即可得出结果; (2)先由题意设 ,根据点到直线距离公式得到点 到直线 的距离为: ,再由 ,即可求出结果. 详解】解:(1)由 得: , 将 ,代入得曲线 ,的直角坐标方程为: (2)由题意,可设 ,由点到直线的距离公式可得: 【 ( )f x ( )0, ∞+ ( )f x a xOy 1 2 cos: 6 sin xC y ϕ ϕ  = = ϕ O x 2C sin 44 πρ θ + =   2C P 1C Q 2C | |PQ 4 2x y+ = ( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP P 4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 | 2 ϕ ϕ+ −=d | |≥PQ d sin 44 πρ θ + =   sin cos 4 2ρ θ ρ θ+ = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2C 4 2x y+ = ( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP 点 到直线 的距离为: 由题意可得: ,即 所以, 的最小值为 2. 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及参数的方法求出距离最值的 问题,熟记极坐标与直角坐标的互化公式,以及曲线的参数方程即可,属于常考题型. 23.选修 4-5:不等式选讲:已知函数 . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)当 时,不等式 恒成立,求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 代入 m 的值,得到关于 x 的不等式组,解出即可; 问题转化为 恒成立,当 时, , 令 ,求出 的最大值,求出 m 的范围即可. 【详解】解: 当 时, , 由 , 得 或 或 , 解得: 或 , 故不等式的解集是 ; 当 时, , P 4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 | 2 ϕ ϕ+ −=d | |≥PQ d 2 2 sin 4 26| 2 cos 6 sin 4 2 || | 2 2 2 PQ πϕϕ ϕ  + − + −  ≥ = ≥ | |PQ ( ) ( )1 2f x x m x m R= + − − ∈ 3m = ( ) 1f x > [ ]1,2x∈ − ( ) 2 1f x x< + m 3 ,32      1 3m > ( )1 ( )2 ( )1 2 2 1x m x x+ − − < + [ )1,2x∈ − 212 2 xm x x −> = −− − ( ) 21 2g x x = − − ( )g x ( )1 3m = ( ) 1 3 2f x x x= + − − ( ) 1f x > 1 {2 7 1 x x 1 2 {4 5 1 x x − ≤ ≤ − > 2 { 2 7 1 x x > − + > 3 22 x< ≤ 2 3x< < 3 ,32      ( )2 [ ]1,2x∈ − ( ) ( )1 2f x x m x= + − − 恒成立, 即 恒成立, 整理得: , 当 时, 成立, 当 时, , 令 , , , , , 故 , 故 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及转化思想,是一道常规 题. ( ) 2 1f x x< + ( )1 2 2 1x m x x+ − − < + ( )2 x m x− > − 2x = 0 2> − [ )1,2x∈ − 212 2 xm x x −> = −− − ( ) 21 2g x x = − − 1 2x− ≤

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