益阳市、湘潭市 2020 届高三 9 月教学质量检测
理科数学
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置;
2.全部答案在答题卡上完成,答在本试题卷上无效;
3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.已知集合 , ,则 ()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用集合的交集运算求解
【详解】 ,则
答案选 C
【点睛】本题考查集合的交集运算,需注意端点取不取得到的问题。
2.复数 ,在复平面内复数 的共轭复数对应的点位于()
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】
先对 进行化简,再求 的共轭复数及 的共轭复数在复平面对应的点
【详解】 ,则 , 在复平面内对应的点为 ,为第四象限
答案选 D
【点睛】本题考查复数除法运算,共轭复数的概念及复数与复平面的点的对应关系,难度不
{ }2| 2 3 0A x x x= − − ≤ { }| 3 1B x x= − < < A B = { }| 3 1x x− < < { }| 3 3x x− < ≤ { }| 1 1x x− ≤ < { }| 1 1x x− < < { } { }2| 2 3 0 | 1 3A x x x A x x= − − ≤ ⇒ = − ≤ ≤ A B = { }| 1 1x x− ≤ < 2 1z i = − z 2 1z i = − z z 2 1 i1 iz = = +− 1z i= − 1z i= − ( )1, 1−
大,综合性强
3.已知等差数列 的前 项和为 ,若 , ,则 等于()
A. 2 B. 3 C. 4 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据 ,可算出 ,又 ,根据等差中项 性质求解即可
【详解】由 ,又 ,
答案选 B
【点睛】本题考查等差数列基本量的求法,常规思路为求解首项和公差,本通解题思路运用
了 和等差中项的性质,简化了运算
4.已知向量 , , ,若 ,则 的值为
()
A. 2 B. C. D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】
由 表示出 与 的基本关系,化简求解即可
【详解】 ,
答案选 D
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值,需熟记向量平行的坐标表
示法为:
或
5.某校有 1200 人参加某次模拟考试,其中数学考试成绩近似服从正态分布
,试卷满分 150 分,统计结果显示数学成绩优秀(高于 120 分)的人数
的
{ }na n nS 15 30S = 10 4a = 9a
15 30S = 8a 10 4a =
15 8 815 30 2S a a= = ⇒ = 10 4a = 9 8 10 92 6 3a a a a= + = ⇒ =
( )2 1 2 1n nS n a− = −
( )2,1a =r ( )2,sin 1b α= − ( )2,cosc α= − ( )a b c+
tanα
1
2
1
2
−
( )a b c+
sinα cosα
( )4,sina b α+ = ( ) 4cos 2sin tan 2a b c α α α+ ⇒ = − ⇒ = −
1 2 2 1x y x y= 1 1
2 2
x y
x y
=
( )( )2105, 0N σ σ >
占总人数的 ,则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为()
A. 180 B. 240 C. 360 D. 480
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正态分布对称性特征,成绩高于 120 分和成绩低于 90 分概率值应该相同,成绩在 90 分
到 105 分的占余下的 ,代入数值进行运算即可
【详解】由题知, ,
所以 ,
所以 ,
所以此次数学考试成绩在 90 分到 105 分之间的人数约为 人。
答案选 C
【点睛】本题考查正态分布基本量的计算,解题一般思路:先确定对称轴,根据对称特点求
解相应数值
6.已知 , 为两个不同的平面, , 为两条不同的直线,有以下命题:
①若 , ,则 .②若 , ,则 .③若 , ,则
.④若 , , ,则 .
其中真命题有()
A ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①由线面垂直的性质和面面平行的定义,命题正确
② 与 有可能相交,命题错误
③由面面垂直的判定定理判断,命题正确
④成立的前提是面面垂直,命题错误
.
1
5
1
2
1( 120) ( 90)5P X P X> = = < 1 3(90 120) 1 2 5 5P X = − × = 1 3 3(90 105) 2 5 10P X = × = 31200 36010 × = α β m n m α⊥ m β⊥ α β∥ m α n α m n m α⊂ m β⊥ α β⊥ lα β = m α⊂ m l⊥ m β⊥ m n
【详解】对命题①,由线面垂直的性质和面面平行的定义可知,若 , ,则 平
面与 无公共点,可证 ,命题①正确
对命题②,若 与 为另一平行平面的两条交线,也满足条件,但推不出结论,命题②错误
对命题③,由面面垂直的判定定理可知:如果一个平面经过另一平面的垂线,则这两个平面相
互垂直. ③中 , ,所以 。命题③正确
对命题④,若二面角的平面角为锐角时, 与 斜交,命题④错误。
【点睛】本题考查空间线面位置关系的判断证明,旨在考查学生基础知识的掌握能力和空间
想象能力
7.执行如图所示 程序框图,若输出的 的值为 14,则判断框内可以填入()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可依次执行循环语句,判断 满足的条件即可
【详解】由题可知,初始输入值
执行第一次循环可得: ,
执行第二次循环可得: ,
执行第三次循环可得: ,
执行第四次循环可得: ,
……
的
m α⊥ m β⊥ α
β α β∥
m n
m α⊂ m β⊥ α β⊥
m β
i
90?s > 100?s > 110?s > 120?s >
s
0 01, 1s i= =
1 0 1 2i i= + = 1 1 0 3s i s= + =
2 1 1 3i i= + = 2 2 1 6s i s= + =
3 2 1 4i i= + = 3 3 2 10s i s= + =
4 3 1 5i i= + = 4 4 3 15s i s= + =
由循环规律可知, ,
当 ,将 代入 可得
即判断框中应为
答案选 B
【点睛】本题考查循环语句中对于判断框中条件的判断,解题时可从答案入手,分析大致规
律,如本题中可判断的是要执行多次循环,知道 满足的条件是大于多少,再由循环规律和题
干信息进行推导即可
8.已知函数 是定义在 上的偶函数, ,当 时,
,则不等式 的解集是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据偶函数的定义域关于原点对称求出 ,再根据偶函数的对称性和题设给的 的
增减性解题即可
【详解】 是定义在 上的偶函数, ,解得 ,
的定义域为
又 ,当 时,
在 单调递减,
再由偶函数的对称性可知 ,解得
答案选 C
【点睛】本题考查偶函数的基本性质、利用偶函数的性质解不等式,易错点为解题过程中忽
1ni n= + ( )( )1 2
2n
n ns
+ +=
1 14 13ni n n= + = ⇒ = 13n = ( )( )1 2
2n
n ns
+ += 14 15 1052ns
×= =
100?s >
s
( )f x [ ]1 2 ,m m− [ ]1 2, 0,x x m∀ ∈ 1 2x x≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2 0f x f x x x− −
( ) 0f x ax− = a
2
,44
e
,44
e
,4
e +∞
2
,4
e +∞
( )g x ax= ( ) 0f x ax− =
时,两函数图像有四个交点,再分别分析临界点所对应的 值,即可求出范围
【详解】
由图像分析可知,当 时 应有两解,即 ,解得
,此时应满足 ,解得
当 ,若 与 图像相切,设切点坐标为 ,由
①,又 ,即 ②
联立①②可得 , ,
综上所述,
答案选 A
【点睛】本题考查函数零点的求法,采用构造函数法,再根据交点个数是零点的具体体现来
进行转化,同时利用导数来研究函数零点,本题中解法也是解决函数问题中常用解法
二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.已知实数 , 满足约束条件 ,则 的最大值是______.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据线性约束条件画出可行域,再将 进行平移寻找最值点即可
( ) ( )f x g x= a
0x ≤ ( ) 0f x ax− = 2 4 0x x ax+ − =
1 20, 4x x a= = − 4 4 0a− < − < ( )0,4a∈ 0x > ( )g x ax= ( )f x ( )0 0,x y 00
0
2
0
0
xx
y ax
ax eey x
=
⇒ = =
( )0
0 2
0
1'
xe xf x ax
−= = ( )02
0 0 1xax e x= −
0 2x = 2
4
ea =
2
4
ea∴ >
2
,44
ea
∈
x y
3 0
3 3
0
x y
x y
y
− + ≥
+ ≤
≥
2z x y= +
2
xy = −
【详解】如图,根据线性约束条件画出可行域,
画出符合条件的可行域,将 进行平移,当移到最高点 时,得到 的最大
值,
则 的最大值是 6
【点睛】本题考查了简单的线性规划问题,考查数形结合思想,是一道中档题.
14.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才能(六艺):礼、乐、射、御、书、数。某校国学
社团周末开展“六艺”课程讲座活动,一天连排六节,每艺一节,排课有如下要求:“射”
不能排在第一,“数”不能排在最后,则“六艺”讲座不同的排课顺序共有______种.
【答案】504
【解析】
【分析】
利用先分类再分步的方式,分“射”排最后一位和“射”排中间 4 位的情况进行求解
【详解】第一种情况,当“射”排最后一位时,共有 种方法
第二种情况,当“射”排中间 4 个位置中的 1 个时共有 种方法
不同的排列方式共有 种
所以“六艺”讲座不同的排课顺序共有 504 种
【点睛】本题主要考查排列组合问题,由于题中出现了特殊位置,所以解题时优先从特殊位
置着手,再对剩下位置进行全排列
15.已知数列 的各项均为正数,记 为数列 的前 项和,若
, ,则 ______.
2
xy = − ( )0,3 2z x y= +
max 2 3 6z = × =
2z x y= +
5
5 120A =
1 1 4
4 4 4 384A A A⋅ ⋅ =
384 120 504+ =
{ }na { }nS { }na n
( )2
*
1
1
2 n
n
n n
aa n Na a+
+
= ∈− 1 1a = 6S =
【答案】63
【解析】
【分析】
对 进行化简,可得 ,再根据等比数列前 项和公式进行求
解即可
【详解】由
数列 为首项为 ,公比 的等比数列,
所以 63
【点睛】本题考查等比数列基本量的求法,当处理复杂因式时,常用基本方法为:因式分解,
约分。但解题本质还是围绕等差和等比的基本性质
16.已知双曲线 : 的左右焦点分别为 , ,过 的直线 与圆
相切于点 ,且直线 与双曲线 的右支交于点 ,若 ,则双曲线
的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意,作出图形,结合双曲线第一定义,再将所有边长关系转化到直角三角形 中,
化简求值即可
( )2
*
1
1
2 n
n
n n
aa n Na a+
+
= ∈−
1 2n
n
a
a
+ = n
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
1
2 2n
n n n n n n n n n n
n n
aa a a a a a a a a aa a+ + + + +
+
= ⇒ − ⋅ = ⇒ − = + ⋅−
( )( ) ( ) 1
1 1 1 1 2n
n n n n n n n n n n
n
aa a a a a a a a a a a
+
+ + + +⇒ + − = + ⇒ − = ⇒ =
{ }na 1 1a = 2q =
( ) ( )6 6
1
6
1 1 1 2
631 1 2
a q
S q
− × −
= = =− −
6S =
C ( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1F 2F 1F l
2 2 2x y a+ = T l C P 1 14F P FT= C
5
3
2MPF
【详解】
如图,由题可知 , ,则 ,
又 , , ,
又 ,
作 ,可得 , ,则
在 , ,即 ,
又 ,化简可得 ,同除以 ,得
解得
双曲线的离心率为
【点睛】本题考查了利用双曲线的基本性质求解离心率的问题,利用双曲线的第一定义和中
位线定理将所有边长关系转化到直角三角形 中是解题关键,一般遇到此类题型,还是建
议结合图形来进行求解,更直观更具体
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17.在 中,角 、 、 的对边分别是 、 、 ,若
.
(1)求角 ;
(2)若 的面积为 , ,求 的周长.
【答案】(1) (2)
【解析】
1 2OF OF c= = OT a= 1FT b=
1 14F P FT=
3TP b∴ = 1 4F P b∴ =
1 2 2PF PF a− = 2 4 2PF b a∴ = −
2 / /F M OT 2 2F M a= TM b= 2PM b=
2MPF∆ 2 2 2
2 2PM MF PF+ = ( )22 2c b a= − 2b a c= +
2 2 2c a b= +
2 23 2 5 0c ac a− − = 2a 23 2 5 0e e− − =
5
3e =
5
3
2MPF
ABC∆ A B C a b c
( )sin sin 3 cosa c B b C b A+ − =
A
ABC∆ 4 3 6a = ABC∆
60A = 6 2 21+
【分析】
(1)利用正弦定理边化角进行化简求值即可
(2)利用余弦定理和正弦面积公式最终代换出 整体即可
【详解】解:(1)由正弦定理得: ,
∵ ,∴ ,∵ 是 的内角,∴ .
(2)∵ 的面积为 ,∴ ,
由(1)知 ,∴ ,
由余弦定理得: ,
∴ ,得: ,
∴ 的周长为 .
【点睛】本题主要考查解三角形基础知识,一般解题思路为正弦定理边化角,余弦定理结合
面积公式解决周长、面积问题
18.在四棱锥 中, , , .
(1)若点 为 的中点,求证: 平面 ;
(2)当平面 平面 时,求二面角 的余弦值.
【答案】(1)详见解析(2)
【解析】
【分析】
(1)通过作 的中点 ,连结 , ,通过中位线定理分别证明 ,
b c+
( )sin sin sin sin sin 3sin cosA C B B C B A+ − =
sin 0B ≠ tan 3A = A ABC∆ 60A =
ABC∆ 4 3 1 sin 4 32 bc A =
60A = 16bc =
2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + − ( )2 3b c bc= + −
( )2 48 36b c+ − = 2 21b c+ =
ABC∆ 6 2 21+
P ABCD− 4BC BD DC= = = 2AB = 2 3AD PB PD= = =
E PC / /BE PAD
PBD ⊥ ABCD C PD B− −
22
11
CD M EM BM EM PD
来证明平面 平面 ,从而证明 平面
(2)当平面 平面 时,再结合题干信息,可作 的中点 ,连接 ,以
的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向, 的方向为 轴正方向建立空间直角坐
标系,用向量法来求解二面角 的余弦值
【详解】解:(1)取 的中点 ,连结 , .
∵ 为等边三角形,∴ .
∴ ,又 ,
∴四边形 是平行四边形,∴ .
又∵ 平面 , 平面 ,
∴ 平面 .
∵ 为 的中点, 为 的中点,∴ .
同理: 平面 .
∵ ,∴平面 平面 .
∵ 平面 ,∴ 平面 .
(2)取 的中点 ,连结 , ,则 , .
∵平面 平面 , ,
∴ 平面 ,∴ , , .
以 为坐标原点, 的方向为 轴正方向,
建立空间直角坐标系 .
BM AD BEM PAD / /BE PAD
PBD ⊥ ABCD BD O PO OC
x OB y OP z
C PD B− −
CD M EM BM
BCD∆ 2 3BM =
2 3AD BM= = 2AB DM= =
ABMD BM AD
BM ⊄ PAD AD ⊂ PAD
BM∥ PAD
E PC M CD EM PD
EM PAD
EM BM M= BEM PAD
BE ⊂ BEM / /BE PAD
BD O CO PO CO BD⊥ PO BD⊥
PBD ⊥ ABCD PO BD⊥
PO ⊥ ABCD PO CO⊥ 2 2PO = 2 3CO =
O OC x
O xyz−
则 , , .
∴ , ,
平面 的一个法向量为 .
设平面 的法向量为 ,则 ,即 .
令 ,得 , ,∴平面 的一个法向量 ,
∴ .
设二面角 的大小为 ,结合图形可知 .
【点睛】本题考查立体几何基本知识,第一问考查了线面平行的证法,证线面平行一般有两
种思路:一种通过证直线和平面里的一条直线平行来证线面平行;另一种通过证面面平行,
说明直线在其中一个平面,从而证线面平行。第二问考查了用空间向量求解二面角余弦值的
一般方法,建立合适的空间坐标系,正确表示各点坐标和相应平面的法向量是关键,在向量
法求解二面角余弦值时,要注意夹角是锐角还是钝角,从而正确求解二面角余弦值
19.某市旅游局为了进一步开发旅游资源,需要了解游客的情况,以便制定相应的策略,在某
月中随机抽取甲、乙两个景点各 10 天的游客数,画出茎叶图如下:若景点甲中的数据的中位
数是 126,景点乙中的数据的平均数是 124.
(1)求 , 的值;
( )0, 2,0D − ( )2 3,0,0C ( )0,0,2 2P
( )2 3,2,0DC = ( )0,2,2 2DP =
PBD ( )1 1,0,0n =
PCD ( )2 , ,n x y z= 2
2
0
0
n DC
n DP
⋅ = ⋅ =
2 3 2 0
2 2 2 0
x y
y z
+ =
+ =
6y = 2x = − 3z = − PCD ( )2 2, 6, 3n = − −
1 2
1 2
1 2
2 22cos , 112 6 3
n nn n
n n
⋅ −< >= = = −
+ +⋅
C PD B− − θ 22cos 11
θ =
x y
(2)若将图中景点甲中的数据作为该景点较长一段时期内的样本数据(视样本频率为概率).
今从这段时期内任取 4 天,记其中游客数不低于 125 人的天数为 ,求概率 ;
(3)现从上图的共 20 天的数据中任取 2 天的数据(甲、乙两景点中各取 1 天),记其中游客
数不低于 115 且不高于 135 人的天数为 ,求 的分布列和期望.
【答案】(1) , (2) (3)详见解析
【解析】
【分析】
(1)通过中位数和平均数的定义进行求解即可
(2)分析题意可知,该分布符合独立重复试验特点,属于二项分布,采用二项分布公式进行
求解
(3)该分布特点符合相互独立实验特点,采用相互独立实验公式进行求解
【详解】(1)由题意知甲的中间两位数的尾数为 7、x,根据中位数为 126,即
乙中以 124 位标准数,则 109 为表示为-15,115 可表示为-9,可列出等式
则 124-10=114, ,所以 , ;
(2)由题意知,因为景点甲的每一天的游客数不低于 125 人的概率为 ,
任取 4 天,即是进行了 4 次独立重复试验,其中有 次发生,故随机变量 服从二项分布,
则 ;
(3)从图中看出:景点甲的数据中符合条件的有 3 天,景点乙的数据中符合条件的有 7 天,
所以在景点甲中被选出的概率为 ,在景点乙中被选出的概率为 .
由题意知: 的所有可能的取值为 0,1,2.
则 , ,
,
ξ ( )2P ξ ≤
η η
5x = 4y = 328
625
7 6 52
x x
+ = ⇒ =
15 9 6 1 2 9 11 17 10− − − + + + + + =
4y = 5x = 4y =
6 3
10 5
=
ξ ξ
( ) 0 4 3 2 2
0 1 2
4 4 4
3 3 3 2 3 22 15 5 5 5 5 5P C C Cξ ≤ = − + +
328
625
=
3
10
7
10
η
( ) 7 3 210 10 10 100P η = = × = ( ) 3 3 7 7 291 10 10 10 10 50P η = = × + × =
( ) 3 7 212 10 10 100P η = = × =
所得分布列为:
0 1 2
.
【点睛】本题以茎叶图形式考查概率统计基本量的计算问题,当有偶数个数时,中位数为中
间两位数之和的平均值,有奇数个数时,中位数为中间的那位数,求解时要注意对数据排序;
平均数的求法可采用设标准数法,此法可减小运算量;(2)(3)问求解的关键在于分清是哪
一种分布特点,独立重复试验最大特点为每次实验互不受影响,相互独立实验区别于二项分
布的地方在于各实验事件对应概率一般不同,解题时要加以区分
20.已知圆 : ,椭圆 : 的离心率为 ,圆 上任
意一点 处的切线交椭圆 于两点 , ,当 恰好位于 轴上时, 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程;
(2)试判断 是否为定值?若为定值,求出该定值;若不是定值,请说明理由.
【答案】(1) (2) 为定值且定值为 ,详见解析
【解析】
【分析】
(1)根据题意,结合图形特点求解出 与 的长,再结合椭圆的离心率特点代换出关
于 的椭圆标准方程,将点 坐标代入椭圆方程即可求得标准方程
(2)分两种情况进行讨论,当过点 的圆的切线斜率为 0 或不存在时,
,当斜率存在时,设切线方程为 ,采用解析几何方法
η
P
21
100
29
50
21
100
( ) 21 29 210 1 2 1100 50 100E η = × + × + × =
O 2 2 4
3x y+ = C ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2
2
O
P C M N P x OMN∆ 4
3
C
PM PN⋅
2 2
14 2
x y+ = PM PN⋅ 4
3
OP MN
b M
P
2 3 2 3 4
3 3 3PM PN⋅ = × = y kx m= +
联立切线与椭圆标准方程,得出关于两点横坐标的韦达定理,再用弦长公式表示出 ,
最终将表达式进行化简求值即可
【详解】解:(1)由椭圆的离心率为 知 得 ,
∴椭圆 的方程为 .
由圆的切线性质、圆的对称性及 的面积为 得: ,
又 ,∴ ,
设 ,则 , ,将其代入椭圆方程得 , ,
∴椭圆 的方程为 .
(2)①当过点 的圆的切线斜率为 0 或不存在时, ,
②当过点 的圆的切线斜率存在且不为 0 时,设切线的方程为 ,
, ,∴ ,即 .
联立直线和椭圆的方程得: ,即 ,
则 ,
PM PN⋅
2
2
2 2
2
1
2
a b
a
− = 2a b=
C
2 2
2 2 12
x y
b b
+ =
OMN∆ 4
3
1 4
2 3OP MN⋅ ⋅ =
2 3
3OP = 4 3
3MN =
( )1 1,M x y 2
1
4
3x = 2
1
4
3y = 2 2b = 2 4a =
C
2 2
14 2
x y+ =
P 2 3 2 3 4
3 3 3PM PN⋅ = × =
P y kx m= +
( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2
2 3
31
m
k
=
+
( )2 24 13m k= +
( )22 2 4x kx m+ + = ( )2 2 21 2 4 2 4 0k x kmx m+ + + − =
( ) ( )( )2 2 2
1 2 2
2
1 2 2
4 4 1 2 2 4 0
4
2 1
2 4
2 1
km k m
kmx x k
mx x k
∆ = − + − >
+ = − +
−= +
设 ,则
,
由 ,解得 ,
∴
,
综上所述, 为定值且定值为 .
【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法,求证过圆的切线与椭圆交线的弦长乘积的定值问题,
第一问考点较为基础,第二问整体难度较大,关键在于解析几何中的参数代换问题,韦达定
理表示弦长问题也是常规解法,参数代换的难点在于怎样将多个参数代换成一个参数,这就
需要做题时挖掘隐藏条件,如本题中根据垂直推到出的斜率之积为-1 的表达式,如根据点 O
到切线距离为定值的表达式。
21.已知函数 ( 为常数).
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若 为整数,函数 恰好有两个零点,求 的值.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)整数 的值为-3,-2,-1.
【解析】
【分析】
(1)先求导,再讨论参数 的正负,进一步判断函数的单调性
(2)通过(1)的结论可判断 ,代入极值点可求得函数的最大值,根据题意要使最大值
( )0 0,P x y
2 2
1 0 2 01 1PM PN k x x k x x⋅ = + − ⋅ + − ( ) ( )2 2
1 2 0 1 2 01 k x x x x x x= + − + +
0
0
0 0
1y
x k
y kx m
= −
= +
0 21
mkx k
−= +
( ) 22
2
2 2 2 2
2 4 41 1 2 1 2 1 1
m mk mk mkPM PN k k k k k
− − − − ⋅ = + − ⋅ + + + + +
( )2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 4 411 2 1 2 1
m m k m kkk k k
−= + − ++ + +
( ) ( )
( )( )
2 2 22
2
2 2 2
3 22 4 11 2 1 2 1
m k km kk k k
+−= + −+ + +
( )
( ) ( )
( )( )
( )
2
2 2 2
2
2 2 2
4 1
2 4 3 2 4 13 11 2 31 2 1
k
k k k
kk k k
+
× − + +
= + − ⋅+ + +
4
3
=
PM PN⋅ 4
3
( ) ( )2ln 2 2f x x ax a x= + + + + a
( )f x
a ( )f x a
a
a
0a ( )f x ( )0, ∞+
0a < ( )' 0f x > 10 x a
< < − ( )' 0f x < 1x a > −
( )f x 10, a
−
1 ,a
− +∞
0a ≥ ( )f x ( )0, ∞+
( )f x ( )0, ∞+
0a < ( )f x 10, a − 10, a − ( )max 1 1 1ln 1f x f a a a = − = − − + ( ) ln 1g x x x= + + ( )g x ( )0, ∞+ ( ) ( )1 1 1 1 1ln 1 5 ln 256 5 ln 2434 4 4 4 4g = + + = − < − ( )1 5 5ln3 04 = − < ( )( )1 1 1 2ln 1 2 ln 3 33 3 3 3g = + + = − ( )22 2 ln 03 e> − =
( )g x 10, 4
1 ,3
+∞
a ( )maxf x ( )f x
3a = − ( )maxf x ( ) 2ln 2f x x x x< − + + ( )10 ln10 100 10 2 0f < − + + < ( )f x 10, a − ( ) 2ln 2 ln 3f x x x x x< − + + < + 3 3 1 1ln 3 0f e e < + =
∴函数 在 上有两个零点.
综上所述,函数 有两个零点,整数 的值为-3,-2,-1.
【点睛】本题主要考查根据导数研究函数单调性、利用导数判断函数最值与零点的关系,考
查数学转化的思想方法,难度较大,在解决此类题型中,最值点一般是研究重点,在最值点
处函数的增减性会发生变化,抓住最值点研究零点问题也是导数求解问题中的难点,对于最
值点与零点的交汇问题应学会归纳题型,强化训练,才能攻克此难点
(二)选做题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第
一题计分。
22.在平面直角坐标系 中,曲线 ( 为参数),以坐标原点 为极点,
以 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求曲线 的直角坐标方程;
(2)若点 是曲线 上的点,点 是曲线 上的点,求 的最小值.
【答案】(1) (2)2.
【解析】
【分析】
(1)根据极坐标方程与直角坐标方程的互化,即可得出结果;
(2)先由题意设 ,根据点到直线距离公式得到点 到直线
的距离为: ,再由 ,即可求出结果.
详解】解:(1)由 得: ,
将 ,代入得曲线 ,的直角坐标方程为:
(2)由题意,可设 ,由点到直线的距离公式可得:
【
( )f x ( )0, ∞+
( )f x a
xOy 1
2 cos:
6 sin
xC
y
ϕ
ϕ
=
=
ϕ O
x 2C sin 44
πρ θ + =
2C
P 1C Q 2C | |PQ
4 2x y+ =
( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP P
4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 |
2
ϕ ϕ+ −=d | |≥PQ d
sin 44
πρ θ + = sin cos 4 2ρ θ ρ θ+ =
cos
sin
x
y
ρ θ
ρ θ
=
= 2C 4 2x y+ =
( 2 cos , 6 sin )ϕ ϕP
点 到直线 的距离为:
由题意可得: ,即
所以, 的最小值为 2.
【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,以及参数的方法求出距离最值的
问题,熟记极坐标与直角坐标的互化公式,以及曲线的参数方程即可,属于常考题型.
23.选修 4-5:不等式选讲:已知函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)当 时,不等式 恒成立,求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
代入 m 的值,得到关于 x 的不等式组,解出即可;
问题转化为 恒成立,当 时, ,
令 ,求出 的最大值,求出 m 的范围即可.
【详解】解: 当 时, ,
由 ,
得 或 或 ,
解得: 或 ,
故不等式的解集是 ;
当 时, ,
P 4 2x y+ = | 2 cos 6 sin 4 2 |
2
ϕ ϕ+ −=d
| |≥PQ d
2 2 sin 4 26| 2 cos 6 sin 4 2 || | 2
2 2
PQ
πϕϕ ϕ
+ − + − ≥ = ≥
| |PQ
( ) ( )1 2f x x m x m R= + − − ∈
3m = ( ) 1f x >
[ ]1,2x∈ − ( ) 2 1f x x< + m 3 ,32 1 3m >
( )1
( )2 ( )1 2 2 1x m x x+ − − < + [ )1,2x∈ − 212 2 xm x x −> = −− −
( ) 21 2g x x
= − −
( )g x
( )1 3m = ( ) 1 3 2f x x x= + − −
( ) 1f x >
1
{2 7 1
x
x
1 2
{4 5 1
x
x
− ≤ ≤
− > 2
{ 2 7 1
x
x
>
− + >
3 22 x< ≤ 2 3x< < 3 ,32 ( )2 [ ]1,2x∈ − ( ) ( )1 2f x x m x= + − −
恒成立,
即 恒成立,
整理得: ,
当 时, 成立,
当 时, ,
令 ,
,
,
,
,
故 ,
故
【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查分类讨论思想以及转化思想,是一道常规
题.
( ) 2 1f x x< + ( )1 2 2 1x m x x+ − − < + ( )2 x m x− > −
2x = 0 2> −
[ )1,2x∈ − 212 2
xm x x
−> = −− −
( ) 21 2g x x
= − −
1 2x− ≤