吉林市普通中学 2019-2020 学年度高中毕业班第一次调研测试
理科数学
一、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个是符合题目要求。
1.设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可求解。
【详解】 ，
故选：D
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。
2.函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数的最小正周期 ，即可求解。
【详解】 ，
故选：B
【点睛】本题考查求三角函数 的周期，属于基础题。
{ | 2 3}, { | 0}A x x B x x= − < < = > A B =
( 2,3)− (3, )+∞ ( 2,0)− (0,3)
{ | 2 3}, { | 0}A x x B x x= − < < = >
}{ 0 3A B x x∴ ∩ = < < 3sin 4 3y x π = + 2π 2 π 3 π π 2T ω π= 4ω = 2T ω π= 2 4 2T π π∴ = = sin( )y A xω ϕ= +
3.已知向量 ，则 （ ）
A. -8 B. 4 C. 7 D. -1
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量数量积的坐标运算即可求解.
【详解】
故选：A
【点睛】本题考查向量的坐标运算，属于基础题.
4.已知奇函数 当 时， ，则当 时， 的表达式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
设 x0，又当 x>0 时,f(x)=x(1−x)，故 f(−x)=−x(1+x)，
又函数为奇函数，故 f(−x)=−f(x)=−x(x+1)，即 f(x)=x(x+1)，
本题选择 C 选项.
5.若数列 满足： 且 ，则 （ ）
A. B. -1 C. 2 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
首先由递推关系 得出 、 、 、 且数列的周期为 即可求出 .
【详解】由 且 ，
(1, 2), ( 2,3)a b= − = − a b⋅ =
(1, 2), ( 2,3)a b= − = −
1 ( 2) ( 2) 3 8a b∴ ⋅ = × − + − × = −
( )f x 0x > ( ) (1 )f x x x= − 0x < ( )f x (1 )x x− + (1 )x x− − (1 )x x+ ( 1)x x − { }na 1 11n n a a+ = − 1 2a = 2019a = 1 2 1 2 − 1 11n n a a+ = − 1a 2a 3a 4a 3 2019a 1 11n n a a+ = − 1 2a =
则 ， ， ，
所以数列 为周期数列，周期为 ，
所以
故选：B
【点睛】本题考查数列周期性的应用，属于基础题.
6.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本道题化简式子,计算出 ,结合 ,即可.
【详解】 ,得到 ,所以
,故选 C.
【点睛】本道题考查了二倍角公式,难度较小.
7.将函数 图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
再将所得图像向左平移 个单位得到数学函数 的图像，在 图像的所有对称轴中，
离原点最近的对称轴为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析：根据平移变换可得 ，根据放缩变换可得函数 的解析式，结合
对称轴方程求解即可.
2
1 11 2 2a = − = 3
2
11 1a a
= − = − 4
3
11 2a a
= − =
{ }na 3
2019 2016 3 1a a a= = = = −
3cos( )2 3
πα + = − cos2 =α
2
3
− 1
3
− 1
3
2
3
sinα 2cos2 1 2sinα α= −
3cos sin2 3
πα α + = − = −
3sin 3
α =
2 1 1cos2 1 2sin 1 2 3 3
α α= − = − ⋅ =
2 n 2) 3( sif x x
π = +
12
π ( )g x ( )g x
24x
π= −
4x
π= 5
24x
π=
12x
π=
2 4 3y sin x
π = +
( )g x
详解：将函数 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，
纵坐标不变，得到 ，
再将所得图象向左平移 个单位得到函数 的图象，
即 ，
由 ，
得 ，
当 时，离原点最近的对称轴方程为 ，故选 A.
点睛：本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数 可求得函
数的周期为 ；由 可得对称轴方程；由 可得对称中心横坐标.
8.已知 是不共线的向量， ，若 三点共线，
则 满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析】
根据平面向量的共线定理即可求解。
【详解】由 三点共线，则 、 共线，
所以存在不为零的实数 ，使得
即 ，
又因为 是不共线的向量，
所以 ，消 解得
故选：D
【
( ) 2 2 3f x sin x
π = +
2 4 3y sin x
π = +
12
π ( )g x
( ) 22 4 2 412 3 3g x sin x sin x
π π π = + + = +
24 ,3 2x k k Z
π π π+ = + ∈
1 ,4 24x k k Z
ππ= − ∈
0k =
24x
π= −
sin( )y A xω ϕ= +
2π
ω 2x k
πω ϕ π+ = + x kω ϕ π+ =
,a b 2 , 2 , ,AAB a b a b RCλ µ λ µ= − = + ∈ , ,A B C
,λ µ
2λ µ+ = 1λµ = − 4λ µ+ = 4λµ = −
, ,A B C AB AC
m AB mAC=
2 (2 ), ,a b m a b Rλ µ λ µ− = + ∈
,a b
2
2
m
m
λ
µ
=
− =
m 4λµ = −
【点睛】本题考查平面向量的共线定理，需掌握共线定理的内容，属于基础题。
9.若函数 且 在 上为减函数，则函数 的图象可以是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 且 在 上为减函数可得 ，结合 ，再根据对数函数
的图像特征，得出结论.
【 详 解 】 由 且 在 上 为 减 函 数 ， 则 ， 令
，
函数 的定义域为 ，
，所以函数为关于 对称的偶函数.
函数 的图像， 时是函数 的图像向右平移一个单位得到的.
故选：D
【点睛】本题考查复合函数的图像，可利用函数的性质以及函数图象的平移进行求解，属于
基础题.
10.等比数列 的前 项和为 ，若 ，
,则 （ ）
A. 510 B. 255 C. 127 D. 6540
【答案】B
( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R log (| | 1)ay x= −
( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R 0 1a< < ( )g x ( ) ( 0xf x a a= > 1)a ≠ R 0 1a< < ( ) log (| | 1)ag x x= − ∴ ( ) log (| | 1)ag x x= − ( , 1) (1, )−∞ − +∞ ( ) ( ) log (| | 1)ag x g x x− = = − y ( ) log (| | 1)ag x x= − 1x > logay x=
{ }na n nS ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈
1 2 3 8a a a = 8S =
【解析】
【分析】
由 等 比 数 列 的 性 质 可 得 ， 由 可 得 公 比
， ，再由等比数列的求和公式即可求出
【详解】由等比数列的性质可得 ，解得 ，
又 ，
，
，
即 ，
又 ，所以
由等比数列的求和公式
故选：B
【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题.
11.已知向量 满足 ，点 在 内，且 ，设
，若 ，则 （ ）
A. B. 4 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
2 2a = ( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈
2q = 1 1a = 8S
3
1 2 3 2 8a a a a= = 2 2a =
( )( )2 1 3 5 2 13n nS a a a a n N−= + + + + ∈
2 4 61 3 5 2 1 2 1 3 5 2 1( ) ( ) 3( )n n na a a a a a a a a a a a− −∴ + + + + + + + + + + ++ = +
2 4 2 1 3 5 2 16 2( )n na a a a a a a a −+ + + + + +∴ += +
2 1 1 3 51 3 5 2 12( )n nq q q qa a a a a a a a− −+ + + + + + + +∴ =
2q =
2 1a a q= 1 1a =
8 8
1
8
(1 ) 2 1 2551 1
a qS q
− −∴ = = =−
,OA OB 0OA OB⋅ = C AOB∠ 30AOC °∠ =
( , )OC mOA nOB m n R= + ∈ | | 1
2| |
OA
OB
=
m
n
=
3
6
2 3 1
4
根据题意由 得 ，建立如图所示的直角坐标系，由 ，不妨设
， ，则 ，再利用正切的定义结合 建立关于 的等式，
即可解出 的值。
【详解】
由 得 ，建立如图所示的直角坐标系，
，不妨设 ， ，
由 得
，
故选：C
【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示以及平面向量的坐标运算，属于基础题。
12.设函数 的定义域为 ，若满足条件：存在 ，使 在 上的值域
为 （ 且 ），则称 为“ 倍函数”，若函数 为“3
倍函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
0OA OB⋅ = OA OB⊥ | | 1
2| |
OA
OB
=
(1,0)A (0,2)B ( ,2 )C m n 30AOC °∠ = ,m n
m
n
0OA OB⋅ = OA OB⊥
| | 1
2| |
OA
OB
=
(1,0)A (0,2)B
( , )OC mOA nOB m n R= + ∈ ( ,2 )C m n
tan30 2 3tan 3
nAOC m
°∠ = ==
2 3m
n
∴ =
( )f x D [ , ]m n D⊆ ( )f x [ ]m n，
[ ]km kn， k ∈R 0k > ( )f x k ( ) xf x a= ( )1a >
a
3
1, ee
( )31,e
2
,ee e
( )3,e e
【分析】
由函数与方程 关系得：函数 为“3 倍函数”，即函数 的图像与直
线 有两个不同的交点，设 ，再利用导数可得求出 的单调区间，只
需 ，即可求出
【详解】因为函数 为增函数，由函数 为“3 倍函数”，即
函数 的图像与直线 有两个不同的交点，
设 ，则 ，
又 ，所以 ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 减函数，在 为增函数，
要使 的图像与直线 有两个不同的交点，
则需 ，即
所以 ，
所以
所以
所以
所以
即
又 ，
所以
故选：A
的
为
( ) xf x a= ( )1a > ( )y f x=
3y x= ( ) 3xg x a x= − ( )g x
3(log ) 0lnag a
< 3 1 ea e< < ( ) xf x a= ( )1a > ( ) xf x a= ( )1a >
( )y f x= 3y x=
( ) 3xg x a x= − ( ) ln 3xg x a a′ = −
1a > ln 0a >
3log lnax a
< ( ) 0g x′ < 3log lnax a > ( ) 0g x′ >
( )g x 3( ,log )lna a
−∞ 3(log , )lna a
+∞
( )y f x= 3y x=
3(log ) 0lnag a
< 3log ln 33log 0ln a a aa a − < 1 3logln lnaa a < ln3log 1ln a a a >
ln3
ln
a
aa
>
3ln 1ln a
>
3
ln ea
>
3
ea e< 1a >
3
1 ea e< = ≤
1f f e
=
1f e
1f f e
1
ln , 0( ) 2 , 0x
x xf x x+
>= ≤
1 1ln 1f e e
∴ = = −
01 ( 1) 2 1f f fe
= − = =
∴
a b
3
π 1 2,a b= = ， 2a b− =
2
2a b − 2 24 4 4 4 4 4a a b b− ⋅ + = − + = 2 2a b− =
由题意设此等差数列 的公差为 ，则 求出首项即可得到答案。
【详解】设此等差数列 的公差为 ，
由题意 即 解得
所以夏至的日影子长为
故答案为：
【点睛】本题主要考查等差数列 性质以及求和公式，解题的关键把文字叙述转化为数学等
式，属于基础题。
16.已知函数
若 ，则 ________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 辅 助 角 公 式 化 简 ， 再 由
得 图 像 关 于 直 线 对 称 ， 利 用 正 弦 函 数 的 性 质 得 到
，再由 ， 得 ，由二倍角公式即可
求解.
【详解】设 ， ，
所以 ，
又因为 ，所以函数的图像关于直线 对称，
根据正弦函数的性质得到 ，
因为 ， ，
所以 ，
的
{ }na d 12
1 5 9
84
16.5
S
a a a
=
+ + =
{ }na d
12
1 5 9
84
16.5
S
a a a
=
+ + =
1
5 1
12 1112 842
3 3( 4 ) 16.5
a d
a a d
× + =
= + =
1 1.5
1
a
d
=
=
1.5
1.5
( ) sin( ) 2cos( )f x x xπ ϕ π ϕ= + − + (0 )ϕ π< < (1 ) (1 )f x f x+ = − sin 2ϕ = 4 5 − ( ) sin( ) 2cos( ) 5 sin( )f x x x xπ ϕ π ϕ π ϕ θ= + − + = + + (1 ) (1 )f x f x+ = − 1x = ,2 k k z ππ ϕ θ π+ + = + ∈ 0 ϕ π< < ( ,0)2 πθ ∈ − 2 πϕ θ+ = 1 2cos ,sin 5 5 θ θ= = − ( ,0)2 π− ( ) sin( ) 2cos( ) 5 sin( )f x x x xπ ϕ π ϕ π ϕ θ= + − + = + + (1 ) (1 )f x f x+ = − 1x = ,2 k k z ππ ϕ θ π+ + = + ∈ 0 ϕ π< < ( ,0)2 πθ ∈ − 2 πϕ θ+ =
所以
故答案为：
【点睛】本题主要考查三角函数以及辅助角公式、二倍角公式，属于中档题.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. 是底部 不可到达的建筑物， 是建筑物的最高点，为测量建筑物 的高度，先把
高度为 1 米的测角仪放置在 位置，测得仰角为 45°，再把测角仪放置在 位置，测得
仰角为 75°，已知 米， 在同一水平线上，求建筑物 的高度。
【答案】（ ）米
【解析】
【分析】
在 中，利用正弦定理求出 ，在 求出 即可求出 .
【详解】
中， ，
4sin 2 2sin cos 2sin cos 5
ϕ ϕ ϕ θ θ= = = −
4
5
−
AB B A AB
CD EF
2DF = D F B， ， AB
2 3+
ACE∆ AE AEG∆ AG AB
ACE∆
sin45 sin(75 - 45 )
AE CE=° ° °
（米）
因为
所以 （米）
所以建筑物 的高度为（ ）米
【点睛】本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，属
于基础题。
18.已知等差数列 的公差 ,前 项和为 . ,且 成等比数列。
(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，记数列 的前 项和为 ,求证： .
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据等差的通项公式与等比中项求出 ，代入等差数列的通项公式即可。
利用裂项相消法求和以及放缩法即可证明。
【详解】（1）由题意得： ，
得 ，
因为 ，所以 ，代入（1）式求得 ，
所以 ；
222sin45 2 2 21sin30
2
AE
×°= = =°
1 sin75 1 2 2sin75 1AB AG AE= + = ° + = ° +
sin75 sin(30 45 ) sin30 cos45 cos30 sin45° = ° + ° = ° ° + ° °
1 2 3 2 2 6
2 2 2 2 4
+= × + × =
2 62 2 1 2 34AB
+= × + = +
AB 2 3+
{ }na 0d ≠ n nS 3 6a = 2 4 8, ,a a a
{ }na
1
n
n
b S n
= + { }nb n nT 3
4nT < 2na n= 1 2d a= = 3 2 4 2 8 6 (1) (2) a a a a = = 2 2 2 2 1 1 1 16 9 8 7a a d d a a d d+ + = + + 2 1d a d= 0d ≠ 1d a= 1 2d a= = 2 2( 1), 2n na n a n= + − =
（2）由（1）根据等差数列 求和公式可得 ，
【点睛】本题考查等差数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题。
19.在 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， .已知 .
（Ⅰ）求角 的值；
（Ⅱ）若 ， ，求 的面积.
【答案】（I） ；（II）
【解析】
【分析】
（ Ⅰ ） 由 ， 利 用 正 弦 定 理 以 及 两 角 和 与 差 的 正 弦 公 式 可 得
，结合角 的范围可得结果；（Ⅱ）由余弦定理可得 ，求
出 的值，利用三角形面积公式可得结果.
【详解】（Ⅰ）∵ ，
∴由正弦定理可得，
，
因为 ，
∴ ，∴ .
的 2
nS n n= +
2
1 1 1 1 1( )2 2 2n
n
b S n n n n n
= = = −+ + +
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 3 2 2 4 2 3 5 2 1 1 2 2nT n n n n
= − + − + − +…+ − + − − + +
1 1 1 112 2 1 2n n
= + − − + +
3 1 1 1
4 2 1 2n n
= − + + +
3
4
< ABC∆ A B C a b c sin sin 03b C c B π − − = C 4a = 2 7c = ABC∆ 2 3C π= 2 3S = sin sin 03b C c B π − − = sin 03C π + = C 2 4 12 0b b+ − = b sin sin 03b C c B π − − = 1 3sin sin cos sin sin 02 2B C C C B − − = sin 0B ≠ 1 3sin cos 02 2C C+ = sin 03C π + =
∵ ，∴ .
（Ⅱ）∵ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及两角和与差的正弦公式，属于中档题.对余弦定
理一定要熟记两种形式：（1） ；（2） ，同时
还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记
住 等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.
20.设函数 的正零点从小到大依次为 ……， ，……，构成数列 .
（1）写出数列 的通项公式 ，并求出数列 的前 项和 ；
（2）设 ，求 的值.
【答案】（1） ， ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由函数 的正零点，令 即可求出 ，再有等差数列求和公式
即可求出
（2）首先求出 ，再讨论 的奇偶即可求解。
【详解】（1）
（2）
( )0,C π∈ 2
3C
π=
2 2 2 2 cosc a b ab C= + − 2 4 12 0b b+ − =
0b > 2b =
1 1 3sin 2 4 2 32 2 2S ab C= = × × × =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
2 2 2
cos 2
b c aA bc
+ −=
30 ,45 ,60o o o
( ) sin 1f x x= − 1 2, ,x x nx { }nx
{ }nx nx { }nx n nS
4
n
n
Sa n
π= − sin na
2( 1) 2nx n
ππ= − + ( 1) 2n
nS n n
ππ= − +
( ) sin 1f x x= − sin 1 0x − = nx
nS
( 1)4 4
n
n
Sa nn
π ππ= − = − + n
2( 1) , *2nx n n N
ππ= − + ∈
2 4 2( 1)2 2 2 2nS n
π π π ππ π π = + + + + + + − + 2 [1 2 3 ( 1)] 2
nn
ππ= + + +…+ − +
( 1) 2
nn n
ππ= − +
( 1)4 4
n
n
Sa nn
π ππ= − = − +
当 时，
当 时，
【点睛】本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合
性题目。
21.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）当 时，求函数 的最大值与最小值。
【答案】（1）增区间是 和 ；递减区间是 ；（2）最大值是 77，最小值
是
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数， 求单调递增区间， 求单调递减区间。
（2）根据函数的单调性即可求出最值。
【详解】（1）
当 时， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增；
所以 的递增区间是 和 ；递减区间是
（2）由（1）知， 在 上单调递增，在区间 上单调递减
所以 的极大值为 极小值为 -
又因为 ，所以 的最大值是 77，最小值是
【点睛】本题考查了函数的导数求单调区间和最值，属于基础题。
*2 1,n k k N= − ∈ 2sin sin (2 2) sin 2( 1) sin4 4 4 2na k k
π π ππ π = − + = − + = =
*2 ,n k k N= ∈
3 2sin sin (2 1) sin 2 sin4 4 4 2na k k
π π ππ π π = − + = − + = − = −
3 2( ) 3 9 1f x x x x= + − +
( )f x
[ 4,4]x ∈ − ( )f x
( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)−
-4
( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )2 2( ) 3 6 9 3 2 3 3( 3)( 1)f x x x x x x x′ = + − = + − = + − ( , 3)x∈ −∞ − ( ) 0, ( )f x f x′ >
( 3,1)x∈ − ( ) 0, ( )f x f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0, ( )f x f x′ >
( )f x ( , 3)−∞ − (1, )+∞ ( 3,1)−
( )f x [ 4, 3],[1,4]− − [ 3,1]−
( )f x ( 3) 28f − = ， (1) 4f = −
( 4) 21, (4) 77f f− = = ( )f x -4
22.设函数
（1）当 时，求函数 在点 处的切线方程；
（2）当 时， 恒成立，求整数 的最大值
【答案】（1） ；（2）最大值为 2
【解析】
【分析】
（1）把 代入，求求导得出 的斜率，代入点斜式方程即可求解。
（2）由 ，分离参数 （ ）恒成立，设 ，
求导得出 的的范围 ，又 ，即可得到 的最大值为 2。
【详解】当 时， ，
所以 ，因为
所以切线方程为 ， 整理得：
（2） ，因为 ，所以 （ ）恒成立
设 ，则 ---------6 分
设 则
所以 在 上单调递增，又
所以存在 使得 ， 时， ； 时，
所以 在 上单调递减， 上单调递增
所以 ，又
所以
当 时， ，所以 在 上单调递增
所以 ，即
因为 ，所以 ，所以 的最大值为 2.
( ) ( ) ( )xf x m x e m Z= − ∈
0m = f x（ ） (1, (1))f
0x > 3f x x< +（ ） m 2 0ex y e+ − = 0m = 1x = ( ) 3xm x e x− < + 3 x xm xe +< + 0x > 3( ) x
xh x x e
+= +
( )h x 0
7 39( )3 14h x< < m Z∈ m 0m = ( ) xf x xe= − ( ) ( 1)x x xf x e xe x e′ = − − = − + (1) 2k f e′= = − (1) ef = − 2 ( 1)y e e x+ = − − 2 0ex y e+ − = ( ) 3xm x e x− < + 0xe > 3
x
xm xe
+< + 0x >
3( ) x
xh x x e
+= +
2
( 3) 2 ( 2)( ) 1 1
x x x
x x x
e x e x e xh x e e e
− + − − − +′ = + = + =
( ) ( 2),xs x e x= − + ( ) 1xs x e′ = − 0>
( )s x (0, )+∞ 3
3 223 7(1) 3 0, ( ) 3.5 02 2s e s e e= − < = − = − >
0
3(1, )2x ∈ 0( ) 0s x = 0(1, )x x∈ ( ) 0s x < 0( , )x x∈ +∞ ( ) 0s x >
( )h x 0(1, )x 0( , )x +∞
0
0
min 0 0
3( ) ( ) x
xh x h x x e
+= = + 0 0
0 0 0( ) 0, 2 0, 2x xs x e x e x= − − = = +
0
0 0
min 0 0 0 0
0 0
3 3 1( ) ( ) 12 2x
x xh x h x x x xx xe
+ += = + = + = + ++ +
0
3(1, )2x ∈ 0( )h x′ 2
0
11 0( 2)x
= − >+ 0( )h x 3(1, )2
0
3(1) ( ) ( )2h h x h< < 0 7 39( )3 14h x< < m Z∈ 2m ≤ m
【点睛】本题利用导数求切线方程以及求函数的最值，综合性比较强。
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