高三上学期第一次考试
数学试题（理科）
考生注意：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分.考试时间 120 分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数.
第Ⅰ卷
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据集合的交集运算即可求出结果.
【详解】因为 ， ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的交集运算，注意仔细检查，属基础题.
2.命题“存在一个偶函数，其值域为 R”的否定为（）
A. 所有的偶函数的值域都不为 R
B. 存在一个偶函数，其值域不为 R
C. 所有的奇函数的值域都不为 R
D. 存在一个奇函数，其值域不为 R
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用命题的否定的定义得到答案.
【详解】命题“存在一个偶函数，其值域为 R”的否定为：“所有的偶函数的值域都不为 R”
{ }4 1M x x x= >
[ 1,0) (0, )x∈ − +∞
10b a=
10b a=
10
ba =
( ) 2 3f x x ax a= − + + [ ]1,2 a
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对函数进行配方，根据一元二次函数的图象和性质可知对称轴要在给定区间右侧，由此即可
求出 a 的范围.
【详解】依题意， 在 上单调递增，
由二次函数的图象和性质，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查一元二次函数的图象和性质，研究二次函数的单调性问题关键在于判断对
称轴与给定区间的位置关系，属基础题.
6.将曲线 上的每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再将所得
曲线关于 y 轴对称，最后得到的曲线的对称轴方程为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 函 数 图 像 的 伸 缩 变 换 可 得 曲 线 为 ， 再 由 对 称 变 换 可 得 曲 线
，再令 ，运算即可得解.
3 ,4
+∞
3, 2
−∞
4 ,3
+∞
2, 3
−∞
( ) 2 2
2 3 93 2 4
a af x x ax a x a = − + + = − − + +
[ ]1,2
3 22
a ≥ 4
3a ≥
2sin(4 )5y x
π= +
3 ( )80 8
kx k
π π= + ∈Z 3 ( )80 8
kx k
π π= − + ∈Z
3 ( )20 2
kx k
π π= + ∈Z 3 ( )20 2
kx k
π π= − + ∈Z
2sin(2 )5y x
π= +
2sin( 2 )5y x
π= − + 2 ( )5 2x k k
π π π− + = − ∈Z
【详解】解：将曲线 上的每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍后得到曲线
，再将所得曲线关于 y 轴对称，得到曲线 ，
令 ，得 ，
故选 D.
【点睛】本题考查三角函数图象的伸缩变换与对称变换及函数图像的对称轴方程，考查运算
求解能力，属中档题.
7.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先判断 的奇偶性，由此可排除 C 与 D，再求 ，令其跟 1 比较，据此可排除 C，从
而可得到正确选项.
2sin(4 )5y x
π= +
2sin(2 )5y x
π= + 2sin( 2 )5y x
π= − +
2 ( )5 2x k k
π π π− + = − ∈Z 3 ( )20 2
kx k
π π= − + ∈Z
( ) 4
2
1
xf x x
= +
( )f x 2
3f
【详解】因为 ，所以 为奇函数，排除 C 与 D.因为
，所以排除 B，所以 A 正确.
故选：A.
【点睛】本题考查函数图象的判断，根据函数的性质和利用赋值进行排除是解决此类问题的
常用方法，属中档题.
8.下列不等式正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据 ，利用排除法，
即可求解．
【详解】由 ，
可排除 A、B、C 选项，
又由 ，
所以 ．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及对数的比较大小问题，其中解答熟记
三角函数与对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
9.已知 ，则 的近似值为（）
A. 1.77 B. 1.78 C. 1.79 D. 1.81
【答案】B
【解析】
分析】【
( ) ( )4
2
1
xf x f xx
−− = = −+ ( ) 4
2
1
xf x x
= +
2 108 13 97f = >
3sin130 sin 40 log 4> > tan 226 ln 0.4 tan 48<
3sin 40 log 4,ln 0.4 0 tan 226 ,cos( 20 ) sin 70 sin 65
3sin 40 log 4,ln 0.4 0 tan 226 ,cos( 20 ) cos20 sin 70 sin 65
5 5
1tan 410 tan50 1 sin80 log 5 log 22
= > > > = >
5tan 410 sin80 log 2> >
cos27 0.891° = ( )2 cos72 cos18°+ °
化简式子等于 ，代入数据得到答案.
【 详 解 】
，
所以 的近似值为 1.78.
故答案选 B
【点睛】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力
10.已知函数 的导函数 满足 对 恒成立，则下列判断
一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意及选项构造函数 ，然后求导判断出函数 的单调性，再根据
单调性判断出各值的大小，进而得到结论．
【详解】由题意设 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ．
故选 B．
【点睛】当题目条件中有含有导函数的不等式，而所求结论与判断函数值的大小有关时，解
题时一般需要通过构造函数来解决．构造函数时要根据题意及积或商的导数来进行，然后判
断出所构造的函数的单调性，进而可比较函数值的大小．
11.已知定义在 R 上的函数 满足 ，且 的图象关于点 对称，当
2cos27°
( )cos72 cos18 sin18 cos18 2 sin 18 45 2 sin 63 2 cos27= + =°+ ° ° ° ° = =°+ ° °
( )2 cos72 cos18 2 0.891 1.782°+ ° ≈ × =
( )2 cos72 cos18°+ °
( )f x '( )f x ( ) ( 1) '( ) 0f x x f x+ + > x∈R
(0) 0 2 (1)f f< < 0 (0) 2 (1)f f< < 0 2 (1) (0)f f< < 2 (1) 0 (0)f f< < ( ) ( ) ( )1g x x f x= + ( )g x ( ) ( ) ( )1g x x f x= + ( ) ( ) ( ) ( )' 1 ' 0g x f x x f x= + + >
( )g x R
( ) ( ) ( )1 0 1g g g− < < ( ) ( )0 0 2 1f f< < ( )f x ( ) (2 )f x f x= − ( )f x (3,0)
时， ，则 （）
A. B. 4 C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】
由 的图象关于点 对称，则 ，结合 ，
则可得 ，即函数 的周期为 8，即有 ，又 ，
即可得解.
【详解】解：因为 的图象关于点 对称，所以 .又
，所以 ，所以 ，则 ，
即函数 的周期为 8，所以 ，
因为 ， ，
所以 ，
故选 C.
【点睛】本题考查函数的对称性与周期性，考查推理论证能力与抽象概括能力.
12.若函数 在 上有最大值，则 的取值不可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出 的单调性，可得极大值 ，根据单调性可知， 在 上有最大
1 2x 3 ( ) 2 log (4 3)f x x x= + + 1609( )2f =
4− 5−
( )f x (3,0) ( ) (6 ) 0f x f x+ − = ( ) (2 )f x f x= −
( ) ( 8)f x f x= + ( )f x 1609 9( ) ( )2 2f f= 9( ) 52f = −
( )f x (3,0) ( ) (6 ) 0f x f x+ − =
( ) (2 )f x f x= − (2 ) (6 ) 0f x f x− + − = ( ) ( 4)f x f x= − + ( ) ( 8)f x f x= +
( )f x 1609 9 9( ) ( 100 8) ( )2 2 2f f f= + × =
9 9( ) (6 ) 02 2f f+ − = ( )3
9 3( ) ( ) 3 log 9 52 2f f= − = − + = −
1609( ) 52f = −
( ) ( )3 22 0f x x ax a= − < 6,2 3 a a + a 6− 5− 4− 3− ( )f x 3 af ( )f x 6,2 3 a a +
值即为 ，只需令 即可，故可求出 的解 或 ，
则 ，解之即可求得结果.
【详解】令 ，得 ， .
当 ， ；当 或 时， .
从而 在 处取得极大值 .
根据单调性可知， 在 上有最大值即为 ，
由 ，得 ，解得 或 .
在 上有最大值，即 ，
， .
故选：D.
【点睛】本题考查根据函数的最值求参数的范围，要求学生会利用导数研究函数的最值，本
题关键在于得出函数极大值即为最大值的结论，由此可列不等式求解，属中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置.
13.设函数 ，则 ________.
【答案】16
【解析】
【分析】
直接代入数据得到答案.
3
af
6
3 3
a af f
+ ≥ ( ) 3
27
af x = −
3
ax =
6
ax = −
6
3 3 6
a a a+< ≤ − ( ) ( )2 3f x x x a′ = − 1 0x = ( )2 03 ax a= < 03 a x< < ( ) 0f x′ < 3 ax < 0x > ( ) 0f x′ >
( )f x
3
ax =
3
3 27
a af = −
( )f x 6,2 3
a a +
3
af
( ) 3
27
af x = −
2
2 03 3
a ax x − + = 3
ax =
6
ax = −
( )f x 6,2 3
a a +
6
3 3
a af f
+ ≥
∴ 6
3 3 6
a a a+< ≤ − ∴ 4a ≤ − 2lg , 0 ( ) 1 , 04 x x x f x x >
= ( ) 0f x′ >
( )f x ( )1 1f =
2 1 0y + = cosy x= 3 3,4 2
π π −
3 2 1cos 4 2 2
π − = − < − 3 2 1cos 4 2 2 π − = − < − 2 1 0y + = cosy x= 3 3,4 2 π π −
【点睛】本题考查三角函数的图象及函数与方程，考查数形结合的数学方法，
16.张军自主创业，在网上经营一家干果店，销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃，价
格依次为 120 元/千克、80 元/千克、70 元/千克、40 元千克，为增加销量，张军对这四种干
果进行促销:一次购买干果的总价达到 150 元，顾客就少付 x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支
付成功后，张军会得到支付款的 80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各 1 千克，需要支付 180 元，则 x=________；
②在促销活动中，为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则 x 的最大
值为_____.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
①结合题意即可得出；②分段列出式子，求解即可。
【详解】解： ①顾客一次购买松子和腰果各 1 千克，需要支付 元，则 .
②设顾客一次购买干果的总价为 元，当 时，张军每笔订单得到的金额显然不
低于促销前总价的七折.当 时， .即 对 恒成立，
则 ， ，又 ,所以 .
【点睛】本题考查数学在生活中的实际应用，考查数学建模的数学核心素养.属于基础题。
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.设全集 ，集合 ， .
（1）求 ， ， ；
（2）若集合 ， ，求 的取值范围.
10 18.5
120 70 180x+ − = 10x =
M 0 150M< < 150M ≥ 0.8( ) 0.7M x M− ≥ 8M x 150M 8 150x 18.75x 2x∈Z max 18.5x = U = R { }2 8A x x= ≤ < { }0 6B x x= < ≤ A B A B ( ) BA { }2 4C x x a= > − A C⊆ a
【答案】（1） ， ， ；
（2）
【解析】
【分析】
（1）找出集合 A 和集合 B 的公共部分，确定出两集合的交集，找出既属于集合 A 又属于集合
B 的部分，确定出两集合的并集，在全集 R 中找出不属于 A 的部分，求出 A 的补集，找出 A 补
集与集合 B 的公共部分，即可求出两集合的交集；
（2）由集合 A 和 C，以及 A 为 C 的子集，列出关于 a 的不等式，求出不等式的解集即可得到 a
的范围.
【详解】（1）由已知得 ，
，又 ，
则 ；
（2）因 ，所以 ，
解得 ，即 的取值范围是 .
【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，以及根据集合间的包含关系求参数范围，学
生求补集时需注意全集的范围，属基础题.
18.已知 是定义域为 R 的奇函数，当 时， .
（1）求 ；
（2）求 的解析式；
（3）若 在 上的值域为 ，求 的最小值与最大值.
【答案】（1） ；（2） ；（3）最大值为 ；最
小值为
【解析】
【分析】
为
{ }2 6A B x x∩ = ≤ ≤ { }0 8A B x x∪ = < < ( ) { }0 2U A B x x∩ = <
= =
− +
( ) ( )f x f x− = − 0x > ( ) 4 2xf x = − ( )0 0f = ( )f x
( ) 14f x = 2x = 2n = 0x > 0x < ( ) 1f x = − 4m n− ( )f x ( ) ( )1 1 2f f− = − = − ( ) ( )2 1 14 2 12f f+ − = − = 0x < 0x− > ( ) 4 2xf x −− = −
( )f x ( ) ( ) 4 2xf x f x −= − − = − +
( )f x ( )0 0f =
( )
4 2, 0
0, 0
4 2, 0
x
x
x
f x x
x−
− >
= =
− + ( ) 4 2xf x = − 4 2 1x − > −
0x < ( ) 4 12xf x −− += = − 4 3x− = 14 3 x = ( ) 14f x = 2x = 2n = 0m = 4m n− 1 16 14 3 m = 4m n− 1 1 1 3 16 48 × = ( )f x ( )0 0f = ( ) 3sin( )( ,| | )2f x x πω ϕ ω ϕ= + >
( )y f x= (0, (0))f
( ) 0f x < 2(1 )y a x a= − − 1 2 )e( , − +∞ 2(0) 1f a′ = − ( )y f x= (0, (0))f 2(1 )y a x a= − − ( )f x 2ln( , )a a − +∞ 2ln( , )a a −∞ − ( ) 0f x < 2ln 1 0a a +− < 2( ) 1 eaxf x a′ = − 2(0) 1f a′ = − (0)f a= − ( )y f x= (0, (0))f 2(1 )y a a x+ = − 2(1 )y a x a= − − 0a > 2 0a > ( ) 0f x′ = 2ln ax a
= −
令 ，得 .令 ，得 ，
即函数 的减区间为 ，增区间为 ，
所以 ，
因为 恒成立，所以 ，
因为 ，所以 ，
故 a 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了导数 几何意义及利用导数研究不等式恒成立问题，属中档题.
21.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
的图象.
（1）若 为偶函数，求 ；
（2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角恒等变换对 化简变形为 ，
然后可得到图象左移之后的函数 ，利用三角函数偶函数的性质
即可求出 ；
（2）先求出 ，再根据 的范围求出 和
的
( ) 0f x′ > 2ln ax a
< − ( ) 0f x′ < 2ln ax a > −
( )f x 2ln( , )a
a
− +∞ 2ln( , )a
a
−∞ −
max
2ln 2ln 1( ) ( )a af x f a a
+= − = −
( ) 0f x < 2ln 1 0a a +− < 0a > 1
2ea
−>
1
2 )e( ,
− +∞
( ) 4sin cos 6g x x x
π = + 0 2
πϕ ϕ < ≤ ( )f x ( )f x ϕ ( )f x 7, 6 ππ ϕ 6 π=ϕ ,6 2 π πϕ ∈ ( ) 4sin cos 6g x x x π = + ( ) 2sin 2 16g x x π = + − ( ) 2sin 2 2 16f x x ϕπ = + + − ϕ 2 2 2 2 ,2 26 6 2x π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + + ϕ 26 π ϕ+
的范围，从而根据单调性列出关于 的不等式，解之即可求得结果.
【详解】（1）
，
.
又 为偶函数，则 ， ， ；
（2） ， .
， ，
在 是单调函数， ，
【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象变换及性质，以及基本的运算能力和逻辑
推理能能力，综合性较强，属于有一定难度的中档题.
22.已知函数
（1）讨论 f（x）的单调性
（2）若 在 上有解，求 a 的取值范围.
【答案】（1）详见解析；（2） .
【解析】
【分析】
.
22
π ϕ+ ϕ
( ) ( )3 14sin cos sin 3sin 2 1 cos22 2g x x x x x x
= − = − −
2sin 2 16x
π = + −
∴ ( ) 2sin 2 2 16f x x ϕπ = + + −
( )f x ( )26 2 k k Z
π πϕ π+ = + ∈ 0 2
πϕ< ≤ ∴ 6 π=ϕ 7, 6x ππ ∈ ∴ 2 2 2 2 ,2 26 6 2x π π πϕ π ϕ π ϕ + + ∈ + + + + 0 2 πϕ< ≤ ∴ 72 ,6 6 6 π π πϕ + ∈ 32 ,2 2 2 π π πϕ + ∈ ( )f x 7, 6 ππ ∴ 26 2 0 2 π πϕ πϕ + ≥ < ≤ ∴ ,6 2 π πϕ ∈ ( ) e ( )= − ∈Rxf x ax a ( ) 0f x < [ 1, )− +∞ 1, (e, )e ∈ −∞ − +∞ a
(1)对函数 求导，可知 单调递增，所以只需讨论 ，
的情况即可；（2）根据（1）的单调性分情况讨论，使得 ，转化为求解
问题.
【详解】（1）因为 ，所以
当 时， ，则 在 R 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ， 在 上单调递增，在 上单
调递减.
（2）由（1）可知，当 时，则 在 R 上单调递增，因为 在 上有解，
所以 ，则 .
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
①当 时， ， 在 上单调递增，所以 ，则
，不符合题意；
②当 时， ， 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则 .
综上， .
【点睛】导数的综合应用主要是在解答题中考查，多涉及利用导数研究函数零点(方程根)，
利用导数研究不等式恒成立问题，存在型成立问题以及函数的实际应用，综合性强，有一定
的难度．
( ) e ( )= − ∈Rxf x ax a ( ) e′ = −xf x a 0a
0a > min( ) 0f x < min( )f x ( ) e ( )= − ∈Rxf x ax a ( ) e′ = −xf x a 0a ( ) 0f x′ > ( )f x
0a > ( ) 0f x′ = lnx a= ( )f x (ln , )a +∞ ( ,ln )a−∞
0a ( )f x ( ) 0f x < [ 1, )− +∞ 1( 1) 0e − = +
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