大同市 2020 届高三年级第一次联合考试（市直）
数学（理）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合 ,再根据交集的概念进行运算可得.
【详解】因为函数 的值域为 所以 ,
又集合 ,所以 .
故选:D
【点睛】本题考查了交集的运算,函数的值域,解一元二次不等式,属于基础题.
2.欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数
函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非
常重要的地位.特别是当 时， 被认为是数学上最优美的公式，数学家们评价它
是“上帝创造的公式”.根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义把 写出复数的代数形式，再写出对应点坐标．
【详解】由题意 ，对应点为 ，在第二象限．
故选 B．
{ | ln( 1)}A y y x= = − { }2| 4 0B x x= − ≤ A B =
{ | 2}x x ≥ − { |1 2}x x< < { |1 2}x x< ≤ { | 2 2}x x− ≤ ≤ ,A B ln( 1)y x= − R A R= [ 2,2]B = − [ 2,2]A B B∩ = = − cos sinixe x i x= + i x π= 1 0ie π + = 2ie 2ie 2 cos2 sin 2ie i= + (cos2,sin 2)
【点睛】本题考查复数的指数形式与代数形式的转化，考查复数的几何意义．解题关键是依
定义把复数的指数形式化为代数形式．本题考查数学文化，使学生认识到数学美．
3.将函数 的图象向左平移 个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称性，得出结
论．
【详解】将函数 y＝sin（2x ）的图象向左平移 个单位长度后，可得函数 y＝sin（2x
）＝cos2x 的图象．
令 2x＝kπ ，求得 x ，k∈Z．
令 k＝0，可得 x ，故所得图象的一个对称中心为（ ，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数 y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，
属于基础题．
4.如图，在 中， ， 是 上一点，若 ，则实数 的值
为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
sin 2 6y x
π = + 6
π
,012
π
,04
π
,03
π
,02
π
6
π+
6
π
3 6
π π+ +
2
π+
2 4
kπ π= +
4
π=
4
π
ABC∆ 2
3AN NC= P BN 1
3AP t AB AC= + t
2
3
2
5
1
6
3
4
【解析】
【分析】
由题意，可根据向量运算法则得到 （1﹣m） ，从而由向量分解的唯一性
得出关于 t 的方程，求出 t 的值.
【 详 解 】 由 题 意 及 图 ，
，
又， ，所以 ，∴ （1﹣m） ，
又 t ，所以 ，解得 m ，t ，
故选：C．
【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的
关键，本题属于基础题.
5.函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
用偶函数的图象关于 轴对称排除 ,用 排除 ,用 排除 .故只能选 .
【详解】因为 ,
所以函数 为偶函数,图象关于 轴对称,故可以排除 ;
2
5AP mAC= + AB
( ) ( )1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB= + = + = + − = + −
2
3AN NC= 2
5AN AC= 2
5AP mAC= + AB
AP = 1
3AB AC+
1
2 1
5 3
m t
m
− = =
5
6
= 1
6
=
2
|sin |
2
( ) 6
1
x xf x
x
= −
+
y C ( ) 0f π < B ( ) 42f π > D A
2 2
|sin( )| |sin |
2 2
( )( ) 6 6 ( )
1 ( ) 1
x xx xf x f x
x x
− −− = − = − =
+ − +
( )f x y C
因为 ,故排除 ,
因为
由图象知,排除 .
故选:A
【点睛】本题考查了根据函数 性质,辨析函数的图像,排除法,属于中档题.
6.若 与 两个函数的图象有一条与直线 平行的公共切线，则
（）
A. B. C. D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据和曲线 相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.
【 详 解 】 设 在 函 数 处 的 切 点 设 为 （ x,y ） , 根 据 导 数 的 几 何 意 义 得 到
，故切点为（1，0），可求出切线方程为 y=x-1,直线和 也
相切，故 ,
化简得到 ,只需要满足
故答案为：D.
【点睛】求切线方程的方法：
①求曲线在点 P 处的切线，则表明 P 点是切点，只需求出函数在点 P 处的导数，然后利用点
斜式写出切线方程；
②求曲线过点 P 的切线，则 P 点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方
程解出切点坐标，进而写出切线方程.
的
2
|sin |
2
4 2
1( ) 6 1
1 11
f π ππ
π
π π
= − = −
+ +
11 1 1 0
1 1
2 2
< − = − = + B 2 |sin |2 2 ( )2( ) 62 1 ( )2 f π π π π = − = + 4 2 16 16 4 π π − + 4 2 16 16 4 4 4 > −
+
4 46 6 6 2 425
= − > − = − = D
( )f x lnx= ( ) 2g x x ax= + y x=
a =
1 2 3 3 1−
( ) lnf x x=
( ) lnf x x=
1 1 1k xx
= = ⇒ = ( ) 2g x x ax= +
2 1x ax x+ = −
( )2 1 1 0x a x+ − + = ( )21 4 0 1 3.a a∆ = − − = ⇒ = − 或
7.已知定义域为 的奇函数 满足 ，且当 时,
，则 （ ）
A. B. 2 C. -2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据函数 为奇函数以及 ,推出函数 为周期为 3 的周期函数,再
根据周期为 3,得 ,又由奇函数可得 ,然后代表达式可得.
【详解】因为函数 为奇函数,所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,即 ,
所以 的周期为 3,
所以 ,
又 时, ,
所以 ,
所以 .
故选:A
【点睛】本题考查了函数的奇偶性,周期性,属于中档题.
8.已知 , , ,则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
R ( )f x ( ) ( )3 0f x f x− + = 3 ,02x ∈ −
( ) ( )2log 2 7f x x= + ( )2020f =
2log 5− 2log 5
( )f x ( ) ( )3 0f x f x− + = ( )f x
(2020) (1)f f= (1) ( 1)= − −f f
( )f x ( ) ( )f x f x− = −
(3 ) ( 3)f x f x− = − −
( ) (3 ) ( 3)f x f x f x= − − = −
( 3) ( 3 3) ( )f x f x f x+ = + − = ( 3) ( )f x f x+ =
( )f x
(2020) (3 673 1) (1)f f f= × + = ( 1)f= − −
3( ,0)2x∈ − 2( ) log (2 7)f x x= +
2 2( 1) log ( 2 7) log 5f − = − + =
2(2020) log 5f = −
2a = 5 5b = 7 7c =
a b c> > a c b> > b a c> > c b a> >
根据幂函数的单调性即可求出．
【详解】a ，b ，c ，
则 a70＝235＝（25）7＝327＝（27）5＝1285，b70＝514＝（52）7＝257
c70＝710＝（72）5＝495，∴a>c，a>b，
又 b70＝514＝（57）2＝（78125）2
c70＝710＝（75）2＝（16807）2，∴b>c，
∴a＞b＞c，
故选：A．
【点睛】本题考查了不等式的大小比较，掌握幂函数的单调性是关键，属于基础题
9.已知正实数 满足 ，则 的最小值是（ ）
A. 2 B. 4 C. 9 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由 m+n （m+n）（ ），展开后利用基本不等式即可求解．
【详解】正实数 m，m 满足 4，
则 m+n （m+n）（ ） （5 ） ，
当且仅当 且 4，即 m ，n 时取得最小值 ，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
10.从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄
球的概率分别为 ， ， ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记
下的颜色中有红有白但没有黄的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
解：满足题意时，取到 2 红 1 白或者 2 白 1 红，据此可得，记下的颜色中有红有白但没有黄
2= 5 5= 7 7=
,m n 1 4 4m n
+ = m n+
9
4
1
4
= 1 4
m n
+
1 4
m n
+ =
1
4
= 1 4
m n
+ 1
4
= 4n m
m n
+ + ( )1 95 44 4
≥ + =
4n m
m n
= 1 4
m n
+ = 3
4
= 3
2
= 9
4
1
2
1
3
1
6
5
36
1
3
5
12
1
2
的概率为： .
本题选择 C 选项.
11.已知 是双曲线 的左焦点， 是双曲线的右顶点，过点 且垂
直于 轴的直线与双曲线交于 两点，若 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 的
取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题中 为等腰三角形，可知只需 即可，也就是 ，
即 ,由 ,转化可得 ．故本题答案选 A.
考点：双曲线的几何性质与标准方程．
12.已知定义在 上的可导函数 ，对于任意实数 都有 成立，且当
时，都有 成立，若 ，则实数 的取
值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
令 g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，可判断出函数 g（x）为 R 上偶函数．由 f′（x）＜2x+1 成立，
可得 g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，可得函数 g（x）的单调性．不等式 f（2m）＜f
2 2
2 2
3 3
1 1 1 1 5
2 3 2 3 12p C C = × × + × × =
F
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > E F
x ,A B ABE∆ e
(1,2) (1, 2) (1,3) (1, 3)
ABE∆ 045AEF∠ < AF EF< 2b a ca < + 2 2 2,ce a b ca = + = 2 3 0 1 2e e e− − < ⇒ < < R ( )f x x ( ) ( ) 2f x f x x− = − ( ,0]x∈ −∞ '( ) 2 1f x x< + (2 ) ( 1) 3 ( 1)f m f m m m< − + + m 11, 3 − ( 1,0)− ( , 1)−∞ − 1 ,3 − +∞
（m﹣1）+3m（m+1），即 g（2m）＜g（m﹣1），因此 g（|2m|）＜g（|m﹣1|），利用单调性即
可得出．
【详解】令 g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，
则 g（﹣x）﹣g（x）＝f（﹣x）﹣x2+x﹣f（x）+x2+x＝0，
∴g（﹣x）＝g（x），∴函数 g（x）为 R 上的偶函数．
∵当 x∈（﹣∞，0]时，都有 f'（x）＜2x+1 成立，
∴g′（x）＝f′（x）﹣2x﹣1＜0，
∴函数 g（x）在 x∈（﹣∞，0]上单调递减，在[0，+∞）上单调递增．
f（2m）＜f（m﹣1）+3m（m+1），即 f（2m）﹣4m2﹣2m＜f（m﹣1）﹣（m﹣1）2﹣（m﹣1），
∴g（2m）＜g（m﹣1），因此 g（|2m|）＜g（|m﹣1|），
∴|2m|＜|m﹣1|，
化为：3m2+2m﹣1＜0，
解得 ．
故选：A．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、不等式的解法、构造法，
考查了推理能力与计算能力，属于难题．解题关键是构造函数 g（x）＝f（x）﹣x2﹣x，利用
单调性解不等式.
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13.命题 , ，则 是_____；
【答案】
【解析】
【分析】
由特称命题的否定直接写出结论即可.
【详解】由题命题 p 否定为：
故答案为
【点睛】本题考查特称命题，熟记特称与全称命题的否定是关键，是基础题，易错点是改为
14.已知两个单位向量 满足 ，则 的夹角为__________．
的
11 m 3
− ＜ ＜
0: (0, )p x∃ ∈ +∞ 2
0 0 2x x≤ + p¬
2(0, ), 2x x x∀ ∈ +∞ > +
( ) 2x 0, , x x 2∞∀ ∈ + > +
( ) 2x 0, , x x 2∞∀ ∈ + > +
x 0.∞∈− ，
,a b | | 3 | |a b b+ = ,a b
【答案】
【解析】
【分析】
将已知等式两边平方后,利用向量的夹角公式可解得.
【详解】因为 , 是单位向量,所以 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 .
故答案为:
【点睛】本题考查了向量的数量积和向量夹角公式,属于基础题.
15.设数列 的前 项和 ， ，则 的通项公式为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用 时, 变形,然后构造等比数列 ,可求得.
【详解】当 时, ,所以 ,
当 时, ,
所以 ,
3
π
a b | | | | 1a b= =
| | 3 | |a b b+ =
2 2( ) 3| |a b b+ =
2 2 22 3| |a b a b b+ + ⋅ =
2 2 2| | | | 2 | || | cos , 3| |a b a b a b b+ + < >=
| | | | 1a b= =
3 1 1 1cos , 2 1 1 2a b
− −< >= =× ×
, [0, ]a b π< >∈
, 3a b
π< >=
3
π
{ }na n 14 1 223 3 3
n
n nS a += − × + 1,2,3,n = { }na
na =
4 2n n−
2n ≥ 1n n na S S −= − { 1}2
n
n
a +
1n = 2
1 1
4 1 223 3 3S a= − × + 1 2a =
2n ≥ 1 1
4 1 223 3 3
n
n nS a− −= − × +
1
1 1
4 1 2 4 1 22 23 3 3 3 3 3
n n
n n n n na S S a a+
− −= − = − × + − + × −
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 时, ,且 ,
所以数列 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,
所以 ,
所以 .
故答案为:
【点睛】本题考查了利用数列的递推关系式求数列的通项公式,构造法,属于中档题.
16.已知函数 若 的两个零点分别为 ，则
__________．
【答案】
【解析】
由 ，
所以令 得： ，
所以直线 和曲线 的交点 横坐标 ，
直线 和曲线 的交点 横坐标为 ，
如图，两曲线关于 对称，直线 和 关于 对称；
所以 ；
所以 。
14 2n
n na a −= +
14 12 2
n n
n n
a a −= +
1
12 12 2
n n
n n
a a −
−= ⋅ +
1
11 2( 1)2 2
n n
n n
a a −
−+ = +
2n = 2 1
2 11 2( 1)2 2
a a+ = + 1
1
21 1 2 02 2
a + = + = ≠
{ 1}2
n
n
a +
11 2 22
nn
n
a −+ = ×
4 2n n
na = −
4 2n n−
4log 3( 0),
( ) { 1( ) 3( 0),4
x
x x x
f x
x x
+ − >
=
− + ≤ ( )f x 1 2,x x 1 2x x− =
3
4 1
4
log logx x= −
( ) 0f x = 1
4
13 log , 3 4
x
x x x − = + =
3y x= − 1
4
logy x= C 1x
3y x= + 1
4
x
y = D 2x
y x= 3y x= − 3y x= + y x=
,CD AD CD CB⊥ ⊥
1 2 32
ABx x− = =
考点：函数的零点问题。
点睛：本题考查了函数的零点问题，其中解答中涉及知识函数与对数函数的图象与性质，函
数零点的概念，两条直线的位置关系等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答
问题的能力，本题的解答中正确作出函数的图象是解答问题的关键。
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：60 分
17.在 中， 分别为角 的对边，
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
（ 1 ） 由 得
，从而计算出 .
（2）由正弦定理将 表示成 ，再化简整理得答案。
【详解】解：（1） ，
则 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以
（2）由 ，得
，其中 .
ABC∆ , ,a b c , ,A B C
( ) ( ) 2cos cos cos sin sinC B C B A C B+ − = −
A
3a = 2b c+
60A = ° 2 21
2 2cos( )cos( ) cos sin sin cos ( ) sin sinC B C B A C B C B C B+ − = − = + −
cos 2sin sin sin sinA C B C B− ⋅ = − A
2b c+ 2 2 3(sin 2sin )b c B C+ = +
2 2cos( )cos( ) cos sin sin cos ( ) sin sinC B C B A C B C B C B+ − = − = + −
cos( )[cos( ) cos( )] sin sinC B C B C B C B+ − − + = −
cos 2sin sin sin sinA C B C B− ⋅ = −
sin sin 0C B ≠ 1cos 2A =
0 A π< < 60A = ° 2 3sin sin sin a b c A B C = = = 2 2 3(sin 2sin )b c B C+ = + ( )2 3 sin 2sin 120 2 3(2sin 3 cos )B B B B= + °− = + 2 21sin( )B ϕ= + 3tan , 0 ,2 2 πϕ ϕ = ∈
由 ，得 ，∴ 的最大值为 1，
∴ 的最大值为 .
【点睛】本题主要考查正余弦定理和解三角形问题，解题的关键是掌握基本的三角公式，属
于一般题。
18.如图，四棱锥 ， ， ， ，
为等边三角形，平面 平面 ， 为 中点.
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明 及 ，即可证明： 平面 ，问题得证。
（2）建立空间直角坐标系，由（1）得 为平面 的法向量，求得平面
的法向量为 ，利用空间向量夹角的数量积表示即可求得二面角 的余
弦值.
【详解】（1）证明：因为 ， ，
所以 ，
又平面 平面 ，且平面 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 ，
20 , 3B
π ∈
70, 6B
πϕ + ∈ sin( )B ϕ+
2b c+ 2 21
P ABCD− / /AB CD 90BCD∠ = ° 2 2 4AB BC CD= = =
PAB∆ PAB ⊥ ABCD Q PB
AQ ⊥ PBC
B PC D− −
1
4
−
BC AQ⊥ PB AQ⊥ AQ ⊥ PBC
( )3,0, 3AQ = − PBC PCD
( )0, 3,1n = B PC D− −
/ /AB CD 90BCD∠ = °
AB BC⊥
PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB=
BC ⊥ PAB
AQ ⊂ PAB BC AQ⊥
因为 为 中点，且 为等边三角形，所以 .
又 ，所以 平面 .
（2）取 中点为 ，连接 ，因为 为等边三角形，所以 ，
因为平面 平面 ，所以 平面 ，
所以 ，由 ， ，
可知 ，所以 .
以 中点 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系 .
所以 ， ， ， ， ，
所以 ， ，
由（1）知， 为平面 的法向量，
因为 为 的中点，
所以 ，
所以 ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，得 ，
取 ，则 .
Q PB PAB∆ PB AQ⊥
PB BC B∩ = AQ ⊥ PBC
AB O PO PAB∆ PO AB⊥
PAB ⊥ ABCD PO ⊥ ABCD
PO OD⊥ 2 2 4AB BC CD= = = 90ABC∠ = °
/ /OD BC ⊥OD AB
AB O OA OD OP x y z
O xyz−
( )2,0,0A ( )0,2,0D ( )2,2,0C − ( )0,0,2 3P ( )2,0,0B −
( )0, 2,2 3DP = − ( )2,0,0CD =
AQ PBC
Q PB
( )1,0, 3Q −
( )3,0, 3AQ = −
PCD ( ), ,n x y z=
0
0
n CD
n DP
⋅ =
⋅ =
2 0
2 2 3 0
x
y z
=− + =
1z = ( )0, 3,1n =
所以 .
因为二面角 为钝角，
所以，二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明，考查转化能力及空间思维能力，还考查了利用空
间求二面角的余弦值，考查计算能力，属于中档题。
19.新高考改革后，国家只统一考试数学和语文，英语学科改为参加等级考试，每年考两次，
分别放在每个学年的上、下学期，物理、化学、生物、地理、历史、政治这六科则以该省的
省会考成绩为准.考生从中选择三科成绩，参加大学相关院系的录取.
（1）若英语等级考试成绩有一次为优，即可达到某 211 院校的录取要求.假设某个学生参加
每次等级考试事件是独立的，且该生英语等级考试成绩为优的概率都是 ，求该生在高二上
学期的英语等级考试成绩才为优的概率；
（2）据预测，要想报考该 211 院校的相关院系，省会考的成绩至少在 90 分以上，才有可能
被该校录取.假设该生在省会考六科的成绩，考到 90 分以上概率都是 ，设该生在省会考时
考到 90 分以上的科目数为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】(1) (2) 分布列见解析；数学期望 2
【解析】
【分析】
(1)先用对立事件求得该生英语等级考试成绩不为优的概率为 ,再根据独立事件的概
率公式可得.
(2)利用二项分布的概率公式可得分布列,利用期望公式计算可得.
【详解】（1）记该生“英语等级考试成绩为优”为事件 ，概率为 ，则该生“英语
等级考试成绩不为优”为事件 ，概率为 ，则该生在高二上学期的英语等级
考试成绩才为优的概率为 .
（2）解法一 由题意知 的所有可能取值为 0，1，2，3，4，5，6.
2
3cos ,
3 3 3 1
AQ nAQ n
AQ n
⋅= =
+ ⋅ +
1
4
=
B PC D− −
B PC D− − 1
4
−
1
3
1
3
ε ε
4
27
1 21 3 3
− =
A ( ) 1
3P A =
A
1 2( ) 1 3 3P A = − =
22 1 4( ) ( ) ( ) 3 3 27P P A P A P A = = =
ε
则 ，
，
，
，
，
，
.
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
.
解法二 依题意得 ，
所以 ， .
所以 的分布列为
0 1 2 3 4 5 6
0 6 6
0
6
1 2 2 64( 0) 3 3 3 729P Cε = = = =
1 5
1
6
1 2 192( 1) C 3 3 729P ε = = =
2 4
2
6
1 2 240( 2) C 3 3 729P ε = = =
3 3
3
6
1 2 160( 3) C 3 3 729P ε = = =
4 2
4
6
1 2 60( 4) C 3 3 729P ε = = =
5 1
5
6
1 2 12( 5) C 3 3 729P ε = = =
6 0
6
6
1 2 1( 6) 3 3 729P Cε = = =
ε
ε
P
64
729
192
729
240
729
160
729
60
729
12
729
1
729
64 192 240 160 60 12 1( ) 0 1 2 3 4 5 6 2729 729 729 729 729 729 729E ε = × + × + × + × + × + × + × =
1~ 6, 3Bε
6
6
1 2( ) 3 3
k k
kP k Cε
− = = × ×
0,1,2,3,4,5,6k =
ε
ε
.
【点睛】本题考查了对立事件的概率公式,相互独立事件的概率公式,二项分布的分布列和期
望公式,属于中档题.
20.已知椭圆 中心在原点，焦点在坐标轴上，直线 与椭圆 在第一象限内的交点是
，点 在 轴上的射影恰好是椭圆 的右焦点 ，椭圆 另一个焦点是 ，且
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 过点 ，且与椭圆 交于 两点，求 的内切圆面积的最大值.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用将 点的横坐标 代入直线 ，求得 点的坐标，代入 的坐标
运算，求得 的值，也即求得 点的坐标，将 的坐标代入椭圆，结合 ，解方
程组求得 的值，进而求得椭圆方程.（2）设出直线 的方程，联立直线的方程和椭圆的
方程并写出根与系数关系，由此求得 的面积，利用导数求得面积的最大值，并由三角
形与内切圆有关的面积公式，求得内切圆的半径的最大值.
【详解】（1）设椭圆方程为 ，点 在直线 上，且点 在
轴上的射影恰好是椭圆 的右焦点 ，则点 .
P
64
729
192
729
240
729
160
729
60
729
12
729
1
729
1( ) 6 23E ε = × =
C 3
2y x= C
M M x C 2F C 1F
1 2
9
4MF MF =
C
l ( 1,0)− C ,P Q 2F PQ∆
2 2
14 3
x y+ = 9
16
π
M c 3
2y x= M 1 2MF MF⋅
c M M 2 2 2a b c= +
2 2,a b l
2F PQ∆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > M 3
2y x= M x
C ( )2 ,0F c 3, 2
cM c
∵
∴
又
解得
∴椭圆方程为
（2）由（1）知， ，过点 的直线与椭圆 交于 两点，
则 的周长为 ，又 （ 为三角形内切圆半径），
∴当 的面积最大时，其内切圆面积最大.
设直线 的方程为： ， ，则
消去 得 ，
∴
∴
令 ，则 ，∴
令 ，
当 时， ，
在 上单调递增，
1 2
3 3 9· 2 , · 0,2 2 4MF MF c c c = − − − =
1c =
2 2
2 2
1 9 14
1
a b
a b
+ =
= +
2
2
4
3
a
b
=
=
2 2
14 3
x y+ =
( )1 1,0F − ( )1 1,0F − C ,P Q
2F PQ∆ 4 8a =
2
1·4 ·2F PQS a r∆ = r
2F PQ∆
l 1x ky= − ( ) ( )1 1 2 2, , ,P x y Q x y 2 2
1
14 3
x ky
x y
= − + =
x ( )2 24 3 6 9 0k y ky+ − − =
1 2 2
1 2 2
6
3 4
9
3 4
ky y k
y y k
+ = +
= − +
2
2
1 2 1 2 2
1 12 1· ·2 3 4F PQ
kS F F y y k∆
+= − = +
2 1k t+ = 1t ≥ 2
12
13
F PQS
t t
∆ =
+
( ) 13f t t t
= + ( ) 2
1' 3f t t
= −
[ )1,t ∈ +∞ ( )' 0f t >
( ) 13f t t t
= + [ )1,+∞
∴ ，当 时取等号，
即当 时， 的面积最大值为 3，
结合 ，得 的最大值为 ，
∴内切圆面积的最大值为 .
【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求解和椭圆的几何性质，考查直线和椭圆相交，所
形成的三角形有关最值的计算，属于中档题.
21.设函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）若函数 存在极值，对于任意的 ，存在正实数 ，使得
，试判断 与 的大小关系并给出证明.
【答案】（Ⅰ）当 时， 在 上单调递增.当 时， 在 上单调
递增，在 上单调递减.（Ⅱ）详见解析
【解析】
【试题分析】（Ⅰ）依据题设条件先求导，再分类讨论探求；（Ⅱ）借助题设条件，运用等价
转化与化归的数学思想进行转化，然后再运用导数的知识分析探求：
解（Ⅰ） 的定义域为 ， .
当 时，则 ，所以 在 上单调递增.
当 时，则由 得， ， （舍去）.当 时， ，当
时， .所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
综上所述，当 时， 在 上单调递增.
2
12 313
F PQS
t t
∆ = ≤
+ 1t =
0k = 2F PQ∆
2
1·4 · 32F PQS a r∆ = = r 3
4
9
16
π
( ) ( ) ( )214ln 42f x x ax a x a R= − + − ∈
( )f x
( )f x 1 20 x x＜ ＜ 0x
( ) ( ) ( ) ( )1 2 0 1 2f x f x f x x x′− = ⋅ − 1 2x x+ 02x
0a ≤ ( )f x ( )0,+¥ 0a＞ ( )f x 40, a
4 ,a
+∞
( )f x ( )0,+∞ ( ) ( ) ( )( )1 44 4 x axf x ax ax x
+ −= − + − = −′
0a ≤ ( ) 0f x′ ＞ ( )f x ( )0,+∞
0a＞ ( ) 0f x′ = 4x a
= 1x = − 40,x a
∈
( ) 0f x′ ＞
4 ,x a
∈ +∞
( ) 0f x ＜′ ( )f x 40, a
4 ,a
+∞
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 时， 存在极值.
.
由题设得 .
又 ，所以
.设 ，则 ，则 .
令 ，则 ，所以 上单调递增，
所以 ，故 .
又因为 ，因此 ，即 .
又由 知 在 上单调递减，所以 ，即
.
点睛：本题以含参数 的函数解析式为背景，精心设置了两道综合运用导数知识的问题。在求
解第一问时，直接运用导数的求导法则与分类整合思想，借助导数与函数的单调性之间的关
系求出单调性与其单调区间；第二问的求解过程中先将问题进行等价化归与转化为计算
在
0a＞ ( )f x 40, a
4 ,a
+∞
0a＞ ( )f x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
14 ln ln 4 4 ln ln2f x f x x x a x x a x x x x− = − − − + − − = −
( )( ) ( )( )1 2 1 2 1 2
1 42 a x x x x a x x− + − + − −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2
0 1 2
1 2 1 2
4 ln ln 1 42
f x f x x xf x a x x ax x x x
− −= = +′ − + −− −
1 2 1 2
1 2
8 42 2
x x x xf a ax x
+ + = − ⋅ + − +
′ ( ) 1 2
0 2
x xf x f
+ − =′
′
( ) ( ) ( )1 2 2 1
2 1
1 2 1 2 2 1 2 1 2 1
4 ln ln 28 4 4ln lnx x x xx xx x x x x x x x x x
− −− = − − = − + − + −
2
12
21
1
2 1
ln
1
x
xx
xx
x
− − +
2
1
xt x
= 1t＞ ( ) ( )
2
12
21
1
2 1 2 1ln ln 111
x
txx t txx t
x
− − − = − ++
＞
( ) ( ) ( )2 1ln 11
tg t t tt
−= − + ＞ ( ) ( )
( )
2
2
1 0
1
tg t
t t +
′ −= ＞ ( )g t ( )1,+∞
( ) ( )1 0g t g =＞
2
12
21
1
2 1
ln 0
1
x
xx
xx
x
＞
− −
+
2 1 0x x− ＞ ( ) 1 2
0 02
x xf x f
+ −
′ ′ ＞ ( )1 2
02
x xf f x
+
′ ′
＜
( ) ( )4 4f x ax ax
= − + −′ ( )f x′ ( )0,+∞ 1 2
02
x x x＞+
1 2 02x x x+ ＞
a
的值的符号与单调性问题。然后再运用换元法构造函数
，运用导数的有关知识分析推证，最后使得问题获解。
（二）选考题：共 10 分.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一
题记分.
22.在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐
标原点 为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）设点 分别为曲线 与曲线 上 任意一点，求 的最大值；
（2）设直线 （ 为参数）与曲线 交于 两点，且 ，求直线
的普通方程.
【答案】(1)7；(2) 或
【解析】
【分析】
(1)将曲线 和 都化成普通方程后,可知 的最大值是圆心距加上两个圆的半径;
(2) 将直线 参数方程代入 中后,利用韦达定理以及参数的几何意义可得弦
长 ,代入已知 ,可解得斜率,再由点斜式可得直线 的方程.
【详解】解：（1）由 得 ，所以曲
线 的普通方程为 ，圆心 ，半径 .
曲线 的直角坐标方程为 ，圆心 ，半径 .
∴ .
（2）将直线 的参数方程代入 中，得 ，
整理得 ，
的
的
( ) 1 2
0 2
x xf x f
+ − =′
′
( ) ( ) ( )2 1ln 11
tg t t tt
−= − + ＞
xOy 1C 3 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
ϕ
O x 2C 2ρ =
,M N 1C 2C | |MN
1 cos: sin
x tl y t
α
α
= − +
= t 1C ,P Q | | 1PQ =
l
15 7 15 0x y− + = 15 7 15 0x y+ + =
1C 2C | |MN
l 2 2( 3) 4x y− + =
| |PQ | | 1PQ = l
3 2cos
2sin
x
y
ϕ
ϕ
= +
=
2 2 2 2( 3) (2cos ) (2sin ) 4x y ϕ ϕ− + = + =
1C 2 2( 3) 4x y− + = ( )1 3,0C 1=2r
2C 2 2 4x y+ = ( )2 0,0C 2 2r =
max 1 2 1 2| | | | 3 2 2 7MN C C r r= + + = + + =
l 2 2( 3) 4x y− + = 2 2( cos 4) (tsin ) 4t α α− + =
2 8 cos 12 0t t α− + =
∴ .
设 两点对应的参数分别为 ，则 ， .
由 及参数 的几何意义，
得 ，
解得 ，满足 ，所以 ,
∴直线 的斜率为 或 ,
由点斜式得 或 ,
∴直线 的方程为 或 .
【点睛】本题考查了参数方程和极坐标方程化直角坐标方程,直线参数方程的几何意义,直线
的点斜式方程,属于中档题.
23.已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的解集包含 ，求实数 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)分 3 段解不等式后,结果求并集可得;
(2)转化为 在 和 上都恒成立可得.
【详解】解：（1）当 时，
当 时，由 ，得 ；
264cos 48 0α∆ = − >
,P Q 1 2,t t 1 2 8cost t α+ = 1 2 12t t =
| | 1PQ = t
( )2 2
1 2 1 2 1 24 (8cos ) 4 12 1t t t t t t α− = + − = − × =
7cos 8
α = ± > 0∆ 2sin 1 cosα α= ± − 15
8
= ±
l 15tan 7
α = 15tan 7
α = −
150 ( 1)7y x− = + 150 ( 1)7y x− = − +
l 15 7 15 0x y− + = 15 7 15 0x y+ + =
( ) | | | 1|f x x a x= + + −
3a = ( ) 9f x x≥ +
( ) | 4 |f x x≤ − [ ]0,2 a
11, [7, )3
−∞ − ∪ +∞
[ ]3, 1− −
( ) | 4 |f x x≤ − [0,1] (1,2]
3a =
2 2, 3
( ) 3 1 4, 3 1
2 2, 1
x x
f x x x x
x x
− − ≤ −
= + + − = − <
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