2017 级绵阳—诊热身试题数学（理科）
第 I 卷（选择题满分 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有
一个是符合题目要求的）
1.设集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合 N,再求 得解.
【详解】由题得 N={x|x＜1}，所以 .
故选：D
【点睛】本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和
分析推理能力.
2.若 ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接利用二倍角的余弦公式求解.
【详解】由题得 .
故选：A
【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分
析推理能力.
3.已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】A
{ }1,0,1M = − { }1 0N x x= − < M N = { }0 { }1 { }0,1 { }1,0− M N∩ ={-1,0}M N 1sin 3 α = cos2 =α 7 9 2 9 7 9 − 2 9 − 2 1 7cos2 1 2sin 1 2 9 9 α α= − = − ⋅ = { }na n nS 7 28S = 4a = 4 7 8 14
【解析】
【分析】
由等差数列的性质即可求解
【详解】 ,故
故选：A
【点睛】本题考查等差数列求和及基本性质，熟记求和公式及性质，准确计算是关键，是基
础题
4.设 均为不等于 的正实数，则“ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
首 先 通 过 对 数 运 算 可 判 断 出 时 ， ， 得 到 充 分 条 件 成 立 ； 当
时，可根据对数运算求出 或 或 ，得到必要条
件不成立，从而可得结果.
【详解】由 ，可得： ，则 ，即
可知“ ”是“ ”的充分条件
由 可知 ，则
或
或 或
可知“ ”是“ ”的不必要条件
综上所述：“ ”是“ ”的充分不必要条件
本题正确选项：
( )1 7
7 4
7 7 282
a aS a
+= = = 4 4a =
,a b 1 1a b> > log 2 log 2b a
>
1a b> > log 2 log 2b a
>
log 2 log 2b a
> 1 0b a> > > 1a b> > 0 1b a< < < 1a b> > lg lg 0a b> > lg 2 lg 2
lg lga b
< log 2 log 2b a >
1a b> > log 2 log 2b a
>
log 2 log 2b a
> lg 2 lg 2
lg lga b
< 1 1 lg lg 0lg lg lg lg b a a b a b −− = < lg lg 0 lg lg 0 b a a b − >∴ > > 1a b> > 0 1b a< < < 1a b> > log 2 log 2b a
>
1a b> > log 2 log 2b a
>
A
【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，关键是能够通过对数运算来进行判断.
5.函数 在区间 上至少存在 个不同的零点，则正整数 的最小
值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
【详解】函数 f（x）＝sin（ωx ）在区间[0，2π]上至少存在 5 个不同的零点，
,根据题意得到只需要 .最小整数为 3.
故选：B．
【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主
要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
6.已知函数 ，若函数 是奇函数，且曲线 在点
的切线与直线 垂直，则 =( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据函数是奇函数求出 的值，再根据切线与直线垂直得到 b 的值,即得 +b 的值.
【详解】因为函数 f(x)是奇函数，所以 f（-x）=-f(x),所以 =5.
由题得 ，
因为切线与直线 垂直，所以 b+31=-6,
所以 b=-37.
所以 +b=-32.
故选：A
( )=sin 3f x x
πω −
[ ]0,2π 5 ω
2 3 4 5
3
π−
,23 3 3x
π π πω ωπ − ∈ − −
132 43 6
ππω π ω− ≥ ⇒ ≥
3 2( ) ( 5) ( 4)f x x a x b x= + − + + ( )f x ( )y f x=
(3, (3))f 1 36y x= + +a b
32− 20− 25 42
a a
a
( ) ( )23 4, 3 31f x x b k f b′ ′= + + ∴ = = +
1 36y x= +
a
【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理
解掌握水平和分析推理能力.
7.设实数 满足 ，则 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
画出不等式表示的可行域，利用 z= 的几何意义求解即可
【详解】由题画出可行域，如图阴影所示：
当 z= ,平移到过 A(-2,0)时，z 最小，为-15
故选：B
【点睛】本题考查线性规格，熟练作图准确计算是关键，是基础题
8.已知定义在 上 的函数 与函数 的图像有唯一公共点，
则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
原 题 等 价 为 有 一 解 ， 即 ， 令
,确定其函数性质即可求解
【详解】 与函数 的图像有唯一公共点，
,x y 3 2 6x y+ ≤ 7 3 1x y+ −
13− 15− 17− 19−
7 3 1x y+ −
7 3 1x y+ −
R ( ) 22 xf x a −= − ( ) 22 2xg x x−= + −
a
1− 0 1 2
2 22 2 2x xa x− −− = + − 2 22 2 2x xa x− −= + + −
( ) 2 22 2 2x xg x x− −= + + −
( ) 22 xf x a −= − ( ) 22 2xg x x−= + −
故 有唯一解，即 有唯一解
令 ，所以 g（x）关于 x=2 对称，故 a=g(2)=2
故选：D
【点睛】本题考查函数性质及方程的根，准确构造函数判断其对称性是本题关键，是基础题
9.已知数列 的前 项和为 ， ，若存在两项 ，使得 ，则
的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，可得 两式相减可得公比的值，由 可得首项
的值，结合 可得 ， ，展开后利用基本不等式
可得 时取得最小值 ，结合 为整数 ，检验即可得结果.
【详解】因为 ，所以 .
两式相减化简可得 ，
公比 ，
由 可得 ，
，
则 ，解得 ，
，
2 22 2 2x xa x− −− = + − 2 22 2 2x xa x− −= + + −
( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 2x xg x x g x g x− −= + + − − = +，
{ }na n nS 2 2n nS a= − ,m na a 64m na a =
1 9
m n
+
14
5
11
4
8
3
10
3
2 2n nS a= − 1 12 2n nS a− −= − 1 1 12 2S a a= − =
64m na a = 6m n+ = ( )1 9 1 1 9
6 m nm n m n
+ = + +
3
2
9
2
m
n
=
=
8
3
,m n 6m n+ =
2 2n nS a= − 1 12 2n nS a− −= −
12n na a −=
1
2n
n
aq a −
= =
1 1 12 2S a a= − = 1 2a =
( )( )1 1
1 164, 64m n
m na a a q a q− −= ∴ =
24 2 64m n+ −× = 6m n+ =
( )1 9 1 1 9 1 9 1 9 810 10 26 6 6 3
n m n mm nm n m n m n m n
∴ + = + + = + + ≥ + ⋅ =
当且仅当 时取等号，此时 ，解得 ，
取整数， 均值不等式等号条件取不到，则 ，
验证可得，当 时， 取最小值为 ，故选 B.
【点睛】本题主要考查等比数列 定义与通项公式的应用以及利用基本不等式求最值，属于
难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一
正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定
和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在
定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.
10.设函数 有且仅有一个零点，则实数 的值为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
对 实行参变分离，对新函数的图象求导，研究其导函数的正负，得新函数的单调性，从而求
出新函数的最趋势和最值，求得 的范围.
【详解】令 因为 所以
令 得
时， 所以 在 上单调递增；
时， 所以 在 上单调递减；
所以 在 处取得最大值,又
要使 有且仅有一个零点，
的
9n m
m n
=
9
6
n m
m n
m n
=
+ =
3
2
9
2
m
n
=
=
,m n ∴ 1 9 8
3m n
+ >
2, 4m n= = 1 9
m n
+ 11
4
≥ ≤
[ ]( ) 2sin , 0,xf x ae x x π= − ∈ a
42e
π
42e
π−
22e
π
22e
π−
a
a
( ) 0,f x = 0xe > ( )2sin .x
xa g xe
= =
( ) ( )' 2 cos sin .x
x xg x e
−= ( )' 0,g x = .4x
π=
0, 4x
π ∈
( )' 0,g x > ( )g x 0, 4
π
,4x
π π ∈
( )' 0,g x < ( )g x ,4 π π ( )g x 4x π= ( ) ( )0 0g g π= = [ ]( ) 2sin , 0,xf x ae x x π= − ∈
则 的值为 .
故选：B
【点睛】本题关键在于对 实行参变分离，转化为求新函数的图象趋势和最值，属于难度题.
11.定义在 上的函数 满足：当 时， ；当 时，
.记函数 的极大值点从小到大依次记为 并记相应的
极大值为 则 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
确定函数极大值点及极大值求得 . ，再求和即可
【详解】由题当当 时， 极大值点为 1，极大值为 1
当 时， .则极大值点形成首项为 1 公差为 2 的等差数列，极大值形成
首项为 1 公比为 3 的等比数列
故 . ,故
设 S=
3S=
两式相减得-2S=1+2( )-
∴S=
故选：A
【点睛】本题考查数列与函数综合,错位相减求和,确定 及 的通项公式是关键,考查计算
能力,是中档题
a 42e
π−
a
[ )0, ∞+ ( )f x 0 2x≤ < ( ) 22f x x x= − 2x ≥ ( ) ( )3 2f x f x= − ( )f x 1 2, , , , ,na a a 1 2, , , , ,nb b b 1 1 2 2 20 20a b a b a b+ + + 2019 3 1× + 1919 3 1× + 1920 3 1× + 2020 3 1× + 2 1na n= − 1, 3n nb −= 0 x 2≤ < ( ) ( )22f x 2x x 1 1,x= − = − − + x 2≥ ( ) ( )f x 3f x 2= − 2 1na n= − 1, 3n nb −= ( ) 12 1 3n n na b n −= − 1 2 19 1 1 2 2 20 20 1 1 3 3 5 3 39 3a b a b a b + + + = + + + + 1 2 201 3 3 3 39 3+ + + 1 2 193 3 3+ + + ( )19 20 20 203 1 3 3 1 2 39 3 2 38 31 3 − = + × − = − −− 2019 3 1× + na nb
12.已知函数 ，若存在实数 ，满足
，且 ，则 的取值范围是
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数 的图象，由图像可确定 ， ， ，由此可将所求式
子转化为 ，根据二次函数单调性求得取值范围．
【详解】函数的图象如图所示：
又
设
2log ,0 2
( ) sin ,2 104
x x
f x x x
π
< < = ≤ ≤ 1 2 3 4x x x x, ， , 1 2 3 4x x x x＜ ＜ ＜ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4f x f x f x f x= = = ( ) ( )3 4 1 2 2 2x x x x − − ⋅ ⋅ ( )0,12 ( )4,16 ( )9,21 ( )15,25 ( )f x 1 2 1=x x 3 4 12x x+ = 32 4x< < 2 3 312 20x x− + − ( ) ( )1 2f x f x= 2 1 2 2log logx x∴− = 2 1 2log 0x x∴ = 1 2 1x x∴ = ( ) ( )3 4f x f x= 3 4 2 6 12x x∴ + = × = 4 312x x∴ = − 3 42 10x x< < < ( ) ( ) ( )3 4 2 3 4 3 4 3 4 3 3 1 2 2 2 2 4 20 12 20x x x x x x x x x xx x − ⋅ −∴ = − + + = − = − + −⋅ ( ) 2 12 20f x x x= − + −
当 时， 单调递增
，又 ，
的取值范围是
本题正确选项：
【点睛】本小题主要考查分段函数的解析式求法及其图象的作法、函数的值域的应用、函数
与方程的综合运用等基础知识，考查运算求解能力，数形结合思想、化归与转化思想，属于
中档题．
第 II 卷（满分 90 分）
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.请把答案填在答题卡的横线上）
13.已知向量 ， ，若 ，则实数 _______.
【答案】
【解析】
【分析】
分别表示出 和 的坐标，而 ，根据 和 的坐标特
点，求出 的值，得到答案.
【详解】因为向量 ， ，
所以 ，
因为 ，
而 的横坐标为 ， 的横坐标不为 ，
则两个向量若要平行，则必须 ，
所以得到 ，得 .
( ),6x∈ −∞ ( )f x
32 4x<
2x 12
2
1 e
p x
−
= ( )0 ∞+，
12
x
e
x
−
( ) ( ) ( ) ( )
12
2
12 ,0 2, 0; 2, 0, f x
x xe
f x x f x x f xx
− −
′ ′
= < ∴′ 0 2， ∞ ( )f x ( ) 1f 2 2 = ( ) ( ), , 0, ,x f x x f x→ +∞ → +∞ → → +∞ 1 1 p 2 >
( )0,2
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sin2
A Ca b A
+ =
B
ABC∆ 1c = ABC∆
3B
π= 3 3( , )8 2
3B
π= 1 sin2ABCS ac B= ⋅
1c = ABCS
关于 的函数，由于 是锐角三角形，所以利用三个内角都小于 来计算 的定义域，
最后求解 的值域.
【详解】(1)根据题意 ，由正弦定理得 ，因
为 ，故 ，消去 得 。
， 因为故 或者 ，而根据题意
，故 不成立，所以 ，又因为 ，代入得
，所以 .
(2)因为 是锐角三角形，由（1）知 ， 得到 ，
故 ，解得 .
又应用正弦定理 ， ，
由三角形面积公式有：
.
又因 ,故 ，
故 .
故 的取值范围是
【点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，和正弦定理或者余弦定理的使用（此题也可以
用余弦定理求解），最后考查 是锐角三角形这个条件的利用。考查的很全面，是一道
很好的考题.
C ABC△
2
π
C
( )ABCS C
sin sin2
A Ca b A
+ = sin sin sin sin2
A CA B A
+ =
0 A π< < sin 0A > sin A sin sin2
A C B
+ =
0 < B π< 0 2 A C π+< < 2 A C B + = 2 A C B π+ + = A B C π+ + = 2 A C B π+ + = 2 A C B + = A B C π+ + = 3B = π 3B π= ABC△ 3B π= A B C π+ + = 2 3A C π+ = 0 2 20 3 2 C C π π π < 0>ω 0 2
πϕ< < ( )y f x= 2 2 ( )1,2 ϕ ( ) ( )1 2f f+ + ( )2019f 4 π 2019 ( )f x 2 A 2 T ω ( )1,2 ϕ ϕ ( )f x ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2 1 0 1 4f f f f+ + + = + + + = ( ) ( ) ( )2sin cos 2 22 2 A Af x A xω ϕ ω ϕ= + = − + ( )y f x= 2 0A >
∴ 22 2
A A+ = 2A =
2
∴ 22
T = 4T =
0>ω ∴ 2 42
π
ω =
4
πω =
∴ ( ) 2 2 cos 22 2 2f x x
π ϕ = − + = 1 cos 22 x
π ϕ − +
( )y f x= ( )1,2
∴ cos 2 12
π ϕ + = −
∴ 2 22 k
π ϕ π π+ = + k Z∈
， ，
， ，
又 ， .
（2） ，
，
又 的周期为 ， ，
.
【点睛】本题考查根据图像求三角函数的解析式，降幂公式，诱导公式，正弦型函数的周期
性，属于简单题.
19.设 是等比数列，公比大于 0，其前 n 项和为 ， 是等差数列.已知
， ， ， .
（I）求 和 的通项公式；
（II）设数列 的前 n 项和为 ，
（i）求 ；
（ii）证明 .
【答案】(Ⅰ) ， ；(Ⅱ)（i） .（ii）证明见解析.
【解析】
分析：（I）由题意得到关于 q 的方程，解方程可得 ，则 .结合等差数列通项公
式可得
（II）（i）由（I），有 ，则 .
∴ 2 2 2k
πϕ π= + k Z∈
∴
4k
πϕ π= + k Z∈
0 2
πϕ< < 4 πϕ∴ = 4 πϕ = ∴ 1 cos 1 sin2 2 2y x x π π π = − + = + ∴ ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 4 2 1 0 1 4f f f f+ + + = + + + = ( )y f x= 4 2019 4 504 3÷ = ∴ ( ) ( ) ( )1 2 2019f f f+ +⋅⋅⋅+ ( ) ( ) ( )504 4 1 2 3f f f= × + + + 2019= { }na ( )* nS n N∈ { }nb 1 1a = 3 2 2a a= + 4 3 5a b b= + 5 4 62a b b= + { }na { }nb { }nS ( )* nT n N∈ nT ( ) ( )( ) ( )2 2 * 1 2 21 2 2 nn k k k k T b b n Nk k n + + = + = − ∈+ + +∑ 12n na −= nb n= 12 2n nT n+= − − 2q = 12n na −= .nb n= 2 1n nS = − ( ) 1 1 2 1 2 2 n k n n k T n+ = = − = − −∑
（ii）因为 ，裂项求和可得 .
详解：（I）设等比数列 的公比为 q.由
可得 .因为 ，可得 ，故 .
设等差数列 的公差为 d，由 ，可得
由 ，可得
从而 故
所以数列 的通项公式为 ，
数列 的通项公式为
（II）（i）由（I），有 ，
故 .
（ii）因为 ，
所以 .
点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，
意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
20.已知函数 .
（1）求函数 的单调区间与极值；
（2）若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 的极大值为
，无极小值；（2） .
【解析】
【分析】
( )
( )( )
2 1
2 2 2
1 2 2 1
k k
k k kT b b
k k k k
+ +
++ = −+ + + +
( )
( )( )
2
2
1
2 21 2 2
nn
k k k
k
T b b
k k n
+
+
=
+ = −+ + +∑
{ }na 1 3 21, 2,a a a= = +
2 2 0q q− − = 0q > 2q = 12n
na −=
{ }nb 4 3 5a b b= + 1 3 4.b d+ =
5 4 62a b b= + 13 13 16,b d+ =
1 1, 1,b d= = .nb n=
{ }na 12n
na −=
{ }nb .nb n=
1 2 2 11 2
n
n
nS
−= = −−
( ) ( ) 1
1 1
2 1 2
2 1 2 2 21 2
nn n
k k n
n
k k
T n n n+
= =
× −
= − = − = − = − −−∑ ∑
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( )
1 1 2 1
2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 1
k k k k
k k k k k kT b b k
k k k k k k k k
+ + + +
+
− − + ++ ⋅= = = −+ + + + + + + +
( )
( )( )
3 2 4 3 2 1 2
2
1
2 2 2 2 2 2 2 21 2 3 2 4 3 2 1 2
n n nn
k k k
k
T b b
k k n n n
+ + +
+
=
+ = − + − + + − = − + + + + +
∑
( ) ln xf x x
=
( )f x
( )f x kx≤ 0x > k
( )f x ( )0,e ( ),e +∞ ( )f x
( ) 1f e e
= 1
2k e
≥
（1）对 求导，然后令 ，得到 ，判断出在 两侧导函数的正负，从
而得到 的单调性，求出 的极值；（2）根据题意得到 对任意 恒成立，
设 ，再利用导数求出 最大值，从而求得 的范围.
【详解】（1）定义域为 .
，令 ，得 .
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
所以 的极大值为 ，无极小值.
（2） ， ，
对任意 恒成立，
令 ，则 ，
又 ，
令 解得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
当 时函数 有最大值，为 ，
所以 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用导数研究恒成立问题，属
于中档题.
21.已知函数 .
（1）当 时，比较 与 的大小，并证明；
( )f x ( ) 0f x′ = x e= x e=
( )f x ( )f x 2
ln xk x
≥ 0x >
( ) 2
ln xh x x
= ( )h x k
( )0, ∞+
( ) 2
1 ln xf x x
−′ = ( ) 2
1 ln 0xf x x
−′ = = x e=
( )0,x e∈ ( ) 0f x′ > ( ),x e∈ +∞ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )0,e ( ),e +∞ ( )f x ( ) ln 1ef e e e = = 0x > ln x kxx
≤
∴
2
ln xk x
≥ 0x >
( ) 2
ln xh x x
= ( )maxk xh≥
( ) 3
1 2ln xh x x
−′ =
( ) 0h x′ = x e=
( )0,x e∈ ( ) 0h x′ > ( ),x e∈ +∞ ( ) 0h x′ < ( )h x ( )0, e ( ),e +∞ x e= ( )h x ( ) ( )max 1 2h x h e e = = 1 2k e ≥ ( ) ( ) ( ) 1ln 0 ,f x a x a g x x x = ≠ = − 2a = ( )f x ( )g x
（2）令函数 ，若 是函数 的极大值点，求 的取
值范围.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，令 ，求导判断单调性
即可求解；（2） ，令
，讨论 m 的范围即可求解
【详解】（1）当 时， ，令
则
所以函数 在 上单调递减，且
所以当 时， ，即 ；
当 时， ，即
当 时， ，即 .
（2） ，令
令 ，则
① 当 时， 恒成立，
所以 在 上递减，且
( ) ( ) ( )2 2
F x f x g x = − 1x = ( )F x a
[ 2,0) (0,2]a∈ − ∪
a 2= ( ) ( ) 1f x g x 2lnx x x
− = − + ( ) 1h x 2lnx x x
= − +
( )F x =
2
2a 1ln x x 2 ,x 04 x
= − + − >
2am 02
= >
( ) 2
lnx 1 1 1F x m 1 mlnx xx x x x
= ⋅ − + = − +
′
a 2= ( ) ( ) 1f x g x 2lnx x x
− = − + ( ) 1h x 2lnx x x
= − +
( ) ( )22
2 2 2
x 12 1 x 2x 1h x 1 0x x x x
−− + −= − − = −′ = ≤
( ) 1h x 2lnx x x
= − + ( )0, ∞+ ( )h 1 0=
0 x 1< < ( )h x 0< ( ) ( )f x g x>
x 1> ( )h x 0< ( ) ( )f x g x< x 1= ( )h x 0= ( ) ( )f x g x= ( ) ( ) ( )2 2 F x f x g x = − 2 2a 1ln x x 2 ,x 04 x = − + − >
2am 02
= >
( ) 2
lnx 1 1 1F x m 1 mlnx xx x x x
= ⋅ − + = − +
′
( ) 1G x mlnx x x
= − + ( ) 2
2 2
m 1 x mx 1G x 1x x x
− += − − = −′
0 m 2< ≤ ( ) 2 2 x mx 1G x 0x − +−′ = ≤ ( ) 1G x mlnx x x = − + ( )0, ∞+ ( )G 1 0=
所以 时， 在 上递增， 时， 在 上
递减，此时 是函数 的极大值点，满足题意.
② 当 时， ，使得当 时，
所以 在 上递增，且
所以 时， 在 上递减； 时， 在
上递增，此时 是函数 的极小值点，不合题意.
综合得 ，解得 .
【点睛】本题考查函数与导数的综合，函数极值与最值，转化化归思想，分类讨论，准确推
理计算是关键，是中档题
22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程
为 （ 为参数），以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）设直线 交曲线 于 ， 两点，交曲线 于 ， 两点，求 的长．
【 答 案 】（Ⅰ ） 曲 线 的 极 坐 标 方 程 为 ： ； 的 直 角 坐 标 方 程 为 ：
；（Ⅱ）
【解析】
【分析】
（I）消去参数，即可得到曲线 的直角坐标方程，结合 ，即可得
到曲线 的极坐标方程。（II）计算直线 l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算 长，即
可。
0 x 1< < ( ) ( )F x 0,F x′ > ( )0,1 x 1> ( ) ( )F x 0,F x′ < ( )1, ∞+ x 1= ( )F x m 2> ( ) ( )1 2x 0,1 ,x 1, ∞∃ ∈ ∈ + ( )1 2x x ,x∈ ( )G x 0′ ≥
( ) 1G x mlnx x x
= − + ( )1 2x ,x ( )G 1 0=
1x x 1< < ( ) ( )F x 0,F x′ < ( )1x ,1 21 x x< < ( ) ( )F x 0,F x′ >
( )21,x x 1= ( )F x
( ]2am 0,22
= ∈ [ ) ( ]a 2,0 0,2∈ − ∪
xOy l
3
3
x t
y t
= = −
t 1C
2 2cos
2sin
x
y
θ
θ
= +
=
θ O x
2C 2 3 cos 2sinρ θ θ= −
1C 2C
l 1C O A 2C O B | |AB
1C 4cosρ θ= 2C
2 2( 3) ( 1) 4x y− + + = 4 2 3−
2C 2 2 , cosx y xρ ρ θ= + =
1C AB
【详解】解法一：（Ⅰ ）曲线 ： （ 为参数）可化为直角坐标方程：
，
即 ，
可得 ，
所以曲线 的极坐标方程为： .
曲线 ： ，即 ，
则 的直角坐标方程为： .
（Ⅱ）直线 的直角坐标方程为 ，
所以 的极坐标方程为 .
联立 ，得 ，
联立 ，得 ，
.
解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）直线 的直角坐标方程为 ，
联立 ，解得 ，
联立 ，解得 ，
1C 2 2
2
x cos
y sin
θ
θ
= +
=
θ
( )2 22 4x y− + =
2 2 4 0x y x+ − =
2 4 cos 0ρ ρ θ− =
1C 4cosρ θ=
2C 2 3cos 2sinρ θ θ= − 2 2 3 cos 2 sinρ ρ θ ρ θ= −
2C ( ) ( )2 23 1 4x y− + + =
l 3
3y x= −
l ( )5
6 R
πθ ρ= ∈
5
6
4cos
πθ
ρ θ
=
=
2 3A
ρ = −
5
6
2 3 2cos sin
πθ
ρ θ θ
=
= −
4B
ρ = −
4 2 3A BAB ρ ρ= − = −
l 3
3y x= −
2 2
3
3
4 0
y x
x x y
= −
− + =
( )3, 3A −
( ) ( )2 2
3
3
3 1 4
y x
x y
= −
− + + =
( )2 3, 2B −
所以
【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考
查数形结合思想、化归与转化思想等.
23.已知函数 ， ，
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的图象与 轴围成的三角形面积大于 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出 的范围在合并。
（2）由 ，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面
积公式求出的代数式大于 ，解出 的取值范围即可。
【详解】解（1）当 时， 化为 .
当 时，不等式化为 ，无解；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
当 时，不等式化为 ，解得 ；
综上， 的解集为 .
（2）由题设可得
所以 的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ，
，该三角形的面积为 .
.( ) ( )2 2
2 3 3 2 3 4 2 3AB = − + − + = −
( ) 2 1f x x x a= − − − 0a ≤
0a = ( ) 1f x < ( )f x x 3 2 a { }0 2x x< < ( ), 1−∞ − 0a = x 0a ≤ 3 2 a 0a = ( ) 1f x < 2 1 1 0x x− − − < 0x ≤ 0x >
10 2x< ≤ 0x > 10 2x< ≤ 1 2x > 2x < 1 22 x< < ( ) 1f x < { }0 2x x< < ( ) 1 , , 13 1 , ,2 11 , .2 x a x a f x x a a x x a x − + − < = − + + ≤ ≤ − + >
( )f x x 1 ,03
a+
( )1 ,0a−
1 1,2 2a −
1 1 1(1 ) ( )2 3 2
aa a
+ × − − × − =
( )21 2
6
a−
由题设 ，且 ，解得 .
所以 的取值范围是 .
【点睛】本题考查绝对值不等式 解法，需掌握零点分段法，属于中档题。
24.设函数 ，不等式 的解集为 .
（1）求 ；
（2）当 时， 恒成立，求正数 的取值范围.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求不等式 f（x）≤6 的解集即可；(2)结合第一问的表达
式，分情况讨论即可.
【详解】（1）
当 时， ，解得 ；
当 时， 可得 ；
当 时， ，解得 .
综上，不等式 的解集 .
（2）当 时， 等价于 ，得 ；
当 时， 等价于 ，得 ；
当 时， 等价于 得
综上，实数 的取值范围为 .
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式恒成立应用问题，也考查了分类讨论思想与集合的
应用问题，是中档题．
的
( )21 2 3
6 2
a− > 0a ≤ 1a < − a ( ), 1−∞ − ( ) 3 1 ,f x x x x R= + + − ∈ ( ) 6f x ≤ M M x M∈ ( ) 1f x a x≥ − a { }4 2M x x= − ≤ ≤ (0,1] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 , 3 1 4 3 1 , 2 2 1 , x x f x x x x x x − − < − = + + − = − ≤ ≤ + >
3x < − 2 2 6x− − ≤ 4 3x− ≤ < − 3 1x− ≤ ≤ 4 6≤ 3 1x− ≤ ≤ 1x > 2 2 6x + ≤ 1 2x< ≤ ( ) 6f x ≤ { }4 2M x x= − ≤ ≤ 4 3x− ≤ ≤ − ( ) 1f x a x≥ − ( )2 2a x a− ≥ + 0 1a< ≤ 3 1x− ≤ ≤ ( ) 1f x a x≥ − 4 0ax a− + ≥ 0 1a< ≤ 1 2x< ≤ ( ) 1f x a x≥ − ( )2 2 0a x a− − − ≤ 0 6a< ≤ a ( ]0,1
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