南山中学 2019 年秋季高 2017 级绵阳—诊热身考试
文科数学试题
第 I 卷（选择题满分 60 分）
一、选择题（本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的。）
1.设集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： , , 所 以
，故选 A.
考点：集合的运算.
2.已知点 ， ， 向量 ， 则向量 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量的加减运算的几何意义即可求解。
【详解】由 ， ，所以 ， ，
故选：A
【点睛】本题考查向量的加减运算，需掌握向量相减的几何意义，“同起点，减向量的终点
指向被减向量的终点”。
3.已知 α∈ ,cos α= ,则 tan 等于( )
2{ | }M x x x= = { | lg 0}N x x= ≤ M N∪ =
[0,1] (0,1] [0,1) ( ,1]−∞
{ } { }2| 0,1M x x x= = = { }{ | lg 0} | 0 1N x x x x= ≤ = < ≤ ( )0,1A ( )3,2B ( )4, 3AC = − − BC = ( )7, 4− − ( )7,4 ( )1,4− ( )1,4 ( )0,1A ( )3,2B ( )3,1AB = ( )4, 3AC = − − ( )4, 3BC AC AB= − = − − − ( ) ( )3,1 7, 4= − − 3π, π2 - 4 5 π 4 α −
A. 7 B. C. - D. -7
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据同角三角函数关系求 tan α，再根据两角差正切公式求结果.
【详解】由已知得 tan α= ,则 tan .
选 B
【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.
4.若 ， ， 为实数，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】B
【解析】
分析】
根据不等式的性质即可得出正确选项。
【详解】对于 A：当 时， ， 排除 A；
对于 C：当 时， ，排除 C；
对于 D：当 时， ，排除 D；
故选：B.
【点睛】本题主要考查不等式与不等关系，属于基础题。
5.设 ， ， 是非零向量.已知命题 ：若 ， ，则 ； 命题 ：若
， ，则 .则下列命题中真命题是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【
1
7
1
7
3
4
π 1 tan 1
4 1 tan 7
αα α
− − = = +
a b c
a b> 2 2ac bc> a b< a c b c+ < + a b< ac bc> a b< 1 1 a b >
0c = 2 2ac bc=
0c = ac bc=
0, 0a b< > 1 1
a b
< a b c p 0⋅ =a b 0b c⋅ = 0a c⋅ = q a b∥ b c∥ a c p q∨ p q∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬ ( )p q∨ ¬
【分析】
首先判断命题 、命题 的真假，再有用逻辑连接词连接的命题真假判断方法即可得出选项。
【详解】若 ， ， 则 ，即 ， 则 不一定成立，
故命题 为假命题，
若 ， ， 因为 ， ， 是非零向量，则 平行，，故命题 为真命题，
由逻辑连接词连接的命题真假判断方法，则 ，为真命题， ， ，
都为假命题，
故选：A
【点睛】本题考查命题真假的判断，逻辑连接词连接的命题：“ ，两命题均为真为； ，
两命题均为假为假； 为真， 为假”，属于基础题。
6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，
日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1 匹=40 尺，一丈=10 尺），问日益几何？”其
意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天
起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织 5 尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺
布？”若一个月按 31 天算，记该女子一个月中的第 天所织布的尺数为 ，则
的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由 题 意 女 子 每 天 织 布 数 成 等 差 数 列 ， 且 ， 由 于 ， 且
。 所 以
，应选答案 B。
7.已知函数 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
p q
0a b⋅ = 0b c⋅ = a b b c⋅ = ⋅ ( ) 0a c b− ⋅ = 0a c⋅ =
p
a b
b c
a b c a c ∥ q
p q∨ p q∧ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
( )p q∨ ¬
p q∧ p q∨
p p¬
n na
1 3 29 31
2 4 28 30
a a a a
a a a a
+ +⋅⋅⋅+ +
+ +⋅⋅⋅+ +
16
5
16
15
16
29
16
31
1 315, 390a S= = 1 31 2 30a a a a+ = +
1 31 2 30
1 3 31 2 4 30
16( ) 15( ),2 2
a a a aa a a a a a
+ ++ +⋅⋅⋅+ = + +⋅⋅⋅+ =
1 3 31 1 31
2 2 30 2 30
16( ) 16
15( ) 15
a a a a a
a a a a a
+ +⋅⋅⋅+ += =+ +⋅⋅⋅+ +
| |( ) cosxf x e x= + (2 1) ( )f x f x− ≥ x
1( , ] [1, )3
−∞ +∞
1 ,13
1( , ]2
−∞ 1[ , )2
+∞
【答案】A
【解析】
由 ，知 为 上 偶函数，
且当 时， , 为增函数，
故 等价于不等式 ，
解得 的取值范围为 ，
故选 A．
点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单
调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝
f(|x|)．
8.已知正项等比数列 的公比为 ，若 ，则 的最小值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
∵正项等比数列 的公比为 3，且
∴
∴
∴ ，当且仅当 时
取等号.
故选 C.
点睛：利用基本不等式解题的注意点：
（1）首先要判断是否具备了应用基本不等式的条件，即“一正、二正、三相等”，且这三个
条件必须同时成立．
（2）若不直接满足基本不等式的条件，需要通过配凑、进行恒等变形，构造成满足条件的形
式，常用的方法有：“1”的代换作用，对不等式进行分拆、组合、添加系数等．
的| |( ) cosxf x e x= + ( )f x R
0x ≥ ( )' sin 1 sin 0xf x e x x= − ≥ − ≥ ( )f x
(2 1) ( )f x f x− ≥ 2 1x x− ≥
x 1 [1 )3
−∞ ∪ + ∞ ， ，
{ }na 3 2
29m na a a= 2 1
2m n
+
1 1
2
3
4
3
2
{ }na 2
29m na a a=
2 2 2 4 2
2 2 2 23 3 3 9m n m na a a a− − + −⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ =
6m n+ =
1 2 1 1 2 1 1 5 3( )( ) (2 ) ( 2)6 2 6 2 2 6 2 4
m nm n m n n m
× + + = × + + + ≥ × + = 2 4m n= =
（3）多次使用基本不等式求最值时，要注意只有同时满足等号成立的条件才能取得等号．
9.已知 在一个周期内的图像如图所示，则
的图像可由函数 的图像（纵坐标不变）（ ）得到．
A. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向左平移 单位
B. 先把各点的横坐标缩短到原来的 倍，再向右平移 单位
C. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向左平移 单位
D. 先把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，，再向左平移 单位
【答案】B
【解析】
试 题 分 析 ：
的图象（纵坐标不变）把各点的横坐标缩短到原来的 倍得
，再再向右平移 单位得 ，选 B.
考点：三角函数图像变换
【思路点睛】三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出
现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 x 而言. 函
数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝kπ(k∈Z)；函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 是偶
函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数 y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是奇函数⇔φ＝kπ＋(k∈Z)；函数
y＝Acos(ωx＋φ)，x∈R 是偶函数⇔φ＝kπ(k∈Z).
( ) sin( )( 0, 0, , )2f x A x A x R
πω ϕ ω ϕ= + > > < ∈ ( )y f x= cosy x= 1 2 6 π 1 2 12 π 6 π 12 π 2( ) 2; 1,sin(2 ) 1,4 12 6 4 12 2 3 T T AT π π π π π π ππ ω ϕ ϕ ϕ= − − = ⇒ = ⇒ = = = × + = < ⇒ = cosy x= 1 2 cos2 sin(2 )2y x x π= = + 2 3 2 12 π π π− = sin(2 )3y x π= +
10.已知函数 ，则“ ”是“ 在 上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
f′(x)＝ x2＋a，当 a≥0 时，f′(x)≥0 恒成立，故“a＞0”是“f(x)在 R 上单调递增”的
充分不必要条件．故选 A.
11.定义在 R 上的函数 满足： 恒成立，若 ，则 与
的大小关系为（ ）
A. B.
C. D. 的大小关系不确
定
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：令 ，则 ，由于 ，
所 以 ， 即 在 R 上 单 调 递 增 ， ，
.
考点：导数在函数单调性中应用.
12.已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围
是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
31( ) 42f x x ax= + + 0a > ( )f x R
3
2
( )f x ( ) ( )f x f x>′ 1 2x x< 1 2( )xe f x 2 1( )xe f x 1 2 2 1( ) ( )x xe f x e f x> 1 2
2 1( ) ( )x xe f x e f x< 1 2 2 1( ) ( )x xe f x e f x= 1 2 2 1( ) ( )x xe f x e f x与 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 x x f x f xF x F x e e < ⇒ < ⇒ 1 2 2 1( ) ( )x xe f x e f x>
3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x > a
( )2,+∞ ( )1,+∞ ( ), 2−∞ − ( ), 1−∞ −
试题分析：当 时， ，函数 有两个零点 和 ，不满足题意，
舍去；当 时， ，令 ，得 或 ． 时，
； 时， ； 时， ，且 ，此时在
必有零点，故不满足题意，舍去；当 时， 时， ；
时， ； 时， ，且 ，要使得 存在唯一
的零点 ，且 ，只需 ，即 ，则 ，选 C．
考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分。请把答案填在答题卡的横线上
13.若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
【答案】6
【解析】
【分析】
首 先 根 据 题 中 所 给 的 约 束 条 件 ， 画 出 相 应 的 可 行 域 ， 再 将 目 标 函 数 化 成 斜 截 式
，之后在图中画出直线 ，在上下移动的过程中，结合 的几何意
义，可以发现直线 过 B 点时取得最大值，联立方程组，求得点 B 的坐标代入目
标函数解析式，求得最大值.
【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
0a = 2( ) 3 1f x x= − + ( )f x 3
3
3
3
−
0a > 2( ) 3 6f x ax x′ = − ( ) 0f x′ = 0x = 2x a
= ( ,0)x∈ −∞
( ) 0f x′ > 2(0, )x a
∈ ( ) 0f x′ < 2( , )x a ∈ +∞ ( ) 0f x′ > (0) 0f >
( ,0)x∈ −∞ 0a < 2( , )x a ∈ −∞ ( ) 0f x′ < 2( ,0)x a ∈ ( ) 0f x′ > (0, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ < (0) 0f > ( )f x
0x 0 0x > 2( ) 0f a
> 2 4a > 2a < − x y 2 2 0 1 0 0 x y x y y − − ≤ − + ≥ ≤ 3 2z x y= + 3 1 2 2y x z= − + 3 2y x= − 1 2 z 3 1 2 2y x z= − +
由 ，可得 ，
画出直线 ，将其上下移动，
结合 的几何意义，可知当直线 在 y 轴截距最大时，z 取得最大值，
由 ，解得 ，
此时 ，故答案为 6.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对
应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断 z 的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，
判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的
形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.
14.设 是周期为 的奇函数，当 时， ，则
_______.
【答案】
【解析】
【分析】
首先根据周期为 ，求出 ，再有函数为奇函数求出 ，
3 2z x y= + 3 1
2 2y x z= − +
3
2y x= −
2
z 3 1
2 2y x z= − +
2 2 0
0
x y
y
− − =
= (2,0)B
max 3 2 0 6z = × + =
( )f x 4 0 1x≤ ≤ ( ) ( )1f x x x= ⋅ + 9
2f − =
3
4
−
4 9 1
2 2f f − = −
1 1
2 2f f − = −
代入解析式即可求解。
【详解】因为 是周期为 ，所以
又因为 是奇函数，所以 ，
又 ，所以
故答案为：
【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，属于基础题。
15.已知直线 与曲线 相切，则实数 k 的值为_________．
【答案】
【解析】
【详解】设切点为
,
∴
即 ，又
∴ ，即
故答案为：
点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点
及斜率，其求法为：设 是曲线 上的一点，则以 的切点的切线
方程为： ．若曲线 在点 的切线平行于 轴（即
导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为 ．
16.给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 .如图所示，点 C 在以 O 为
圆心的圆弧 上变动.若 其中 ,则 的最大值是________.
( )f x 4 9 9 142 2 2f f f − = − + = −
( )f x 1 1
2 2f f − = −
1 1 1 312 2 2 4f = ⋅ + =
9 3
2 4f − = −
3
4
−
2y kx= − lny x x=
1 ln 2+
( )mlnmm，
1 lny x′ = + 1 lnx my m= = +′
( )( )y mlnm 1 m mln x− = + −
( )y 1 m mln x= + − 2y kx= −
1
2
lnm k
m
+ =
= 1 ln2k = +
1 ln2+
0 0( , )P x y 0 0( , )P x y ( )y f x= P
0 0 0'( )( )y y f x x x− = − ( )y f x= 0 0( , ( ))P x f x y
0x x=
OA OB 120o
,OC xOA yOB= + ,x y R∈ x y+
【答案】2
【解析】
【详解】
所以最大值为 2
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.设
（1）求 的单调递增区间；
（2）把 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍（纵坐标不变），再把得到的图
象向左平移 个单位，得到函数 的图象，求 的值.
【答案】（1） （ ）；（2） .
【解析】
【分析】
（1）利用诱导公式、二倍角公式
化简 ，再由正弦函
数的单调递增区间得 ， ，即可求解；
（2）由三角函数图像的平移、伸缩变换得到 的解析式，把 代入即可求解.
1
2x y OA OC− = ⋅
1
2 x y OB OC− + = ⋅
2( ) 2 2cos ,x y OA OB OC OD OC OD OC+ = + ⋅ = ⋅ = < >
( ) ( ) ( )22 3sin sin sin cosf x x x x xπ= − ⋅ − −
( )f x
( )y f x= 2
3
π ( )y g x=
6g
π
5,12 12k k
π ππ π − + k Z∈ 3
( ) ( ) ( )22 3sin sin sin cos 2sin 2 3 13f x x x x x x
ππ = − ⋅ − − = − + −
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π≤ − ≤ + k Z∈
( )g x 6
π
【详解】解（1）
由 （ ），得 （ ）.
所以 的单调递增区间是 （ ）.
（2）由（1）知 .把 的图象上所有点的横坐标伸长
到原来的 倍（纵坐标不变），得到 的图象，再把得到的图象向左
平移 个单位，得到 的图象，
即 .所以 .
【点睛】本题考查三角函数的化简、三角函数的单调区间以及三角函数图像的变换，解题的
关键熟记正弦函数的单调区间以及图像的伸缩变化规律，属于基础题。
18.设 是等差数列，且 .
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 .
【答案】（I） ；（II） .
【解析】
【分析】
（I）设公差为 ，根据题意可列关于 的方程组,求解 ，代入通项公式可得；（II）
由（I）可得 ，进而可利用等比数列求和公式进行求解.
【详解】（I）设等差数列 的公差为 ，
∵ ，
( ) ( )2 3sin sinf x x xπ= − − ( )2 2sin cos 2 3sinx x x− = −
( )1 2sin cosx x−
( )3 1 cos2 sin 2 1 sin 2 3 cos2x x x x= − + − = − + 3 1 2sin 2 3 13x
π − = − + −
2 2 22 3 2k x k
π π ππ π≤ − ≤ + k Z∈
12 12k x k
π 5ππ − ≤ ≤ π + k Z∈
( )f x 5,12 12k k
π ππ π − + k Z∈
( ) 2sin 2 3 13f x x
π = − + −
( )y f x=
2 2sin 3 13y x
π = − + −
3
π
2sin 3 1y x= + −
( ) 2sin 3 1g x x= + − 2sin 3 1 36 6g
π π = + − =
{ }na 1 2 3ln 2, 5ln 2a a a= + =
{ }na
1 2 naa ae e e+ + +
ln 2n 12 2n+ −
d 1,a d 1,a d
2na ne =
{ }na d
2 3 5ln2a a+ =
∴ ，
又 ，∴ .
∴ .
（II）由（I）知 ，
∵ ，
∴ 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列.
∴
.
∴
点睛：等差数列的通项公式及前 项和共涉及五个基本量 ，知道其中三个可求
另外两个，体现了用方程组解决问题的思想.
19.在 中，内角 A，B，C 的对边 a，b，c，且 ，已知 ， ，
，求：
（1）a 和 c 的值；
（2） 的值.
【答案】（1） ；（2）
【解析】
试题分析：（1）由 和 ，得 ac=6.由余弦定理，得 .
解 ，即可求出 a，c；（2） 在 中，利用同角基本关系得
由正弦定理，得 ，又因为 ，所以 C 为锐角，因此
，利用 ，即可求出结果.
12 3 5ln2a d+ =
1 ln2a = ln2d =
( )1 1 ln2na a n d n= + − =
ln2na n=
2 ln2 =2n
na nln ne e e= =
{ }nae
2
1 2 ln2 ln2 ln2n
naa ae e e e e e+ + + = + + +
2=2 2 2n+ + +
1=2 2n+ −
1 2 naa ae e e+ + + 1=2 2n+ −
n 1, , , ,n na a d n S
ABC∆ a c> 2BA BC⋅ = 1cos 3B =
3b =
cos( )B C−
3, 2a c= = 23
27
2BA BC⋅ = 1cos 3B = 2 2 13a c+ =
ABC∆ 2 2sin .3B =
4 2sin sin 9
cC Bb
= = a b c= >
2 7cos 1 sin 9C C= − = cos( ) cos cos sin sinB C B C B C− = +
（1）由 得， ，又 ，所以 ac=6.
由余弦定理，得 .
又 b=3，所以 .
解 ，得 a=2，c=3 或 a=3，c=2.
因为 a>c,∴ a=3，c=2.
（2）在 中，
由正弦定理，得 ，又因为 ，所以 C 为锐角，因此
.
于是 = .
考点：1.解三角形；2.三角恒等变换.
20.已知函数
1)若 a=1,求曲线 在点 处的切线方程
(2)若 在 R 上单调递增,求实数 a 的取值范围
【答案】（1） （2）
【解析】
【详解】分析：（1）求出导数，求出切点和切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程；
（2）求出导数，若 是单调递增函数，则 恒成立，分离参数构
造函数，求出函数的最值即可得到实数 的取值范围．
详解：
(1)
2BA BC⋅ = 1cos 3B =
2 2 2 2 cosa c b ac B+ = +
2 2 9 2 2 13a c+ = + × =
ABC∆ 2 21 2 2sin 1 cos 1 ( ) .3 3B B= − = − =
2 2 2 4 2sin sin 3 3 9
cC Bb
= = ⋅ = a b c= >
2 24 2 7cos 1 sin 1 ( )9 9C C= − = − =
cos( ) cos cos sin sinB C B C B C− = + 1 7 2 2 4 2 23
3 9 3 9 27
⋅ + ⋅ =
2( ) 2xf x e x ax= − +
( )y f x= (1, (1))f
( )f x
1 0ex y− + = ln 2 1.a ≥ −
( )f x ( ) 2 2 0xf x e x a′ = − + ≥
a
( ) ( )2 2 1xf x e x f e′ ′= − + ∴ =
（2）
所以 在 上单调递增，在 上单调递减
所以 .
点睛：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，综合考查导数的应
用，属于中档题．
21.已知 .
(1)讨论 单调性；
(2)当 有最大值，且最大值大于 时，求 的取值范围.
【答案】(1) 在 单调递增，在 单调递减.
（2） .
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由 ,可分 , 两种情况来讨论；（II）由（I）知当
时 在 无最大值,当 时 最大值为 因此
.令 ,则 在 是增函数,当
时, ,当 时 ,因此 a 的取值范围是 .
试题解析：
（Ⅰ） 的定义域为 , ,若 ,则 , 在
是单调递增；若 ,则当 时 ,当 时 ,所以
的
( ) ( )1 1 1 0y f e x ex y∴ − = − ∴ − + =
( ) ( )2 2 0 2
x
x ef x e x a a x g x= − + ≥ ∴ ≥ − =′
( )' 1 0 ln22
xeg x x= − = ∴ =
( )g x ( ),ln2−∞ ( )ln2,+∞
( ) ( )maxg ln2 ln2 1 ln2 1.x g a= = − ∴ ≥ −
( ) ( )ln 1f x x a x= + −
( )f x
( )f x 2 2a − a
( )f x 10, a
1 ,a
+∞
( )0,1
( ) 1f x ax
′ = − 0a ≤ 0a >
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x 1 ln 1.f a aa
= − + −
1 2 2 ln 1 0f a a aa
> − ⇔ + − ( ) 0g a > ( )0,1
( )f x ( )0,+∞ ( ) 1f x ax
′ = − 0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞
0a > 10,x a
∈
( ) 0f x′ > 1 ,x a
∈ +∞
( ) 0f x′ ( )f x 1x a
=
1 1 1ln 1 ln 1.f a a aa a a
= + − = − + −
1 2 2 ln 1 0f a a aa
> − ⇔ + − ( ) 0g a > ( )0,1
1 2
2 2 (
1 2
2 2
x t
t
y t
= +
= −
2cos (sin
x
y
α αα
=
=
)3
π
2
2 14
x y+ = (1, 3) 4 3
5
A
1 2
3 2
5t t+ = 1 2
11
10t t = − PQ
(1)由 得 .
因为 的极坐标为 ,所以 ， .
在直角坐标系下的坐标为 .
（2）将 代入 ，化简得 ,
设此方程两根为 ,则 , .
.
因为直线 的一般方程为 ,
所以点 到直线 的距离 .
的面积为 .
23.已知函数 ， ，
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 的图象与 轴围成的三角形面积大于 ，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）将 代入，根据零点分段去掉绝对值，分别求出 范围在合并。
（2）由 ，按照零点分段对函数去掉绝对值，求出三角形的三个顶点坐标，根据三角形面
积公式求出的代数式大于 ，解出 的取值范围即可。
【详解】解（1）当 时， 化为 .
的
2x cos
y sin
α
α
=
=
2
2 14
x y+ =
A 2, 3
π
2cos 13x
π= = 2sin 33y
π= =
∴ A ( )1, 3
1 2
2 2
1 2
2 2
x t
y t
= +
= −
2
2 14
x y+ = 210 6 2 11 0t t− − =
1, 2t t 1 2
3 2
5t t+ = 1 2
11
10t t = −
( )2
1 2 1 2
8 24 5PQ t t t t∴ = + − =
l 1 0x y+ − =
A l 3 6
22
d = =
APQ∴∆ 1 8 2 6 4 3
2 5 2 5
× × =
( ) 2 1f x x x a= − − − 0a ≤
0a = ( ) 1f x < ( )f x x 3 2 a { }0 2x x< < ( ), 1−∞ − 0a = x 0a ≤ 3 2 a 0a = ( ) 1f x < 2 1 1 0x x− − −
10 2x< ≤ 0x > 10 2x< ≤ 1 2x > 2x < 1 22 x< < ( ) 1f x < { }0 2x x< < ( ) 1 , , 13 1 , ,2 11 , .2 x a x a f x x a a x x a x − + − < = − + + ≤ ≤ − + >
( )f x x 1 ,03
a+
( )1 ,0a−
1 1,2 2a −
1 1 1(1 ) ( )2 3 2
aa a
+ × − − × − =
( )21 2
6
a−
( )21 2 3
6 2
a− > 0a ≤ 1a < − a ( ), 1−∞ −
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