成都七中高 2020 届零诊热身试卷数学（理工类）
第Ⅰ卷
一、选择题：共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的一项.
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
由 得： ， ，
则 ，故选 B.
2.若 ，则复数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
解：由题意可知： ，
则 .
本题选择 D 选项.
3.设 是定义在 上周期为 2 的奇函数，当 时， ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
根据 的周期为 2，则 ，再根据奇函数 求解.
【
{ }1 1A x x= − < { }2 1 0B x x= − < A B = ( )1,1− ( )1,2− ( )1,2 ( )0,1 2{ | 1 1}, { | 1 0}A x x B x x= − < = − < { }| 0 2A x x= < < { }| 1 1B x x= − < < ( )1,2A B∪ = − 1 1 22 ai ii + = ++ a = 5 i− − 5 i− + 5 i− 5 i+ ( ) ( )( )1 2 1 2 5ai i i i+ = + + = 5 1 5ia ii −= = + ( )f x R 0 1x< < ( ) 2f x x x= − 5 2f − = 1 4 − 1 2 − 1 4 1 2 ( )f x 5 1 2 2f f − = − ( ) ( )f x f x= − −
【详解】因为 的周期为 2，
所以 ；
又 是奇函数，
所以
所以
故选 B
【点睛】本题考查根据函数奇偶性、周期性求值.方法：根据奇偶性、周期性把自变量化到有
解析式的区间.
4.为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下
统计数据表：
收入 （万
元）
8.2 8.6 10.0 11.3 11.9
支出 （万
元）
6.2 7.5 8.0 8.5 9.8
根据上表可得回归直线方程 ，其中 ，据此估计，该社区一户收
入为 15 万元家庭年支出为（ ）
A. 11.4 万元 B. 11.8 万元 C. 12.0 万元 D. 12.2 万元
【答案】B
【解析】
.
( )f x
5 5 122 2 2f f f − = − + = −
( )f x
1 1
2 2f f − = −
25 1 1 1 1
2 2 2 2 4f f
− = − = − − =
x
y
ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆˆ0.76,b a y bx= = −
试题分析：由题 ， ，所
以 ．
试题解析：由已知 ，
又因为 ，
所以 ，即该家庭支出为 万元．
考点：线性回归与变量间的关系．
5.设 为 中 边上的中点，且 为 边上靠近点 的三等分点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
由平面向量基本定理可得：
，故选 A.
6.执行如图的程序框图，则输出 的值是（ ）
ˆˆ ˆy bx a= + ˆ ˆˆ0.76,b a y bx= = −
D ABC∆ BC O AD A
5 1
6 6BO AB AC= − + 1 1
6 2BO AB AC= −
5 1
6 6BO AB AC= − 1 1
6 2BO AB AC= − +
( )1 1 5 1
3 6 6 6BO AO AB AD AB AB AC AB AB AC= − = − = + − = − +
x
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
易知当 时，循环结束；再寻找 的规律求解.
【详解】计算过程如下：
2 －1 2 …
0 1 2 3 4 … 1024
是 是 是 是 是 是 否
当 时，循环结束，所以输出 .
故选 D.
【点睛】本题考查程序框图，选择表格计算更加简洁.当循环次数较多时，要注意寻找规律.
7.等差数列 中的 、 是函数 的两个极值点，则
（ ）
1
2 1−
1024y = x
x 1
2 1− 1−
y
1024y < 1024x = 1x = − { }na 2a 4032a ( ) 3 21 4 6 13f x x x x= − + − ( )2 2 2017 4032log a a a⋅ ⋅ =
A. B. 5 C. D.
【答案】C
【解析】
由 ， 得 ， 由 ， 且
是 的极值点，得 ， ，
∴ ，则 ，故选 C.
8.以下三个命题正确的个数有（ ）个.①若 ，则 或 ；②定义域为
的函数 ，函数 为奇函数是 的充分不必要条件；③若 ， 且
，则 的最小值为
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
【答案】D
【解析】
【分析】
①根据原命题与逆否命题真假关系；②根据奇函数的定义与性质判断；③根据基本不等式判
断.
【详解】当 且 时， 成立，
根据原命题与逆否命题真假一致，故①正确；
定义域为 的奇函数 必有 ，
定义域为 函数 且满足 不一定是奇函数，如 ，故②正确；
若 ， 且 ，
则
当且仅当 即 时等号成立，故③正确；
24 log 6+ 23 log 3+
24 log 3+
( ) 3 21 4 6 13f x x x x= − + − ( ) 2 8 6f x x x= − +′ ( ) 2 8 6 0f x x x= − + =′
2 4032a a、 ( ) 3 21 4 6 13f x x x x= − + − 2 4032 20172 8a a a+ = = 2 4032 6a a⋅ =
2017 4a = ( )2 2 2017 4032 2 2log · · log 24 3 log 3a a a = = +
2 2 5a b+ ≠ 1a ≠ 2b ≠ R
( )f x ( )f x ( )0 0f = 0x > 0y >
2 1x y+ = 1 1
x y
+ 3 2 2+
1a = 2b = 2 2 5a b+ =
R ( )f x ( )0 0f =
R ( )f x ( )0 0f = ( ) 2f x x=
0x > 0y > 2 1x y+ =
2 1 3 2 3 22 21 1 2y x y x
y y x yx x
+ = + + + ≥ + ⋅ = +
2y
x
x
y
= 2 2 , 2 12x y
−= = −
故选 D.
【点睛】本题考查命题，充分必要条件，及基本不等式.原命题的真假比较难判断时，可借助
逆否命题来判断；基本不等式注意成立的条件“一正二定三相等” .
9.甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有两位
优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲
对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ）
A. 乙、丁可以知道自己的成绩 B. 乙可以知道四人的成绩
C. 乙、丁可以知道对方的成绩 D. 丁可以知道四人的成绩
【答案】A
【解析】
【分析】
根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一
分析可得出结果.
【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，
又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良
好，
又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，
又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩.
因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A.
【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类
讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.
10.在正方体 中，点 为线段 的中点，设点 在直线 上，直线
与平面 所成的角为 ，则 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
1 1 1 1ABCD A B C D− O BD P 1CC OP
1A BD α sinα
6 ,13
3 ,13
6 2 2,3 3
3 6,3 3
【分析】
首先根据图像找到直线与平面的夹角范围，再计算对应正弦值得到答案.
【详解】
由题意可得：直线 OP 于平面 所成的角 的取值范围：
不妨取 .
在 中， .
的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了线面夹角的正弦值，通过图形找到对应的角度是解题的关键.
11.函数 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和辅助角公式将 化简为 的形式，再利用周期函数求出
其最小正周期，可得答案.
1A BD α
1 1 1, [ , ]2 2AOA C OA
π π ∠ ∪ ∠
2AB =
1Rt AOA 1
1 2
1
2 6sin 32 2
AAAOA AO
∠ = = =
+
( )1 1 1sin sin 2C OA AOAπ∠ = − ∠ 1sin 2 AOA= ∠
1 12sin cosAOA AOA= ∠ ∠ 6 3 2 2 62 3 3 3 3
= × × = >
sinα 6 ,13
6 ,13
( ) ( )2sin 4cos 1f x x x= ⋅ −
3
π 2
3
π π 2π
( )f x y= sin x+A ω ϕ（ ）
【详解】解：
，可得其最小正周期为 ，
故选 B.
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换:二倍角公式和辅助角公式等，及三角函数的周期
性的，属于中档题型
12.如图，已知 ，其内部有一点 满足 ，命
题 最大值有可能超过 36 度；命题 若三边长对应分别为 ，则 ；则正确
的选项为（ ）
A. 真 假 B. 假 假 C. 真 真 D. 假 真
【答案】D
【解析】
【分析】
根据正弦定理计算三边关系得到 ，得到命题 q 为真命题，根据角度关系得到内角和超
过 ，故命题 P 为假命题，得到答案.
【详解】方法 1：
在 中，根据正弦定理得 ，即 ①
( ) ( ) ( )2sin 2cos cos2 sin 2cos cos cos2f x x x x x x x x= + = ⋅ +
sin 2 cos sin cos2 sin3x x x x x= + = 2
3
π
ABC∆ O OAB OAC OBC OCA θ∠ = ∠ = ∠ = ∠ =
:p θ :q , ,a b c a bc=2
p q p q p q p q
2a bc=
5θ
ACO∆ ( )sin 2 sin
b m
π θ θ=− sin2 sin
b m
θ θ=
在 中，根据正弦定理得 ，即 ②
由①②得 ，即 .
又 ，
在 中，根据正弦定理得 ，即得 ，
∴ . ∴ 为真.
∵ ，∴ 不是最长边，∴ 至少有一个超过 ，∴内角和超过 ，所以 错
误.
方法 2：如图
延长 交 的外接圆于点 ，则 ，
∴ ，∴ .
又∵ ，∴ .
∴ ，即 ，即 .
【点睛】本题考查了命题的判断，计算量较大，意在考查学生的计算能力.
第Ⅱ卷
二、 填空题：本大题共四小题，每小题 5 分，共 20 分
13.命题 ： ， ，写出命题 的否定：_______________
【答案】 ，
CBO∆ ( )sin sin
a m
θ α θ=+ ( )sin sin
a m
θ α θ=+
( )sin2 sin
b a
θ θ α= + ( )
sin2
sin
b
a
θ
θ α= +
( )sin sin2 ,sin sinA Cθ θ α= = + sin
sin
b A
a C
=
ABC∆ sin
sin
A a
C c
= a b
c a
=
2a bc= q
2a bc= a ,B C∠ ∠ 2θ 5θ p
AO BOC∆ D 2DBC DOC CABθ∠ = ∠ = = ∠
BCD BOD ABO ABCθ∠ = ∠ = + ∠ = ∠
~ABC BCD∆ ∆ AB BC
BC DC
=
CDA CDO CBO CADθ∠ = ∠ = ∠ = = ∠ DC AC=
AB BC
BC AC
= 2BC AC BA= ⋅ 2a bc=
p 0x R∃ ∈ 2
0 02 2 0x x+ + ≤ p
x R∀ ∈ 2 2 2 0x x+ + >
【解析】
【分析】
特称命题改为全称命题，把“ ”改为“ ”，“存在”改为“所有”，再否定结论.
【详解】命题 是特称命题，它的否定是全称命题，
所以命题 的否定为：
，
【点睛】本题考查含有量词的命题的否定.方法：先改量词，再否定结论.
14.曲线 与直线 ， 所围成封闭图形的面积为 ，实数 满足
，则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
先通过定积分计算面积得到 ，再通过线性规划得到答案.
【详解】曲线 与直线 ， 所围成封闭图形的面积为
0x x
p
p
x R∀ ∈ 2 2 2 0x x+ + >
y x= ( 0)x a a= > 0y = 2a ,m n
1
9
0
m n
m n a
n
− ≥
+ ≤
≥
2m n−
1 ,42
−
a
y x= ( 0)x a a= > 0y = 2a
3 3
22 2
0
2 2 4
03 3 9
a axdx x a a a= = = ⇒ =∫
1 1
9 4
0 0
m n m n
m n a m n
n n
− ≥ − ≥
+ ≤ ⇒ + ≤
≥ ≥
根据图像知：
当 时： 为最小值
当 时： 为最大值
的取值范围是：
故答案为：
【点睛】本题考查了定积分的计算和线性规划，综合性较强，意在考查学生的综合应用能力.
15.已知抛物线 与椭圆 有相同的焦点 ， 是两曲
线的公共点，若 ，则此椭圆的离心率为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过抛物线和椭圆性质得到 P 点坐标，将 P 点坐标代入椭圆得到答案.
【详解】设椭圆的左焦点为 ，由题意抛物线的准线方程为
，
由抛物线的定义知点 P 到准线的距离为 ，可得点 P 的横坐标为 ，
纵坐标为
则有 ，所以 ，
则
故答案为
【点睛】本题考查了抛物线性质，椭圆的离心率，计算出 P 点坐标是解题的关键.
5 3,2 2m n= = 12 2m n− = −
4, 0m n= = 2 4m n− =
2m n− 1 ,42
−
1 ,42
−
2 2 ( 0)y px p= >
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
+ = > > F P
5
6PF p=
1
2e =
1F
1, ,0 , ,0 ,2 2 2 2
p p p px F F c = − − =
5
6 p 5
6 2 3
p p p− =
6
3
p
2 2
2
1 1
6 5 7
3 6 6
p p pPF PF
+ = = 12 | | 2a PF PF p= + =
12
2
p
ce a p
= = =
1
2e =
16.定义在区间 上的函数 恰有 2 个不同零点，则实数 的取
值范围是__________.
【答案】 或
【解析】
【分析】
首先的到 这个零点，再利用参数分离的方法计算另外一个零点得到答案.
【详解】定义在区间 上的函数 恰有 2 个不同零点
易知： 是一个零点.
时：
或
且
或
故答案为： 或
【点睛】本题考查了函数的零点问题，参数分离法解决问题，意在考查学生的计算能力.
三、解答题（共 70 分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，写在答题卷上
17.在 中，角 ， ， 所对应的边长分别为 ， ， ，已知 ，
（1）求角 ；
（2）若 ，求
【答案】（1） （2）
【解析】
试题分析：（1）化简条件得： ，即可得角 ；
（2）由余弦定理可得 ，再结合条件可得 ，进
而得 ，再由正弦定理求得 ，进而可求面积.
.
(0,2] ( )2( ) ( 2) lnf x x x x t= − ⋅ − + t
1 14 t< ≤ 5 4t = 2x = ( ]0,2 ( ) ( ) ( )22 lnf x x x x t= − ⋅ − + 2x = ( )0,2x∈ ( )2 2 2 5ln 0 1 1 4x x t x x t t x x t− + = ⇒ − + = ⇒ = − + + ⇒ = 1 1t− < ≤ 2 10 4x x t t− + > ⇒ >
1 14 t< ≤ 5 4t = 1 14 t< ≤ 5 4t = ABC∆ A B C a b c 4B π= cos cos2 0A A− = C 2 2 2b c a bc+ = − + ABCS∆ 12C π= 31 3 − 1cos 2A = C 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + − 22a a+ = a c
试题解析：
（1）因为 ，所以 ，
解得： ， 舍去，所以 ，又 ，所以
（2）在 中，因 ，由余弦定理得：
又 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，由正弦定理
得： ，所以 .
18.为了解学生身高情况，某校以 10%的比例对全校 700 名学生按性别进行分层抽样检查，测
得身高情况的统计图如下：
（1）估计该校男生的人数；并求出 值
（2）估计该校学生身高在 之间的概率；
（3）从样本中身高在 之间的女生中任选 2 人，求至少有 1 人身高在
之间的概率。
【答案】（1）男生人数为 400； （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）根据分层抽样总体及各层抽样比例相同求解；（2）用样本身高在 之间的
频数除以样本总数来估计；（3）列举所有情况，根据古典概型的概率公式求解.
【详解】解（1）样本中男生人数为 40，由分层出样比例为 10%估计全校男生人数为 400。
为
cos cos2 0A A+ = 22cos cos 1 0A A+ − =
1cos 2A = cos 1A = −
3A
π=
4B
π= 5
12C
π=
ABC∆
3A
π= 2 2 2 2 22 cosa b c bc A b c bc= + − = + −
2 2 2b c a bc+ = + + 22a a+ = 2a =
5 6 2sin sin 12 4C
π += =
sin sin
c a
C A
=
3 2 6
3c
+= 1 3sin 12 3ABCS ac B∆ = = +
a
170 ~185cm
170 ~180cm
175 ~180cm
12a = 0.5P = ( ) 1
2P A =
170 ~185cm
由于以 10%的比例抽取，所以样本中女生应该是 30 人，所以
（2）由统计图知，样本中身高在 之间的学生有 人，样本
容量为 70，
所以样本中学生身高在 之间的频率 ，所以由 估计该校学身高在
之间的概率
（3）样本中女生身高在 之间的人数为 4，身高在 之间的人数为 1。
设 表示事件“从样本中身高在 之间的女生中任选 2 人，至少有 1 人身高在
之间”，通过列举可得 或者正面列举也是 .
【点睛】本题考查分层抽样、样本估计总体及古典概型，属于综合题.分层抽样的要点是总体
及各层的抽样比例相同；古典概型列举所有基本事件时要有逻辑顺序，不要遗漏.
19.如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， .
（1）证明： ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的余弦值的绝对
值.
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，证明 且 平分 得到答案.
（2） 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标 ，
计算相应点坐标，计算法向量，利用二面角公式计算得到答案.
详解】证明：（1）连接 ，交 于点 ，连接 ，
因为侧面 为菱形，
【
12a =
170 ~185cm 14 13 4 3 1 35+ + + + =
170 ~185cm 35 0.570f = = f
170 ~180cm 0.5P =
170 ~180cm 175 ~180cm
A 170 ~180cm
175 ~180cm ( ) 3 11 6 2P A = − = ( ) 1
2P A =
1 1 1ABC A B C− 1 1BB C C 1AB B C⊥
1AC AB=
1AC AB⊥ 1 60CBB∠ = ° 1AB BC= = 1 1 1A A B C− −
1
7
1BC 1B C O AO 1B C AO⊥ 1B C AO
O OB x OB O xyz−
1BC 1B C O AO
1 1BB C C
所以 ，且 为 与 的中点，又 ，所以 平面 .
由于 平面 ，故 .
又 ，故 .
（2）因为 ，且 为 的中点，所以 .
又因为 ，所以 ，故 ，从而 两两相互垂直，
为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立空间直角坐标
因为 ，所以 为等边三角形，又 ，则
设 是平面 的法向量，则
，即 所以 .
设 是平面 的法向量，则 ，同理可取 ,
，所以二面角 的余弦值为 .
【点睛】本题考查线段相等的证明，建立空间直角坐标系解决二面角问题，计算量较大，意
在考查学生的计算能力和空间想象能力.
1 1B C BC⊥ O 1B C 1BC 1AB B C⊥ 1B C ⊥ ABO
AO ⊂ ABO 1B C AO⊥
1B O CO= 1AC AB=
1AC AB⊥ O 1B C AO CO=
AB BC= BOA BOC∆ ∆≌ OA OB⊥ 1, ,OA OB OB
O OB x OB O xyz−
1 60CBB∠ = ° 1CBB∆ AB BC=
1
1 3 1 10,0, , ( ,0,0) , 0, ,0 , 0, ,02 2 2 2A B B C −
1 1 1 1 1
1 1 3 1 3 10, , , ,0, , , ,02 2 2 2 2 2AB A B AB B C BC
= − = = − = = − −
( , , )n x y z=
1 1AA B
1
1 1
0
0
n AB
n A B
⋅ = ⋅ =
1 1 02 2
3 1 02 2
y z
x z
− =
− =
(1, 3, 3)n =
m
1 1 1A B C 1 1
1 1
0
0
m A B
m B C
⋅ = ⋅ =
(1, 3, 3)m = −
1cos , 7| || |
n mn m
n m
⋅= =
1 1 1A A B C− − 1
7
20.已知椭圆 ，与 轴负半轴交于 ，离心率
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与椭圆 交于 ， 两点，连接 ， 并延
长交直线 于 ， 两点，若 ，求证：直线 恒过
定点，并求出定点坐标。
【答案】（1） （2）见证明
【解析】
【分析】
（1）由椭圆与 轴交于 可得 得值，结合 与 即可求解；（2）由
， 和两点斜率公式即可分别用 表示 ， 表示 ，再联立直
线与椭圆方程，用韦达定理与直线方程代入化简即可求解.
【详解】（1）由题有 ， . ∴ ，∴ .
∴椭圆方程为 .
（2）法 1：
， .
又 ∴ ，同理
又
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > x ( )2,0A − 1
2e =
C
:l y kx m= + C ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y AM AN
4x = ( )3 3,E x y ( )4 4,F x y
1 2 3 4
1 1 1 1
y y y y
+ = + MN
2 2
14 3
x y+ =
x ( )2,0A − a 1
2
ce a
= = , ,a b c
AM AEk k= AN AFk k= 1 1,x y 3y 2 2,x y 4y
2a = 1
2
ce a
= = 1c = 2 2 2 3b a c= − =
2 2
14 3
x y+ =
( )2 2 22 2
,
3 4 8 4 12 0
1.4 3
y kx m
k x kmx mx y
= + ⇒ + + + − = + =
( )( )2 2 2 2 2 264 4 3 4 4 12 0 12 9k m k m m k∆ = − + − > ⇒ < + 1 2 2 8 3 4 kmx x k −+ = + 2 1 2 2 4 12 3 4 mx x k −= + AM AEk k= 31 1 3 1 1 00 6 2 4 2 2 yy yyx x −− = ⇒ =+ + + 2 4 2 6 2 yy x = + 1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = +
∴
∴ ，此时满足
∴
∴直线 恒过定点
法 2：设直线 的方程为：
则
∴ 或
∴ ，同理 ，
当 时，由 有 . ∴ ，同理
又
∴ ，
当 时，
∴直线 的方程为
( )1 2 2 1 1 21 2 1 2
1 2 1 2 1 2
22 2
6 6 6
x y x y y yy y x x
y y y y y y
+ + ++ + += + =
( )1 2 1 2 2 14 y y x y x y⇒ + = +
( ) ( ) ( )1 2 1 2 2 14 kx m kx m x kx m x kx m⇒ + + + = + + +
( )( )1 2 1 24 2 8 0k m x x kx x m⇒ − + − + =
( ) ( ) ( )2
2 2 2
4 12 2484 2 8 0 03 4 3 4 3 4
m k mkmk m k mk k k
− +−⇒ − − + = ⇒ =+ + +
m k= − 2 212 9m k< + ( )1y kx m k x= + = − MN ( )1,0 AM 1 2x t y= − ( )1 22 2 1 1 2 3 4 12 0 14 3 x t y t y t yx y = − ⇒ + − = + = 0y = 1 2 1 12 3 4 ty t = + 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 12 6 82 23 4 3 4 t tx t y t t t −= − = − =+ + 2 2 2 2 2 6 8 3 4 tx t −= + 2 2 2 2 12 3 4 ty t = + 3 4x = 3 1 3 2x t y= − 3 1 6y t = 1 64,E t 2 64,F t 1 2 3 4 1 1 1 1 y y y y + = + 2 2 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 12 12 6 6 t t t t t t + ++ = + ( )( )1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 12 6 t t t t t t t t + + +⇒ = 1 2 0t t+ ≠ 1 2 4t t = − MN ( )1 2 1 1 1 2 y yy y x xx x −− = −−
∴直线 恒过定点 ，当 时，此时也过定点
综上直线 恒过定点
【点睛】本题考查直线与椭圆的应用.直线恒过定点问题要结合已知条件求出直线的点斜式方
程，联立直线方程与椭圆方程消元，再利用韦达定理代入是常用方法.
21.设函数 ，其中 .
（1）当 时， 的零点个数；
（2）若 的整数解有且唯一，求 的取值范围.
【答案】（1）只有一个零点（2）
【解析】
【分析】
（1）求导，根据导数求函数的单调性，结合极值即可判断；（2）易发现 ，再分
和 根据导数与函数单调性的关系讨论题设成立时 的取值范围，求交集即可.
【详解】解：（1） ，当 时， ，函数单增，
且 时函数值都已经大于 0 了；当 时， ，函数单减，
且 ，所以只有一个零点
（2）观察发现 ，下证除整数 0 外再无其他整数 ，
1 2
2 2 2
1 1 2 1
2 22 2
1 21 1
2 2
1 2
12 12
12 3 4 3 4 6 8
6 8 6 83 4 3 4
3 4 3 4
t t
t t t ty xt tt t
t t
− + + −⇒ − = − − −+ + −+ +
2
1 1
2 2
1 1 2 1
12 6 84
3 4 3 4
t ty xt t t t
−⇒ − = − + + +
2
1 1
2 2
1 2 1 2 1 1
6 8 124 4
3 4 3 4
t ty xt t t t t t
−⇒ = − ⋅ ++ + + +
( )
( )( ) ( )
2
1
2
1 2 1 21 1 2
4 3 44 4 1
3 4
t
x xt t t tt t t
+
= − = −+ ++ +
MN ( )1,0 1 2 0t t+ = ( )1,0
MN ( )1,0
( ) ( )1 2 1xf x e x ax+= ⋅ + − 1a < 0a = ( )f x ( ) 0f x < a 3 12 ae ≤ < ( )0 0f < 0x >
0x < a ( ) ( )1 2 1xf x e x+ ⋅′ = + 1 2x > − ( ) 0f x′ >
0x =
2
1x < − ( ) 0f x′ < ( ) 0f x < ( )0 0f < ( ) ( )2 1xf x e x a= ⋅ + −′
①当 时， ， 根据同向不等式乘法得到 ，因为 ，
所以 ，所以函数单增，且 趋于 时函数值显然很大很大；
但要保证只有唯一整数 0，需要 ，却发现恒成立，
②当 时，要保证只有唯一整数 0，首先需要 ，得到
当 时， ， 根据同向不等式得到 ，又因 ，
所以 ，所以函数在 单减，且
综上所述： 的整数解有且唯一时，
【点睛】本题考查函数零点与导数的应用. 函数零点个数问题常用方法：1、直接求出函数零
点；2、根据函数单调性与极值判断；3、转化为两个函数的交点.
选修 4-4：坐标系与参数方程
22.在极坐标系下，已知圆 和直线
（1）求圆 和直线 的直角坐标方程；
（2）当 时，求圆 和直线 的公共点的极坐标.
【答案】（1） 圆 O 的直角坐标方程为 x2+y2-x-y=0,直线 l 的直角坐标方程为 x-y+1=0
（2）
【解析】
试题分析：（1）根据 将圆 O 和直线 l 极坐标方程化为
直 角 坐 标 方 程 （ 2 ） 先 联 立 方 程 组 解 出 直 线 l 与 圆 O 的 公 共 点 的 直 角 坐 标 ， 再 根 据
化为极坐标
试题解析：(1)圆 O：ρ＝cos θ＋sin θ，
即 ρ2＝ρ cos θ＋ρ sin θ，
故圆 O 的直角坐标方程为 x2＋y2－x－y＝0.
直线 l：ρsin ＝ ，即 ρsin θ－ρcos θ＝1，
0x > e 1x > 2 1 1x + > ( )2 1 1xe x⋅ + > 1a < ( ) ( )2 1 0xf x e x a′ = ⋅ + − > x +∞
( )1 0f >
0x < ( )1 0f − ≥ 3 2a e ≥ 1x < − 1xe e < 2 1 1x + < − ( ) 12 1xe x e ⋅ + < − 3 2a e >
( ) ( )2 1 0xf x e x a′ = ⋅ + − < 1x < − ( )1 0f − >
( ) 0f x < 3 12 ae ≤ < : cos sinO ρ θ θ= + ( )2: sin 0,0 24 2l πρ θ ρ θ π − = ≥ ≤ ≤ O l ( )0,θ π∈ O l 2 2 2cos , sin ,x y x yρ θ ρ θ ρ= = = + 2 2 2cos , sin ,x y x yρ θ ρ θ ρ= = = +
则直线 l 的直角坐标方程为 x－y＋1＝0.
(2)由(1)知圆 O 与直线 l 的直角坐标方程，将两方程联立得，
，解得
即圆 O 与直线 l 在直角坐标系下的公共点为(0，1)，
将(0，1)转化为极坐标为 ，即为所求．
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