绵阳市高中 2017 级第一次诊断性考试理科数学
一、选择题
1.已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解集合 ,然后求解 .
【详解】因为 ， ，
所以 .故选：A.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单
题，侧重考查数学运算的核心素养.
2.若 ，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合不等式的性质或特殊值，逐个选项验证.
【详解】因为 ，所以 ，选项 A 正确；
因为 ，所以 ，选项 B 正确；
因为 ，所以 ，选项 C 不正确；
因为 为增函数，所以 ，选项 D 正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，这类问题的求解方法是利用常见的不等式的性质或者
利用特殊值进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.
3.下列函数中定义域为 ，且在 上单调递增的是( )
{ *| 3}A x x= ∈ ≤N { }2| 4 0B x x x= − ≤ A B =
{1,2,3} {1,2} (0,3] (3,4]
,A B A B
{ }{ *| 3} 1,2,3A x x == ∈ ≤N { } { }2| 4 0 | 0 4B x x x = x x= − ≤ ≤ ≤
{ }1,2,3A B =
0b a< < 1 1 a b < 2ab a> |a|+|b|>|a+b| 3 3a b>
0b a< < 1 1 a b < 0b a< < 2ab a>
0b a< < |a|+|b|=|a+b| 1 3y x= 3 3a b>
R R
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.
【详解】因为 的定义域为 ， 的定义域为 ，所以排
除选项 B,C.
因为 在 是减函数，所以排除选项 A，故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，
对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.
4.等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. 4 B. 5 C. 10 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
先由 求 ，再求公差 ，最后可得 .
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 可 得 ， 所 以
，
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，熟练记忆等差数列的求和公式及通项公式是求
解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
5.已知函数 ，若 ，则 ( )
A. -2 B. -1 C. 0 D.
【答案】B
2( )f x x= ( )f x x= ( ) ln | |f x x=
2( ) e xf x =
( )f x x= [0, )+∞ ( ) ln | |f x x= { }0x x ≠
2( )f x x= ( ,0]−∞
{ }na nS 3 2a = 3 3S = 6a =
3S 2a d 6a
3 23 3S a= = 2 1a = 3 2 2 1 1d a a= − = − =
6 3 3 5a a d= + =
2( ) 2 1
x
xf x = − ( ) 2f m− = ( )f m =
1
2
【解析】
【分析】
先由 写出 ，再由二者关系可得 与 的关系，易得 .
【 详 解 】 因 为 ， 所 以
，
所以 ，易得 .故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的表示方法，结合函数解析式的特征可求，侧重考查数学运算和
逻辑推理的核心素养.
6.已知命题 函数 ， 的最小值为 ；命题 若向量 ， ，
，满足 ，则 ．下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断命题 ，命题 的真假，利用基本不等式和三角函数的性质可判断命题 为假，再用
零向量判断命题 为假，进而判断命题 和命题 为真，易得 为真.
【详解】由题意命题 函数 当且仅当 时，等号成立，由
性质可得 ，所以函数 ， 取不到最小值 ，
即命题 为假，则命题 为真；
命题 若向量 为零向量，满足 ，但不一定有 ，所以命题 为假，则命题
为真，所以 为真.故选: D.
【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及基本不等式的最值问题要注意条件的检验，平
面向量的运算要熟记运算规则，侧重考查逻辑推理的核心素养.
( )f x ( )f x− ( )f m ( )f m− ( )f m
( ) ( )
2 2 2 1
2 1 1 22 1 2
x x x
x xx xf x
− −
− −
⋅− = = =− −− ⋅
( ) ( ) 2 1 12 1 1 2
x
x xf x f x+ − = + =− −
( ) ( ) 1f m f m+ − = ( ) 1f m = −
:p 2sin siny x x
= + (0, )x π∈ 2 2 :q a b
c a b b c⋅ = ⋅ a c=
( )p q¬ ∧ p q∨ ( )p q∧ ¬
( ) ( )p q¬ ∧ ¬
p q p
q p¬ q¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
:p 2sin 2 2siny x x
= + ≥ 2sin sinx x
=
( ) sinf x x= 2sin 2x ≠ 2sin siny x x
= + (0, )x π∈ 2 2
p p¬
:q b a b b c⋅ = ⋅ a c= q q¬
( ) ( )p q¬ ∧ ¬
7.若 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先将 化成与 同底，再利用指数函数单调性比较 大小，然后利用中间值 1 比较 的大
小，最后易得三者关系.
【 详 解 】 因 为 ， 由 指 数 函 数 单 调 递 增 ， 且 可 得
，且 ，又因为 ，所以 .故选：B.
【点睛】本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进
行，不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养.
8.已知 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出点代入目标函数可得.
【详解】作出可行域，如图，
0.61
3a =
0.83b −= ln3c =
b c a> > c a b> > c b a> > a c b> >
a b ,a b ,c a
0
0.6
.61 33a − = =
3xy = 0.6 0.8− > −
0.6 0.83 3a b− −= > = 1b a< < ln3 ln 1c e= > = c a b> >
2 0,
1 0,
1 0,
x y
x y
x y
− ≤
− + ≥
+ − ≥
2z x y= +
1
3
易得目标函数 在点 处取到最小值，
由 得 ，
所以 的最小值为 ，故选：C.
【点睛】本题主要考查线性规划求解最值问题，主要求解方法是作出可行域，平移目标函数，
得到最值点，联立方程组，求出最值点可得最值.
9.设函数 （其中常数 ）的图象在点 处的切线为 l，则 l 在 y
轴上的截距为( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得 的导数，可得切线的斜率，根据切点写出切线的点斜式方程，令 可得 l 在 y
轴上的截距.
【详解】因为函数 的导数为 ，可得图象在点 处的
切线斜率为 ，且 ，则切线方程为 ，令 可得
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解在某点处的切线方程的策略是：先求
导数，代入切点横坐标可得切线斜率，然后结合点斜式可求切线方程，侧重考查数学运算的
核心素养.
10.某数学小组到进行社会实践调查，了解到某公司为了实现 1000 万元利润目标，准备制定
激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过 10 万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y（单
位：万元）随销售利润 x（单位：万元）的增加而增加，但奖金总数不超过 5 万元，同时奖金
不超过利润的 25%．同学们利用函数知识，设计了如下的函数模型，其中符合公司要求的是
（参考数据： ， ）( )
A. B. C. D.
2z x y= + A
1 0,
1 0,
x y
x y
− + =
+ − = (0,1)A
2z x y= + 1
( ) lnxf x ae x= − 0a ≠ (1, (1))f
1ae − 1 2ae−
( )f x 0x =
( ) lnxf x ae x= − 1( ) xf x ae x
′ = − (1, (1))f
1ae − ( )1f ae= ( )( )1 1y ae ae x− = − − 0x =
1y =
10001.002 7.37≈ lg7 0.845≈
0.25y x= 1.002xy = 7log 1y x= +
【答案】C
【解析】
分析】
先由题意得到符合公司要求的函数模型应满足的三个条件，再逐项验证即可.
【详解】由题意得，符合公司要求的函数模型应满足：
当 时，①函数为增函数 ；② ；③ .
对于选项 A，满足条件①，但当 时，则不满足条件②，所以选项 A 错误；
对于选项 B，满足条件①，但当 时，有 ，因而不符合条件
②，所以选项 B 错误；
对于选项 C，满足条件①，
当 时，有 ，所以满足条件②，
且有 恒成立，所以满足条件③，故选项 C 正确；
对于选项 D，不满足条件①，所以选项 D 错误.故选：C.
【点睛】本题主要考查不同函数的增长模型，明确实际问题蕴含的数学模型特点是求解的关
键，侧重考查数学建模和数学运算的核心素养.
11.函数 在 上单调递增，且图象关于 对称，则
的值为( )
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求周期的范围，再进一步得到 的范围，排除选项 B,C,D.
【详解】因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 .又
【
tan 110
xy = −
10 1000x< ≤ 5y ≤ 25%y x≤ 20x >
1000x = 10001.002 7.37 5y = ≈ >
1000x = max 7 7
3log 1000 1 3log 10 1 1 4.550 5lg7y = + = + = + ≈ < 7log 1 25%x x+ ≤ ( ) sin ( 0)6f x x πω ω = + > ,2 2
π π − x π= −
ω
2
3
5
3
8
3
ω
( )f x ,2 2
π π − 2 2 2
T π π π ≥ − − = 2T π≥
因为 ，所以 ，所以 .只有选项 A 符合，经检验可知图象关于 对
称；故选: A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象及性质，利用单调性和对称性确定参数，特值进行排
除也是常用方法，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
12.在 中， ， 的平分线 AD 交边 BC 于点 D，已知 ，且
，则 在 方向上的投影为( )
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 得出四边形 为菱形，从而可得 ,进而可求
在 方向上的投影.
【详解】因为 ，如图设 , ,所以四边形
为菱形；
因为 ， ，所以 ,即有 ;
结合比例性质可得 ,所以 ;
在 方向上的投影为 .故选：D.
【点睛】本题主要考查平面向量的应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简
化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
二、填空题
2T
π
ω= 2 2
π πω ≥ 1ω ≤ x π= −
ABC∆ 60A °∠ = A∠ 2 3AD =
1 ( )3AB AD AC Rλ λ= − ∈ AB AD
3
2
3 3
2
1 ( )3AB AD AC Rλ λ= − ∈ AFDE 3AB = AB
AD
1 ( )3AB AD AC Rλ λ= − ∈ 1
3AE AC= / /DF AC
AFDE
2 3AD = 60A °∠ = 2AE = 6AC =
1BF = 3AB =
AB AD 3 3cos30 2AB ° =
13.已知函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时， ，则
________．
【答案】e
【解析】
【分析】
先根据 可得周期为 ，利用周期可求 ，从而可得结果.
【详解】因为 ，所以函数 的周期为 ，所以 ；
又因为当 时， ，所以 .故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值，主要求解思路是：先根据题设条件得出函数的
周期，再结合周期把目标函数值转化到已知区间上，然后可求，侧重考查数学抽象的核心素
养.
14.已知向量 ，向量 的模为 1，且 ，则 与 的夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据 求得 ，然后利用向量的夹角公式可求.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，所以 ，故 与 的夹角为 .故答案为： .
【点睛】本题主要考查平面向量的运算，向量夹角的求解主要利用公式 来求，
侧重考查数学运算的核心素养.
15.2019 年 10 月 1 日，在庆祝新中国成立 70 周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用
无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的
飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参
( )f x R ( ) ( 2)f x f x= + [0,2)x∈ ( ) xf x e=
(7)f =
( ) ( 2)f x f x= + 2 (7) (1)f f=
( ) ( 2)f x f x= + ( )f x 2 (7) (1)f f=
[0,2)x∈ ( ) xf x e= (7) (1) ef f= = e
( 2,2)a = − b | 2 | 2a b− = a b
4
π
| 2 | 2a b− = a b⋅
( 2,2)a = − 2 2a =
| 2 | 2a b− = 2 2
4 4 4a a b b− ⋅ + = 2a b⋅ =
2cos , 2
a ba b
a b
⋅= =
a b
4
π
4
π
cos , a ba b
a b
⋅=
阅直升飞机以 千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在
北偏西 的方向上，1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 的方向上，仰角为 ，则直
升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】
根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察的方位角及三角形知识可得.
【详解】如图，
根据已知可得
设飞行高度为 千米，即 ，则 ;
在直角三角形 中， ,所以 ，
；
在直角三角形 中，同理可求 ；
因为飞行速度为 千米/小时，飞行时间是 1 分钟，所以 ,
所以 ，解得 ，故答案为： .
【点睛】本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关
72 2
60° 75° 30
2 3
5
60 , 75 , 30 ,ABF CBF CBD∠ = ° ∠ = ° ∠ = °
x CD x= 3BC x=
CFB 75 , 3CBF BC x∠ = ° = 3 sin 75CF x= °
3 cos75BF x= °
ABF 3 cos75AF x= °
72 2 72 2 6 2
60 5ED AC= = =
6 23 sin 75 3 cos75 5AF CF x x+ = °+ ° = 2 3
5x = 2 3
5
键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.
16.若函数 有且仅有 1 个零点，则实数 m 的取值范围为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
先求解导数，结合导数的符号，确定函数的单调性，结合极值情况可求.
【详解】 ，
当 时， 时， ， 时， ，所以 有极小值
，由题意，令 可得 ；
当 时， ，显然成立；
当 时， ， 为增函数，且有 ，显然成立；
当 时， 时， ， 时， ， 时，
，所以 有极大值 ，显然成立；
当 时， 时， ， 时， ， 时，
，所以 有极小值 ，有极大值 ，
，若函数有且仅有 1 个零点，
则需要 ，即 ，
易知当 时， 恒成立.
综上可得 或 ，故答案为： 或 .
【点睛】本题主要考查利用导数求解函数的零点问题，零点问题一般是结合导数，研究函数
的单调性，极值等，结合图象走势情况进行求解，难度较大，综合性较强，侧重考查数学抽
象和直观想象的核心素养.
三、解答题
17.已知函数 ．
21( ) (ln )2f x x m x x x= + − −
1
2m = − 0m ≥
1 ( 1)( )( ) ( 1) 1 x x mf x x m x x
− −′ = + − − =
0m < (0,1)x∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
1(1) 2f m= − − 1 02m− − = 1
2m = −
0m = 21 1( ) ( 1)2 2f x x x x x= − = −
1m =
2( 1)( ) 0xf x x
′ −= > ( )f x 3(1) 2f = −
1m > (0,1)x∈ ( ) 0f x′ > (1, )x m∈ ( ) 0f x′ < ( , )x m∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 1(1) 02f m= − − < 0 1m< < (0, )x m∈ ( ) 0f x′ > ( ,1)x m∈ ( ) 0f x′ < (1, )x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x 1(1) 02f m= − − < ( )f m 21( ) (ln )2f m m m m m m= + − − 21( ) (ln ) 02f m m m m m m= + − − < 1ln 1 02m m− − < 0 1m< < 1ln 1 02m m− − < 1 2m = − 0m ≥ 1 2m = − 0m ≥ 2 2( ) (cos sin ) 2sinf x x x x= − −
（1）求函数 的最小正周期与单调递减区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】
（1）先结合三角恒等变换的公式把目标函数化简为标准型，结合周期求解公式和单调区间求
解方法可求；
（2）结合所给角的范围，确定 的范围，结合函数值可得所求角.
【详解】解：（1）
∴ ，
即 的最小正周期为 ．
∵ 的单调递减区间为 ， ，
∴由 ， ，解得 ， ，
∴ 单调递减区间为 ， ．
（2）由已知 ，可得 ，
即 ，
再由 ，可得 ，
的
( )f x
( )0 1f x = − 0 , 2x
ππ ∈ − − 0x
π 3,8 8k k
π ππ π − + k ∈Z
3
4
π−
02 4x
π+
2 2( ) (cos sin ) 2sinf x x x x= − −
21 2sin cos 2sinx x x= − −
cos2 sin 2x x= −
2 cos 2 4x
π = +
2
2T
π π= =
( )f x π
cosy x= [2 ,2 ]k kπ π + π k ∈Z
2 2 24k x k
ππ π π≤ + ≤ + k ∈Z 3
8 8k x k
π ππ π− ≤ ≤ + k ∈Z
( )f x 3,8 8k k
π ππ π − + k ∈Z
( )0 1f x = − 02 cos 2 14x
π + = −
0
2cos 2 4 2x
π + = −
0 , 2x
ππ ∈ − − 0
7 32 ,4 4 4x
π π π + ∈ − −
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及性质，一般求解思路是：先利用公式把目标函
数化简为标准型，然后利用相应性质的求解方法求解，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心
素养.
18.已知数列 满足 ， ，且 ， ，数列 的前 n 项和
．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据条件可得数列 是等差数列，结合等差数列的通项公式可求，数列 的通
项公式可由公式 求得；
（2）先求解 ，根据通项公式的特点，利用分组求和法求和.
【详解】解：（1）∵ ， ，即 ，
∴数列 是等差数列．
由 ， ，解得 ， ，
∴ ．
当 时， ，
当 时， ．
．
0
52 4 4x
π π+ = −
0
3
4x
π= −
{ }na 2 12n n na a a+ ++ = *n∈N 1 1a = 4 7a = { }nb
12 2n
nS += −
{ }na { }nb
22 logna
n nc b= + { }nc nT
2 1na n= − 2n
nb =
2 1 22 2
3 2
n
n
n nT
+ − += +
{ }na { }nb
1
1
1
2n
n n
S nb S S n−
== − ≥
nc
2 12n n na a a+ ++ = *n∈N 2 1 1n n n na a a a+ + +− = −
{ }na
1 1a = 4 1 3 7a a d= + = 1 1a = 2d =
1 ( 1) 2 1na a n d n= + − = −
1n = 1 2b =
2n ≥ ( )1
1 2 2 2 2n n
n n nb S S +
−= − = − − −
12 2 2 2 2 2n n n n n+= − = × − =
∴数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得， ，
．
【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解和数列求和，已知 求解通项公式时，通常利用
公式 求解，数列求和一般是利用通项公式的特征，选择合适的方法求解，
常用方法有：错位相减法，裂项相消法，分组求和法等，侧重考查数学运算和逻辑推理的核
心素养.
19.已知 中三个内角 A，B，C 满足 ．
（1）求 ；
（2）若 ，b 是角 B 的对边， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据 及平方关系，可以求得 ；
（2）根据三角形的性质及正弦定理可求 ， ，然后利用面积公式
可得.
【详解】解：（1）在 中， ，即 ，
∴ ，
{ }nb 2n
nb =
2 12 n
nc n−= +
( ) ( ) ( )3 5 2 1(2 1) 2 2 2 3 2 n
nT n−= + + + + + + + +
( )3 5 2 12 2 2 2 (1 2 3 )n n−= + + + + + + + + +
( )2 1 4 (1 )
1 4 2
n n n− += +−
2 1 22 2
3 2
n n n+ − += +
nS
1
1
1
2n
n n
S nb S S n−
== − ≥
ABC∆ 2 cos sin( ) 1B A C= + +
sin B
2C A
π− = 3b = ABC∆
1
3
3 2
2
2 cos sin( ) 1B A C= + + sin B
3 3sina A= 3 3sinc C=
ABC∆ A B C π+ + = ( )B A Cπ= − +
sin sin( )B A C= +
由题意得 ．
两边平方可得 ，
根据 ，
可整理为 ，
解得 或 （舍去）．
∴ ．
（2）由 ，且 ，
可得 ， 为钝角，
∴ ，
又 ，
由正弦定理得 ，
∴ ， ．
又 为钝角，由（1）得 ．
∴ 的面积为
综上所述， 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理和面积公式求解三角形问题，解三角形时需要注意三角
形性质 使用及面积公式的选择，边角的相互转化是求解的常用策略，侧重考查数学运算和
逻辑推理的核心素养.
20.已知函数 ．
的
2 cos sin 1B B= +
2 22cos sin 2sin 1B B B= + +
2 2sin cos 1B B+ =
23sin 2sin 1 0B B+ − =
1sin 3B = sin 1B = −
1sin 3B =
2C A
π− = A B C π+ + =
2 2A B
π= − C
sin 2 cosA B=
3b =
3 3sin sin sin
a b c
A B C
= = =
3 3sina A= 3 3sinc C=
C cos 2 2
3B =
ABC∆ 1 1 1sin 3 3sin 3 3sin2 2 3S ac B A C= = × × ×
9 9sin sin sin cos2 2 2A A A A
π = + =
9 9 9 2 2 3 2sin 2 cos4 4 4 3 2A B= = = × =
ABC∆ 3 2
2
ln 2( ) ln 2
xf x x
−= +
（1）求函数 在区间 上 值域；
（2）若实数 ， 均大于 1 且满足 ，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）先把函数化简为 ，结合 的范围可得；
（2）先根据 得 ，表示出目标函数 ，结
合均值定理可求.
【详解】解：（1）由题意得 ，
由 ，知 ，于是 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 的值域为 ．
（2） ，
所以 ．
又 ， ，
∴
的( )f x [1, )+∞
1x 2x ( ) ( )1 2
1
2f x f x+ = ( )1 2f x x
[ 1,1)−
7
13
4( ) 1 ln 2f x x
= − + ln x
( ) ( )1 2
1
2f x f x+ =
1 2
4 4 3
ln 2 ln 2 2x x
+ =+ + ( )1 2f x x
ln 2 4 4( ) 1ln 2 ln 2
xf x x x
+ −= = −+ +
1x ≥ ln 0x ≥ ln 2 2x + ≥
1 10 ln 2 2x
< ≤+ 42 0ln 2x − ≤ − x
1 2 1 2 1 2ln ln ln ln 2 ln 2 4x x x x x x= + = + + + −
( ) ( )1 2
1 2
2 4 4ln 2 ln 2 43 ln 2 ln 2x x x x
= + + + ⋅ + − + +
( ) ( )2 1
1 2
4 ln 2 4 ln 22 8 43 ln 2 ln 2
x x
x x
+ + = + + − + +
2 20(8 2 16) 43 3
≥ + − =
当且仅当 ，即 时取“ ”，
故 ，
∵ 在 上是增函数，
∴ ．
【点睛】本题主要考查函数的值域及利用基本不等式求解最值，基本不等式求解最值问题要
满足适用条件，等量关系的代换是本题求解的关键，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素
养.
21.已知函数 ， ， ．
（1）若 存在极小值，求实数 a 的取值范围；
（2）若 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）先求函数的导函数，通过分类讨论导数的符号情况，得出极值情况，从而可求；
（2）先把目标不等式等价转化，构造新函数，求导，判定单调性，得到最值，然后可证.
【详解】解：（1）由题意得 ，令 ，
则 ．
∴当 时，得 ，此时 单调递减，且 ， ，
当 时，得 ，此时 单调递增，且 ， ，
∴ ．
①当 ，即 时， ，于是 在 上是增函数，
从而 在 上无极值．
( ) ( )2 1
1 2
4 ln 2 4 ln 2
ln 2 ln 2
x x
x x
+ +=+ + 1 2x x= =
( )( )1 2 min
20ln 3x x =
( )f x (1, )+∞
( )1 2 min
7
13f x x =
2( ) exf x ax= − a R∈ (0, )x∈ +∞
( )f x
2
0 2
ea< ≤ ( ) (ln )f x ax x x> −
2
ea >
( ) 2 2
x
x ef x e ax x ax
′ = − = − ( )
xeh x x
=
2
( 1)( )
xe xh x x
′ −=
0 1x< < ( ) 0h x′ < ( )h x 0x → ( )h x → +∞ 1x > ( ) 0h x′ > ( )h x x → +∞ ( )h x → +∞
min( ) (1)h x h e= =
2a e≤
2
ea ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x (0, )+∞
( )f x (0, )+∞
②当 ，即 时，存在 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；
当 时， ， 在 上单调递增，
故 是 在 上的极小值点．
综上， ．
（2）要证 ）即等价于证明 ．
①当 时，得 ， ，
显然成立；
②当 时，则 ，
结合已知 ，可得 ．
于是问题转化为证明 ，
即证明 ．
令 ， ，
则 ，
令 ，
则 ，
易得 在 上单调递增．
∵ ， ，
∴存在 使得 ，即 ．
2a e>
2
ea > 1 20 1x x< < < ( ) ( )1 2 0f x f x′ ′= = ( )10,x x∈ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )10, x
( )1 2,x x x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1 2,x x ( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )2 ,x +∞
2x ( )f x (0, )+∞
2
ea >
( ) (ln )f x ax x x> − lnxe ax x>
0 1x< ≤ e 1x > ln 0ax x ≤
1x > ln 0x x >
2
0 2
ea< ≤ 2 0 ln ln2 eax x x x< ≤ 2 ln2 x ee x x>
22 ln 0
xe xx
−
− >
22( ) ln
xeg x xx
−
= − 1x >
2
2
2 ( 1)( )
xe x xg x x
−
′ − −=
2( ) 2 ( 1)xh x e x x−= − −
2( ) 2 1xh x xe′ −= −
( )h x′ (0, )+∞
2(1) 1 0h e
′ = − < (2) 3 0h′ = >
0 (1,2)x ∈ ( )0 0h x′ = 0 2
02 1xx e − =
∴ 在区间 上单调递减，
在区间 上单调递增，
又 ， ，
∴当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ ，
故 ，问题得证．
【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解极值问题一般是结合函数的单调性进行，
不等关系的证明一般是利用转化思想进行等价变形，然后构造新函数，判定新函数的单调性
或求解最值，本题综合性较强，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．坐标原
点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
．
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）设射线 与曲线 交于点 ，与直线 交于点 ，求线段 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式 ，
可得极坐标方程；
（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段 的长．
【详解】解：（1）由题意得 ，
( )h x ( )01, x
( )0 ,x +∞
(1) 1 0h = − < (2) 0h = (1,2)x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x (2, )x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
( ) (2) 1 ln 2 0g x g≥ = − >
( ) 0>g x
xOy C
cos 3sin ,
sin 3 cos
x
y
α α
α α
= +
= −
α
O x l
cos 36
πρ θ − =
C
: 3OM
πθ = C A l B AB
2 2 4x y+ = 2ρ =
2 3 2−
cosx ρ θ= siny ρ θ=
AB
2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4x y α α α α+ = + + − =
∴曲线 的普通方程为 ．
∵ ， ，
∴代入可得曲线 的极坐标方程为 ．
（2）把 代入 中，
可得 ，
解得 ﹐
即 点的极径 ，
由（1）易得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普
通方程化为极坐标方程主要利用 ， 来实现，侧重考查数学运算的核心
素养.
23.设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
分析】
（1）利用零点分段讨论法，把绝对值符号去掉可得解集；
（2）先求 的最小值，然后求解绝对值不等式即可.
【详解】（1）当 时， ．
当 时， ，解得 ；
【
C 2 2 4x y+ =
cosx ρ θ= siny ρ θ=
C 2ρ =
3
πθ = cos 36
πρ θ − =
cos 33 6
π πρ − =
2 3ρ =
B 2 3B
ρ =
2A
ρ =
| | 2 3 2A BAB ρ ρ= − = −
cosx ρ θ= siny ρ θ=
( ) | | | 1| 5( )f x x m x m R= − + + − ∈
2m = ( ) 0f x ≥
( ) 2f x ≥ −
( , 2] [3, )−∞ − ∪ +∞
( , 4] [2, )−∞ − +∞
( )f x
2m = ( ) | 2 | | 1| 5f x x x= − + + −
1x ≤ − ( ) ( 2) ( 1) 5 0f x x x= − − − + − ≥ 2x −≤
当 时， ，
无解．
当 时， ，
解得 ；
综上，原不等式的解集为 ．
（2）∵
当且仅当 等号成立
∴ ，
∴ 或 ，
即 或 ，
∴实数 m 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的求解一般转化为分段函数求解，
不等式有关的最值常用 来实现，侧重考查数学运算的核心素养.
1 2x− < < ( ) ( 2) 1 5 0f x x x= − − + + − ≥ 2x ≥ ( ) 2 1 5 0f x x x= − + + − ≥ 3x ≥ ( , 2] [3, )−∞ − ∪ +∞ ( ) | | | 1| 5 | ( ) ( 1) | 5f x x m x x m x= − + + − ≥ − − + − | 1| 5 2m= + − ≥ − ( )( 1) 0x m x− + ≤ | 1| 3m + ≥ 1 3m + ≥ 1 3m + ≤ − 2m ≥ 4m ≤ − ( , 4] [2, )−∞ − +∞ a b a b a b+ ≥ ± ≥ −
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