绵阳市高中 2017 级第一次诊断性考试
文科数学
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求解集合 ,然后求解 .
【详解】因为 ， ，
所以 .故选：A.
【点睛】本题主要考查集合的交集运算，先化简集合是求解此类问题的关键，题目属于简单
题，侧重考查数学运算的核心素养.
2.若 ，则下列结论不正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
结合不等式的性质或特殊值，逐个选项验证.
【详解】因为 ，所以 ，选项 A 正确；
因为 ，所以 ，选项 B 正确；
因为 ，所以 ，选项 C 不正确；
因为 为增函数，所以 ，选项 D 正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查不等式的性质，这类问题的求解方法是利用常见的不等式的性质或者
{ *| 3}A x x= ∈ ≤N { }2| 4 0B x x x= − ≤ A B =
{1,2,3} {1,2} (0,3] (3,4]
,A B A B
{ }{ *| 3} 1,2,3A x x == ∈ ≤N { } { }2| 4 0 | 0 4B x x x = x x= − ≤ ≤ ≤
{ }1,2,3A B =
0b a< < 1 1 a b < 2ab a> |a|+|b|>|a+b| 3 3a b>
0b a< < 1 1 a b < 0b a< < 2ab a>
0b a< < |a|+|b|=|a+b| 1 3y x= 3 3a b>
利用特殊值进行求解，侧重考查逻辑推理的核心素养.
3.下列函数中定义域为 ，且在 上单调递增的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求解选项中各函数的定义域，再判定各函数的单调性，可得选项.
【详解】因为 的定义域为 ， 的定义域为 ，所以排
除选项 B,C.
因为 在 是减函数，所以排除选项 A，故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的性质，求解函数定义域时，熟记常见的类型：分式，偶次根式，
对数式等，单调性一般结合初等函数的单调性进行判定，侧重考查数学抽象的核心素养.
4.等差数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则 ( )
A. 4 B. 5 C. 10 D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】
先由 求 ，再求公差 ，最后可得 .
【 详 解 】 因 为 ， 所 以 ， 可 得 ， 所 以
，
故选：B.
【点睛】本题主要考查等差数列的基本运算，熟练记忆等差数列的求和公式及通项公式是求
解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
5.已知函数 ，若 ，则 ( )
R R
2( )f x x= ( )f x x= ( ) ln | |f x x=
2( ) e xf x =
( )f x x= [0, )+∞ ( ) ln | |f x x= { }0x x ≠
2( )f x x= ( ,0]−∞
{ }na nS 3 2a = 3 3S = 6a =
3S 2a d 6a
3 23 3S a= = 2 1a = 3 2 2 1 1d a a= − = − =
6 3 3 5a a d= + =
2( ) 2 1
x
xf x = − ( ) 2f m− = ( )f m =
A. -2 B. -1 C. 0 D.
【答案】B
【解析】
分析】
先由 写出 ，再由二者关系可得 与 的关系，易得 .
【 详 解 】 因 为 ， 所 以
，
所以 ，易得 .故选：B.
【点睛】本题主要考查函数的表示方法，结合函数解析式的特征可求，侧重考查数学运算和
逻辑推理的核心素养.
6.已知命题 函数 ， 的最小值为 ；命题 若向量 ， ，
，满足 ，则 ．下列命题中为真命题的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先判断命题 ，命题 的真假，利用基本不等式和三角函数的性质可判断命题 为假，再用
零向量判断命题 为假，进而判断命题 和命题 为真，易得 为真.
【详解】由题意命题 函数 当且仅当 时，等号成立，由
性质可得 ，所以函数 ， 取不到最小值 ，
即命题 为假，则命题 为真；
命题 若向量 为零向量，满足 ，但不一定有 ，所以命题 为假，则命题
【
1
2
( )f x ( )f x− ( )f m ( )f m− ( )f m
( ) ( )
2 2 2 1
2 1 1 22 1 2
x x x
x xx xf x
− −
− −
⋅− = = =− −− ⋅
( ) ( ) 2 1 12 1 1 2
x
x xf x f x+ − = + =− −
( ) ( ) 1f m f m+ − = ( ) 1f m = −
:p 2sin siny x x
= + (0, )x π∈ 2 2 :q a b
c a b b c⋅ = ⋅ a c=
( )p q¬ ∧ p q∨ ( )p q∧ ¬
( ) ( )p q¬ ∧ ¬
p q p
q p¬ q¬ ( ) ( )p q¬ ∧ ¬
:p 2sin 2 2siny x x
= + ≥ 2sin sinx x
=
( ) sinf x x= 2sin 2x ≠ 2sin siny x x
= + (0, )x π∈ 2 2
p p¬
:q b a b b c⋅ = ⋅ a c= q q¬
为真，所以 为真.故选: D.
【点睛】本题主要考查命题真假的判定，涉及基本不等式的最值问题要注意条件的检验，平
面向量的运算要熟记运算规则，侧重考查逻辑推理的核心素养.
7.若 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先将 化成与 同底，再利用指数函数单调性比较 大小，然后利用中间值 1 比较 的大
小，最后易得三者关系.
【 详 解 】 因 为 ， 由 指 数 函 数 单 调 递 增 ， 且 可 得
，且 ，又因为 ，所以 .故选：B.
【点睛】本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进
行，不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养.
8.已知 x，y 满足约束条件 ，则 的最小值为( )
A. 4 B. 2 C. 1 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出可行域，平移目标函数，确定取到最小值的点，然后求出点代入目标函数可得.
【详解】作出可行域，如图，
( ) ( )p q¬ ∧ ¬
0.61
3a =
0.83b −= ln3c =
b c a> > c a b> > c b a> > a c b> >
a b ,a b ,c a
0
0.6
.61 33a − = =
3xy = 0.6 0.8− > −
0.6 0.83 3a b− −= > = 1b a< < ln3 ln 1c e= > = c a b> >
2 0,
1 0,
1 0,
x y
x y
x y
− ≤
− + ≥
+ − ≥
2z x y= +
1
3
易得目标函数 在点 处取到最小值，
由 得 ，
所以 的最小值为 ，故选：C.
【点睛】本题主要考查线性规划求解最值问题，主要求解方法是作出可行域，平移目标函数，
得到最值点，联立方程组，求出最值点可得最值.
9.设函数 （其中常数 ）的图象在点 处的切线为 l，则 l 在 y
轴上的截距为( )
A. 1 B. 2 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求得 的导数，可得切线的斜率，根据切点写出切线的点斜式方程，令 可得 l 在 y
轴上的截距.
【详解】因为函数 的导数为 ，可得图象在点 处的
切线斜率为 ，且 ，则切线方程为 ，令 可得
，
故选：A.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，利用导数求解在某点处的切线方程的策略是：先求
导数，代入切点横坐标可得切线斜率，然后结合点斜式可求切线方程，侧重考查数学运算的
核心素养.
2z x y= + A
1 0,
1 0,
x y
x y
− + =
+ − = (0,1)A
2z x y= + 1
( ) lnxf x ae x= − 0a ≠ (1, (1))f
1ae − 1 2ae−
( )f x 0x =
( ) lnxf x ae x= − 1( ) xf x ae x
′ = − (1, (1))f
1ae − ( )1f ae= ( )( )1 1y ae ae x− = − − 0x =
1y =
10.某数学小组到进行社会实践调查，了解鑫鑫桶装水经营部在为如何定价发愁。进一步调研
了解到如下信息：该经营部每天的房租、人员工资等固定成本为 200 元，每桶水的进价是 5
元，销售单价与日均销售量的关系如下表：
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
根据以上信息，你认为该经营部定价为多少才能获得最大利润？（ ）
A. 每桶 8.5 元 B. 每桶 9.5 元 C. 每桶 10.5 元 D. 每桶 11.5
元
【答案】D
【解析】
【分析】
通过表格可知销售单价每增加 1 元、日均销售量减少 40 桶，进而列出表达式，利用二次函数
的简单性质即得结论．
【详解】通过表格可知销售单价每增加 1 元、日均销售量减少 40 桶，设每桶水的价格为
（6+x）元（0＜x＜13），
公司日利润 y 元，则 y＝（6+x﹣5）（480﹣40x）﹣200＝﹣40x2+440x+280（0＜x＜13），
∵﹣40＜0，∴当 x＝ ＝5.5 时函数 y 有最大值，
因此，每桶水的价格为 6+5.5=11.5 元，公司日利润最大，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次函数模型的应用以及二次函数求最值，属于基础题．
11.函数 在 上单调递增，且图象关于 对称，则
的值为( )
A. B. C. 2 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
440
2 40×
( ) sin ( 0)6f x x
πω ω = + > ,2 2
π π − x π= −
ω
2
3
5
3
8
3
先求周期的范围，再进一步得到 的范围，排除选项 B,C,D.
【详解】因为函数 在 上单调递增，所以 ，所以 .又
因为 ，所以 ，所以 .只有选项 A 符合，经检验可知图象关于 对
称；故选: A.
【点睛】本题主要考查三角函数的图象及性质，利用单调性和对称性确定参数，特值进行排
除也是常用方法，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
12.在 中， ， 的平分线 AD 交边 BC 于点 D，已知 ，且
，则 在 方向上的投影为( )
A. 1 B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据 得出四边形 为菱形，从而可得 ,进而可求
在 方向上的投影.
【详解】因为 ，如图设 , ,所以四边形
为菱形；
因 ， ，所以 ,即有 ;
结合比例性质可得 ,所以 ;
在 方向上的投影为 .故选：D.
为
ω
( )f x ,2 2
π π − 2 2 2
T π π π ≥ − − = 2T π≥
2T
π
ω= 2 2
π πω ≥ 1ω ≤ x π= −
ABC∆ 60A °∠ = A∠ 2 3AD =
1 ( )3AB AD AC Rλ λ= − ∈ AB AD
3
2
3 3
2
1 ( )3AB AD AC Rλ λ= − ∈ AFDE 3AB = AB
AD
1 ( )3AB AD AC Rλ λ= − ∈ 1
3AE AC= / /DF AC
AFDE
2 3AD = 60A °∠ = 2AE = 6AC =
1BF = 3AB =
AB AD 3 3cos30 2AB ° =
【点睛】本题主要考查平面向量 应用，明确向量的运算规则是求解的关键，数形结合能简
化运算过程，侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知函数 的定义域为 ，且满足 ，当 时， ，则
________．
【答案】e
【解析】
【分析】
先根据 可得周期为 ，利用周期可求 ，从而可得结果.
【详解】因为 ，所以函数 的周期为 ，所以 ；
又因为当 时， ，所以 .故答案为： .
【点睛】本题主要考查利用函数的周期求值，主要求解思路是：先根据题设条件得出函数的
周期，再结合周期把目标函数值转化到已知区间上，然后可求，侧重考查数学抽象的核心素
养.
14.已知向量 ，向量 的模为 1，且 ，则 与 的夹角为________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据 求得 ，然后利用向量的夹角公式可求.
【详解】因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即有 ，
，所以 ，故 与 的夹角为 .故答案为： .
【点睛】本题主要考查平面向量的运算，向量夹角的求解主要利用公式 来求，
侧重考查数学运算的核心素养.
的
( )f x R ( ) ( 2)f x f x= + [0,2)x∈ ( ) xf x e=
(7)f =
( ) ( 2)f x f x= + 2 (7) (1)f f=
( ) ( 2)f x f x= + ( )f x 2 (7) (1)f f=
[0,2)x∈ ( ) xf x e= (7) (1) ef f= = e
( 2,2)a = − b | 2 | 2a b− = a b
4
π
| 2 | 2a b− = a b⋅
( 2,2)a = − 2 2a =
| 2 | 2a b− = 2 2
4 4 4a a b b− ⋅ + = 2a b⋅ =
2cos , 2
a ba b
a b
⋅= =
a b
4
π
4
π
cos , a ba b
a b
⋅=
15.2019 年 10 月 1 日，在庆祝新中国成立 70 周年阅兵中，由我国自主研制的军用飞机和军用
无人机等参阅航空装备分秒不差飞越天安门，壮军威，振民心，令世人瞩目．飞行员高超的
飞行技术离不开艰苦的训练和科学的数据分析．一次飞行训练中，地面观测站观测到一架参
阅直升飞机以 千米/小时的速度在同一高度向正东飞行，如图，第一次观测到该飞机在
北偏西 的方向上，1 分钟后第二次观测到该飞机在北偏东 的方向上，仰角为 ，则直
升机飞行的高度为________千米．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】
根据飞行时间和速度可求飞行距离，结合两次观察 方位角及三角形知识可得.
【详解】如图，
根据已知可得
设飞行高度为 千米，即 ，则 ;
在直角三角形 中， ,所以 ，
；
在直角三角形 中，同理可求 ；
因为飞行速度为 千米/小时，飞行时间是 1 分钟，所以 ,
的
72 2
60° 75° 30
2 3
5
60 , 75 , 30 ,ABF CBF CBD∠ = ° ∠ = ° ∠ = °
x CD x= 3BC x=
CFB 75 , 3CBF BC x∠ = ° = 3 sin 75CF x= °
3 cos75BF x= °
ABF 3 cos75AF x= °
72 2 72 2 6 2
60 5ED AC= = =
所以 ，解得 ，故答案为： .
【点睛】本题主要考查以现实问题为背景的解三角形问题，准确理解方位角是求解本题的关
键，融合了简单的物理知识，侧重考查了直观想象和逻辑推理的核心素养.
16.若函数 有且仅有 1 个零点，则实数 的取值范围为________．
【答案】 或
【解析】
【分析】
令 f（x）＝0，参变分离得 a＝ ，令 h（x）＝ ，对 h（x）求导得函数 h
（x）的单调递增区间为（0，1）,单调递减区间为（﹣∞，0），（1，+∞）， h（x） ＝h
（0）＝1，h（x） ＝h（1）＝ ，由题意得函数 h（x）与直线 y＝a 有且仅有一个交点，
即可得出 a 的取值范围．
【详解】令 f（x）＝0，可得：a＝ ，令 h（x）＝ ，
h （x）＝ ，令 h （x）＝0，解得 x＝0 或 1，
x （﹣∞，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）
h （x） ﹣ 0 + 0 ﹣
h（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
由表格可得：h（x） ＝h（0）＝1，h（x） ＝h（1）＝ ，且
， .
由 f（x）有且仅有一个零点，转化为函数 h（x）与直线 y＝a 有且仅有一个交点．
∴当 或 时，函数 h（x）与直线 y＝a 有且仅有一个交点．
6 23 sin 75 3 cos75 5AF CF x x+ = °+ ° = 2 3
5x = 2 3
5
2( ) 1 xf x x x ae= + + − a
0 1a< < 3 ea >
2 1
x
x x
e
+ + 2 1
x
x x
e
+ +
极小值
极大值
3
e
2 1
x
x x
e
+ + 2 1
x
x x
e
+ +
'
( ) ( )2
2
(2 1) 1 1x x
x x
x e x x e x x
e e
+ − + + − −= '
'
极小值 极大值
3
e
( ),x h x→ −∞ → +∞ ( ), 0x h x→ +∞ →
0 1a< < 3 ea >
故答案为： 或
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，函数的零点转化为图象的交点问题，
也考查了分析推理转化解决问题与计算的能力，属于中档题．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60 分．
17.已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期与单调递减区间；
（2）若 ，且 ，求 的值．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】
（1）先结合三角恒等变换的公式把目标函数化简为标准型，结合周期求解公式和单调区间求
解方法可求；
（2）结合所给角的范围，确定 的范围，结合函数值可得所求角.
【详解】解：（1）
∴ ，
即 的最小正周期为 ．
∵ 的单调递减区间为 ， ，
∴由 ， ，解得 ， ，
0 1a< < 3 ea >
2 2( ) (cos sin ) 2sinf x x x x= − −
( )f x
( )0 1f x = − 0 , 2x
ππ ∈ − − 0x
π 3,8 8k k
π ππ π − + k ∈Z
3
4
π−
02 4x
π+
2 2( ) (cos sin ) 2sinf x x x x= − −
21 2sin cos 2sinx x x= − −
cos2 sin 2x x= −
2 cos 2 4x
π = +
2
2T
π π= =
( )f x π
cosy x= [2 ,2 ]k kπ π + π k ∈Z
2 2 24k x k
ππ π π≤ + ≤ + k ∈Z 3
8 8k x k
π ππ π− ≤ ≤ + k ∈Z
∴ 的单调递减区间为 ， ．
（2）由已知 ，可得 ，
即 ，
再由 ，可得 ，
∴ ，
解得 ．
【点睛】本题主要考查三角函数的恒等变换及性质，一般求解思路是：先利用公式把目标函
数化简为标准型，然后利用相应性质的求解方法求解，侧重考查逻辑推理和数学抽象的核心
素养.
18.在各项均不相等的等差数列 中， ，且 ， ， 成等比数列，数列 的前 n
项和 ．
（1）求数列 、 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和 ．
【答案】（1） ， ；（2）
【解析】
【分析】
（1）设数列 的公差为 d，由 ， ， 成等比数列，列式解得 （舍去）或
，进而得 ；再由数列 的前 n 项和 ，得
，且 ，进而得 ；
（2）由（1）得 ，利用分组求数列 的前 n 项和 即可.
【详解】（1）设数列 的公差为 d，则 ， ，∵ ， ， 成等比
( )f x 3,8 8k k
π ππ π − + k ∈Z
( )0 1f x = − 02 cos 2 14x
π + = −
0
2cos 2 4 2x
π + = −
0 , 2x
ππ ∈ − − 0
7 32 ,4 4 4x
π π π + ∈ − −
0
52 4 4x
π π+ = −
0
3
4x
π= −
{ }na 1 1a = 1a 2a 5a { }nb
12 2n
nS += −
{ }na { }nb
22 logna
n nc b= + { }nc nT
2 1na n= − 2n
nb = 2 1 22 2
3 2
n
n
n nT
+ − += +
{ }na 1a 2a 5a 0d =
2d = 2 1na n= − { }nb 12 2n
nS += − 1n n nb S S −= − = 2n
( )2n ≥ 1 2b = 2n
nb =
2 12 n
nc n−= + { }nc nT
{ }na 2 1a a d= + 5 1 4a a d= + 1a 2a 5a
数列，
，即 ，
整理得 ，解得 （舍去）或 ， .
当 时， ，
当 时， ．
验：当 时， 满足上式，∴数列 的通项公式为 ．
（2）由（1）得， ，
.
【点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，也考查了数列的分组求和
的方法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
19.已知 中三个内角 A，B，C 满足 ．
（1）求 ；
（2）若 ，b 是角 B 的对边， ，求 的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
（1）先根据 及平方关系，可以求得 ；
（2）根据三角形 性质及正弦定理可求 ， ，然后利用面积公式
可得.
的
2
2 1 5a a a∴ = ( ) ( )2
1 1 1 4a d a a d+ = +
2
12d a d= 0d = 12 2d a= = ( )1 1 2 1na a n d n∴ = + − = −
1n = 1 2b =
2n ≥ ( )1
1 2 2 2 2n n
n n nb S S +
−= − = − − − 12 2 2 2 2 2n n n n n+= − = × − =
1n = 1 2b = { }nb 2n
nb =
2 1
22 log 2na n
n nc b n−== + +
( ) ( ) ( )3 5 2 1(2 1) 2 2 2 3 2 n
nT n−= + + + + + + + +
( )3 5 2 12 2 2 2 (1 2 3 )n n−= + + + + + + + + +
( )2 1 4 (1 )
1 4 2
n n n− += +−
2 1 22 2
3 2
n n n+ − += +
ABC∆ 2 cos sin( ) 1B A C= + +
sin B
2C A
π− = 3b = ABC∆
1
3
3 2
2
2 cos sin( ) 1B A C= + + sin B
3 3sina A= 3 3sinc C=
【详解】解：（1）在 中， ，即 ，
∴ ，
由题意得 ．
两边平方可得 ，
根据 ，
可整理为 ，
解得 或 （舍去）．
∴ ．
（2）由 ，且 ，
可得 ， 为钝角，
∴ ，
又 ，
由正弦定理得 ，
∴ ， ．
又 为钝角，由（1）得 ．
∴ 的面积为
综上所述， 的面积为 ．
【点睛】本题主要考查利用正弦定理和面积公式求解三角形问题，解三角形时需要注意三角
形性质的使用及面积公式的选择，边角的相互转化是求解的常用策略，侧重考查数学运算和
ABC∆ A B C π+ + = ( )B A Cπ= − +
sin sin( )B A C= +
2 cos sin 1B B= +
2 22cos sin 2sin 1B B B= + +
2 2sin cos 1B B+ =
23sin 2sin 1 0B B+ − =
1sin 3B = sin 1B = −
1sin 3B =
2C A
π− = A B C π+ + =
2 2A B
π= − C
sin 2 cosA B=
3b =
3 3sin sin sin
a b c
A B C
= = =
3 3sina A= 3 3sinc C=
C cos 2 2
3B =
ABC∆ 1 1 1sin 3 3sin 3 3sin2 2 3S ac B A C= = × × ×
9 9sin sin sin cos2 2 2A A A A
π = + =
9 9 9 2 2 3 2sin 2 cos4 4 4 3 2A B= = = × =
ABC∆ 3 2
2
逻辑推理的核心素养.
20.已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的极值；
（2）是否存在实数 ，使得函数 在区间 上的最大值是 2，若存在，求出 的值；不
存在，请说明理由．
【答案】（1）极小值为 ，极大值为 ；（2）存在 ，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，则 ，得 的单调性，
进而得 的极值；
（2）求导得 ，按 ， ， 进行分别讨论得 的单
调性，进而求出最大值，判断最大值是 2 能否成立即可.
【详解】（1）当 时， ，则 ，
由 ，得 或 ；由 ，得 ，
在 上单调递增， 上单调递减， 上单调递增．
的极小值为 ，极大值为 .
（2） ，
当 时， 在 单调递增， 最大值为 ，解得
（舍）；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 最大值为 或
，
由 ，解得 （舍），由 ，解得 .
当 时， 在 单调递减， 最大值为 ，解得
（舍)．
3 21 1( ) (1 ) 2 ( )3 2f x x a x ax a R= + − − + ∈
1a = ( )f x
a ( )f x [ ]1,2 a
( ) 41 3f = ( ) 81 3f − = 7
6a =
1a = 31( ) 23f x x x= − + 2( ) 1 ( 1)( 1)f x x x x′ = − = − + ( )f x
( )f x
( ) ( )( )' 1f x x a x= − + 1a ≤ 1 2a< < 2a ≥ ( )f x 1a = 31( ) 23f x x x= − + 2( ) 1 ( 1)( 1)f x x x x′ = − = − + ( )' 0f x > 1x < − 1x > ( )' 0f x < 1 1x− < < ( )f x∴ (– 1)∞ −， ( 11)− ， (1 )+ ∞， ( )f x∴ ( ) 41 3f = ( ) 81 3f − = ( ) ( )( )' 1f x x a x= − + 1a ≤ ( )f x [1 ]2， ( )f x∴ ( ) 202 4 23f a= − = 7 6a = 1 2a< < ( )f x [1 )a， ( 2]a， ( )f x∴ ( )1f ( )2f 17 3(1) 26 2 af = − = 5 9a = ( )2 2f = 7 6a = 2a ≥ ( )f x [1 ]2， ( )f x∴ 17 3(1) 26 2 af = − = 5 9a =
综上所述： .
【点睛】本题考查了导数的应用：函数的单调性、极值、最值求参数等问题，也考查了分类
讨论思想和转化思想，属于中档题．
21.已知函数 ， ， ．
（1）若 存在极小值，求实数 a 的取值范围；
（2）若 的极大值为 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）求导 ，令 ，则 ，得 在 上单
调递减，在 上单调递增， ，由题意得按 ， 分类讨论，计
算实数 a 的取值范围即可；
（2）由（1）知， 的极大值为 ， ，令
，求导得 在 上单调递增，即可证得.
【详解】（1）由题意得 ，令 ，则
．
∴当 时，得 ，当 时，得 ，
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， ， ，
，∴ ．
①当 ，即 时， ，于是 在 上是增函数，
从而 在 上无极值．
7
6a =
2( ) exf x ax= − a R∈ (0, )x∈ +∞
( )f x
( )f x M e1 2M< < 2 ea >
( ) 2
xef x x ax
′ = − ( )
xeh x x
=
2
( 1)( )
xe xh x x
′ −= ( )h x ( )0,1
( )1,+∞ min( ) (1)h x h e= =
2
ea ≤
2
ea >
( )f x ( ) ( )0 0
0 e 1 0 12
x xM f x f = − > = =
0 )1(0x ∈ ，
( ) 1 2
x xg x e = −
( )g x (0 )1，
( ) 2 2
x
x ef x e ax x ax
′ = − = − ( )
xeh x x
=
2
( 1)( )
xe xh x x
′ −=
0 1x< < ' ( ) 0h x < 1x > ' ( ) 0h x >
( )h x ( )0,1 ( )1,+∞ x → +∞ ( )h x → +∞ 0x →
( )h x → +∞ min( ) (1)h x h e= =
2a e≤
2
ea ≤ ' ( ) 0f x ≥ ( )f x (0, )+∞
( )f x (0, )+∞
②当 ，即 时，存在 ，使得 ，
且当 时， ， 在 上是单调递增；
当 时， ， 在 上是单调递减；
当 时， ， 在 上是单调递增，
故 是 在 上的极小值．
综上， ．
（2）由（1）知， 的极大值为 ．
又 ， ，
令 ， ，则 ，
在区间 上单调递增， ， .
【点睛】本题考查了导数在研究函数单调性、极值和最值中的综合应用，利用导数证明不等
式成立以及分类讨论思想，变换过程复杂，需要很强的逻辑推理能力，属于中档题．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第
一题记分．
22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）．坐标原
点 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线 的极坐标方程为
．
（1）求曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）设射线 与曲线 交于点 ，与直线 交于点 ，求线段 的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
2a e>
2
ea > 1 20 1x x< < < ( ) ( )' ' 1 2 0f x f x= = ( )10,x x∈ ' ( ) 0f x > ( )f x ( )10, x
( )1 2,x x x∈ ' ( ) 0f x < ( )f x ( )1 2,x x ( )2 ,x x∈ +∞ ' ( ) 0f x < ( )f x ( )2 ,x +∞ 2x ( )f x (0, )+∞ 2 ea >
( )f x ( ) ( )0 0 1M f x f= > =
( ) 0
0 0 02 2 0
0 0 0
0
ee e e 12 2
x
x x x xM f x ax xx
= = − = − × = − 0 )1(0x ∈ ，
( ) 1 2
x xg x e = − )1(0x∈ ， 1( ) (1 )e 02
xg x x′ = − >
( )g x∴ (0 )1， ( ) (1) 2
eg x g∴ < = 1 2 eM∴ < < xOy C cos 3sin , sin 3 cos x y α α α α = + = − α O x l cos 36 πρ θ − = C : 3OM πθ = C A l B AB 2 2 4x y+ = 2ρ = 2 3 2−
【分析】
（1）结合三角函数的基本关系消去参数可得普通方程，结合公式 ，
可得极坐标方程；
（2）分别联立极坐标方程，求得交点的极径，从而可得线段 的长．
【详解】解：（1）由题意得 ，
∴曲线 的普通方程为 ．
∵ ， ，
∴代入可得曲线 的极坐标方程为 ．
（2）把 代入 中，
可得 ，
解得 ﹐
即 点的极径 ，
由（1）易得 ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查参数方程与极坐标方程，参数方程化为普通方程一般是消去参数，普
通方程化为极坐标方程主要利用 ， 来实现，侧重考查数学运算的核心
素养.
23.设函数 ．
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若 ，求实数 m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
cosx ρ θ= siny ρ θ=
AB
2 2 2 2(cos 3sin ) (sin 3cos ) 4x y α α α α+ = + + − =
C 2 2 4x y+ =
cosx ρ θ= siny ρ θ=
C 2ρ =
3
πθ = cos 36
πρ θ − =
cos 33 6
π πρ − =
2 3ρ =
B 2 3B
ρ =
2A
ρ =
| | 2 3 2A BAB ρ ρ= − = −
cosx ρ θ= siny ρ θ=
( ) | | | 1| 5( )f x x m x m R= − + + − ∈
2m = ( ) 0f x ≥
( ) 2f x ≥ −
( , 2] [3, )−∞ − ∪ +∞
( , 4] [2, )−∞ − +∞
【分析】
（1）利用零点分段讨论法，把绝对值符号去掉可得解集；
（2）先求 的最小值，然后求解绝对值不等式即可.
【详解】（1）当 时， ．
当 时， ，解得 ；
当 时， ，
无解．
当 时， ，
解得 ；
综上，原不等式的解集为 ．
（2）∵
当且仅当 等号成立
∴ ，
∴ 或 ，
即 或 ，
∴实数 m 的取值范围是 ．
【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的求解一般转化为分段函数求解，
不等式有关的最值常用 来实现，侧重考查数学运算的核心素养.
( )f x
2m = ( ) | 2 | | 1| 5f x x x= − + + −
1x ≤ − ( ) ( 2) ( 1) 5 0f x x x= − − − + − ≥ 2x −≤
1 2x− < < ( ) ( 2) 1 5 0f x x x= − − + + − ≥ 2x ≥ ( ) 2 1 5 0f x x x= − + + − ≥ 3x ≥ ( , 2] [3, )−∞ − ∪ +∞ ( ) | | | 1| 5 | ( ) ( 1) | 5f x x m x x m x= − + + − ≥ − − + − | 1| 5 2m= + − ≥ − ( )( 1) 0x m x− + ≤ | 1| 3m + ≥ 1 3m + ≥ 1 3m + ≤ − 2m ≥ 4m ≤ − ( , 4] [2, )−∞ − +∞ a b a b a b+ ≥ ± ≥ −
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