福建省2020届高三数学(文)上学期期中试题(附答案Word版)
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福建省2020届高三数学(文)上学期期中试题(附答案Word版)

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资料简介
2019-2020 学年度高三第一次阶段考 文科数学试题 命题人:高三文数备课组 审题人: 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知复数 满足 ,则 ( ) A. B. C. D. 2.若函数 与 的定义域分别为 和 ,则 ( ) A. B. C. D. 3.给出下列三个命题 ①命题 ,都有 ,则非 ,使得 ②在 中,若 ,则角 与角 相等 ③命题:“若 ,则 ”的逆否命题是假命题 以上正确的命题序号是( ) A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 4.等差数列 中, ,,则数列 的前 20 项和等于( ) A. -10 B. -20 C. 10 D. 20 5.已知定义域为 的奇函数 在 是增函数.若 , , ,则 , , 的大小关系为( ) A. B. C. D. 6. 设函数 , ( ) A.12 B.9 C.6 D.3 7.如图,点 为单位圆上—点, ,点 沿单位圆逆时针方向旋转角 到 点 ,则 ( ) R ( )f x 2 1log 5a f     −  = ( )2log 4.1b f= ( )0.82c f= a b c a b c> > b a c> > c b a> > c a b> > A 3 π=∠xOA A α B )2 2,2 2(− sinα = z 1 2 1i iz − = + z = 5 2 3 2 2 10 2 3 ( ) 1 1 f x x = − ( ) ( )ln 1g x x= + M N M N = { }1 1x x− < < { }1 1x x− ABC∆ sin 2 sin 2A B= A B tan 3x = 3x π= { }na 15,9 74 == aa ( ){ }n n a1- [ )∞+,0 2 1 1 log (2 ) 1 ( ) 2 1x x x f x x− + − F 60° ,A B A x | | | | AF BF 3 2 3 4 2AC BC= = 2AB = 2 3 25 4 π 25 4 π 25 16 π二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知向量 ,若 ,则实数 . 14.直线 与曲线 交于 A、B,且 ,则 的最小值为 15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 b=acosC +csinA,则 =__________. 16.已知函数 ,若 且 ,则 最大值为_ __. 三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。 (一)必考题:共 60 分。 17(12 分)若数列 的前 n 项和 满足 . (1)证明数列 为等比数列,并求 ; (2)若 , ,求数列 的前 2n 项和 . 18 (12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC= ,CA=3,且角 D 与角 B 互补, (1)求△ACD 面积的最大值; (2) ·.求△ACD 的周长 19.(12 分)如图,四面体 中, 是边长为 1 的正三角形, 是直角三角形, ( ) ln , 0 1, 0 x x x x xf x >=  + ≤ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2x x− (1,1), (2, )a b y= =  ( )a a b⊥ −   y = ( )0,01 >>=+ babyax , 014222 =+−−+ yxyx 4=AB ba 11 + sinb B c { }na nS *2 ( 0, )n nS a n Nλ λ= − > ∈ { }na na 4λ = * 2 , ( ) log , n n n a nb n N a n = ∈ 为奇数 为偶数 { }nb 2nT 3 2 9=⋅ DCDA ABCD ABC∆ ACD∆, . (1)证明:平面 平面 ; (2)若点 为 的中点,求点 到平面 的距离. 20.(12 分)从抛物线 上任意一点 向 轴作垂线段,垂足为 ,点 是线段 上的一点,且满足 . (1)求点 的轨迹 的方程; (2)设直线 与轨迹 交于 两点, 为 上异于 的任意一点, 直线 分别与直线 交于 两点,以 为直径的圆是否过 轴上的定点?若 过定点,求出符合条件的定点坐标;若不过定点,请说明理由. 21.(12 分)已知函数 (1)讨论函数 的单调性; (2)设 ,当 时,证明: . (二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分) 已知在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 直线 的极坐标方程为 ,曲线 的参数方程为 ( 为参数). (1)求直线 和曲线 的直角坐标方程; (2)设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离 的最大值. 23. [选修 4—5:不等式选讲](10 分) 设函数 . ABD CBD∠ = ∠ AB BD= ACD ⊥ ABC E BD B ACE 2 36y x= P x Q M PQ 2PM MQ=  C 1( )x my m R= + ∈ C ,A B T C ,A B ,AT BT 1x = − ,D E DE x 2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a = + + ≠ ∈ ( )f x 1( ) 2a xg x x a a = + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥(1)当 时,解不等式 ; (2)若关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围. 2019-2020 学年度高三第一次阶段考 文科数学参考答案 选填题 1-5 CACDA 6-10 BCBDA 11-12 CA 13、0,14、 ,15、 ,16、2 解答题 17.解:(1)∵ ,当 时,得 , 当 时, ,∴ , 即 ,∴ , ∴数列 是以 λ 为首项,2 为公比的等比数列, ∴数列 为等比数列. (2)∵ ,∴ , ∴ ∴ 223+ 2 2 2n nS a λ= − 1n = 1a λ= 2n ≥ 1 12n nS a λ− −= − 1 12( )n n n nS S a a− −− = − 12( )n n na a a −= − 12n na a −= { }na 12n na λ −= ⋅ 4λ = 1 14 2 2n n na − += ⋅ = 1 *2 , ( ) 1, n n nb n N n n += ∈ + 为奇数 为偶数 2 4 6 2 2 2 4 6 2 1 2 3 2 5 2 7 2 2 1 (2 2 2 2 ) (3 5 7 2 1) 4 4 4 (3 2 1) 1 4 2 4 4 ( 2)3 n n n n n T n n n n n n + = + + + + + +⋅⋅⋅+ + + = + + +⋅⋅⋅+ + + + +⋅⋅⋅+ + − ⋅ + += +− −= + +∴ . 18 解:在△ABC 中 在△ADC 中, (1) 19【解析】 (1)取 的中点 ,连接 ,由 , , 故 ,又 为 ,故 ,而 ,即 , ,又 是边长为 1 的正三角形,则 , ,而 面 , 故平面 平面 (2)在 中, ,则 故 , 为等腰直角三角形,则 ,而 1 2 2 4 423 3 n nT n n + = + + − 3 2 2 1cos π=∠⇒−= ABCB 3 π=∠ADC ( ) 9 3 18,92 9 2 1)2( 4 39 4 3 3,929)1( 9,, 22 22 22 周长为 又 ==⇒ =+=⇒==⋅ ≤= ==≤⇒≥+=+ =−+== ∆ yx yxxyxyDCDA xyS yxxyxyxyyx xyyxyCDxAD ADC AC O ,DO BO ABD CBD∠ = ∠ AB BC= BD BD= ABD BCD AD CD∆ ≅ ∆ ⇒ = ACD∆ Rt∆ AD CD⊥ 1AC = 2 2AD CD= = 1 2DO = ABC∆ 3, 2BO AC BO⊥ = 2 2 2BO DO BD BO DO+ = ⇒ ⊥ BO AC BOBO DO ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ACD ACD ⊥ ABC ABD∆ 1 1 1 22 422 1 2 ADB + − ∠ = = × × 2 1 1 2 1 2 1 222 4 2 2 4 2 2AE AE= + − × × × = ⇒ = 2 2CE = AEC∆ 1 2 2 1 2 2 2 4ACES∆ = × × =,点 E 到面 ABC 的距离等于点 D 到面 ABC 的距离的一半, 设点 到平面 的距离为 ,由 可得 。 20.解:(1) ………………2 分 当 时, , 当 时, , ∴ 时, 在 上递减,在 递增 时, 在 上递增,在 递减………………6 分 (2)设 则 1 31 1 sin 602 4ABCS∆ = × × × = B ACE d E ABC B ACEV V− −= 1 1 1 3 1 3 3 4 3 4 4 4d d× × = × × ⇒ = 2 2 1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax + −′ = − + = 0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < < 0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > − 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − 2 2 1( ) ( 0)a x aF x xx x x −′ = − = > 时, , 递减 , 递增 ……………8 分 设 , ,则 时 时, 递增, , 递减 ,即 ………………12 分 【详解】(1)由 得 , 直线的直角坐标方程为 由 消 得曲线的直角坐标方程 (2)设 【详解】解:(1) 可转化为 或 或 , 解得 或 或无解.  0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x ( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a ∴ ≥ = + − 1( ) ln 1h x x x = + − ( 0)x > 2 2 1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x −′ = − = > 1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x 0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x ( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥ ( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥所以不等式的解集为 . (2)依题意,问题等价于关于 的不等式 有解, 即 , 又 ,当 时取等号. 所以 ,解得 ,所以实数 a 的取值范围是 .

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