2019-2020 学年度高三第一次阶段考
文科数学试题
命题人:高三文数备课组 审题人:
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的。
1.已知复数 满足 ,则 ( )
A. B. C. D.
2.若函数 与 的定义域分别为 和 ,则 ( )
A. B. C. D.
3.给出下列三个命题
①命题 ,都有 ,则非 ,使得
②在 中,若 ,则角 与角 相等
③命题:“若 ,则 ”的逆否命题是假命题
以上正确的命题序号是( )
A.①②③ B.①② C.①③ D.②③
4.等差数列 中, ,,则数列 的前 20 项和等于( )
A. -10 B. -20 C. 10 D. 20
5.已知定义域为 的奇函数 在 是增函数.若 ,
, ,则 , , 的大小关系为( )
A. B. C. D.
6. 设函数 , ( )
A.12 B.9 C.6 D.3
7.如图,点 为单位圆上—点, ,点 沿单位圆逆时针方向旋转角 到
点 ,则 ( )
R ( )f x 2
1log 5a f
−
=
( )2log 4.1b f= ( )0.82c f= a b c
a b c> > b a c> > c b a> > c a b> >
A 3
π=∠xOA A α
B )2
2,2
2(− sinα =
z 1 2 1i iz
− = + z =
5
2
3 2
2
10
2 3
( ) 1
1
f x
x
=
−
( ) ( )ln 1g x x= + M N M N =
{ }1 1x x− < < { }1 1x x−
ABC∆ sin 2 sin 2A B= A B
tan 3x =
3x
π=
{ }na 15,9 74 == aa ( ){ }n
n a1-
[ )∞+,0
2
1
1 log (2 ) 1
( )
2 1x
x x
f x
x−
+ − F
60° ,A B A x | |
| |
AF
BF
3 2 3 4
2AC BC= = 2AB =
2
3
25
4
π 25
4
π 25
16
π二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 ,若 ,则实数 .
14.直线 与曲线 交于 A、B,且 ,则
的最小值为
15.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a,b,c 成等比数列,且 b=acosC
+csinA,则 =__________.
16.已知函数 ,若 且 ,则 最大值为_
__.
三、解答题:共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共 60 分。
17(12 分)若数列 的前 n 项和 满足 .
(1)证明数列 为等比数列,并求 ;
(2)若 , ,求数列 的前 2n 项和 .
18 (12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AB=BC= ,CA=3,且角 D 与角 B 互补,
(1)求△ACD 面积的最大值;
(2) ·.求△ACD 的周长
19.(12 分)如图,四面体 中, 是边长为 1 的正三角形, 是直角三角形,
( ) ln , 0
1, 0
x x x
x xf x
>= + ≤ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2x x−
(1,1), (2, )a b y= = ( )a a b⊥ − y =
( )0,01 >>=+ babyax , 014222 =+−−+ yxyx 4=AB
ba
11 +
sinb B
c
{ }na nS *2 ( 0, )n nS a n Nλ λ= − > ∈
{ }na na
4λ = *
2
, ( )
log ,
n
n
n
a nb n N
a n
= ∈
为奇数
为偶数
{ }nb 2nT
3
2
9=⋅ DCDA
ABCD ABC∆ ACD∆, .
(1)证明:平面 平面 ;
(2)若点 为 的中点,求点 到平面 的距离.
20.(12 分)从抛物线 上任意一点 向 轴作垂线段,垂足为 ,点 是线段
上的一点,且满足 .
(1)求点 的轨迹 的方程;
(2)设直线 与轨迹 交于 两点, 为 上异于 的任意一点,
直线 分别与直线 交于 两点,以 为直径的圆是否过 轴上的定点?若
过定点,求出符合条件的定点坐标;若不过定点,请说明理由.
21.(12 分)已知函数
(1)讨论函数 的单调性;
(2)设 ,当 时,证明: .
(二)选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题
计分。
22.[选修 4—4:坐标系与参数方程](10 分)
已知在直角坐标系 中,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,
直线 的极坐标方程为 ,曲线 的参数方程为
( 为参数).
(1)求直线 和曲线 的直角坐标方程;
(2)设点 是曲线 上的一个动点,求它到直线 的距离 的最大值.
23. [选修 4—5:不等式选讲](10 分)
设函数 .
ABD CBD∠ = ∠ AB BD=
ACD ⊥ ABC
E BD B ACE
2 36y x= P x Q M PQ
2PM MQ=
C
1( )x my m R= + ∈ C ,A B T C ,A B
,AT BT 1x = − ,D E DE x
2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a
= + + ≠ ∈
( )f x
1( ) 2a xg x x a a
= + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥(1)当 时,解不等式 ;
(2)若关于 的不等式 有解,求实数 的取值范围.
2019-2020 学年度高三第一次阶段考
文科数学参考答案
选填题
1-5 CACDA 6-10 BCBDA 11-12 CA 13、0,14、 ,15、 ,16、2
解答题
17.解:(1)∵ ,当 时,得 ,
当 时, ,∴ ,
即 ,∴ ,
∴数列 是以 λ 为首项,2 为公比的等比数列,
∴数列 为等比数列.
(2)∵ ,∴ ,
∴
∴
223+
2
2
2n nS a λ= − 1n = 1a λ=
2n ≥ 1 12n nS a λ− −= − 1 12( )n n n nS S a a− −− = −
12( )n n na a a −= −
12n na a −=
{ }na
12n
na λ −= ⋅
4λ = 1 14 2 2n n
na − += ⋅ =
1
*2 , ( )
1,
n
n
nb n N
n n
+= ∈ +
为奇数
为偶数
2 4 6 2
2
2 4 6 2
1
2 3 2 5 2 7 2 2 1
(2 2 2 2 ) (3 5 7 2 1)
4 4 4 (3 2 1)
1 4 2
4 4 ( 2)3
n
n
n
n
n
T n
n
n n
n n
+
= + + + + + +⋅⋅⋅+ + +
= + + +⋅⋅⋅+ + + + +⋅⋅⋅+ +
− ⋅ + += +−
−= + +∴ .
18 解:在△ABC 中 在△ADC 中,
(1)
19【解析】
(1)取 的中点 ,连接 ,由 , ,
故 ,又 为 ,故 ,而 ,即
, ,又 是边长为 1 的正三角形,则 ,
,而 面 ,
故平面 平面
(2)在 中, ,则
故 , 为等腰直角三角形,则 ,而
1
2
2
4 423 3
n
nT n n
+
= + + −
3
2
2
1cos
π=∠⇒−= ABCB 3
π=∠ADC
( )
9
3
18,92
9
2
1)2(
4
39
4
3
3,929)1(
9,,
22
22
22
周长为
又
==⇒
=+=⇒==⋅
≤=
==≤⇒≥+=+
=−+==
∆
yx
yxxyxyDCDA
xyS
yxxyxyxyyx
xyyxyCDxAD
ADC
AC O ,DO BO ABD CBD∠ = ∠ AB BC= BD BD=
ABD BCD AD CD∆ ≅ ∆ ⇒ = ACD∆ Rt∆ AD CD⊥ 1AC =
2
2AD CD= = 1
2DO = ABC∆ 3, 2BO AC BO⊥ =
2 2 2BO DO BD BO DO+ = ⇒ ⊥ BO AC BOBO DO
⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ACD
ACD ⊥ ABC
ABD∆
1 1 1 22
422 1 2
ADB
+ −
∠ = =
× ×
2 1 1 2 1 2 1 222 4 2 2 4 2 2AE AE= + − × × × = ⇒ =
2
2CE = AEC∆ 1 2 2 1
2 2 2 4ACES∆ = × × =,点 E 到面 ABC 的距离等于点 D 到面 ABC 的距离的一半,
设点 到平面 的距离为 ,由 可得
。
20.解:(1) ………………2 分
当 时, ,
当 时, ,
∴ 时, 在 上递减,在 递增
时, 在 上递增,在 递减………………6 分
(2)设
则
1 31 1 sin 602 4ABCS∆ = × × × =
B ACE d E ABC B ACEV V− −=
1 1 1 3 1 3
3 4 3 4 4 4d d× × = × × ⇒ =
2 2
1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax
+ −′ = − + =
0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < <
0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > −
0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞
0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞
1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a
= − = + + −
2 2
1( ) ( 0)a x aF x xx x x
−′ = − = > 时, , 递减
, 递增 ……………8 分
设 , ,则
时 时, 递增,
, 递减
,即 ………………12 分
【详解】(1)由 得 ,
直线的直角坐标方程为
由 消 得曲线的直角坐标方程
(2)设
【详解】解:(1) 可转化为
或 或 ,
解得 或 或无解.
0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x
( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a
∴ ≥ = + −
1( ) ln 1h x x x
= + − ( 0)x > 2 2
1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x
−′ = − = >
1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x
0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x
( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥
( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥所以不等式的解集为 .
(2)依题意,问题等价于关于 的不等式 有解,
即 ,
又 ,当 时取等号.
所以 ,解得 ,所以实数 a 的取值范围是 .