福建省2020届高三数学（文）上学期期中试题（附答案Word版）

2019-2020 学年度高三第一次阶段考 文科数学试题 命题人：高三文数备课组 审题人： 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知复数 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．若函数 与 的定义域分别为 和 ，则 （ ） A． B． C． D． 3.给出下列三个命题 ①命题 ，都有 ，则非 ，使得 ②在 中，若 ，则角 与角 相等 ③命题：“若 ，则 ”的逆否命题是假命题 以上正确的命题序号是（ ） A.①②③ B.①② C.①③ D.②③ 4．等差数列 中， ，，则数列 的前 20 项和等于（ ） A. -10 B. -20 C. 10 D. 20 5．已知定义域为 的奇函数 在 是增函数．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6. 设函数 ， （ ） A．12 B．9 C．6 D．3 7.如图，点 为单位圆上—点， ，点 沿单位圆逆时针方向旋转角 到 点 ，则 （ ） R ( )f x 2 1log 5a f     −  = ( )2log 4.1b f= ( )0.82c f= a b c a b c> > b a c> > c b a> > c a b> > A 3 π=∠xOA A α B )2 2,2 2(− sinα = z 1 2 1i iz − = + z = 5 2 3 2 2 10 2 3 ( ) 1 1 f x x = − ( ) ( )ln 1g x x= + M N M N = { }1 1x x− < < { }1 1x x− ABC∆ sin 2 sin 2A B= A B tan 3x = 3x π= { }na 15,9 74 == aa ( ){ }n n a1- [ )∞+，0 2 1 1 log (2 ) 1 ( ) 2 1x x x f x x− + − F 60° ,A B A x | | | | AF BF 3 2 3 4 2AC BC= = 2AB = 2 3 25 4 π 25 4 π 25 16 π二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知向量 ，若 ，则实数 ． 14.直线 与曲线 交于 A、B，且 ,则 的最小值为 15．在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 a，b，c 成等比数列，且 b＝acosC ＋csinA，则 ＝__________． 16．已知函数 ，若 且 ，则 最大值为_ __． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17（12 分）若数列 的前 n 项和 满足 . （1）证明数列 为等比数列，并求 ； （2）若 ， ，求数列 的前 2n 项和 . 18 （12 分）如图，在平面四边形 ABCD 中，AB＝BC= ，CA＝3，且角 D 与角 B 互补， （1）求△ACD 面积的最大值； （2） ·．求△ACD 的周长 19.（12 分）如图，四面体 中， 是边长为 1 的正三角形， 是直角三角形， ( ) ln , 0 1, 0 x x x x xf x >=  + ≤ 1 2x x≠ ( ) ( )1 2f x f x= 1 2x x− (1,1), (2, )a b y= =  ( )a a b⊥ −   y = ( )0,01 >>=+ babyax ， 014222 =+−−+ yxyx 4=AB ba 11 + sinb B c { }na nS *2 ( 0, )n nS a n Nλ λ= − > ∈ { }na na 4λ = * 2 , ( ) log , n n n a nb n N a n = ∈ 为奇数 为偶数 { }nb 2nT 3 2 9=⋅ DCDA ABCD ABC∆ ACD∆， . (1)证明：平面 平面 ； (2)若点 为 的中点，求点 到平面 的距离. 20.（12 分）从抛物线 上任意一点 向 轴作垂线段,垂足为 ，点 是线段 上的一点,且满足 . （1）求点 的轨迹 的方程； （2）设直线 与轨迹 交于 两点， 为 上异于 的任意一点， 直线 分别与直线 交于 两点，以 为直径的圆是否过 轴上的定点？若 过定点，求出符合条件的定点坐标;若不过定点,请说明理由. 21.（12 分）已知函数 （1）讨论函数 的单调性； （2）设 ，当 时，证明： . （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题 计分。 22.[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 直线 的极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求直线 和曲线 的直角坐标方程； （2）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离 的最大值. 23. [选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 设函数 . ABD CBD∠ = ∠ AB BD= ACD ⊥ ABC E BD B ACE 2 36y x= P x Q M PQ 2PM MQ=  C 1( )x my m R= + ∈ C ,A B T C ,A B ,AT BT 1x = − ,D E DE x 2( ) ln ( 0, )a xf x x a a Rx a = + + ≠ ∈ ( )f x 1( ) 2a xg x x a a = + − + 0a > ( ) ( )f x g x≥（1）当 时，解不等式 ； （2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围. 2019-2020 学年度高三第一次阶段考 文科数学参考答案 选填题 1-5 CACDA 6-10 BCBDA 11-12 CA 13、0，14、 ，15、 ，16、2 解答题 17.解：(1)∵ ，当 时，得 ， 当 时， ，∴ ， 即 ，∴ ， ∴数列 是以 λ 为首项，2 为公比的等比数列， ∴数列 为等比数列. (2)∵ ，∴ ， ∴ ∴ 223+ 2 2 2n nS a λ= − 1n = 1a λ= 2n ≥ 1 12n nS a λ− −= − 1 12( )n n n nS S a a− −− = − 12( )n n na a a −= − 12n na a −= { }na 12n na λ −= ⋅ 4λ = 1 14 2 2n n na − += ⋅ = 1 *2 , ( ) 1, n n nb n N n n += ∈ + 为奇数 为偶数 2 4 6 2 2 2 4 6 2 1 2 3 2 5 2 7 2 2 1 (2 2 2 2 ) (3 5 7 2 1) 4 4 4 (3 2 1) 1 4 2 4 4 ( 2)3 n n n n n T n n n n n n + = + + + + + +⋅⋅⋅+ + + = + + +⋅⋅⋅+ + + + +⋅⋅⋅+ + − ⋅ + += +− −= + +∴ . 18 解：在△ABC 中 在△ADC 中, (1) 19【解析】 (1)取 的中点 ，连接 ，由 ， ， 故 ，又 为 ，故 ，而 ，即 ， ，又 是边长为 1 的正三角形，则 ， ，而 面 ， 故平面 平面 (2)在 中， ，则 故 ， 为等腰直角三角形，则 ，而 1 2 2 4 423 3 n nT n n + = + + − 3 2 2 1cos π=∠⇒−= ABCB 3 π=∠ADC ( ) 9 3 18,92 9 2 1)2( 4 39 4 3 3,929)1( 9,, 22 22 22 周长为 又 ==⇒ =+=⇒==⋅ ≤= ==≤⇒≥+=+ =−+== ∆ yx yxxyxyDCDA xyS yxxyxyxyyx xyyxyCDxAD ADC AC O ,DO BO ABD CBD∠ = ∠ AB BC= BD BD= ABD BCD AD CD∆ ≅ ∆ ⇒ = ACD∆ Rt∆ AD CD⊥ 1AC = 2 2AD CD= = 1 2DO = ABC∆ 3, 2BO AC BO⊥ = 2 2 2BO DO BD BO DO+ = ⇒ ⊥ BO AC BOBO DO ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ACD ACD ⊥ ABC ABD∆ 1 1 1 22 422 1 2 ADB + − ∠ = = × × 2 1 1 2 1 2 1 222 4 2 2 4 2 2AE AE= + − × × × = ⇒ = 2 2CE = AEC∆ 1 2 2 1 2 2 2 4ACES∆ = × × =，点 E 到面 ABC 的距离等于点 D 到面 ABC 的距离的一半， 设点 到平面 的距离为 ，由 可得 。 20.解：（1） ………………2 分 当 时， ， 当 时， ， ∴ 时， 在 上递减，在 递增 时， 在 上递增，在 递减………………6 分 （2）设 则 1 31 1 sin 602 4ABCS∆ = × × × = B ACE d E ABC B ACEV V− −= 1 1 1 3 1 3 3 4 3 4 4 4d d× × = × × ⇒ = 2 2 1 2 1 ( 2 )( )( ) a x a x af x x x a ax + −′ = − + = 0a > ( ) 0f x x a′ > ⇒ > ( ) 0 0f x x a′ < ⇒ < < 0a < ( ) 0 0 2f x x a′ > ⇒ < < − ( ) 0 2f x x a′ < ⇒ > − 0a > ( )f x (0, )a ( , )a +∞ 0a < ( )f x (0, 2 )a− ( 2 , )a− +∞ 1( ) ( ) ( ) ln 2aF x f x g x x x a = − = + + − 2 2 1( ) ( 0)a x aF x xx x x −′ = − = > 时， ， 递减 ， 递增 ……………8 分 设 ， ,则 时 时， 递增， ， 递减 ，即 ………………12 分 【详解】（1）由 得 ， 直线的直角坐标方程为 由 消 得曲线的直角坐标方程 （2）设 【详解】解：（1） 可转化为 或 或 ， 解得 或 或无解.  0a > (0, )x a∴ ∈ ( ) 0F x′ < ( )F x ( , )x a∈ +∞ ( ) 0,F x′ > ( )F x 1( ) ( ) ln 1F x F a a a ∴ ≥ = + − 1( ) ln 1h x x x = + − ( 0)x > 2 2 1 1 1( ) ( 0)xh x xx x x −′ = − = > 1x > ( ) 0,h x′ > ( )h x 0 1x< < ( ) 0h x′ < ∴ ( )h x ( ) (1) 0h x h∴ ≥ = ( ) ( ) 0F a h a∴ = ≥ ( ) 0F x∴ ≥ ( ) ( )f x g x≥所以不等式的解集为 . （2）依题意，问题等价于关于 的不等式 有解， 即 ， 又 ，当 时取等号. 所以 ，解得 ，所以实数 a 的取值范围是 .