广东省深圳市宝安区2020届高三数学(理)上学期期中试卷(附解析Word版)
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广东省深圳市宝安区2020届高三数学(理)上学期期中试卷(附解析Word版)

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资料简介
宝安区 2019-2020 学年第一学期调研测试 高三数学(理科) 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上. 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在 本试卷上无效. 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集 2,3, ,集合 ,集合 ,则 ( ) A. B. C. D. 3, 【答案】B 【解析】 【分析】 由补集的定义求得得 ,进而由交集的定义可得结果. 【详解】因为全集 ,集合 , 则 , 又因为集合 , 所以 ; 故选 B. 【点睛】研究集合问题,一定要抓住元素,看元素应满足的属性.研究两集合的关系时,关键 是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质求满足属于集合 且不属于集合 的元素 的集合. 2.已知复数 满足 ,其中 是虚数单位,则复数 在复平面内对应的点位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 U {1,= 4} { }A 2,3= { }B 1,3= ( )UA B∩ = { }3 { }2 { }2,3 {2, 4} U B { }1,2,3,4U = { }1,3B = { }2,4U B = { }2,3A = ( ) {2UA B∩ = } A B z (1 i) 2 iz − = − i z 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数 ,从而得答案. 详解】 , , 则在复平面内对应的点的坐标为 ,位于第一象限. 故选 A. 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题.复数是高 考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯 虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数 的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分. 3.如图是一个边长为 3 的正方形二维码,为了测算图中黑色部分的面积,在正方形区域内随 机投掷 1089 个点,其中落入白色部分的有 484 个点,据此可估计黑色部分的面积为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 计算出正方形的面积,根据几何概型的原理可求得结果. 【详解】正方形二维码的面积为: 黑色部分的面积为: 故选: 【点睛】本题考查几何概型的应用,属于基础题. 4.已知双曲线 ,直线 与 C 的两条渐近线的交点分别为 M, 【 z ( ) ( )1 2i z i− = − ( )( ) ( )( ) 22 12 2 3 1 1 1 2 2 i ii i i iz i i i − +− + − +∴ = = = =− − + 3 1,2 2      3 3 9× = ∴ 1089 484 9 51089 − × = B 2 2 2 2: 1 0, 0)x yC a ba b − = > >( y b= N,O 为坐标原点.若 为直角三角形,则 C 的离心率为(). A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由双曲线的对称性可得渐近线方程,从而得到 关系,进而求得 关系,利用 求得 结果. 【详解】 为直角三角形,结合对称性可知,双曲线 的渐近线为: 即 本题正确选项: 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解,关键是能够根据双曲线的对称性得到渐近线方程. 5.已知数列 中, , .若数列 为等差数列,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知条件计算出等差数列的公差,然后再求出结果 【详解】依题意得: ,因为数列 为等差数列, 所以 ,所以 ,所以 ,故选 C. 【点睛】本题考查了求等差数列基本量,只需结合题意先求出公差,然后再求出结果,较 基础 6.已知 ,且 ,则 ( ) 为 OMN 2 3 5 ,a b ,a c ce a = OMN∆ C y x= ± 1b a = 2 2 2c a b a∴ = + = 2ce a ∴ = = A { }na 3 =2a 7 =1a 1{ } na 9 =a 1 2 5 4 4 5 4 5 − 73 2, 1a a= = 1{ } na 7 3 1 1 1 1 12 7 3 7 3 8 − − = = =− − a ad ( ) 9 7 1 1 1 59 7 8 4a a = + − × = 9 4 5 =a 1sin( )6 2 πθ − = 0 2 πθ  ∈  , cos( )3 πθ − = A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 解法一:由题意求出 的值,然后代入求出结果;解法二:由两角差的余弦公式求出结果 【详解】解法一:由 ,且 得, ,代入 得, = ,故选 C. 解法二:由 ,且 得, , 所以 ,故选 C. 【点睛】本题考查了运用两角差的余弦公式来求出三角函数值,较为基础 7.《镜花缘》是清代文人李汝珍创作的长篇小说,书中有这样一个情节:一座楼阁到处挂满 了五彩缤纷的大小灯球,灯球有两种,一种是大灯下缀 2 个小灯,另一种是大灯下缀 4 个小 灯,大灯共 360 个,小灯共 1200 个.若在这座楼阁的灯球中,随机选取一个灯球,则这个灯 球是大灯下缀 4 个小灯的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设大灯下缀 2 个小灯为 个,大灯下缀 4 个小灯有 个,根据题意求得 ,再 由古典概型及其概率的公式,即可求解. 【详解】设大灯下缀 2 个小灯为 个,大灯下缀 4 个小灯有 个, 根据题意可得 ,解得 , 0 1 2 1 3 2 θ π 1sin 6 2 θ − =   π0, 2 θ  ∈   π 3 θ = πcos 3 θ −   πcos 3 θ −   cos0 1= π 1sin 6 2 θ − =   π0, 2 θ  ∈   π 3cos 6 2 θ − =   π π π π π π πcos cos cos cos sin sin 13 6 6 6 6 6 6 θ θ θ θ        − = − − = − + − =                 1 3 2 3 1 4 3 4 x y 120, 240x y= = x y 360 2 4 1200 x y x y + =  + = 120, 240x y= = 则灯球的总数为 个, 故这个灯球是大灯下缀 4 个小灯的概率为 ,故选 B. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算,其中解答中根据题意列出方程组,求得 两种灯球的数量是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题. 8.某中学高三文科班从甲、乙两个班各选出 7 名学生参加文史知识竞赛,他们取得的成绩 满 分 100 分 的茎叶图如图,其中甲班学生成绩的平均分是 85,乙班学生成绩的中位数是 83, 则 的值为    A. 8 B. 7 C. 9 D. 168 【答案】A 【解析】 【分析】 根据平均数和中位数的定义和公式,分别进行计算即可得到结论. 【详解】 甲班学生成绩的平均分是 85, , 即 . 乙班学生成绩的中位数是 83, 若 ,则中位数为 81,不成立. 若 ,则中位数为 , 解得 . , 故选:A. 【点睛】本题主要考查茎叶图是应用,要求熟练掌握平均数和中位数的概念和计算公式,比 较基础. 360x y+ = 240 2 360 3 = ( ) x y+ ( )  79 78 80 80 85 92 96 85 7x∴ + + + + + + + = × 5x =  ∴ 1y ≤ 1y > 80 83y+ = 3y = 5 3 8x y∴ + = + = 9.已知点 是 的重心, ,若 , ,则 的最小值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意将原问题转化为均值不等式求最值的问题,据此求解 的最小值即可. 【 详 解 】 如 图 所 示 , 由 向 量 加 法 的 三 角 形 法 则 及 三 角 形 重 心 的 性 质 可 得 , , 根据向量的数量积的定义可得 , 设 ,则 , , 当且仅当 ,即 ,△ABC 是等腰三角形时等号成立. 综上可得 的最小值是 . 本题选择 C 选项. 【点睛】本题主要考查平面向量的加法运算,向量的模的求解,均值不等式求解最值的方法 等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 10.对于任意实数 x,y,把代数运算 的值叫做 x 与 y 的“加乘和谐数”,记作符 G ABC∆ ( , )AG AB AC Rλ µ λ µ= + ∈   120A∠ =  2AB AC⋅ = −  | |AG 3 3 2 2 2 3 3 4 AG ( )2 1 3 3AG AD AB AC= = +    120 , 2A AB AC∠ = ⋅ = −    cos120 2AB AC AB AC⋅ = × × = −    ,AB x AC y= =  4AB AC xy× = =  2 21 1 23 3AG AB AC AB AC AB AC= + = + + ⋅       2 21 1 24 2 43 3 3x y xy= + − ≥ − = x y= AB AC=  AG 2 3 ax by cxy+ + 号“ ”,其中a,b,c 是常数,若已知 , ,若 恒成立,则当且 仅当非零实数 m 的值为    A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 分析】 由新定义的运算 ,及 , ,构造方程组,不难得到参数 a,b,c 之间的关系 又由有一个非零实数 m,使得对于任意实数 x,都有 ,可以得 到一个关于 m 的方程,解方程即可求出满足条件的 m 的值. 【详解】根据题意,若已知 , , 则有 , 变形可得 , . 又由 对于任意实数 x 恒成立, 则有 , m 为非零实数,则 , 又由 ,则有 . 又由 . 解可得: . 故选:B. 【点睛】本题考查合情推理的应用,关键是掌握“加乘和谐数”的定义,对于新定义的题目 主要是认真读题,明白题意,转化为数学问题. 11.设函数 的值域为 A,若 ,则实数 a 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 【 *x y 1*2 3= 2*3 4= *x m x= ( ) *x y ax by cxy= + + 1*2 3= 2*3 4= . *x m x= 1*2 3= 2*3 4= { 2 2 3 2 3 6 4 a b c a b c + + = + + = 2 2b c= + 1 6a c= − − *x m ax bm cmx x= + + = { 1 0 a cm bm + = = 0b = 2 2b c= + 1c = − ( )1 6 5 1a cm c cm m+ = − − + = − = 4m = 1x xy e ae = + − [0, )A ⊆ +∞ 2a > 2a ≥ 2a ≤ 3a > 结合对号函数的性质可求得函数的值域 ,根据集合的包含关系可构造不等式 求得结果. 【详解】 (当且仅当 ,即 时取等号) ,即 ,即 故选: 【点睛】本题考查函数值域的求解、根据集合的包含关系求解参数范围的问题;关键是能够 结合对号函数的性质准确求得函数的值域. 12.在所有棱长都相等的三棱锥 中,D,E,F 分别是 AB,BC,CA 的中点,下列四个 命题: (1) 平面 PDF;(2) 平面 ; (3)平面 平面 ;(4)平面 平面 . 其中正确命题的序号为________. A. (2)(3) B. (1)(3) C. (2)(4) D. (1)(4) 【答案】C 【解析】 【分析】 (1)根据三角形中位线得 ,根据线面平行判定定理可知(1)正确; (2)根据位置关系可知 与平面 相交,(2)错误; (3)假设垂直关系成立,根据面面垂直的性质可证得 平面 ,由线面垂直性质得 到 ,根据等腰三角形三线合一可得 ,则 ,不成立可知假设错误, 故(3)错误; (4)根据线面垂直的判定定理可证得 平面 ,由面面垂直判定定理可证得结论, 知(4)正确. 【详解】 [ )2 ,A a= − +∞ 0xe > 1 2x xe e ∴ + ≥ 1x xe e = 0x = 1 2x xy e a ae ∴ = + − ≥ − [ )2 ,A a= − +∞ [ )0,A ⊆ +∞ 2 0a∴ − ≥ 2a ≤ C P ABC− / /BC / /DF PAE PDF ⊥ ABC PDF ⊥ PAE / /DF BC DF PAE AE ⊥ PDF PF AE⊥ PF AC⊥ / /AE AC DM ⊥ PAE (1) 分别为 中点 平面 , 平面 平面 ,(1)正确; (2) , 平面 平面 ,(2)正确; (3)假设平面 平面 , 为 中点 ,又 平面 平面 , 平面 平面 平面 , 为 中点 ,显然不成立 故假设错误,(3)错误; (4) 三棱锥所有棱长都相等 又 , 为 中点 , 平面 , 平面 又 平面 平面 平面 ,(4)正确 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面的位置关系的判定,涉及到线面平行 的判定、面面垂直的判定、线面垂直和面面垂直性质的应用等知识;考查学生对于立体几何 中平行与垂直的判定与性质定理的应用情况. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.曲线 在点 处的切线方程为___. 【答案】 【解析】 试题分析: , 时, ,即切线斜率为 2. 考点:导数的几何意义. 14.在平面直角坐标系 xOy 中,若动圆 C 上的点都在不等式组 表示的平面区 域内,则面积最大的圆 C 的标准方程为_______. 【答案】 【解析】 ,D F ,AB AC / /DF BC∴ DF ⊂ PDF BC ⊄ PDF / /BC∴ PDF DF AE M=  AE ⊂ PAE DF∴  PAE M= PDF ⊥ ABC  AC BC= E BC AE BC∴ ⊥ / /DF BC AE DF∴ ⊥  PDF  ABC DF= AE ⊂ ABC AE∴ ⊥ PDF PF ⊂ PDF PF AE∴ ⊥ PA PC= F AC PF AC∴ ⊥ / /AE AC∴  PF PD∴ = / /DM BC M DF DM PM∴ ⊥ DM AM⊥ ,AM PM ⊂ PAE AM PM M= DM∴ ⊥ PAE DM ⊂ PDF ∴ PDF ⊥ PAE cosy x x= − 2 2 p p    , 2 02x y π− − = ' 1 siny x= + 2x π= ' 1 sin 22y π= + = 3 3 3 0 3 3 0 x x y x y ≤  − + ≥  + + ≥ 2 2( 1) 4x y− + = 如图: 可得不等式组表示的平面区域,围成的三角形为等边三角形,则面积最大的圆为三角形内切 圆,圆心为 ,半径为 ,所以圆 C 的标准方程为 15.将函数 图象向左平移 个单位长度,得到一个 偶函数图象,则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据平移后关于 轴对称可知 关于 对称,进而利用特殊值 构造方 程,从而求得结果. 详解】 向左平移 个单位长度后得到偶函数图象,即关于 轴对称 关于 对称 即: 本题正确结果: 【点睛】本题考查根据三角函数的对称轴求解参数值的问题,关键是能够通过平移后的对称 轴得到原函数的对称轴,进而利用特殊值的方式来进行求解. 16.已知数列 的前 项和为 , ,且 ( 为常数).若数列 满足 ,且 ,则满足条件的 的取值集合为________. 【答案】 【解析】 的 【 ( )1 0, 2 ( )2 21 4x y− + = ( ) sin cos ( , R, 0)f x a x b x a b a= + ∈ ≠ 6 π b a = 3 y ( )f x 6x π= ( )03f f π  =   ( )f x 6 π y ( )f x∴ 6x π= ( )03f f π ∴ =   3 1sin cos3 3 2 2a b a b b π π+ = + = 3b a ∴ = 3 { }na n nS 1 1a = 1n nS aλ= − λ { }nb 2 n na b n= − 9 20n+ − 1n nb b+ < n {5,6} 【分析】 利 用 可 求 得 ; 利 用 可 证 得 数 列 为 等 比 数 列 , 从 而 得 到 ,进而得到 ;利用 可得到关于 的不等式,解不等式求得 的取值 范围,根据 求得结果. 【详解】当 时, ,解得: 当 且 时, ,即: 数列 是以 为首项, 为公比的等比数列 ,解得: 又 或 满足条件的 的取值集合为 本题正确结果: 【点睛】本题考查数列知识的综合应用,涉及到利用 与 的关系求解通项公式、等比数列 通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识;关键是能够得到 的通项公式, 进而根据单调性可构造出关于 的不等式,从而求得结果. 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.若数列 的前 项和 满足 ( , ). (1)证明:数列 为等比数列,并求 ; 1 1a S= 2λ = 1n n na S S −= − { }na 12n na -= nb 1 0n nb b+ - < n n n ∗∈N 1n = 1 1 1 1a S aλ= = − 1 1λ∴ − = 2λ = 2 1n nS a∴ = − 2n ≥ n ∗∈N 1 12 1n nS a− −= − 1 12 2n n n n na S S a a- -\ = - = - 12n na a −= ∴ { }na 1 2 12n na -\ = 2 9 20n na b n n= − + − 2 1 9 20 2n n n nb − − + −∴ = ( ) ( )2 2 2 1 1 1 9 1 20 9 20 11 28 02 2 2n n n n n n n n n n nb b+ − − + + + − − + − − +∴ − = − = < 2 0n > ( )( )2 11 28 4 7 0n n n n∴ − + = − − < 4 7n< < n ∗∈N 5n∴ = 6 ∴ n { }5,6 { }5,6 na nS nb n { }na n nS 2n nS a λ= − 0λ > *n N∈ { }na na (2)若 , ( ),求数列 的前 项和 . 【答案】(1) .(2) . 【解析】 试题分析:(1)已知 ,写出当 时, ,两 式 子 做 差 , 得 到 数 列 . 从 而 得 到 数 列 是 等 比 数 列 ; ( 2 ) 根 据 第 一 问 得 到 ,分组求和即可。 解析: (1)∵ , 当 时,得 , 当 时, , 故 , 即 , ∴ , ∴ 是以 为首项,2 为公比的等比数列, ∴ . (2)∵ ,得 , ∴ ∴ 4λ = 2 , log , n n n a nb a n =   是奇, 是偶 *n N∈ { }nb 2n 2nT 12n na λ −= ⋅ 1 2 2 4 423 3 n nT n n + = + + − 2n nS a λ= − ( )*0, Nnλ > ∈ 2n ≥ 1 12n nS a λ− −= − 12n na a −= 12 1 n n nb n n +=  + 为奇数 为偶数 2n nS a λ= − 1n = 1a λ= 2n ≥ 1 12n nS a λ− −= − 1 12 2n n n nS S a a− −− = − 12 2n n na a a −= − 12n na a −= { }na λ 12n na λ −= ⋅ 4λ = 1 14 2 2n n na − += ⋅ = 12 , 1, . n n nb n n +=  + 是奇, 是偶 2 4 6 2 2 2 3 2 5 2 7 2 2 1n nT n= + + + + + +…+ + + ( ) ( )2 4 6 22 2 2 2 3 5 2 1n n= + + +…+ + + +…+ + ( )2 3 2 14 2 4 1 4 2 n n n+ +− ⋅= +− , ∴ . 点睛:这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法;数列通项的求法中有 常见的已知 和 的关系,求 表达式,一般是写出 做差得通项,但是这种方法需要 检验 n=1 时通项公式是否适用;数列求和常用法有:错位相减,裂项求和,分组求和等。 18.如图,四棱柱 的底面 是菱形, , 底面 , , . (Ⅰ)证明:平面 平面 ; (Ⅱ)若 ,求二面角 的余弦值. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 试题分析:(1)证明平行可先证线面平行, 平面 ,在此之前先证线线平行; (2)建立空间坐标系,求两个面的法向量,求两个法向量的夹角即可。 解析: (Ⅰ)证明:∵ 平面 , 平面 ,∴ . ∵ 是菱形,∴ .∵ ,∴ 平面 . ∵ 平面 ,∴平面 平面 . ( )14 4 23 n n n + −= + + 1 2 2 4 423 3 n nT n n + = + + − nS na na 1nS − 1 1 1 1ABCD A B C D− ABCD AC BD O= 1AO ⊥ ABCD 2AB = 1 3AA = 1ACO ⊥ 1 1BB D D 60BAD∠ = ° 1B OB C− − 21 21 BD ⊥ 1ACO 1AO ⊥ ABCD BD ⊂ ABCD 1AO BD⊥ ABCD CO BD⊥ 1AO CO O∩ = BD ⊥ 1ACO BD ⊂ 1 1BB D D 1ACO ⊥ 1 1BB D D (Ⅱ)∵ 平面 , ,以 为原点, , , 方向为 轴 正方向建立如图所示空间直角坐标系. ∵ , , , ∴ , , . 则 , , , , ∴ , . 设平面 的法向量为 , ∵ , , ∴ . 令 ,得 . 同理可求得平面 的法向量为 . ∴ . 19.P 是圆 上的动点,P 点在 x 轴上的射影是 D,点 M 满足 . (1)求动点 M 的轨迹 C 的方程,并说明轨迹是什么图形; (2)过点 的直线 l 与动点 M 的轨迹 C 交于不同的两点 A,B,求以 OA,OB 为邻边的平 1AO ⊥ ABCD CO BD⊥ O OB OC 1OA , ,x y z 2AB = 1 3AA = 60BAD∠ = ° 1OB OD= = 3OA OC= = 2 2 1 1 6OA AA OA= − = ( )1,0,0B ( )0, 3,0C ( )0, 3,0A − ( )1 0,0, 6A ( )1 1 0, 3, 6BB AA= =  ( )1 1 1, 3, 6OB OB BB+ + =   1OBB ( ), ,n x y z= ( )1,0,0OB = ( )1 1, 3, 6OB = 0 3 6 0 x x y z = + + = 2y = ( )0, 2, 1n = − 1OCB ( )6,0, 1m = − 1 21cos , 217 3 n m = ×   2 2 4x y+ = 1 2DM DP=  (3,0)N 行四边形 OAEB 的顶点 E 的轨迹方程. 【答案】(1)点 M 的轨迹 C 的方程为 ,轨迹 C 是以 , 为焦点,长 轴长为 4 的椭圆(2) 【解析】 【分析】 (1)设 ,根据 可求得 ,代入圆的方程可得所求轨迹方程; 根据轨迹方程可知轨迹是以 , 为焦点,长轴长为 的椭圆; (2)设 ,与椭圆方程联立,利用 求得 ;利用韦达定理表示出 与 ,根据平行四边形和向量的坐标运算求得 ,消去 后得到轨迹方程;根 据 求得 的取值范围,进而得到最终结果. 【详解】(1)设 ,则 由 知: 点 在圆 上 点 的轨迹 的方程为: 轨迹 是以 , 为焦点,长轴长为 的椭圆 (2)设 ,由题意知 的斜率存在 设 ,代入 得: 则 ,解得: 设 , ,则 2 2 14 x y+ = ( 3,0)− ( 3,0) 2 2 84 6 0 0 3x y x x + − = < 0∆ 2 1 5k < 1 2x x+ 1 2y y+ OE k 2 1 5k < x ( ),M x y ( ),0D x 1 2DM DP=  ( ),2P x y  P 2 2 4x y+ = 2 24 4x y∴ + = ∴ M C 2 2 14 x y+ = C ( )3,0− ( )3,0 4 ( ),E x y l ( ): 3l y k x= − 2 2 14 x y+ = ( )2 2 2 21 4 24 36 4 0k x k x k+ − + − = ( ) ( )( )22 2 224 4 1 4 36 4 0k k k∆ = − − + − > 2 1 5k < ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 1 2 2 24 1 4 kx x k + = + ∴ ( ) ( ) ( ) 3 1 2 1 2 1 2 2 2 24 63 3 6 61 4 1 4 k ky y k x k x k x x k kk k −+ = − + − = + − = − =+ + 四边形 为平行四边形 又 ∴ ,消去 得: 顶点 的轨迹方程为 【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题,关键是能够利用已知中所给的等量关 系建立起动点横纵坐标满足的关系式,进而通过化简整理得到结果;易错点是求得轨迹方程 后,忽略 的取值范围. 20.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 (单位:万元)对年销 售量 (单位:吨)和年利润 (单位:万元)的影响.对近六年的年宣传费 和年销售量 ( )的数据作了初步统计,得到如下数据: 年份 年宣传费 (万元) 年销售量 (吨) 经电脑模拟,发现年宣传费 (万元)与年销售量 (吨)之间近似满足关系式 ( ).对上述数据作了初步处理,得到相关的值如表:  OAEB ∴ ( ) 2 1 2 1 2 2 2 24 6, , ,1 4 1 4 k kOE OA OB x x y y k k  −= + = + + =  + +     ( ),OE x y= 2 2 2 24 1 4 6 1 4 kx k ky k  = + − = + k 2 24 6 0x y x+ − = 2 1 5k 0b > ln ln lny a b x= + lni iu x= lni iv y= lnv a b u= + ⋅ 24.6 4.16u = = 18.3 3.056v = = ( ) ( )6 6 1 1 ln lni i i i i i u v x y = = = =∑ ∑ 75.3 ( )6 6 22 1 1 1n 101.4i i i i u x = = = =∑ ∑ ( )6 1 6 2 2 1 6 ˆ 6i ii ii u v u v b u u = = − ⋅ = − ⋅ ∑ ∑ 2 75.3 6 4.1 3.05 101.4 6 4.1 − × ×= − × 0.27 1 0.54 2 = = 1ln ln 3.05 4.1 12a v u= − = − × = ˆa e= y x ˆy e x= ⋅ 2 214 ˆ ez y x e x= − = ⋅ 14 14 e ex− = − ( )14 2 14 ex x− = − ( )2 7 2 7x e− + 所以当 ,即 时, 取得最大值, 即当 2019 年的年宣传费用是 万元时,年利润有最大值. 【点睛】考查了线性回归方程求解,考查了二次函数计算最值问题,关键结合题意,得到回 归方程,第二问关键转化为二次函数问题,难度中等。 21.设 . (1)求证:当 时, 恒成立; (2)讨论关于 x 的 方程根的个数. 【答案】(1)证明见解析;(2)详见解析 【解析】 【分析】 (1)求导后可知 且不恒等于 ,得到 的单调性,从而知 , 结论可证得; (2)将方程整理为 ,将问题转化为 与 交点个数的讨论;结合导数可得到 的单调性,从而得到 的图象,利用二次函数 平移可确定临界状态,结合图象得到不同情况下交点的个数,进 而得到结果. 【详解】(1)由题意得: 的定义域为 当 时, 且不恒等于 在 上单调递增 当 时, 恒成立 (2)化简方程得: ,即 令 , 则方程根的个数等价于 与 图象交点个数 7 2x = 98x = ˆz 98 1( ) 2lnf x x xx = − − 1x ≥ ( ) 0f x ≥ 3 21 ( ) 2x f x x ex txx − − = − + ( ) 0f x′ ≥ 0 ( )f x ( ) ( )1 0f x f≥ = ( )22ln 2 0x x ex t xx = − + > ( ) ( )2ln 0xg x xx = > ( ) ( )2 2 0h x x ex t x= − + > ( )g x ( )g x ( )h x ( ) 1 2lnf x x xx = − − ( )0, ∞+ ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 11 2 2 11 0xx xf x xx x x x −− +′ = + − = = > 1x ≥ ( ) 0f x′ ≥ 0 ( )f x∴ [ )1,+∞ ( ) ( )1 0f x f∴ ≥ = ∴ 1x ≥ ( ) 0f x ≥ ( )3 22ln 2 0x x ex tx x= − + > ( )22ln 2 0x x ex t xx = − + > ( ) ( )2ln 0xg x xx = > ( ) ( )2 2 0h x x ex t x= − + > ( )g x ( )h x 当 时, ,则 在 上单调递增 当 时, ,则 在 上单调递减 ; 时, ; 时, 又 与 在同一坐标系内的大致图像如图所示: 由图象可知:当 时,即 时,方程无实根;当 时,即 时,方程有一个实根;当 时,即 时,方程有两个不等实根 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用,涉及到利用导数证明不等式、讨论方程根的个 数的问题;讨论根的个数的问题常转化为两个函数的交点个数问题,利用导数求得函数的单 调性,从而得到函数图象,利用数形结合的方式来进行求解. 请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑. 22.在平面直角坐标系 中,以 为极点, 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,直线 的参数方程为 为参数 , 直线 与曲线 分别交于 两点. (1)若点 的极坐标为 ,求 的值; (2)求曲线 的内接矩形周长的最大值. ( ) ( ) 2 2 2 1 ln2 2ln xxg x x x −−′ = = ( )0,x e∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,e ( ),x e∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( ),e +∞ ( ) ( )max 2g x g e e ∴ = = 0x → ( )g x → −∞ x → +∞ ( ) 0g x → ( ) ( )22 22h x x ex t x e t e= − + = − + − ( )g x∴ ( )h x 2 2t e e − > 2 2t e e > + 2 2t e e − = 2 2t e e = + 2 2t e e − = 2 2t e e < + xOy O x C 2 2 2 2cos 3 sin 12ρ θ ρ θ+ = l 22 2 ( 2 2 x t t y t  = − +  = ) l C ,M N P (2, )π PM PN⋅ C 【答案】(1)4;(2)16. 【解析】 【分析】 (1)根据题意,将曲线 C 的极坐标方程变形为标准方程,将直线的参数方程与曲线 C 的方程 联立,可得 ,由一元二次方程根与系数的关系计算可得答案; (2)写出曲线 C 的参数方程,分析可得以 P 为顶点的内接矩形周长 l ,由正弦函数的性质分析可得答案. 【详解】(1)由 ,将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入得到 +3 =12, 所以曲线 C 的直角坐标方程为 +3 =12, 的极坐标为 ,化为直角坐标为(-2,0) 由直线 l 的参数方程为: (t 为参数), 知直线 l 是过点 P(-2,0),且倾斜角为 的直线, 把直线的参数方程代入曲线 C 得, . 所以|PM|•|PN|=|t1t2|=4. (2)由曲线 C 的方程为 , 不妨设曲线 C 上的动点 , 则以 P 为顶点的内接矩形周长 l , 又由 sin(θ )≤1,则 l≤16; 因此该内接矩形周长的最大值为 16. 【点睛】本题考查椭圆的极坐标方程与普通方程的互化,考查了直线的参数方程的意义及椭 圆参数方程的应用,涉及三角函数的最值问题,属于中档题. 23.设函数 , . 2 2 4 0t t− − = ( )4 2 3 2 16 03 2cos sin sin π πθ θ θ θ  = × + = +    < < 2 2 2 2cos 3 sin 12ρ θ ρ θ+ = 2x 2y 2x 2y P ( )2,π 22 2 2 2 x t y t  = − +  = 4 π 2 2 4 0t t− − = 2 2 112 4 x y+ = ( )2 3 2P cos sinθ θ, ( )4 2 3 2 16 03 2cos sin sin π πθ θ θ θ  = × + = +    < < 3 π+ ( ) 1 ( 0)f x ax x a a= + + − > 2( )g x x x= − (1)当 时,求不等式 的解集; (2)已知 恒成立,求 的取值范围. 【答案】(1) 或 ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)通过讨论 x 的范围,得到关于 x 的不等式组,解出即可; (2)求出 f(x)的分段函数的形式,通过讨论 a 的范围,求出 f(x)的最小值即可. 【详解】(1)a=1 时,f(x)=|x+1|+|x﹣1|, 若 g(x)≥f(x), 即 x2-x≥|x+1|+|x﹣1|, 故 或 或 , 解得:x≥3 或 x≤-1, 故不等式的解集是{x|x≥3 或 x≤﹣1}; (2)f(x)=|ax+1|+|x﹣a| , 若 0<a≤1,则 f(x)min=f(a)=a2+1, ∴a2+1 ,解得:a 或 a , ∴a=1, 若 a>1,则 f(x)min=f( )=a 2, ∴a>1, 综上,a . 1a = ( ) ( )g x f x≥ ( ) 2f x ≥ a { | 1x x ≤ − }3x ≥ [ )1,a∈ +∞ 2 1 1 1 x x x x x ≥  − ≥ + + − 2 1 1 1 1 x x x x x −  − ≥ + + − < < 2 1 1 1 x x x x x ≤ −  − ≥ − − + − ( ) ( ) ( ) 11 1 11 1 1 1 a x a x a a x a x aa a x a x a , < , , >   − + + − −    = − + + − ≤ ≤  + − +   2≥ 1≥ 1≤ − 1 a − 1 a + > 1≥ 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值的性质以及求函数最值问题,是一道 中档题.

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