洛阳市 2019—2020 学年高中三年级上学期期中考试
数学试卷（文）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1.已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
在等式 两边同时除以 ，可求出复数 .
【详解】 ， ，
故选：B.
【点睛】本题考查复数的除法，考查计算能力，属于基础题.
2.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
解出集合 、 ，再利用并集的定义可得出集合 .
【详解】 ，
，因此， .
故选：A.
【点睛】本题考查集合并集的运算，同时也考查了对数不等式以及一元二次不等式的解法，
解题的关键就是解出题中所涉及的集合，考查运算求解能力，属于基础题.
3.已知实数 、 满足 ，则 的最大值为（ ）
i z 1 2iz i= + z
2 i+ 2 i− 1 2i+ 1 2i−
1 2iz i= + i z
1 2iz i= +
2 1 2iz ii
+∴ = = −
( ){ }3log 2 2A x x= − ≤ { }2 9B x x= > A B =
( ) ( ), 3 2,−∞ − +∞ ( ]3,11
( )2,+∞ ( ) ( ), 3 2,3−∞ −
A B A B
( ){ } { } ( ]3log 2 2 0 2 9 2,11A x x x x= − ≤ = < − ≤ = { } ( ) ( )2 9 , 3 3,B x x= > = −∞ − ∪ +∞ ( ) ( ), 3 2,A B = −∞ − +∞
x y
1
3
4 1
y x
x y
y
− ≤
+ ≤
≥
3x y+
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
设 ，作出不等式组所表示的可行域，平移直线 ，观察该直线在 轴上取
得最大值时对应的最优解，再将最优解代入目标函数计算即可.
【详解】设 ，作出不等式组 所表示的可行域如下图所示：
联立 ，解得 ，得点 ，
平移直线 ，当直线 经过点 时，直线 在 轴上的截距
最大，此时 取得最大值，即 .
故选：A.
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，考查线性目标函数的最值问题，一般利用平移直线
的方法找出线性目标函数取得最值时的最优解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
4.执行如图的程序框图，则输出的结果是（ ）
7 4 3 0
3z x y= + 3z x y= + x
3z x y= +
1
3
4 1
y x
x y
y
− ≤
+ ≤
≥
1
3
y x
x y
− =
+ =
1
2
x
y
=
=
( )1,2A
3z x y= + 3z x y= + ( )1,2A 3z x y= + x
3z x y= + max 1 3 2 7z = + × =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
列出算法循环的前三步，找出规律，并得出最后一步输出 的表达式，然后利用裂项法求出
的值.
【详解】第一次循环， ， ， 不成立， ；
第二次循环， ， ， 不成立， ；
第三次循环， ， ， 不成立， ；
依此类推，最后一次循环， ， ，
成立，
输出
1
132
8
33
11
12
1
4
S S
1 2T = × 1
1 2S = × 1 10n = > 1 1 2n = + =
2 3T = × 1 1
1 2 2 3S = +× × 2 10n = > 2 1 3n = + =
3 4T = × 1 1 1
1 2 2 3 3 4S = + +× × × 3 10n = > 3 1 4n = + =
11 12T = × 1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 11 12S = + + + +× × × × 11 10n = >
1 1 1 1
1 2 2 3 3 4 11 12S = + + + +× × × ×
.
故选：C.
【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算
能力，属于中等题.
5.已知单位向量 、 满足 ，则 、 夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 、 的夹角为 ，在等式 两边平方，求出 的值，结合 的取值范围，
可得出 的值.
【详解】设 、 的夹角为 ，由题意可得 ，
在等式 两边平方得 ，
整理得 ，解得 .
，解得 ，因此， 、 夹角为 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用平面向量的模来计算平面向量的夹角，一般将模有关的等式平方，利
用平面向量数量积的定义和运算律来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
6.已知 ， ， ，则 、 、 的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
比较 、 与 的大小，可得出 ， ，再比较 与 的大小关系，可得出 、 、 三
个数的大小关系.
【详解】 函数 为减函数，则 .
1 1 1 1 1 1 1 1 111 12 2 3 3 4 11 12 12 12
= − + − + − + + − = − =
a b 2a b a b− = +
a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
a b θ 2a b a b− = + cosθ θ
θ
a b θ 1a b= =
2a b a b− = + 2 2 2 2
2 4 4a a b b a a b b− ⋅ + = + ⋅ +
2 2 2 2
2 cos 4 4 cosa a b b a a b bθ θ− ⋅ + = + ⋅ + 1cos 2
θ = −
0 θ π≤ ≤
2
3
πθ = a b 2
3
π
3
5a = 0 2log 0.1b = ． 3log 2c = a b c
c b a< < c a b< < a c b< < b c a< < b c 1 1b > 1c < a c a b c 0.2logy x= 0.2 0.2log 0.1 log 0.2 1a = > =
函数 为增函数，则 .
下面来比较 与 的大小关系，即比较 与 的大小关系，即比较 与 的大小.
， ，因此， .
故选：C.
【点睛】本题考查比较大小，当各数的结构彼此不同时，一般利用中间值法来比较大小，常
用的中间值为 和 ，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7.已知点 是圆 上任意一点，则点 到直线 距
离的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
计算出圆心 到直线 距离的最大值，再加上圆 的半径可得出点 到直线
的距离的最大值.
【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，点 到直线 的距离为
，
因此，点 到直线 距离的最大值为 .
故选：D.
【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离
为 ，圆的半径为 ，则圆上一点到直线的距离的最大值为 ，最小值为 ，解题时
要熟悉这个结论的应用，属于中等题.
8.在棱长为 的正方体 中，点 、 、 分别为棱 、 、 的
中点，经过 、 、 三点的平面为 ，平面 被此正方体所截得截面图形的周长为（ ）
3logy x= 3 3log 2 log 3 1c = < = a c 3 5 3log 2 3 35log 2 5 3 3 3 3 35log 2 log 2 log 32 log 3 3= = > = c a∴ > a c b< < 0 1 P ( ) ( )2 2: 3 cos sin 1C x yθ θ− − + − = P 1x y+ = 2 2 2 2 1+ 2 2+ C 1 0x y+ − = C P 1 0x y+ − = C ( )3 cos ,sinθ θ+ 1 C 1 0x y+ − = 2 sin 23 cos sin 1 4 sin 2 1 242 2 d πθθ θ πθ + + + + − = = = + + ≤ + P 1x y+ = 1 2 1 2 2+ + = + d r d r+ d r− 2 1 1 1 1ABCD A B C D− P Q R 1AA BC 1 1C D P Q R α α
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
作出图形，分别取 、 、 的中点 、 、 ，证明出 、 、 、 、 、
六点共面，即可得出六边形 为平面 被正方体所截的截面图形，并证明出该六边
形为正六边形，计算出其边长，即可得出截面图形的周长.
【详解】如下图所示，分别取 、 、 的中点 、 、 ，连接 、 、
.
在正方体 中， ，又 、 分别为 、 的中点，
，
所以，四边形 为平行四边形，
又 、 分别为 、 的中点， ，且 ，
，则四边形 为梯形，则 、 、 、 四点共面，
若 平面 ，易证 ，且 平面 ， 平面 ，
可得出 平面 ，这与 平面 矛盾，则 平面 ，
同理可证 平面 ，所以平面 截正方体 所得截面图形为六边形
2 6 2 3
2 3 3
AB 1CC 1 1A D E F G E Q F R G P
EQFRGP α
AB 1CC 1 1A D E F G AC 1 1AC
PF
1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1//AA CC P F 1AA 1CC
1 1//PA C F∴
1 1AC FP
G R 1 1A D 1 1C D 1 1//GR AC∴ 1 1
1 22GR AC= =
1
2GR PF∴ = PFRG P F R G
E ∉ PFRG //PE RF PE ⊄ PFRG RF ⊂ PFRG
//PE PFRG PE PFRG P= E∈ PFRG
Q∈ PFRG α 1 1 1 1ABCD A B C D−
，易知该六边形的边长均为正方体 的面对角线长度的一半，则
其边长为 ，因此，该截面图形的周长为 .
故选：B.
【点睛】本题考查平面截正方体所截图形的周长的计算，解题的关键就是找出平面与各棱的
交点，并分析出截面图形的形状，考查空间想象能力，属于中等题.
9.已知 函数 定义域为 ， 对任意实数 恒成立，若
真，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由 真得出两个命题均为真命题，求出 、 均为真命题时对应的参数 的取值范围，取
交集即可得出实数 的取值范围.
【详解】由于命题 为真命题，则命题 、 均为真命题.
若命题 为真命题，则 ，解得 .
若命题 为真命题，构造函数 ，则 ，且 .
（1）当 时， 对任意的 恒成立，此时，函数 单调递增，
且当 时， ，不合乎题意；
（2）当 时， 恒成立；
（3）当 时，令 ，得 .
当 时， ，当 时， .
，即 ，解得
.
所以，当命题 为真命题时， .
因此，实数 的取值范围是 .
的
EQFRGP 1 1 1 1ABCD A B C D−
2 6 2
:p ( )2ln 1y x ax= − + R : xq e ax> x p q∧
a
[ )0,2 [ )2,e ( )2,e− [ )0,e
p q∧ p q a
a
p q∧ p q
p 2 4 0a∆ = − < 2 2a− < < q ( ) xf x e ax= − ( )min 0f x > ( ) xf x e a′ = −
0a < ( ) 0f x′ > x∈R ( )y f x=
x → −∞ ( )f x → −∞
0a = ( ) 0xf x e= >
0a > ( ) 0xf x e a′ = − = lnx a=
lnx a< ( ) 0f x′ < lnx a> ( ) 0f x′ >
( ) ( ) ( )ln
min ln ln ln 1 ln 0af x f a e a a a a a a a∴ = = − = − = − > 1 ln 0a− >
0 a e< < q 0 a e≤ < a [ )0,2
故选：A.
【点睛】本题考查利用复合命题的真假求参数的取值范围，同时也考查了对数型函数的定义
域与不等式恒成立问题，解题时要根据复合命题的真假判断出简单命题的真假，考查运算求
解能力，属于中等题.
10.双曲线 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为 、 ，虚轴的一个端点为 ，若
是顶角为 的等腰三角形，则双曲线 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意得出 （ 为坐标原点）为 的直角三角形，然后利用锐角三角函数
可得出 、 的等量关系，由此可计算出双曲线的离心率.
【详解】如下图所示，易知 ，由题意可知， ， ，
由图形可得 ， ，在 中， ，
，即 ， ， ，
C 1F 2F A
1 2AF F∆ 120 C
6
2 2 3 2
1AFO∆ O 1 30AFO∠ =
b c
1 2AF AF= 1 2 120F AF∠ =
1 30AFO∴∠ =
OA b= 1OF c= 1Rt AFO∆ 1
1
3tan 3
OA bAFO OF c
∠ = = =
3c b∴ = 2 2 2 23 3 3c b c a= = − 2 23 2a c∴ =
2
2
3
2
c
a
∴ =
因此，双曲线的离心率为 .
故选：A.
【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题时要根据题中条件得出 、 、 的等量关系，
考查运算求解能力，属于中等题.
11.已知数列 为等差数列，其前 项和为 ，若 （ 且 ），有以下结
论：① ；② ；③ 为递增数列；④ ．则正确的结论的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
可设 ，根据 可得出 、 之间的关系，并求出数列 的通项公式，
结合 和 的表达式对各命题的正误进行判断.
【 详 解 】 设 ， 则
，
，所以 ，解得 ， ，则 .
当 时， ；
当 时， .
也适合上式， ，则 ，数列 可能是增数列，也可能是减
数列， ，因此，正确的结论序号为①②.
故选：B.
【点睛】本题考查等差数列通项与求和相关命题真假的判断，解题的关键就是要求出等差数
列通项和前 项和公式，也可以利用等差数列的性质进行判断，考查推理能力，属于中等题.
12.已知三棱锥 的侧棱长相等，底面正三角形 的边长为 ， 平面
时，三棱锥 外接球的表面积为（ ）
3 6
2 2
=
a b c
{ }na n nS 9n nS S −= n ∗∈N 9n < 9 0S = 5 0a = { }na 9 0a = 1 2 3 4 2 nS xn yn= + 9n nS S −= x y { }na na nS ( )2 0nS xn yn x= + ≠ ( ) ( ) ( )2 2 9 9 9 18 81 9nS x n y n xn x y n x y− = − + − = − + + + 9n nS S −= ( )18 81 9 0 x y y x y − + = + = 9y x= − 2 9nS xn xn∴ = − 9 0S = 1n = 1 1 8a S x= = − 2n ≥ ( ) ( ) ( )22 1 9 1 9 1 2 10n n na S S xn xn x n x n xn x− = − = − − − − − = − 1 8a x= − 2 10na xn x∴ = − 5 0a = { }na 9 8 0a x= ≠ n P ABC− ABC 2 PA ⊥ PBC P ABC−
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
证明 ，得出 ，可得出 的外接圆直径为 ，并计
算出三棱锥 的侧棱长，然后利用公式 可得出外接球的半径 ，
并利用球体表面积公式可得出外接球的表面积.
【详解】如下图所示：
由题意可知， ， ，则 ， .
平面 ， 平面 ， ， ，
的外接圆直径为 ，易知三棱锥 的侧面都是等腰直角三角形，
，设三棱锥 的外接球半径为 ，则
，得 .
因此，三棱锥 的外接球的表面积为 .
故选：D.
【点睛】本题考查三棱锥的外接球的表面积，分析出几何体的结构，找出合适的模型计算出
外接球的半径是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分．
13.已知 ，则 __________．
3
2
3
2
π π 3π
PBC PAC∆ ≅ ∆ 90BPC∠ = PBC∆ 2BC =
P ABC− 2 22R PA BC= + R
PA PB PC= = AB AC BC= = PBC PAC∆ ≅ ∆ BPC APC∠ = ∠
PA ⊥ PBC PC ⊂ PBC PA PC∴ ⊥ 90BPC APC∴∠ = ∠ =
PBC∴∆ 2BC = P ABC−
2 2 2 12 2PA AB∴ = = × = P ABC− R
2 22 3R PA BC= + = 3
2R =
P ABC−
2
2 34 4 32S Rπ π π = = × =
tan 24x
π + = tan 4x
π − =
【答案】
【解析】
【分析】
利用两角和差的正切公式可得出 从而可得出答案.
【详解】 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查利用两角和与差 正切公式求值，解题时要注意两角之间的关系，也可以
利用诱导公式进行求解，考查计算能力，属于基础题.
14.已知函数 的导函数为 ， ，则不等式 的解集为
__________．
【答案】
【解析】
【分析】
对函数 求导得出 ，然后令 可求出 的值，可得出函
数 ，由此解出不等式 .
【详解】对函数 求导，得 ，则 ，解得
.
，解不等式 ，即 ，解得 .
因此，不等式 的解集为 .
故答案为： .
.
的
1
2
−
1tan 4 tan 4
x
x
π
π
− = − +
tan tan 1 tan4tan 24 1 tan1 tan tan 4
x xx xx
π
π
π
+ + + = = = − −
tan tan tan 1 1 14tan 1 tan4 1 tan 21 tan tan 4 1 tan
x xx xxx x
π
π
π
− − ∴ − = = = − = − ++ + −
1
2
−
( )f x ( )f x′ ( ) ( )2 2 2f x x xf ′+= ( ) 0f x < ( )0,8 ( )y f x= ( ) ( )2 2 2f x x f′ ′= + 2x = ( )2f ′ ( )y f x= ( ) 0f x < ( )y f x= ( ) ( )2 2 2f x x f′ ′= + ( ) ( )2 4 2 2f f′ ′= + ( )2 4f ′ = − ( ) 2 8f x x x∴ = − ( ) 0f x < 2 8 0x x− < 0 8x< < ( ) 0f x < ( )0,8 ( )0,8
【点睛】本题考查导数的计算，同时也考查了一元二次不等式的解法，解题的关键就是求出
函数的解析式，考查运算求解能力，属于中等题.
15.已知函数 在 处取得最小值，则 的最小值为__________，此
时 __________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
利 用辅 助角 公 式将 函 数 的解 析式 化 简为 ， 可 得出 函数
的最小值，根据题中条件得出 与 之间的关系，然后利用诱导公式可求出
的值.
【 详 解 】
，锐角 满足 ， ，所以，函数 的最小值
为 .
由题意可得 ， ，得
， ，
则 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查三角函数的最值，解题时首先要利用辅助角公式将三角函数解析式化简，
同时要注意取最值时对应角与辅助角之间的关系，并借助诱导公式进行计算，考查运算求解
能力，属于中等题.
16.若命题“ ，使得 成立．”为假命题，则实数 的最大值为
__________．
( ) sin 2cosf x x x= + 0x ( )f x
0cos x =
5− 2 5
5
−
( )y f x= ( ) ( )5 sinf x x ϕ= +
( )y f x= 0x ϕ
0cos x
( ) ( )5 2 5sin 2cos 5 sin cos 5 sin cos cos sin5 5f x x x x x x xϕ ϕ = + = + = +
( )5 sin x ϕ= + ϕ 5cos 5
ϕ = 2 5sin 5
ϕ = ( )y f x=
5−
( ) ( )0 05 sin 5f x x ϕ= + = − ( )0sin 1x ϕ∴ + = −
( )0
3 22x k k Z
πϕ π+ = + ∈ ( )0
3 22x k k Z
π ϕ π∴ = − + ∈
0
3 2 5cos cos 2 sin2 5x k
π ϕ π ϕ = − + = − = −
5− 2 5
5
−
[ ]0 0,x e∃ ∈ 0 12
0 1axx e − > a
【答案】
【解析】
【分析】
由题意得知命题“ ， 成立”，且 满足不等式 ，由不等式
， 变 形 得 出 ， 构 造 函 数 ， 利 用 导 数 求 出 函 数
在区间 上的最小值，可得出实数 的最大值.
【详解】由题意得知命题“ ， 成立”.
（1）当 时，不等式 成立；
（2）当 时，由 ，得 ，不等式两边取自然对数得
，
，构造函数 ，其中 .
，令 ，得 ，当 时， .
所以，函数 在区间 上单调递减，则 ， .
因此，实数 的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查利用命题的真假求参数，同时也考查了利用导数研究不等式恒成立问题，
解题的关键就是利用参变量分离思想转化为函数的最值来求解，考查分析问题和解决问题的
能力，属于中等题.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.如图，在三棱锥 中， 为正三角形， 为棱 的中点， ，
，平面 平面 ．
1
e
−
[ ]0,x e∀ ∈ 2 1 1axx e − ≤ 0x = 2 1 1axx e − ≤
2 1 1axx e − ≤ 1 2ln xa x
−≤ ( ) 1 2ln xf x x
−=
( )y f x= ( ]0,e a
[ ]0,x e∀ ∈ 2 1 1axx e − ≤
0x = 2 1 1axx e − ≤
0 x e< ≤ 2 1 1axx e − ≤ 1 2 1axe x − ≤ 1 2lnax x− ≤ − 1 2ln xa x −∴ ≤ ( ) 1 2ln xf x x −= 0 x e< ≤ ( ) 2 2ln 3xf x x −′ = ( ) 0f x′ = 3 2x e e= > 0 x e< ≤ ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( ]0,e ( ) ( )min 1f x f e e = = − 1a e ∴ ≤ − a 1 e − 1 e − P ABC− PAC∆ M PA AB AC⊥ 1 2AC BC= PAB ⊥ PAC
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求三棱锥 的体积．
【答案】（1）见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由三线合一的性质得出 ，再利用平面与平面垂直的性质定理可得出 平
面 ，可得出 ，再由 ，结合直线与平面垂直的判定定理可得出
平面 ；
（2）由（1）知 平面 ，则三棱锥 的高为 ，计算出 的面积和
，再利用锥体的体积公式可计算出三棱锥 的体积，即为三棱锥 的体
积.
【详解】（1） 为等边三角形，且 为 的中点， .
平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ， .
又 ， ， 、 平面 ， 平面 ；
（2） ，且 ， ，
又 是边长为 的等边三角形，且 为 的中点，则 ，
且 ， 的面积为 .
因此，三棱锥 的体积为 .
【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，同时也考查了三棱锥体积的计算，解题时要充分
利用题中的线面垂直或面面垂直条件寻找三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等
.
AB ⊥ PAC
2AC = P BMC−
1
CM PA⊥ CM ⊥
PAB AB CM⊥ AB AC⊥ AB ⊥
PAC
AB ⊥ PAC B PMC− AB PMC∆
AB B PMC− P BMC−
PAC∆ M PA CM PA∴ ⊥
PAB ⊥ PAC PAB ∩ PAC PA= CM ⊂ PAC
CM∴ ⊥ PAB AB ⊂ PAB AB CM∴ ⊥
AB AC⊥ CM AC C= AC CM ⊂ PAC AB∴ ⊥ PAC
AB AC⊥ 2AC = 2 4BC AC= = 2 2 2 3AB BC AC∴ = − =
PAC∆ 2 M PA CM PA⊥
sin 60 3CM PC= = PMC∆ 1 1 31 32 2 2PMCS PM CM∆ = ⋅ = × × =
P BMC− 1 1 3 2 3 13 3 2P BMC B PMC PMCV V S AB− − ∆= = ⋅ = × × =
题.
18.设数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）令 ，由 计算出 的值，再令 ，由 计算出 ，再验证
是否满足 的表达式，由此可得出数列 的通项公式；
（2）由题意得出 ，然后在等式两边同时除以 可得出 ，
可知数列 是以 为公差的等差数列，由此求出数列 的通项公式，可解出数列
的通项公式，然后利用错位相减法求出数列 的前 项和 .
【详解】（1）当 时， ；
当 时， .
也适合 ，因此，数列 的通项公式为 ；
（2） ，在等式两边同时除以 得 ，且 .
所以，数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列， ，
.
，
得 ，
上式 下式得
{ }na n nS 2 1n
nS = － { }nb 1 2b = 1 2 8n n nb b a+ − =
{ }na
{ }nb n nT
12n
na -= ( ) 12 3 2 6nn +− ⋅ +
1n = 1 1a S= 1a 2n ≥ 1n n na S S −= − na 1a
( )2na n ≥ { }na
2
1 2 8 2n
n n nb b a +
+ − = = 12n+ 1
1 22 2
n n
n n
b b+
+ − =
2
n
n
b 2 2
n
n
b
{ }nb
{ }nb n nT
1n = 1
1 1 2 1 1a S= = − =
2n ≥ ( ) ( )1 1 1
1 2 1 2 1 2 2 2n n n n n
n n na S S − − −
−= − = − − − = − =
1 1a = 12n
na -= { }na 12n
na -=
2
1 2 8 2n
n n nb b a +
+ − = = 12n+ 1
1 22 2
n n
n n
b b+
+ − = 1 12
b =
2
n
n
b 1 2 ( )1 2 1 2 12
n
n
b n n∴ = + − = −
( )2 1 2n
nb n∴ = − ⋅
( )1 2 31 2 3 2 5 2 2 1 2n
nT n∴ = × + × + × + + − ⋅
( ) ( )2 3 12 1 2 3 2 2 3 2 2 1 2n n
nT n n += × + × + + − ⋅ + − ⋅
− ( )1 2 3 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n
nT n +− = + × + × + + × − − ⋅
，
因此， .
【点睛】本题考查由前 项和 求数列通项 ，同时也考查了构造法求数列的通项以及错位
相减法求和，在利用前 项和 求数列通项 时，一般利用公式 来计
算，但需对 是否满足 的表达式进行验证，考查运算求解能力，属于中等题.
19.在 中， 是 中点， ， ， ．
（1）求边 的长；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2） .
【解析】
【分析】
（1）由 ，将等式两边平方，利用平面向量的数量积的运算律可求出
的值，再利用 可计算出边 的长；
（2）由 的值可计算出 的值，再利用同角三角函数的平方关系可计算出
的值，然后利用三角形的面积公式可求出 的面积.
【详解】（1） 为 的中点， ， ，
即 ，即 ，
得 ，
，
；
（2）由平面向量数量积的定义可得 ，
( ) ( ) ( )
3 1
1 12 1 2
2 2 1 2 3 2 2 61 2
n
n nn n
−
+ +
−
= + − − ⋅ = − ⋅ −−
( ) 12 3 2 6n
nT n +⋅= − +
n nS na
n nS na 1
1
, 1
, 2n
n n
S na S S n−
== − ≥
1a ( )2na n ≥
ABC∆ D BC 3AB = 13AC = 7AD =
BC
ABC∆
4 3 3
2AD AB AC= + AB AC⋅
( )2
BC AC AB= − BC
AB AC⋅ cos BAC∠
sin BAC∠ ABC∆
D BC 2AD AB AC∴ = + ( )22
4AD AB AC∴ = +
2 2 2
4 2AD AB AB AC AC= + ⋅ + ( ) ( )2 223 2 13 4 7AB AC+ ⋅ + = ×
3AB AC⋅ =
BC AC AB= −
( )2 2 2 22 13 2 3 3 4BC AC AB AC AB AC AB∴ = − = − ⋅ + = − × + =
3 13cos 133 13
AB ACBAC
AB AC
⋅∠ = = =
×⋅
，
因此， 的面积为 .
【点睛】本题考查三角形中线的计算，同时也考查了三角形面积的计算，在计算三角形中线
时，可以利用中线向量结合向量的模来进行计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中
等题.
20.已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上．
（1）求椭圆 的方程；
（2）圆 的切线 与椭圆 相交于 、 两点，证明： 为钝角．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用椭圆定义求出 的值，可得出 的值，再结合焦点的坐标可得出 的值，由此可得
出椭圆 的方程；
（2）分直线 的斜率是否存在进行分类讨论，在直线 的斜率不存在时，得出直线 的方程为
，求出点 、 的坐标，并验证 ；在直线 的斜率存在时，设直线 的
方程为 ，由直线与圆相切得出 ，再将直线 的方程与椭圆 的方程联立，
列出韦达定理，利用平面向量数量积的运算律得出 ，由此可证明出 为
钝角.
【详解】（1）设椭圆 的左焦点为 ，则 ，
由椭圆的定义可得 ， ，
，因此，椭圆 的方程为 ；
（2）①当直线 的斜率不存在时，则直线 的方程为 .
2
2 13 12sin 1 cos 1 13 13
BAC BAC
∴ ∠ = − ∠ = − =
ABC∆ 1 1 12sin 3 13 3 32 2 13ABCS AB AC BAC∆ = ⋅ ⋅ ∠ = × × × =
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > ( )1,0F 31, 2P
C
C
2 2 1x y+ = l C M N MON∠
2 2
14 3
x y+ =
2a a b
C
l l l
1x = ± M N 0OM ON⋅ ≥ ( ) cos 0xf x e x= − > ( )y f x=
( )0, ∞+
( )0 0f = ( )y f x= ,02
π −
( ) sinxf x e x′ = + ( ) sinxg x e x= + ( ) cosxg x e x′ = +
02 x
π− < < ( ) cos 0xg x e x′ = + >
( )y f x′= ,02
π −
2 1 02f e
ππ − ′ − = − ,02t
π ∈ −
( ) 0f t′ =
2 x t
π− < < ( ) 0f x′ < 0t x< < ( ) 0f x′ >
( )y f x= x t= ( ) ( )0 0f t f< = 2 02f e ππ − − = >
( ) 02f f t
π − ⋅
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