河南省2020届高三数学(文)上学期期中试卷(附解析Word版)
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河南省2020届高三数学(文)上学期期中试卷(附解析Word版)

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资料简介
2019—2020 上学年期中考试 20 届 高三文科数学试题 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案 的序号填涂在答题卡上) 1.若 ,则 x+y 是 的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】 在第一象限中,画出 和 的范围,根据两者的包含关系判断充分、必要条件. 【详解】在第一象限中,画出 和 的范围如下图所示,由图可知前者的范围 包含后者的范围,故前者是后者的必要不充分条件条件.故选 B. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查利用图像表示不等式,属于中档题. 2.若复数 是实数,则实数 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】A x 0, y 0> > 1> 2 2x 1y+ > 1x y+ > 2 2 1x y+ > 1x y+ > 2 2 1x y+ > 2 1 m i mi + − m 1− 1 2− 2 【解析】 【分析】 利用复数的除法法则将复数表示为一般形式,利用虚部为零可求出实数 的值. 【详解】 , 由题意可得 ,解得 . 故选:A. 【点睛】本题考查根据复数的类型求参数的值,解题的关键就是利用复数的四则运算法则将 复数表示为一般形式,利用实部和虚部进行求解,考查计算能力,属于基础题. 3.在平面直角坐标系 中,已知 ,点 在第二象限内, ,且 ,若 ,则 的值分别是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意可得 ,则 ,解之得 ,应选 C. 考点:向量的坐标形式的运算及待定系数法的运用. 4.具有相关关系的两个量 、 的一组数据如下表,回归方程是 ,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 m ( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 32 2 3 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m i mi m m m im i m m m imi mi mi m m m + + − + ++ − += = = +− − + + + + 3 2 1 01 m m + =+ 1m = − xOy ( ) ( )1,0 , 0,1A B C 5 6AOC π∠ = 2OC = OC OA OBλ µ= +   ,λ µ 3,1 1, 3 3,1− 1, 3− x y  0.67 54.9y x= + m = x 10 20 30 40 50 y 62 m 75 81 89 65 67 68 70 求出 、 的值,然后将点 的坐标代入方程 ,即可求出实数 的值. 【详解】 , , 将点 代入回归直线方程得 ,解得 . 故选:C. 【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据,解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点 ”这一结论的应用,考查计算能力,属于基础题. 5.要得到函数 的图象,只需将函数 的图象( ) A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位 C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位 【答案】C 【解析】 【分析】 将初始函数的解析式化为 ,目标函数的解析式化为 ,然后利用 平移变换的基本原则可得出正确选项. 【 详 解 】 初 始 函 数 为 , 目 标 函 数 为 , 因此,将函数 的图象向右平移 个单位,可得到函数 的图象. 故选:C. 【点睛】本题考查三角函数的平移变换,在处理这类问题要注意两个问题:一是两个函数的 名称相同,二是左右平移指的是自变量上变化了多少,考查分析问题和解决问题的能力,属 于中等题. 6.根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图(如图).若样本容量为 x y ( ),x y  0.67 54.9y x= + m 10 20 30 40 50 305x + + + += = 62 75 81 89 307 5 5 m my + + + + += = 30730, 5 m+     3070.67 30 54.9 5 m+× + = 68m = ( ),x y sin 2 3y x π = −   ( )cos 2y x π= − − 6 π 5 12 π 5 12 π 3 π cos2y x= 5cos 2 6y x π = −   ( )cos 2 cos2y x xπ= − − = 5 5sin 2 cos 2 cos 2 cos 23 3 2 6 12y x x x x π π π π π        = − = − − = − = −                 ( )cos 2y x π= − − 5 12 π sin 2 3y x π = −   500 个,则交通指数在 之间的个数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 用 乘以 内的两个矩形面积之和,可得出所求结果. 【详解】由题意可知,交通指数在 之间的个数是 . 故选:D. 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数,解题时要熟悉样本容量、频率和频数三者 之间的关系,考查计算能力,属于基础题. 7.若 , ,则 的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】 将分式 平方,利用基本不等式可求出 的最小值,由此可得出 的最小值. 【详解】 ,即 , 【 [ )5,7 223 222 200 220 500 [ )5,7 [ )5,7 ( )500 0.24 0.2 1 220× + × = 0x > 0y > x y x y + + 2 1 2 2 1 2 x y x y + + 2 x y x y  +  +  x y x y + + ( ) ( ) 2 1 22 x y x y x y x y x yx y x y xy  + + += ≥ =   + + ++ + +  2 2 x y x y + ≥ + 当且仅当 时等号成立,因此, 的最小值为 . 故选:C. 【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值,解题时要注意“一正、二定、三相等” 条件的成立,考查计算能力,属于中等题. 8.已知椭圆的中心在原点,离心率 ,且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合, 则此椭圆方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 试题分析:抛物线 的焦点坐标为 ,所以椭圆的一个焦点坐标为 ,所以 ,又 ,所以 ,所以椭圆的标准方程为 ,故 选 A. 考点:1.椭圆 标准方程与几何性质;2.抛物线的标准方程与几何性质. 9.如图, 是抛物线 的一条经过焦点 的弦, 与两坐标轴不垂直, 已知点 , ,则 的值是( ) A. B. C. D. 【答案】C 的 x y= x y x y + + 2 2 1 2e = 2 4y x= − 2 2 14 3 x y+ = 2 2 18 6 x y+ = 2 2 12 x y+ = 2 2 14 x y+ = 2 4y x= − 2 2 14 3 x y+ = AB ( )2 2 0y px p= > F AB ( )1,0M − AMF BMF∠ = ∠ p 1 2 1 2 4 【解析】 【分析】 设直线 的方程为 ,设点 、 ,将直线 的方程与抛物线 的方程联立,由 可得知,直线 的斜率和 的斜率互为相反数,然后 利用斜率公式以及韦达定理可求出实数 的值. 【详解】抛物线 的焦点为 , 设直线 的方程为 ,设点 、 ,则 . 将直线 的方程与抛物线的方程联立 ,得 , 由韦达定理得 , . 由于 ,则直线 的斜率和 的斜率互为相反数. 即 ,即 ,整理得 , ,因此 . 故选:C. 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题,处理这种问题一般将直线方程与抛物线方程联 立,结合韦达定理设而不求法进行求解,考查运算求解能力,属于中等题. 10.执行如图的程序框图,则输出 的值是 (  ) AB 2 px my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB AMF BMF∠ = ∠ AM BM m ( )2 2 0y px p= > ,02 pF      AB ( )02 px my m= + ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2y y≠ − AB 2 2 2 px my y px  = +  = 2 22 0y mpy p− − = 1 2 2y y mp+ = 2 1 2y y p= − AMF BMF∠ = ∠ AM BM 1 2 1 21 1 y y x x = −+ + 1 2 2 2 1 21 12 2 y y y y p p = − + + 2 1 2 2y y p p= − = − 0p > 2p = x A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y 的值,当 时,不满足条件退出 循环,输出 x 的值即可得解. 【详解】解:模拟执行程序框图,可得 . 满足条件 ,执行循环体, ; 满足条件 ,执行循环体, ; 满足条件 ,执行循环体, ; 满足条件 ,执行循环体, ; … 观察规律可知,x 的取值周期为 3,由于 ,可得: 满足条件 ,执行循环体, 当 ,不满足条件 ,退出循环,输出 x 的值为 2. 故选:D. 2018 2019 1 2 2 2019y = 2, 0x y= = 2019y< 1, 1x y= − = 2019y< 1 , 22x y= = 2019y< 2, 3x y= = 2019y< 1, 4x y= − = 2019 673 3×= 2019y< 2, 2019x y= = 2019y ln lna e< a e< - e∞( , ) 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2, ,F F O P 1 2PF F∆ I I x A 2F PI B e OB OA= OB e OA= OA e OB= | |OB 关系不确定 【答案】A 【解析】 F1(﹣c,0)、F2(c,0),内切圆与 x 轴的切点是点 A ∵|PF1|﹣|PF2|=2a,及圆的切线长定理知, |AF1|﹣|AF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为 x, 则|(x+c)﹣(c﹣x)|=2a ∴x=a; |OA|=a, 在△PCF2 中,由题意得,F2B⊥PI 于 B,延长交 F1F2 于点 C,利用△PCB≌△PF2B,可知 PC=PF2, ∴在三角形 F1CF2 中,有: OB= CF1= (PF1﹣PC)= (PF1﹣PF2)= ×2a=a. ∴|OB|=|OA|. 故选:A. 点睛:这个题目考查了双曲线 几何意义和双曲线的第一定义;用到了焦三角形的的内切圆 的性质和结论。一般无论双曲线还是椭圆,和焦三角形的有关的可以想到,焦三角形的的周 长,余弦定理,定义的应用,面积公式等。 二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的横线上) 的 | |OA 1 2 1 2 1 2 1 2 13.数列 , , , , , , , , , , , ,前 项的和是______. 【答案】 【解析】 【分析】 由数列规律可知 有 项,且和为 ,由 ,求出满足这个不等式的最大正整数 的值,可确定第 项的值,由此可得出该数列的前 项的和. 【详解】由题意可知,该数列中, 有 项,且这 项的和为 , 令 , ,则 最大值为 , 所以,该数列第 项为 ,且 的项数为 , 因此,该数列的前 项的和是 . 故答案为: . 【点睛】本题考查数列项的和的计算,解题关键就是找出数列的规律,考查推理能力与计算 能力,属于中等题. 14.在棱长都相等的三棱锥中,已知相对两棱中点的连线长为 ,则这个三棱锥的棱长等于 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 作出正四面体 ,设该正四面体的棱长为 ,分别取 、 的中点 、 ,连接 、 、 ,利用勾股定理计算出 、 、 ,即可求出 的值,从而求出该正 四面体的棱长. 【详解】如下图所示: 的 1 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 4 1 4 1 4 1 4 1 5  100 91314 1 n n 1 ( )1 1002 n n + ≤ n 100 100 1 n n n 1 ( )11 2 3 1002 n nn ++ + + + = ≤ n N ∗∈ n 13 100 1 14 1 14 13 14100 92 ×− = 100 1 913 9 1314 14 + × = 91314 2 2 ABCD 2a AB CD E F AF BF EF AF BF EF a 设正四面体 的棱长为 ,分别取 、 的中点 、 ,连接 、 、 ,则 . 是边长为 的等边三角形, 为 的中点, , ,同理可得 , 为 的中点, , , , ,因此,正四面体 的棱长为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查正四面体棱长的计算,在解题时应充分分析三角形的形状,结合勾股定理 进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题. 15.设 是双曲线 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 , 分别 是双曲线的左、右焦点,若 ,则 的值为     . 【答案】 【解析】 试题分析:双曲线的渐近线方程 ,得 ,由于 ,由双曲线定义知 ,得 . 考点:双曲线的性质. 16.已知函数 在 上单调递减,则实数 的取值范围是 ______. ABCD ( )2 0a a > AB CD E F AF BF EF 2EF = ACD∆ 2a F CD AF CD∴ ⊥ 2 2 3AF AC CF a∴ = − = 3BF a= E AB EF AB∴ ⊥ 2AB a= 2 2 2 2EF AF AE a∴ = − = = 1a\ = ABCD 2 2 P 2 2 2 19 x y a − = 3 2 0x y− = 1 2F F, 1 3PF = 2PF 7 ( ) ( )sin 14f x x πω ω = + >   5, 4 π π     ω 【答案】 【解析】 【分析】 由 可计算出 ,由函数 的单调递减区间 为 ,可得出 ,从而可得 出 的所满足的不等式组,由此可求出实数 的取值范围. 【详解】对于函数 , 由 ,可得 . 由于函数 的单调递减区间为 , 由题意可得 , ,解得 , 则 ,解得 , 且 ,则 ,因此, . 因此,实数 的取值范围是 . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用三角函数的单调性求参数的取值范围,解题的关键在于将问题转化为 两个区间的包含关系,考查化归与转化思想,属于中等题. 三、解答题(本大题共 7 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答 题纸的相应位置) 5 7,4 5      5, 4x ππ ∈   5,4 4 4 4x π π π πω πω ω + ∈ + +   siny x= ( ),2 k k k Z π π π π + + ∈   5, ,4 4 4 2 k k π π π ππω ω π π π   + + ⊆ + +       ω ω ( ) ( )sin 14f x x πω ω = + >   5, 4x ππ ∈   5,4 4 4 4x π π π πω πω ω + ∈ + +   siny x= ( ),2 k k k Z π π π π + + ∈   ( )5, ,4 4 4 2 k k k Z π π π ππω ω π π π   + + ⊆ + + ∈       4 2 5 4 4 k k π ππω π πω π π π  + ≥ +∴  + ≤ + ( )1 4 3 4 5 kk k Zω ++ ≤ ≤ ∈ 4 3 1 5 4 k k + > + 7 4k < 1ω > k Z∈ 1k = 5 7 4 5 ω≤ ≤ ω 5 7,4 5      5 7,4 5      17.已知 是等差数列, ,且 .若 . (1)求数列 通项公式; (2)求数列 的前 项和 . 【答案】(1) ;(2) 【解析】 【分析】 (1)设等差数列 的公差为 ,根据题中条件列出关于 和 的方程组,解出这两个量, 然后利用等差数列的通项公式可求出数列 的通项公式; (2)由(1)可得 ,然后利用裂项法可求出数 列 的前 项和 . 【详解】(1)设等差数列 的公差为 ,由题意可得 ,解得 . 因此,数列 的通项公式为 ; (2)由(1)得 . 因此, . 【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属 于中等题. 18.已知点 , , ,设 , ,其中 为坐标原 点. . { }na 3 7a = 2 6 18a a+ = 1 1 n n n b a a + = + { }na { }nb n nT 2 1na n= + ( )1 2 3 32nT n= + − { }na d 1a d { }na 22 1 2 3 1 2 1 2 3 n n nb n n − + + += = ++ + { }nb n nT { }na d 3 1 2 6 1 2 7 2 6 18 a a d a a a d = + =  + = + = 1 3 2 a d =  = { }na ( ) ( )1 1 3 2 1 2 1na a n d n n= + − = + − = + 1 1 1 2 1 2 3n n n b a a n n+ = = + + + + ( )( )2 1 2 3 2 1 2 3 22 1 2 3 2 1 2 3 n n n n n n n n + − + − + + += = + − + + + + ( )3 5 5 7 2 1 2 3 1 2 3 32 2 2 2n n nT n − + − + − + + += + + + = + − ( )2,0A ( )0, 2B − ( )2,0F − AOC α∠ = [ )0,2α π∈ O (1)设点 在 轴上方,到线段 所在直线的距离为 ,且 ,求 和线段 的大小; (2)设点 为线段 的中点,若 ,且点 在第二象限内,求 的取值范围. 【答案】(1) , ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)过点 作 的垂线,垂足为点 ,可得出 ,由锐角三角函数的定义求出 ,可得出 为等边三角形,可求出 的值,然后在 中利用余弦定理求出 ; (2)由题中条件求出 、 、 的坐标,化简 的解 析式为 ,再根据 的取值范围,结合余弦函数的定义域与基本性质可 求出 的取值范围. 【详解】(1)过 作 的垂线,垂足为 ,则 , 在直角三角形 中, , 又 , ,所以 为正三角形. 所以 ,从而 . 在 中, ; (2) ,点 为线段 的中点, , C x AF 3 3AFC π∠ = α AC D OA 2OC = C ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅    2 3 πα = 2 3AC = ( ]0,6 C AF E 3CE = 2CF = OCF∆ α ACF∆ AC DC OB OA ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅    4cos 2 23y πα = + +   α y C AF E 3CE = FCE 2sin CEFC CFE = =∠ 2OF = 3OFC π∠ = OFC∆ 3FOC π∠ = 2 3FOC πα π= − ∠ = AFC∆ 2 2 2 cosAC AF CF AF CF AFC= + − ⋅ ∠ 2 2 14 2 2 2 4 2 = + − × × × 2 3= ( )2,0A D OA ( )1,0D∴ 且点 在第二象限内, , , 从而 , , , , 则 , 因为 ,所以 ,从而 , , 因此, 的取值范围为 . 【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题,同时也考查了三角函数 的值域问题,在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简,考查分析问题和解 决问题的能力,属于中等题. 19.如图,四面体 , , , , . (1)若 中点是 ,求证: 面 ; (2)若 是线段 上的动点, 是面 上的动点,且线段 , 的中点是 , 求动点 的轨迹与四面体 围成的较小的几何体的体积. 【答案】(1)见解析;(2)动点 的轨迹是以 为球心,半径为 的球面,体积 . 【解析】 2OC =  C ( )2cos ,2sinC α α∴ ,2 πα π ∈   ( )2cos 1,2sinDC α α= − ( )2cos ,2sin 2BC α α= + ( )2,0OA = ( )0, 2OB = − ( ) 23 cos 4 3sin cos 4cosy DC OB BC OA α α α α= ⋅ + ⋅ = − +    ( )2 3sin 2 2 1 cos2 4cos 2 23 πα α α = − + + = + +   ,2 πα π ∈   4 72 ,3 3 3 π π πα  + ∈   1 cos 2 12 3 πα − < + ≤   0 4cos 2 2 63 πα ∴ < + + ≤   ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅    ( ]0,6 ABCD 4AB BC= = 4 2AC BD= = AB CD⊥ 90BCD∠ = ° AC M BM ⊥ ACD P AB Q BCD 2PQ = PQ N N ABCD N B 1 12V π= 【分析】 (1)证明出 平面 可得出 ,再由三线合一得出 ,利用直线 与平面垂直的判定定理可得出 平面 ; (2)证明 平面 ,可得出 ,由直角三角形的性质可得出 ,可知动点 的轨迹是以 为球心,半径 的球面,计算出 的大小, 可得出所求几何体占球的比例,由此可得出所求几何体的体积. 【详解】(1) , , , , 平 面 , 平面 , . , 为 的中点, . ,因此, 平面 ; (2)如下图所示: , , , , 又 , , 平面 , 平面 , , ,则 . 在 中, 为斜边 的中点,则 . 由(1)知, 平面 ,且 , . 所以,点 的轨迹是以 为球心,半径为 的球面. 在 中, , , ,则 , CD ⊥ ABC BM CD⊥ BM AC⊥ BM ⊥ ACD AB ⊥ BCD PB BQ⊥ 1 12BN PQ= = N B 1 CBD∠ 90BCD∠ =  CD BC∴ ⊥ AB CD⊥ AB BC B∩ = CD\ ^ ABC BM ⊂ ABC BM CD∴ ⊥ AB BC= M AC BM AC∴ ⊥ AC CD C=  BM ⊥ ACD 4AB BC= = 4 2AC = 2 2 2AB BC AC∴ + = AB BC∴ ⊥ AB CD⊥ BC CD C∩ = AB∴ ⊥ BCD BQ ⊂ BCD AB BQ∴ ⊥ P AB∈ PB BQ⊥ Rt PBQ∆ N PQ 1 12BN PQ= = BM ⊥ ACD 1 2 22BM AC= = BN BM∴ < N B 1 Rt BCD∆ 90BCD∠ =  4 2BD = 4BC = 2cos 2 BCCBD BD ∠ = = ,所以,动点 的轨迹与四面体 围成的较小的几何体为球体的 . 因此,所求几何体的体积为 . 【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,同时也考查了空间中动点的轨迹以及球体体积的 相关计算,解题时要熟悉球的定义,考查推理能力与计算能力,属于中等题. 20.设 是椭圆 上的点, , 是焦点,离心率 . (1)求椭圆的方程; (2)设 , 是椭圆上的两点,且 ,( 是定数),问线段 的 垂直平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不存在,说明理由. 【答案】(1) ;(2)过定点 ,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)由椭圆的离心率可得出 ,可将椭圆方程化为 ,再将点 的坐标 代入椭圆的方程,求出 的值,可得出椭圆的标准方程; (2)分 和 两种情况讨论,在 时,分直线 的斜率存在与不存在两种情况 讨论,在直线 的斜率存在的情况下,设直线 的方程为 ,将该直线方程与椭 圆方程联立,利用韦达定理得出 ,并求出线段 的垂直平分线方程,可求出线 段 的垂直平分线所过定点坐标,在直线 垂直于 轴时,检验定点是否在线段 的垂 直平分线 轴上;在 时,直接根据对称性得出结论. 【详解】(1)由于椭圆的离心率为 , , 所以,椭圆的标准方程为 , 将点 的坐标代入椭圆的标准方程得 ,得 , 4CBD π∴∠ = N ABCD 1 16 31 4 116 3 12V ππ= × × = ( )2,1M 2 2 2 2 1x y a b + = 1F 2F 2 2e = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2x x r+ = r AB 2 2 16 3 x y+ = 1 ,02 r     2a b= 2 2 2 2 12 x y b b + = M 2b 0r ≠ 0r = 0r ≠ AB AB AB y kx m= + 2 2 2 1 kmr k = − + AB AB AB x AB x 0r = 2 2 2 2 21 2 a b be a a −= = − = 2a b∴ = 2 2 2 2 12 x y b b + = M 2 2 2 2 2 1 3 12b b b + = = 2 3b = 因此,椭圆的方程为 ; (2)当 时,若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,则 . 将直线 的方程与椭圆方程联立 ,得 . 由韦达定理可得 , ①, 所以, ,则线段 的中点坐标为 . 则线段 的垂直平分线方程为 ,即 , 即 ,此时,线段 的垂直平分线过定点 ; 若直线 垂直于 轴,则点 、 两点关于 轴对称,线段 的垂直平分线为 轴,过点 ; 当 时,若直线 关于坐标轴对称,则线段 的垂直平分线为坐标轴,过原点; 若直线 、 关于原点对称,则线段 的中点为原点,其垂直平分线过原点. 综上所述,线段 的垂直平分线过定点 . 【点睛】本题考查椭圆方程的求解,以及直线过定点问题,一般设出直线方程,将直线方程 与椭圆方程联立,得出直线方程中参数之间的关系,从而得出定点坐标,考查运算求解能力, 属于中等题. 21.已知函数 . (1)若 ,求 在 时的最值; (2)若 , 时,都有 ,求实数 的范围. 【答案】(1)最小值为 ,最大值为 ;(2) . 2 2 16 3 x y+ = 0r ≠ AB AB y kx m= + 0k ≠ AB 2 2 16 3 y kx m x y = + + = ( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + − = 1 2 2 4 22 1 kmx x rk + = − =+ 2 2 2 1 kmr k ∴ = − + 1 2 1 2 22 2 2 1 y y x x mk m k + += ⋅ + = + AB 2 2 2 ,2 1 2 1 km m k k  − + +  AB 2 2 1 2 2 1 2 1 m kmy xk k k  − = − + + +  2 1 2 1 my xk k = − − + 2 1 1 2 1 2 km ry x xk k k    = − + = − −   +    AB ,02 r     AB x A B x AB x ,02 r     0r = AB AB A B AB AB ,02 r     ( ) 2lnf x a x x= + 4a = − ( )f x [ ]1,x e∈ 0a > [ ]1 2, 1,x x e∀ ∈ ( ) ( )1 2 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − a 2 ln 4− 2 4e − 220200, 2ee  −   【解析】 【分析】 (1)将 代入函数 的解析式,求出函数 的导数 ,利用导数 分析函数 在区间 上的单调性,可得出函数 在 时的最小值和 最大值; (2)由 可知函数 在 上单调递增,函数 在 上是减函数, 设 ,由 可得出 ,构造函数 ,可得出 在区间 上为减函数,转化为 在区间 上恒成立,利用参变量分离法可求出实数 的取值范围. 【详解】(1)当 时, ,则 . 当 时,令 ,得 . 当 时, ,此时,函数 单调递减; 当 时, ,此时,函数 单调递增. 所以,函数 在区间 上的最小值为 , 又 , , 则函数 在区间 上的最大值为 ; (2)若 , 在区间 上是增函数,函数 是减函数. 不妨设 ,由已知: , , 4a = − ( )y f x= ( )y f x= ( )f x′ ( )y f x= [ ]1,e ( )y f x= [ ]1,x e∈ 0a > ( )y f x= [ ]1,e 2020y x = [ ]1,e 1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )1 2 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − ( ) ( )2 1 2 1 2020 2020f x f xx x + ≤ + ( ) ( ) 2020g x f x x = + ( )y g x= [ ]1,e ( ) 0g x′ ≤ [ ]1,e a 4a = − ( ) 2 4lnf x x x= − ( ) 24 2 42 xf x x x x −′ = − = [ ]1,x e∈ ( ) 0f x′ = 2x = 1 2x≤ < ( ) 0f x′ < ( )y f x= 2 x e< ≤ ( ) 0f x′ > ( )y f x= ( )y f x= [ ]1,e ( ) ( )min 2 2 2ln 2f x f= = − ( )1 1f = ( ) 2 4 1f e e= − > ( )y f x= [ ]1,e ( ) ( ) 2 max 4f x f e e= = − 0a > ( )y f x= [ ]1,e 2020y x = 1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )2 1 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − ( ) ( )2 1 2 1 2020 2020f x f xx x ∴ + ≤ + 记 , , 则 在区间 是减函数, 在 上恒成立. ,记 , 在 上恒成立, 函数 在区间 上单调递减,则 , , 又 , 因此,实数 取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,以及利用导数研究双变量不等式问题,解题的关 键就是将问题转化为函数的单调性问题,结合导数不等式在区间上恒成立来求解,考查化归 与转化思想,属于中等题. 选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答. 22.在直角坐标系 中,直线 的参数方程为: ( 为参数), . 以坐标原点为极点,以 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 的极坐标方程为: . (1)在直角坐标系 中,求圆 的圆心的直角坐标; (2)设点 ,若直线 与圆 交于 , 两点,求证: 为定值,并求出该 定值. 【答案】(1) (2)证明见解析,该定值为 12. 【解析】 【分析】 (1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换. (2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果. 【详解】解:(1)∵圆 的极坐标方程为 , ∴ , ( ) ( ) 22020 2020lng x f x a x xx x = + = + + [ ]1,x e∈ ( )y g x= [ ]1,e ( ) 2 20202 0ag x xx x ′ = + − ≤ [ ]1,e 22020 2a xx ∴ ≤ − ( ) 22020 2h x xx = − ( ) 2 2020 4 0h x xx ′ = − − < [ ]1,e ( )y h x= [ ]1,e ( ) ( ) 2 min 2020 2h x h e ee = = − 22020 2a ee ∴ ≤ − 0a > 220200 2a ee ∴ < ≤ − a 220200, 2ee  −   xOy l 1 cos 3 sin x t y t θ θ = + = + t [ )0,θ π∈ x C 8sin 6 πρ θ = +   xOy C ( )1, 3P l C A B PA PB⋅ ( )2,2 3 C 8sin 4 3sin 4cos6 πρ θ θ θ = + = +   2 4 3 sin 4 cosρ ρ θ ρ θ= + ∵ , , , ∴ . 所以,圆 的方程为 , 所以圆 的圆心的直角坐标为 . (2)将直线 的参数方程代入 , 得 , 设点 , 对应的参数分别为 , , 则 , ∴ , 故 为定值,该定值为 12. 【点睛】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次 方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型. 23.设函数 . (1)当 时,求不等式 的解集; (2)对任意实数 ,都有 恒成立,求实数 的取值范围. 【答案】(1)解集为 ;(2)实数 的取值范围为 或 . 【解析】 分析:(1)利用 ,化简不等式,通过分类讨论求解即可; (2)利用函数恒成立,转化求解即可. 详解:(1)∵ , ∴当 时, , 又 ,∴ 或 或 , 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = sin yρ θ = 2 2 4 4 3 0x y x y+ − − = C ( ) ( )222 2 3 16x y− + − = C ( )2,2 3 l ( ) ( )222 2 3 16x y− + − = ( )2 2 3sin 2cos 12 0t tθ θ− + − = A B 1t 2t 1 2 12t t = − 1 2 12PA PB t t⋅ = = PA PB⋅ ( ) 1f x x x a= + + − 2a = ( ) 5f x > x ( ) 3f x ≥ a ( , 2) (3, )−∞ − ∪ +∞ a 2a ≥ 4a ≤ − 2a = ( ) 1f x x x a= + + − 2a = ( ) 2 1, 1 1 2 3, 1 2 2 1, 2 x x f x x x x x x − + < − = + + − = − ≤ ≤  − > ( ) 5f x > 1 2 1 5 x x < − − + > 1 2 3 5 x− ≤ ≤  > 2 2 1 5 x x >  − > ∴ 或 或 , ∴ 或 , ∴ 的解集为 . (2) ∵ (当且仅当 时,等号成立), ∴ , 又对任意实数 ,都有 恒成立,∴ , ∴ ,∴ 或 ,∴ 或 . 故实数 的取值范围为 或 . 点睛:本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用, 考查计算能力. 1 2 x x < −  < − x∈∅ 2 3 x x >  > 2x < − 3x > ( ) 5f x > ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞ ( ) 1 1f x x x a a= + + − ≥ + ( )( )1 0x x a+ − ≤ ( )min 1f x a= + x ( ) 3f x ≥ ( )min 3f x ≥ 1 3a + ≥ 1 3a + ≥ 1 3a + ≤ − 2a ≥ 4a ≤ − a 2a ≥ 4a ≤ −

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