2019—2020 上学年期中考试
20 届 高三文科数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案
的序号填涂在答题卡上)
1.若 ,则 x+y 是 的( )
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
在第一象限中,画出 和 的范围,根据两者的包含关系判断充分、必要条件.
【详解】在第一象限中,画出 和 的范围如下图所示,由图可知前者的范围
包含后者的范围,故前者是后者的必要不充分条件条件.故选 B.
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断,考查利用图像表示不等式,属于中档题.
2.若复数 是实数,则实数 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】A
x 0, y 0> > 1> 2 2x 1y+ >
1x y+ > 2 2 1x y+ >
1x y+ > 2 2 1x y+ >
2
1
m i
mi
+
− m
1− 1 2− 2
【解析】
【分析】
利用复数的除法法则将复数表示为一般形式,利用虚部为零可求出实数 的值.
【详解】 ,
由题意可得 ,解得 .
故选:A.
【点睛】本题考查根据复数的类型求参数的值,解题的关键就是利用复数的四则运算法则将
复数表示为一般形式,利用实部和虚部进行求解,考查计算能力,属于基础题.
3.在平面直角坐标系 中,已知 ,点 在第二象限内, ,且
,若 ,则 的值分别是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:由题意可得 ,则 ,解之得 ,应选 C.
考点:向量的坐标形式的运算及待定系数法的运用.
4.具有相关关系的两个量 、 的一组数据如下表,回归方程是 ,则 ( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
m
( )( )
( )( )
( ) ( )2 2 32 2 3
2 2 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
m i mi m m m im i m m m imi mi mi m m m
+ + − + ++ − += = = +− − + + + +
3
2
1 01
m
m
+ =+ 1m = −
xOy ( ) ( )1,0 , 0,1A B C 5
6AOC
π∠ =
2OC = OC OA OBλ µ= + ,λ µ
3,1 1, 3
3,1− 1, 3−
x y 0.67 54.9y x= + m =
x 10 20 30 40 50
y 62 m 75 81 89
65 67 68 70
求出 、 的值,然后将点 的坐标代入方程 ,即可求出实数 的值.
【详解】 , ,
将点 代入回归直线方程得 ,解得 .
故选:C.
【点睛】本题考查利用回归直线方程求原始数据,解题时要熟悉“回归直线过样本的中心点
”这一结论的应用,考查计算能力,属于基础题.
5.要得到函数 的图象,只需将函数 的图象( )
A. 向左平移 个单位 B. 向左平移 个单位
C. 向右平移 个单位 D. 向右平移 个单位
【答案】C
【解析】
【分析】
将初始函数的解析式化为 ,目标函数的解析式化为 ,然后利用
平移变换的基本原则可得出正确选项.
【 详 解 】 初 始 函 数 为 , 目 标 函 数 为
,
因此,将函数 的图象向右平移 个单位,可得到函数
的图象.
故选:C.
【点睛】本题考查三角函数的平移变换,在处理这类问题要注意两个问题:一是两个函数的
名称相同,二是左右平移指的是自变量上变化了多少,考查分析问题和解决问题的能力,属
于中等题.
6.根据某地方的交通状况绘制了关于交通指数的频率分布直方图(如图).若样本容量为
x y ( ),x y 0.67 54.9y x= + m
10 20 30 40 50 305x
+ + + += =
62 75 81 89 307
5 5
m my
+ + + + += =
30730, 5
m+
3070.67 30 54.9 5
m+× + = 68m =
( ),x y
sin 2 3y x
π = −
( )cos 2y x π= − −
6
π 5
12
π
5
12
π
3
π
cos2y x= 5cos 2 6y x
π = −
( )cos 2 cos2y x xπ= − − =
5 5sin 2 cos 2 cos 2 cos 23 3 2 6 12y x x x x
π π π π π = − = − − = − = −
( )cos 2y x π= − − 5
12
π sin 2 3y x
π = −
500
个,则交通指数在 之间的个数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
用 乘以 内的两个矩形面积之和,可得出所求结果.
【详解】由题意可知,交通指数在 之间的个数是 .
故选:D.
【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数,解题时要熟悉样本容量、频率和频数三者
之间的关系,考查计算能力,属于基础题.
7.若 , ,则 的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
分析】
将分式 平方,利用基本不等式可求出 的最小值,由此可得出
的最小值.
【详解】 ,即 ,
【
[ )5,7
223 222 200 220
500 [ )5,7
[ )5,7 ( )500 0.24 0.2 1 220× + × =
0x > 0y > x y
x y
+
+
2 1 2
2
1
2
x y
x y
+
+
2
x y
x y
+ +
x y
x y
+
+
( ) ( )
2
1
22
x y x y x y
x y x yx y x y xy
+ + += ≥ = + + ++ + +
2
2
x y
x y
+ ≥
+
当且仅当 时等号成立,因此, 的最小值为 .
故选:C.
【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值,解题时要注意“一正、二定、三相等”
条件的成立,考查计算能力,属于中等题.
8.已知椭圆的中心在原点,离心率 ,且它的一个焦点与抛物线 的焦点重合,
则此椭圆方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析:抛物线 的焦点坐标为 ,所以椭圆的一个焦点坐标为 ,所以
,又 ,所以 ,所以椭圆的标准方程为 ,故
选 A.
考点:1.椭圆 标准方程与几何性质;2.抛物线的标准方程与几何性质.
9.如图, 是抛物线 的一条经过焦点 的弦, 与两坐标轴不垂直,
已知点 , ,则 的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
的
x y= x y
x y
+
+
2
2
1
2e = 2 4y x= −
2 2
14 3
x y+ = 2 2
18 6
x y+ =
2
2 12
x y+ =
2
2 14
x y+ =
2 4y x= −
2 2
14 3
x y+ =
AB ( )2 2 0y px p= > F AB
( )1,0M − AMF BMF∠ = ∠ p
1
2 1 2 4
【解析】
【分析】
设直线 的方程为 ,设点 、 ,将直线 的方程与抛物线
的方程联立,由 可得知,直线 的斜率和 的斜率互为相反数,然后
利用斜率公式以及韦达定理可求出实数 的值.
【详解】抛物线 的焦点为 ,
设直线 的方程为 ,设点 、 ,则 .
将直线 的方程与抛物线的方程联立 ,得 ,
由韦达定理得 , .
由于 ,则直线 的斜率和 的斜率互为相反数.
即 ,即 ,整理得 ,
,因此 .
故选:C.
【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题,处理这种问题一般将直线方程与抛物线方程联
立,结合韦达定理设而不求法进行求解,考查运算求解能力,属于中等题.
10.执行如图的程序框图,则输出 的值是 ( )
AB 2
px my= + ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y AB
AMF BMF∠ = ∠ AM BM
m
( )2 2 0y px p= > ,02
pF
AB ( )02
px my m= + ≠ ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2y y≠ −
AB
2
2
2
px my
y px
= +
=
2 22 0y mpy p− − =
1 2 2y y mp+ = 2
1 2y y p= −
AMF BMF∠ = ∠ AM BM
1 2
1 21 1
y y
x x
= −+ +
1 2
2 2
1 21 12 2
y y
y y
p p
= −
+ +
2
1 2 2y y p p= − = −
0p > 2p =
x
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y 的值,当 时,不满足条件退出
循环,输出 x 的值即可得解.
【详解】解:模拟执行程序框图,可得
.
满足条件 ,执行循环体, ;
满足条件 ,执行循环体, ;
满足条件 ,执行循环体, ;
满足条件 ,执行循环体, ;
…
观察规律可知,x 的取值周期为 3,由于 ,可得:
满足条件 ,执行循环体,
当 ,不满足条件 ,退出循环,输出 x 的值为 2.
故选:D.
2018 2019 1
2 2
2019y =
2, 0x y= =
2019y< 1, 1x y= − = 2019y< 1 , 22x y= = 2019y< 2, 3x y= = 2019y< 1, 4x y= − = 2019 673 3×= 2019y< 2, 2019x y= = 2019y
ln lna e< a e< - e∞( , ) 2 2 2 2 1x y a b − = 1 2, ,F F O P 1 2PF F∆ I I x A 2F PI B e OB OA= OB e OA= OA e OB= | |OB
关系不确定
【答案】A
【解析】
F1(﹣c,0)、F2(c,0),内切圆与 x 轴的切点是点 A
∵|PF1|﹣|PF2|=2a,及圆的切线长定理知,
|AF1|﹣|AF2|=2a,设内切圆的圆心横坐标为 x,
则|(x+c)﹣(c﹣x)|=2a
∴x=a;
|OA|=a,
在△PCF2 中,由题意得,F2B⊥PI 于 B,延长交 F1F2 于点 C,利用△PCB≌△PF2B,可知
PC=PF2,
∴在三角形 F1CF2 中,有:
OB= CF1= (PF1﹣PC)= (PF1﹣PF2)= ×2a=a.
∴|OB|=|OA|.
故选:A.
点睛:这个题目考查了双曲线 几何意义和双曲线的第一定义;用到了焦三角形的的内切圆
的性质和结论。一般无论双曲线还是椭圆,和焦三角形的有关的可以想到,焦三角形的的周
长,余弦定理,定义的应用,面积公式等。
二、填空题(每题 5 分,共 20 分。把答案填在答题纸的横线上)
的
| |OA
1
2
1
2
1
2
1
2
13.数列 , , , , , , , , , , , ,前 项的和是______.
【答案】
【解析】
【分析】
由数列规律可知 有 项,且和为 ,由 ,求出满足这个不等式的最大正整数
的值,可确定第 项的值,由此可得出该数列的前 项的和.
【详解】由题意可知,该数列中, 有 项,且这 项的和为 ,
令 , ,则 最大值为 ,
所以,该数列第 项为 ,且 的项数为 ,
因此,该数列的前 项的和是 .
故答案为: .
【点睛】本题考查数列项的和的计算,解题关键就是找出数列的规律,考查推理能力与计算
能力,属于中等题.
14.在棱长都相等的三棱锥中,已知相对两棱中点的连线长为 ,则这个三棱锥的棱长等于
______.
【答案】
【解析】
【分析】
作出正四面体 ,设该正四面体的棱长为 ,分别取 、 的中点 、 ,连接
、 、 ,利用勾股定理计算出 、 、 ,即可求出 的值,从而求出该正
四面体的棱长.
【详解】如下图所示:
的
1 1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
4
1
4
1
4
1
4
1
5 100
91314
1
n
n 1
( )1 1002
n n + ≤
n 100 100
1
n
n n 1
( )11 2 3 1002
n nn
++ + + + = ≤ n N ∗∈ n 13
100 1
14
1
14
13 14100 92
×− =
100 1 913 9 1314 14
+ × =
91314
2
2
ABCD 2a AB CD E F
AF BF EF AF BF EF a
设正四面体 的棱长为 ,分别取 、 的中点 、 ,连接 、
、 ,则 .
是边长为 的等边三角形, 为 的中点, ,
,同理可得 ,
为 的中点, , , ,
,因此,正四面体 的棱长为 .
故答案为: .
【点睛】本题考查正四面体棱长的计算,在解题时应充分分析三角形的形状,结合勾股定理
进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
15.设 是双曲线 上一点,双曲线的一条渐近线方程为 , 分别
是双曲线的左、右焦点,若 ,则 的值为 .
【答案】
【解析】
试题分析:双曲线的渐近线方程 ,得 ,由于 ,由双曲线定义知
,得 .
考点:双曲线的性质.
16.已知函数 在 上单调递减,则实数 的取值范围是
______.
ABCD ( )2 0a a > AB CD E F AF
BF EF 2EF =
ACD∆ 2a F CD AF CD∴ ⊥
2 2 3AF AC CF a∴ = − = 3BF a=
E AB EF AB∴ ⊥ 2AB a= 2 2 2 2EF AF AE a∴ = − = =
1a\ = ABCD 2
2
P
2 2
2 19
x y
a
− = 3 2 0x y− = 1 2F F,
1 3PF = 2PF
7
( ) ( )sin 14f x x
πω ω = + >
5, 4
π π
ω
【答案】
【解析】
【分析】
由 可计算出 ,由函数 的单调递减区间
为 ,可得出 ,从而可得
出 的所满足的不等式组,由此可求出实数 的取值范围.
【详解】对于函数 ,
由 ,可得 .
由于函数 的单调递减区间为 ,
由题意可得 ,
,解得 ,
则 ,解得 , 且 ,则 ,因此, .
因此,实数 的取值范围是 .
故答案为: .
【点睛】本题考查利用三角函数的单调性求参数的取值范围,解题的关键在于将问题转化为
两个区间的包含关系,考查化归与转化思想,属于中等题.
三、解答题(本大题共 7 题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在答
题纸的相应位置)
5 7,4 5
5, 4x
ππ ∈
5,4 4 4 4x
π π π πω πω ω + ∈ + + siny x=
( ),2 k k k Z
π π π π + + ∈
5, ,4 4 4 2 k k
π π π ππω ω π π π + + ⊆ + +
ω ω
( ) ( )sin 14f x x
πω ω = + >
5, 4x
ππ ∈
5,4 4 4 4x
π π π πω πω ω + ∈ + +
siny x= ( ),2 k k k Z
π π π π + + ∈
( )5, ,4 4 4 2 k k k Z
π π π ππω ω π π π + + ⊆ + + ∈
4 2
5
4 4
k
k
π ππω π
πω π π π
+ ≥ +∴
+ ≤ +
( )1 4 3
4 5
kk k Zω ++ ≤ ≤ ∈
4 3 1
5 4
k k
+ > + 7
4k < 1ω > k Z∈ 1k = 5 7
4 5
ω≤ ≤
ω 5 7,4 5
5 7,4 5
17.已知 是等差数列, ,且 .若 .
(1)求数列 通项公式;
(2)求数列 的前 项和 .
【答案】(1) ;(2)
【解析】
【分析】
(1)设等差数列 的公差为 ,根据题中条件列出关于 和 的方程组,解出这两个量,
然后利用等差数列的通项公式可求出数列 的通项公式;
(2)由(1)可得 ,然后利用裂项法可求出数
列 的前 项和 .
【详解】(1)设等差数列 的公差为 ,由题意可得 ,解得
.
因此,数列 的通项公式为 ;
(2)由(1)得
.
因此, .
【点睛】本题考查等差数列通项公式的计算,同时也考查了裂项求和法,考查计算能力,属
于中等题.
18.已知点 , , ,设 , ,其中 为坐标原
点.
.
{ }na 3 7a = 2 6 18a a+ =
1
1
n
n n
b
a a +
=
+
{ }na
{ }nb n nT
2 1na n= + ( )1 2 3 32nT n= + −
{ }na d 1a d
{ }na
22 1 2 3
1 2 1 2 3
n
n nb
n n
− +
+
+= =
++
+
{ }nb n nT
{ }na d 3 1
2 6 1
2 7
2 6 18
a a d
a a a d
= + =
+ = + =
1 3
2
a
d
=
=
{ }na ( ) ( )1 1 3 2 1 2 1na a n d n n= + − = + − = +
1
1 1
2 1 2 3n
n n
b
a a n n+
= =
+ + + +
( )( )2 1 2 3 2 1 2 3
22 1 2 3 2 1 2 3
n n n n
n n n n
+ − + − + + += =
+ − + + + +
( )3 5 5 7 2 1 2 3 1 2 3 32 2 2 2n
n nT n
− + − + − + + += + + + = + −
( )2,0A ( )0, 2B − ( )2,0F − AOC α∠ = [ )0,2α π∈ O
(1)设点 在 轴上方,到线段 所在直线的距离为 ,且 ,求 和线段
的大小;
(2)设点 为线段 的中点,若 ,且点 在第二象限内,求
的取值范围.
【答案】(1) , ;(2) .
【解析】
【分析】
(1)过点 作 的垂线,垂足为点 ,可得出 ,由锐角三角函数的定义求出
,可得出 为等边三角形,可求出 的值,然后在 中利用余弦定理求出
;
(2)由题中条件求出 、 、 的坐标,化简 的解
析式为 ,再根据 的取值范围,结合余弦函数的定义域与基本性质可
求出 的取值范围.
【详解】(1)过 作 的垂线,垂足为 ,则 ,
在直角三角形 中, ,
又 , ,所以 为正三角形.
所以 ,从而 .
在 中, ;
(2) ,点 为线段 的中点, ,
C x AF 3 3AFC
π∠ = α AC
D OA 2OC = C
( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅
2
3
πα = 2 3AC = ( ]0,6
C AF E 3CE =
2CF = OCF∆ α ACF∆
AC
DC OB OA ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅
4cos 2 23y
πα = + +
α
y
C AF E 3CE =
FCE 2sin
CEFC CFE
= =∠
2OF =
3OFC
π∠ = OFC∆
3FOC
π∠ = 2
3FOC
πα π= − ∠ =
AFC∆ 2 2 2 cosAC AF CF AF CF AFC= + − ⋅ ∠ 2 2 14 2 2 2 4 2
= + − × × × 2 3=
( )2,0A D OA ( )1,0D∴
且点 在第二象限内, , ,
从而 , , ,
,
则
,
因为 ,所以 ,从而 ,
,
因此, 的取值范围为 .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算与三角恒等变换的综合问题,同时也考查了三角函数
的值域问题,在解题时应充分利用三角恒等变换思想将三角函数式化简,考查分析问题和解
决问题的能力,属于中等题.
19.如图,四面体 , , , , .
(1)若 中点是 ,求证: 面 ;
(2)若 是线段 上的动点, 是面 上的动点,且线段 , 的中点是 ,
求动点 的轨迹与四面体 围成的较小的几何体的体积.
【答案】(1)见解析;(2)动点 的轨迹是以 为球心,半径为 的球面,体积 .
【解析】
2OC =
C ( )2cos ,2sinC α α∴ ,2
πα π ∈
( )2cos 1,2sinDC α α= − ( )2cos ,2sin 2BC α α= + ( )2,0OA =
( )0, 2OB = −
( ) 23 cos 4 3sin cos 4cosy DC OB BC OA α α α α= ⋅ + ⋅ = − +
( )2 3sin 2 2 1 cos2 4cos 2 23
πα α α = − + + = + +
,2
πα π ∈
4 72 ,3 3 3
π π πα + ∈
1 cos 2 12 3
πα − < + ≤ 0 4cos 2 2 63 πα ∴ < + + ≤ ( )3 cosy DC OB BC OA α= ⋅ + ⋅ ( ]0,6 ABCD 4AB BC= = 4 2AC BD= = AB CD⊥ 90BCD∠ = ° AC M BM ⊥ ACD P AB Q BCD 2PQ = PQ N N ABCD N B 1 12V π=
【分析】
(1)证明出 平面 可得出 ,再由三线合一得出 ,利用直线
与平面垂直的判定定理可得出 平面 ;
(2)证明 平面 ,可得出 ,由直角三角形的性质可得出
,可知动点 的轨迹是以 为球心,半径 的球面,计算出 的大小,
可得出所求几何体占球的比例,由此可得出所求几何体的体积.
【详解】(1) , , , , 平
面 ,
平面 , .
, 为 的中点, .
,因此, 平面 ;
(2)如下图所示:
, , , ,
又 , , 平面 ,
平面 , , ,则 .
在 中, 为斜边 的中点,则 .
由(1)知, 平面 ,且 , .
所以,点 的轨迹是以 为球心,半径为 的球面.
在 中, , , ,则 ,
CD ⊥ ABC BM CD⊥ BM AC⊥
BM ⊥ ACD
AB ⊥ BCD PB BQ⊥
1 12BN PQ= = N B 1 CBD∠
90BCD∠ = CD BC∴ ⊥ AB CD⊥ AB BC B∩ = CD\ ^
ABC
BM ⊂ ABC BM CD∴ ⊥
AB BC= M AC BM AC∴ ⊥
AC CD C= BM ⊥ ACD
4AB BC= = 4 2AC = 2 2 2AB BC AC∴ + = AB BC∴ ⊥
AB CD⊥ BC CD C∩ = AB∴ ⊥ BCD
BQ ⊂ BCD AB BQ∴ ⊥ P AB∈ PB BQ⊥
Rt PBQ∆ N PQ 1 12BN PQ= =
BM ⊥ ACD 1 2 22BM AC= = BN BM∴ < N B 1 Rt BCD∆ 90BCD∠ = 4 2BD = 4BC = 2cos 2 BCCBD BD ∠ = =
,所以,动点 的轨迹与四面体 围成的较小的几何体为球体的 .
因此,所求几何体的体积为 .
【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定,同时也考查了空间中动点的轨迹以及球体体积的
相关计算,解题时要熟悉球的定义,考查推理能力与计算能力,属于中等题.
20.设 是椭圆 上的点, , 是焦点,离心率 .
(1)求椭圆的方程;
(2)设 , 是椭圆上的两点,且 ,( 是定数),问线段 的
垂直平分线是否过定点?若过定点,求出此定点的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1) ;(2)过定点 ,理由见解析
【解析】
【分析】
(1)由椭圆的离心率可得出 ,可将椭圆方程化为 ,再将点 的坐标
代入椭圆的方程,求出 的值,可得出椭圆的标准方程;
(2)分 和 两种情况讨论,在 时,分直线 的斜率存在与不存在两种情况
讨论,在直线 的斜率存在的情况下,设直线 的方程为 ,将该直线方程与椭
圆方程联立,利用韦达定理得出 ,并求出线段 的垂直平分线方程,可求出线
段 的垂直平分线所过定点坐标,在直线 垂直于 轴时,检验定点是否在线段 的垂
直平分线 轴上;在 时,直接根据对称性得出结论.
【详解】(1)由于椭圆的离心率为 , ,
所以,椭圆的标准方程为 ,
将点 的坐标代入椭圆的标准方程得 ,得 ,
4CBD
π∴∠ = N ABCD 1
16
31 4 116 3 12V
ππ= × × =
( )2,1M
2 2
2 2 1x y
a b
+ = 1F 2F 2
2e =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2x x r+ = r AB
2 2
16 3
x y+ = 1 ,02 r
2a b=
2 2
2 2 12
x y
b b
+ = M
2b
0r ≠ 0r = 0r ≠ AB
AB AB y kx m= +
2
2
2 1
kmr k
= − + AB
AB AB x AB
x 0r =
2 2 2
2
21 2
a b be a a
−= = − = 2a b∴ =
2 2
2 2 12
x y
b b
+ =
M
2
2 2 2
2 1 3 12b b b
+ = = 2 3b =
因此,椭圆的方程为 ;
(2)当 时,若直线 的斜率存在,设直线 的方程为 ,则 .
将直线 的方程与椭圆方程联立 ,得 .
由韦达定理可得 , ①,
所以, ,则线段 的中点坐标为 .
则线段 的垂直平分线方程为 ,即 ,
即 ,此时,线段 的垂直平分线过定点 ;
若直线 垂直于 轴,则点 、 两点关于 轴对称,线段 的垂直平分线为 轴,过点
;
当 时,若直线 关于坐标轴对称,则线段 的垂直平分线为坐标轴,过原点;
若直线 、 关于原点对称,则线段 的中点为原点,其垂直平分线过原点.
综上所述,线段 的垂直平分线过定点 .
【点睛】本题考查椭圆方程的求解,以及直线过定点问题,一般设出直线方程,将直线方程
与椭圆方程联立,得出直线方程中参数之间的关系,从而得出定点坐标,考查运算求解能力,
属于中等题.
21.已知函数 .
(1)若 ,求 在 时的最值;
(2)若 , 时,都有 ,求实数 的范围.
【答案】(1)最小值为 ,最大值为 ;(2) .
2 2
16 3
x y+ =
0r ≠ AB AB y kx m= + 0k ≠
AB 2 2
16 3
y kx m
x y
= + + =
( )2 2 22 1 4 2 6 0k x kmx m+ + + − =
1 2 2
4 22 1
kmx x rk
+ = − =+ 2
2
2 1
kmr k
∴ = − +
1 2 1 2
22 2 2 1
y y x x mk m k
+ += ⋅ + = + AB 2 2
2 ,2 1 2 1
km m
k k
− + +
AB 2 2
1 2
2 1 2 1
m kmy xk k k
− = − + + + 2
1
2 1
my xk k
= − − +
2
1 1
2 1 2
km ry x xk k k
= − + = − − + AB ,02
r
AB x A B x AB x
,02
r
0r = AB AB
A B AB
AB ,02
r
( ) 2lnf x a x x= +
4a = − ( )f x [ ]1,x e∈
0a > [ ]1 2, 1,x x e∀ ∈ ( ) ( )1 2
1 2
2020 2020f x f x x x
− ≤ − a
2 ln 4− 2 4e − 220200, 2ee
−
【解析】
【分析】
(1)将 代入函数 的解析式,求出函数 的导数 ,利用导数
分析函数 在区间 上的单调性,可得出函数 在 时的最小值和
最大值;
(2)由 可知函数 在 上单调递增,函数 在 上是减函数,
设 ,由 可得出
,构造函数 ,可得出 在区间
上为减函数,转化为 在区间 上恒成立,利用参变量分离法可求出实数
的取值范围.
【详解】(1)当 时, ,则 .
当 时,令 ,得 .
当 时, ,此时,函数 单调递减;
当 时, ,此时,函数 单调递增.
所以,函数 在区间 上的最小值为 ,
又 , ,
则函数 在区间 上的最大值为 ;
(2)若 , 在区间 上是增函数,函数 是减函数.
不妨设 ,由已知: ,
,
4a = − ( )y f x= ( )y f x= ( )f x′
( )y f x= [ ]1,e ( )y f x= [ ]1,x e∈
0a > ( )y f x= [ ]1,e 2020y x
= [ ]1,e
1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )1 2
1 2
2020 2020f x f x x x
− ≤ −
( ) ( )2 1
2 1
2020 2020f x f xx x
+ ≤ + ( ) ( ) 2020g x f x x
= + ( )y g x=
[ ]1,e ( ) 0g x′ ≤ [ ]1,e a
4a = − ( ) 2 4lnf x x x= − ( ) 24 2 42 xf x x x x
−′ = − =
[ ]1,x e∈ ( ) 0f x′ = 2x =
1 2x≤ < ( ) 0f x′ < ( )y f x= 2 x e< ≤ ( ) 0f x′ > ( )y f x=
( )y f x= [ ]1,e ( ) ( )min 2 2 2ln 2f x f= = −
( )1 1f = ( ) 2 4 1f e e= − >
( )y f x= [ ]1,e ( ) ( ) 2
max 4f x f e e= = −
0a > ( )y f x= [ ]1,e 2020y x
=
1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )2 1
1 2
2020 2020f x f x x x
− ≤ −
( ) ( )2 1
2 1
2020 2020f x f xx x
∴ + ≤ +
记 , ,
则 在区间 是减函数, 在 上恒成立.
,记 , 在 上恒成立,
函数 在区间 上单调递减,则 , ,
又 ,
因此,实数 取值范围是 .
【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,以及利用导数研究双变量不等式问题,解题的关
键就是将问题转化为函数的单调性问题,结合导数不等式在区间上恒成立来求解,考查化归
与转化思想,属于中等题.
选考题:共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答.
22.在直角坐标系 中,直线 的参数方程为: ( 为参数), .
以坐标原点为极点,以 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 的极坐标方程为:
.
(1)在直角坐标系 中,求圆 的圆心的直角坐标;
(2)设点 ,若直线 与圆 交于 , 两点,求证: 为定值,并求出该
定值.
【答案】(1) (2)证明见解析,该定值为 12.
【解析】
【分析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换.
(2)利用一元二次方程根和系数的关系求出结果.
【详解】解:(1)∵圆 的极坐标方程为 ,
∴ ,
( ) ( ) 22020 2020lng x f x a x xx x
= + = + + [ ]1,x e∈
( )y g x= [ ]1,e ( ) 2
20202 0ag x xx x
′ = + − ≤ [ ]1,e
22020 2a xx
∴ ≤ − ( ) 22020 2h x xx
= − ( ) 2
2020 4 0h x xx
′ = − − < [ ]1,e ( )y h x= [ ]1,e ( ) ( ) 2 min 2020 2h x h e ee = = − 22020 2a ee ∴ ≤ − 0a > 220200 2a ee
∴ < ≤ − a 220200, 2ee − xOy l 1 cos 3 sin x t y t θ θ = + = + t [ )0,θ π∈ x C 8sin 6 πρ θ = + xOy C ( )1, 3P l C A B PA PB⋅ ( )2,2 3 C 8sin 4 3sin 4cos6 πρ θ θ θ = + = + 2 4 3 sin 4 cosρ ρ θ ρ θ= +
∵ , , ,
∴ .
所以,圆 的方程为 ,
所以圆 的圆心的直角坐标为 .
(2)将直线 的参数方程代入 ,
得 ,
设点 , 对应的参数分别为 , ,
则 ,
∴ ,
故 为定值,该定值为 12.
【点睛】本题考查的知识要点:参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换,一元二次
方程根和系数关系的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.
23.设函数 .
(1)当 时,求不等式 的解集;
(2)对任意实数 ,都有 恒成立,求实数 的取值范围.
【答案】(1)解集为 ;(2)实数 的取值范围为 或 .
【解析】
分析:(1)利用 ,化简不等式,通过分类讨论求解即可;
(2)利用函数恒成立,转化求解即可.
详解:(1)∵ ,
∴当 时, ,
又 ,∴ 或 或 ,
2 2 2x yρ = + cos xρ θ = sin yρ θ =
2 2 4 4 3 0x y x y+ − − =
C ( ) ( )222 2 3 16x y− + − =
C ( )2,2 3
l ( ) ( )222 2 3 16x y− + − =
( )2 2 3sin 2cos 12 0t tθ θ− + − =
A B 1t 2t
1 2 12t t = −
1 2 12PA PB t t⋅ = =
PA PB⋅
( ) 1f x x x a= + + −
2a = ( ) 5f x >
x ( ) 3f x ≥ a
( , 2) (3, )−∞ − ∪ +∞ a 2a ≥ 4a ≤ −
2a =
( ) 1f x x x a= + + −
2a = ( )
2 1, 1
1 2 3, 1 2
2 1, 2
x x
f x x x x
x x
− + < − = + + − = − ≤ ≤ − >
( ) 5f x > 1
2 1 5
x
x
< − − + >
1 2
3 5
x− ≤ ≤
>
2
2 1 5
x
x
>
− >
∴ 或 或 ,
∴ 或 ,
∴ 的解集为 .
(2) ∵ (当且仅当 时,等号成立),
∴ ,
又对任意实数 ,都有 恒成立,∴ ,
∴ ,∴ 或 ,∴ 或 .
故实数 的取值范围为 或 .
点睛:本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,
考查计算能力.
1
2
x
x
< − < − x∈∅ 2 3 x x >
>
2x < − 3x >
( ) 5f x > ( ) ( ), 2 3,−∞ − ∪ +∞
( ) 1 1f x x x a a= + + − ≥ + ( )( )1 0x x a+ − ≤
( )min 1f x a= +
x ( ) 3f x ≥ ( )min 3f x ≥
1 3a + ≥ 1 3a + ≥ 1 3a + ≤ − 2a ≥ 4a ≤ −
a 2a ≥ 4a ≤ −