江苏省南通市启东市2020届高三数学上学期期中试卷(附解析Word版)
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江苏省南通市启东市2020届高三数学上学期期中试卷(附解析Word版)

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资料简介
2019~2020 学年第一学期期中素质调研测试 高三数学(Ⅰ)试题 参考公式:柱体的体积公式 V=Sh,其中 S 为底面面积,h 为高; 锥体的体积公式 V= Sh,其中 S 为底面面积,h 为高. 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需写出解答过程,请把答案直接 填写在答题卡相应位置上. 1.已知集合 , ,则 ____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据交集的定义可得出集合 . 【详解】 , ,因此, . 故答案为: . 【点睛】本题考查集合交集的计算,主要考查对集合交集定义的理解,考查计算能力,属于 基础题. 2.函数 的最小正周期为____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据正弦型函数的周期公式可求出函数 的最小正周期. 【详解】由题意可知,函数 的最小正周期为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算,解题时要熟悉正弦型函数周期公式的应用,考查 计算能力,属于基础题. 1 3 { }2 1A x x= − < < { }2, 1,0,1,2B = − − A B = { }1,0− A B { }2 1A x x= − < 2 3 2 0x x− + > 2 3 2 0x x− + > 2 3 2 0x x− + > 1x < 2x > 3x > 2 3 2 0x x− + > ABC∆ A B C a b c cos 2 sina B b A= cos B = 2 5 5 cos 2sinB B= cos 0B > 2 2cos sin 1B B+ = cos B cos 2 sina B b A= sin cos 2sin sinA B B A= sin 0A > cos 2sinB B∴ = sin 0B > cos 0B∴ > 2 2 cos 2sin cos sin 1 cos 0 B B B B B =  + =  > 2 5cos 5B = 2 5 5 nS { }na n 1 2 2a a+ = 4 5 4a a+ = 9 6 S S = 【答案】 【解析】 【分析】 设等比数列 的公比为 ,利用已知条件求出 的值,再利用等比数列的求和公式可求出 的值. 【详解】设等比数列 的公比为 ,由题意可得 , 上述两个等式相除得 ,所以, . 故答案为: . 【点睛】本题考查等比数列中基本量的计算,解题的关键就是列出关于首项和公比的方程组, 利用方程思想求解,考查计算能力,属于中等题. 6.如图所示,长方体 的体积为 , 为线段 上的一点,则棱锥 的体积为______. 【答案】 【解析】 【分析】 先证明出 平面 ,可得出三棱锥 的高等于 ,然后利用锥体的体积 公式可求出三棱锥 的体积. 【 详 解 】 设 矩 形 的 面 积 为 , , 则 长 方 体 的 体 积 为 7 3 { }na q 3q 9 6 S S { }na q ( ) ( )1 2 1 3 4 5 1 1 2 1 4 a a a q a a a q q  + = + = + = + = 3 2q = ( ) ( ) ( ) ( ) 9 1 339 3 9 26 26 36 1 1 11 1 2 71 1 1 2 31 1 1 a q qS qq S qa q q q − −− −−= = = = =− −− − − 7 3 1 1 1 1ABCD A B C D− 24 E 1B C 1A DED− 4 1 //B C 1 1AA D D 1E ADD− CD 1E ADD− 1 1AA D D S CD h= 1 1 1 1ABCD A B C D− . 在长方体 中,平面 平面 , 平面 , 平面 , ,所以,三棱锥 的高等于 . 的面积为 , 所以,三棱锥 的体积为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查三棱锥体积的计算,在解题时一般要找出合适的底面,并利用等体积法进 行计算,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 7.已知函数 的最小值为 ,则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】 利用导数求出函数 的最小值,结合题中条件可求出实数 的值. 【详解】函数 的定义域为 ,且 , 令 ,得 . 当 时, ;当 时, . 所以,函数 在 取得极小值,亦即最小值,即 ,因此, . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用导数求函数的最值,要熟悉函数的最值与导数的关系,考查计算能力, 属于中等题. 8.已知 是定义在 上的奇函数,满足 .若当 时, ,则 _____. 【答案】 【解析】 24Sh = 1 1 1 1ABCD A B C D− 1 1 //BB C C 1 1AA D D 1B C ⊂ 1 1BB C C 1 //B C∴ 1 1AA D D 1E B C∈ 1E ADD− CD 1ADD∆ 1 2 S 1E ADD− 1 1 1 1 1 24 43 2 6 6E ADDV S h Sh− = ⋅ ⋅ = = × = 4 ( ) 1 ln2f x x x m= − + 1 m = ln 2 ( )y f x= m ( ) 1 ln2f x x x m= − + ( )0, ∞+ ( ) 1 1 2 2 2 xf x x x −′ = − = ( ) 0f x′ = 2x = 0 2x< < ( ) 0f x′ < 2x > ( ) 0f x′ > ( )y f x= 2x = ( ) ( )min 2 1 ln 2 1f x f m= = − + = ln 2m = ln 2 ( )f x R ( ) ( )2f x f x− = 0 1x≤ ≤ ( ) 2 cos 2 x xf x π= − ( )2019f = 2− 【分析】 利用题中定义推导出函数 的周期为 ,然后利用周期性和奇函数的性质求出 的值. 【详解】 函数 是定义在 上的奇函数,则 , , . 所以,函数 是以 为周期的周期函数, 则 . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值,解题的关键就是利用题中定义推导 出函数的周期,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题. 9.若 , ,则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】 求出 的取值范围,利用同角三角函数的基本关系求出 ,然后利用二倍角的 正弦公式可计算出 的值. 【详解】 , , , 则 , 因此, . ( )y f x= 4 ( )2019f  ( )y f x= R ( ) ( )f x f x− = − ( ) ( ) ( )2 2f x f x f x= − = − − ( ) ( ) ( ) ( )4 2f x f x f x f x∴ + = − + = − − =   ( )y f x= 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 12019 4 505 1 1 1 2 cos 22f f f f π = × − = − = − = − − = −   2− 02 π α− < < 1cos 4 3 π α − = −   cos2 =α 4 2 9 − 4 π α− sin 4 π α −   cos2 sin 22 πα α = −   02 π α− <  ( ) ( )2f x f x+ > ( ) ( ),0 3,−∞ +∞ 分 , 、 三种情况分类讨论,结合函数 的解析 式解不等式 ,可得出该不等式的解集. 【详解】 . ①当 时,即当 时,由 ,得 ,整理得 ,该不等式恒成立,此时, ; ②当 时,即当 时,由 ,得 ,整理得 ,解得 或 ,此时 ; ③当 时,由 ,得 ,即 ,整理得 ,解得 ,此时 . 综上所述,不等式 的解集是 . 故答案为: . 【点睛】本题考查分段函数不等式的求解,解题时要对自变量所满足的范围选择合适的解析 式进行计算,考查分类讨论思想的应用,考查运算求解能力,属于中等题. 13.若函数 有两个不同的零点,则 的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 令 ,得出 ,可得出 ,在等式两边取自然对数得 ,可得出 ,将问题转化为直线 与函数 的图象有两个交点,利用数形 结合思想可得出 的取值范围,可解出实数 的取值范围. 【 详 解 】 令 , 得 出 , 则 , 在 等 式 两 边 取 自 然 对 数 ,可得出 ,构造函数 , 2 1x x< + ≤ 1 2x x≤ < + 2 1x x+ > > ( )y f x= ( ) ( )2f x f x+ > ( ) 2 5 4, 1 8 8, 1 x xf x x x x − ≤=  − + > 2 1x + ≤ 1x ≤ − ( ) ( )2f x f x+ > ( )5 2 4 5 4x x+ − > − 10 0> 1x ≤ − 1 2 1 x x ≤  + > 1 1x− < ≤ ( ) ( )2f x f x+ > ( ) ( )22 8 2 8 5 4x x x+ − + + > − 2 9 0x x− > 0x < 9x > 1 0x− < < 1x > ( ) ( )2f x f x+ > ( ) ( )2f x f x+ > ( ) ( )2 22 8 2 8 8 8x x x x+ − + + > − + 4 12 0x − > 3x > 3x > ( ) ( )2f x f x+ > ( ) ( ),0 3,−∞ ∪ +∞ ( ) ( ),0 3,−∞ ∪ +∞ ( ) ( )3 0, 1xf x a x a a= − > ≠ a 3 e1,e     ( ) 0f x = 3xa x= 0x > ln 3lnx a x= 3lnln xa x = lny a= ( ) 3ln xg x x = ln a a ( ) 0f x = 3 0xa x= > 0x > 3xa x= ln 3lnx a x= 3lnln xa x = ( ) 3ln xg x x = 则问题转化为直线 与函数 图象有两个交点. ,令 ,得 . 当 时, ;当 时, . 所以,函数 的单调递增区间为 ,单调递减区间为 . 所以,函数 在 处取得极大值,亦即最大值,即 . 如下图所示,当 时,即当 时,直线 与函数 的图 象有两个交点,即函数 有两个不同的零点, 因此,实数 的取值范围是 . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用导数求解函数的零点个数问题,在含单参数的函数零点个数问题,一 般利用参变量分离法转化为两个函数图象的交点个数问题,考查化归与转化思想与数形结合 思想的应用,属于难题. 14.如图,在 中, 、 是 上的两个三等分点, ,则 的 最小值为_________. 的lny a= ( ) 3ln xg x x = ( ) ( ) 2 3 1 ln xg x x −′ = ( ) 0g x′ = x e= 0 x e< < ( ) 0g x′ > x e> ( ) 0g x′ < ( )y g x= ( )0,e ( ),e +∞ ( )y g x= x e= ( ) ( )max 3g x g e e = = 30 ln a e < < 3 1 ea e< < lny a= ( ) 3ln xg x x = ( ) 3xf x a x= − a 3 1, ee       3 1, ee       ABC∆ D E BC 2AB AD AC AE⋅ = ⋅    cos B 【答案】 【解析】 分析】 用 、 表示 、 、 ,然后利用 ,利用平面向量的数量积 的运算律以及数量积的定义得出 的表达式,然后利用基本不等式可求出 的最小值. 【 详 解 】 、 是 上 的 两 个 三 等 分 点 , , , , , , ,即 , ,可得 , 由基本不等式得 . 因此, 最小值为 . 故答案为: . 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算夹角余弦值的最值,考查了利用基本不等式求 最值,解题的关键就是找出合适的基底表示向量,并根据题中条件建立代数式求解,考查运 算求解能力,属于中等题. 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. 【 的 4 3 9 BA BD AC AD AE 2AB AD AC AE⋅ = ⋅    cos B cos B D E BC 3AC BC BA BD BA∴ = − = −     AD BD BA= −   2AE BE BA BD BA= − = −     ( ) 2 AB AD BA BD BA BA BA BD⋅ = − ⋅ − = − ⋅        ( ) ( ) 2 2 3 2 6 5AC AE BD BA BD BA BD BD BA BA⋅ = − ⋅ − = − ⋅ +          2AB AD AC AE⋅ = ⋅     2 2 2 12 10 2BA BA BD BD BD BA BA− ⋅ = − ⋅ +       2 2 12 9 9 cosBA BD BD BA BD BA B∴ + = ⋅ = ⋅ ⋅      2 2 12 cos 9 BA BD B BA BD + = ⋅     12 121 1 4 3cos 29 9 9 BA BD BA BD B BD BA BD BA    = + ≥ × ⋅ =            cos B 4 3 9 4 3 9 15.如图,在四棱锥 中,底面 是平行四边形, 为棱 的中点,平面 底面 , . 求证:(1) 平面 ; (2)平面 平面 . 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)连接 交 于点 ,可得出点 为 的中点,由中位线的性质得出 ,然 后利用直线与平面平行的判定定理可证明出 平面 ; (2)由 ,可得出 ,由平面与平面垂直的性质定理可得出 平面 ,再利用平面与平面垂直的判定定理可证明出平面 平面 . 【详解】证明:(1)连 ,交 于点 ,连 . 因为底面 是平行四边形,所以 为 的中点, 因为 为棱 的中点,所以 , 又因为 平面 , 平面 ,所以 平面 ; (2) , , 因为平面 底面 ,平面 平面 , 平面 , 所以 平面 ,因为 平面 ,所以平面 平面 . 【点睛】本题考查直线与平面平行、平面与平面垂直的证明,在遇到平面与平面垂直时,一 P ABCD− ABCD E PD PAB ⊥ ABCD 90PAB∠ =  //PB AEC PAC ⊥ ABCD BD AC O O BD //OE PB //PB AEC 90PAB∠ =  PA AB⊥ PA ⊥ ABCD PAC ⊥ ABCD BD AC O OE ABCD O BD E PD //OE PB OE ⊂ AEC PB ⊄ AEC //PB AEC 90PAB∠ =  PA AB∴ ⊥ PAB ⊥ ABCD PAB ∩ ABCD AB= PA ⊂ PAB PA ⊥ ABCD PA ⊂ PAC PAC ⊥ ABCD 般利用平面与平面垂直的性质定理转化为直线与平面垂直,考查推理能力,属于中等题. 16.已知 , , . (1)若 ,求 的值; (2)求函数 的单调区间和值域. 【 答 案 】( 1 ) ( 2 ) 单 调 增 区 间 , 单 调 减 区 间 . 值 域 为 . 【解析】 【分析】 (1)利用平面向量的模长公式以及二倍角余弦公式可求出 的值,并求出 的值,利用同角三角函数的基本关系求出 的值,然后利用两角差的余 弦公式可求出 的值; (2)利用两角和余弦公式以及两角和的正弦公式将函数 的解析式化简为 ,由 计算出 ,由 、 可分别求出函数 在区间 上的单调递减区间和递增区 间,利用正弦函数的性质可得出函数 的值域. 【详解】(1)因为 ,所以 ,即 , 所以 . 因为 ,所以 , 3,cos 3a x π  = +      ( )sin ,1b x= 5 ,6 6x π π ∈ − −   30 3a = cos2x ( )f x a b= ⋅  1 2 6 6 − 2π π,3 6  − −   5π 2π,6 3  − −   [ 1,0]− 2cos 2 3x π +   22 3x π+ 2sin 2 3x π +   cos2x ( )y f x= ( ) sin 6f x x π = +   5 ,6 6x π π ∈ − −   2 ,06 3x π π + ∈ −   2 ,6 3 2x π π π + ∈ − −   ,06 2x π π + ∈ −   ( )y f x= 5 ,6 6 π π − −   ( )y f x= 30 3a = 2 103 cos 3 3x π + + =   2 1cos 3 3x π + =   22 1cos 2 2cos 13 3 3x x π π   + = + − = −       5 ,6 6x π π ∈ − −   22 ,3 3x π ππ + ∈ −   因为 ,所以 , 所以 . 所以 ; (2)因为 , 因为 ,所以 , 当 ,即 时,函数 单调递减; 当 ,即 时,函数 单调递增; 故函数 的单调增区间 ,单调减区间 . 由于 ,所以函数 的值域为 . 【点睛】本题考查利用两角差 余弦公式求值,同时也考查了三角函数在定区间上的单调区 间和值域问题,一般利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简,考查分析问题和解决问 题的能力,属于中等题. 17.已知函数 是偶函数. (1)求 的值; (2)若 ,求 的取值范围. 的 2cos 2 03x π + ≠ > ≠ ab ( ) ( )lg 1f x f< x 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 【分析】 (1)由函数 为偶函数,结合定义 ,得出 对任意的 恒成立,由此可得出 的值; (2)设 ,利用函数单调性的定义证明出函数 在 上为增函数,再由偶函 数的性质,由 可得出 ,利用函数 在 上为增 函数,得出 ,解出该不等式即可. 【详解】(1)因为 是偶函数,所以对任意实数 ,有 , 即 ,所以 对任意实数 成立, 因为 , ,所以 ,即 对任意实数 成立,所以 ; (2)由(1)知 ,此时 , 因为 , , , ,故不妨设 ,任取 , 则 . 因为 , ,所以 , 所以 , ,则 , 所以 ,即 , 所以,函数 在 上单调递增, 1 1 ,1010      ( )y f x= ( ) ( ) 0f x f x− − = 1 0x xa b − = x∈R ab 1a > ( )y f x= [ )0,+∞ ( ) ( )lg 1f x f< ( ) ( )lg 1f x f< ( )y f x= [ )0,+∞ lg 1x < ( )y f x= x ( ) ( ) 0f x f x− − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 x x x x x x x x x x xx x a bf x f x a b a b a b a ba b ab − − +− − = + − + = + − − = + − ( ) ( ) ( ) 1 0 x x x x ab a b ab  − + = = ( ) ( )1 0x x xab a b − + =  x 0xa > 0xb > ( ) 1 0xab − = ( ) 1xab = x 1ab = 1b a = ( ) 1x xf x a a = + 0a > 1a ≠ 0b > 1b ≠ 1a > 1 20 x x≤ < ( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 21 2 1 1 1 1x x x x x x x xf x f x a a a aa a a a  − = + − − = − + −   ( ) ( )( )1 2 1 22 1 1 2 1 2 1 2 1x x x xx x x x x x x x a a aa aa a a a + + + − −−= − + = 1 20 x x≤ < 1a > 1 21 x xa a ( ) ( )1 2 0f x f x− < ( ) ( )1 2f x f x< ( )y f x= [ )0,+∞ 又因为函数 是 上的偶函数, ,则 , ,即 ,解得 . 因此,不等式 的解集为 . 【点睛】本题考查利用偶函数的定义求参数、同时也考查了利用函数的单调性解不等式,解 题时可充分利用偶函数的性质 ,可简化计算,考查分析问题和解决问题的能力, 属于中等题. 18.如图,某登山队在山脚 处测得山顶 的仰角为 ,沿倾斜角为 (其中 ) 的斜坡前进 后到达 处,休息后继续行驶 到达山顶 . (1)求山的高度 ; (2)现山顶处有一塔 .从 到 的登山途中,队员在点 处测得塔的视角为 .若点 处高度 为 ,则 为何值时,视角 最大? 【答案】(1) ;(2)当 时,视角 最大. 【解析】 【分析】 (1)解法一:计算出 的值,然后在 中,过 作 ,垂足为 , 利用锐角三角函数的定义求出 ,然后在 中利用锐角三角函数可求出 ; 解法二:过 作 于点 ,过 作 于点 ,计算出 、 ,设 ( )y f x= R ( ) ( )lg 1f x f 3h = 3km P PM BE⊥ M PF x= 2AF x= P AD 1DG = [ ]0,1x∈ 3tan 3 2 BM xBPM PM x −∠ = = − 3 273 8 8tan 3 2 3 2 x xCMCPM PM x x + − − ∠ = = =− − ( ) tan tantan tan 1 tan tan CPM BPMCPM BPM CPM BPM θ ∠ − ∠= ∠ − ∠ = + ∠ ∠ ( ) ( ) 27 3 38 3 2 3 2 8 27 27 338 81 3 23 2 3 2 3 2 x x x x x x xx xx x x − −−− −= =  − − − −  + ⋅ − +− − − [ ]0,1x∈ [ ]3 2 1,3t x= − ∈ 3 2 2 tx −= 则 . 当且仅当 ,即 时,即 时 取得最大值 . 所以,当 时,视角 最大. 【点睛】本题考查解三角形中测量高度问题,同时也考查了利用基本不等式来求角的最值, 解题的关键在于建立关系式,并对代数式进行化简变形,考查运算求解能力,属于中等题. 19.已知函数 . (1)当 时,求 的极值; (2)若 在区间 内有两个极值点,求实数 的取值范围. 【答案】(1)极小值 ,无极大值;(2) . 【解析】 【分析】 (1)将 代入函数 的解析式,求出导数 ,解导数方程 ,然后 列表分析函数 的单调性,可得出函数 的极值; (2)求出导数 ,构造函数 ,问题转化为函数 在区间 上有两个零点,对参数 进行分类讨论,利用导数分析 在区 间 上的单调性与极值,根据题意得出关于 的不等式组,解出即可. 【详解】(1)因为 ,所以 , 所以 ,令 得 .列表如下: 3 6 6 28tan 15 3 9 2995 4 27 5 2 4 278 2 2 2 t t t tt tt t θ = = ≤ =    + + + + × ⋅ +        + 94t t = [ ]3 1,32t = ∈ 3 4x = tanθ 2 29 3 4x km= θ ( ) ( )2 2ln xaef x x a Rx x = + − ∈ 0a = ( )f x ( )f x ( )0,2 a ln 2 1+ 2 2 1,e e      0a = ( )y f x= ( )f x′ ( ) 0f x′ = ( )y f x= ( )y f x= ( ) ( )( )2xx ae x f x x =′ − − ( ) xg x x ae= − ( )y g x= ( )0,2 a ( )y g x= ( )0,2 a 0a = ( ) 2lnf x x x = + ( ) 2 2 1 2 2xf x x x x =′ −= − ( ) 0f x′ = 2x = x ( )0,2 2 ( )2,+∞ 极小值 因此,当 时, 有极小值 ,无极大值; (2)因为 由 ,得 ,记 , , 因为 在区间 内有两个极值点, 所以 在区间 内有两个零点,所以 且 , 令 ,则 . ①当 ,即 时, ,所以 在 上单调递减,至多与 轴有 一个交点,不满足题意; ②当 ,即 时, ,所以 在 上单调递增,至多与 轴一个交点,不满足题意;; ③当 时,即 时, 在 上单调递增,在 上 单调递减. 由 ,要使 在区间 内有两个零点, 必须满足 ,解得 , 综上所述,实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查利用导数求函数的极值,同时也考查了利用导数研究函数的极值点,解题 关键就是将极值点转化为函数的零点来处理,在求解时可以利用分类讨论思想以及参变量分 离法求解,考查化归与转化思想,属于中等题. 20.数列 的各项均为正数,其前 项和为 .已知对任意的 ,存在实数 、 满 ( )f x′ − 0 + ( )f x  ( )2f  2x = ( )y f x= ( )2 ln 2 1f = + ( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 221 2 xx x ae xae xf x x x x x − −− =′ = − − 0 2x< < 3 2 0x x − < ( ) xg x x ae= − ( )0,2x∈ ( )y f x= ( )0,2 ( )y g x= ( )0,2 ( ) 1 xg x ae=′ − 0a > ( ) 0g x′ = lnx a= − ln 0a− ≤ 1a ≥ ( ) 0g x′ < ( )y g x= ( )0,2 x ln 2a− ≥ 2 10 a e < ≤ ( ) 0g x′ > ( )y g x= ( )0,2 x 0 ln 2a< − < 2 1 1ae < < ( )y g x= ( )0, ln a− ( )ln ,2a− ( )0 0g a= − < ( )y g x= ( )0,2 ( ) ( ) ( ) max 2 ln ln 1 0 2 2 0 g x g a a g ae  = − = − − > = − ( )iv ( )i 1 2p d = 2 dq = 21 2 2n n dS a nd = + ( )2 1 1 1 12 2n n dS a nd+ += + + 2 2 2 1 12 n n nda a a d+ += − + ( )2 2 1 0n na d a+∴ − − = ( )( )1 1 0n n n na a d a a d+ ++ − − − = 1n na a d+ + = 1n na a d+ − = 1 0a d= > 1a 2a 3a 2 2a d= 3 3a d= 1n na a d+ − = Nn ∗∈ 1n na a d+ + = n k 1k ka a d+ + = 3k ≥ 1k ka a d−− = 1 1 0k ka a+ −+ = 0na > Nn ∗∈ 1n na a d+ − = Nn ∗∈ { }na d d { }na n nS na O xyz− ( )0,0,0O ( )1,0,0A ( )1,2,0B ( )0,1,2C P AP ACλ=  P λ OP BC⊥ λ (1 , , 2 )λ λ λ− 1 4 λ = AC AP ACλ=  AP OP OA AP= +   P BC OP BC⊥ 0OP BC⋅ =  可得出关于实数 的等式,解出即可得出实数 的值. 【详解】(1)因为 , , 所以 , 因为 , 所以 , 所以点 的坐标为 ; (2)因为 , ,所以 , 即 ,解得 . 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算,同时也考查了利用空间向量处理直线与直线的垂直 关系,考查计算能力,属于基础题. 22.确定函数 , 的单调区间. 【答案】单调增区间为 ,单调减区间为 . 【解析】 【分析】 求 出 函 数 的 导 数 , 在 上 分 别 解 不 等 式 和 ,可得出函数 在区间 上的单调递增区间和单调递减 区间. 【详解】 , , ,则 ,则 . 令 ,则 ,又 ,所以 ; 令 ,则 ,又 ,所以 . 因此,函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 . 【点睛】本题考查利用求导数函数的单调区间,同时也考查了简单复合函数的导数,解题时 要熟悉导数符号与单调区间之间的关系,考查运算求解能力,属于中等题. 23.在直四棱柱 中, , , , . λ λ ( )1,0,0A ( )0,1,2C ( )1,1,2AC = − ( ), ,2AP ACλ λ λ λ= = −  ( ) ( ) ( )1,0,0 , ,2 1 , ,2OP OA AP λ λ λ λ λ λ= + = + − = −   P ( )1 , ,2λ λ λ− ( )1, 1,2BC = − − OP BC⊥ 0OP BC⋅ =  ( )1 1 1 2 2 4 1 0λ λ λ λ− × − − × + × = − = 1 4 λ = ( ) cos2 4cosf x x x= + ( )0,2x π∈ ( ),2π π ( )0,π ( )y f x= ( ) ( )4sin cos 1f x x x= − +′ ( )0,2x π∈ ( ) 0f x′ > ( ) 0f x′ < ( )y f x= ( )0,2π ( ) cos2 4cosf x x x= + ( ) ( )2sin 2 4sin 4sin cos 1f x x x x x∴ = − − = − +′ ( )0,2x π∈ 1 cos 1x− ≤ < 0 cos 1 2x≤ + < ( ) 0f x′ > sin 0x < ( )0,2x π∈ 2xπ π< < ( ) 0f x′ < sin 0x > ( )0,2x π∈ 0 πx< < ( )y f x= ( ),2π π ( )0,π 1 1 1 1ABCD A B C D− AB AC⊥ 1AB = 1 2AC AA= = 5AD CD= = (1)求二面角 余弦值; (2)试问线段 上是否存在点 ,使得直线 平面 ?若存在,求线段 的长; 若不存在,说明理由. 【答案】(1) (2)线段 上不存在点 ,使直线 平面 ,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)以 为坐标原点, 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系,利用空 间向量法计算出二面角 的余弦值; (2)设 ,求出点 的坐标,由 平面 ,可得出 与平面 的法向量垂直,转化为两向量数量积为零求出 的值,即可判断出点 是否存在. 【详解】(1)在直四棱柱 中, 平面 ,因为 平面 , 平面 ,所以 , ,因为 ,所以,以 为坐标原点, 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系,如图所示. 的1 1D AC B− − 1 1A B E //DE 1ACB 1A E 10 10 1 1A B E / /DE 1ACB A AC AB 1AA x y z 1 1D AC B− − ( )1 0 1A E a a= ≤ ≤ E //DE 1ACB DE 1ACB a E 1 1 1 1ABCD A B C D− 1AA ⊥ ABCD AB Ì ABCD AC ⊂ ABCD 1AA AB⊥ 1AA AC⊥ AB AC⊥ A AC AB 1AA x y z 依题意可得 , , , , , , , . 设 为平面 的法向量,则 . 因为 , ,所以 . 不妨设 ,可得 . 设 为平面 的法向量,则 . 因为 , ,所以 , 不妨设 ,可得 . 所以 . 由图知,二面角 为锐角,所以二面角 的余弦值为 ; (2)假设线段 上是否存在点 ,使得直线 平面 ,则 , 设 ,则 , . 所以 ,所以 ,不合题意,故舍去 所以,线段 上不存在点 ,使直线 平面 . 【点睛】本题考查利用空间向量法求二面角的余弦值,同时也考查了利用空间向量法处理线 面平行的存在性问题,一般转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直,考查计算能力,属 于中等题. 24.已知 , , , . (1)比较 与 的大小; ( )0,0,0A ( )0,1,0B ( )2,0,0C ( )1, 2,0D − ( )1 0,0,2A ( )1 0,1,2B ( )1 2,0,2C ( )1 1, 2,2D − ( ), ,m x y z= 1ACB 1 0 0 m AB m AC  ⋅ =  ⋅ =   ( )1 0,1,2AB = ( )2,0,0AC = 2 0 2 0 y z x + =  = 1z = ( )0, 2,1m = − ( )1 1 1, ,n x y z= 1ACD 1 0 0 n AD n AC  ⋅ =  ⋅ =   ( )1 1, 2,2AD = − ( )2,0,0AC = 1 1 1 1 2 2 0 2 0 x y z x − + =  = 1 1z = ( )0,1,1n = 1 10cos , 105 2 m nm n m n ⋅ −= = = −⋅ ×      1 1D AC B− − 1 1D AC B− − 10 10 1 1A B E //DE 1ACB 0DE m⋅ =  ( )1 0 1A E a a= ≤ ≤ ( )0, ,2E a ( )1, 2,2DE a= − + ( )2 2 2 0DE m a⋅ = − + + =  1a = − 1 1A B E //DE 1ACB 1x > ( ) 1 1 1 n n n xS x x + −= + ( ) ( )( )1 1 2n n xT x + −= Nn ∗∈ ( )2S x ( )2T x (2)比较 与 大小,并加以证明. 【答案】(1) ;(2) , ,证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)利用作差法可得出 与 的大小关系; (2)猜想 , ,利用分析法可得知要证 , ,然后利用数学归纳法证明出即可,即可证 明 . 【详解】(1) . 因为 ,所以 ,所以 ,所以 ; (2)结论: , ,证明如下: 要证 , ,只要证 , . 只要证 , . 因为 ,所以只要证 , (i). 下面用数学归纳法证明: ①当 时,(i)式成立; ②假设当 时,(i)式成立,即有 , 则当 时,(i)式左边 , ( )nS x ( ) ( )nT x n N ∗∈ ( ) ( )2 2S x T x< ( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈ ( )2S x ( )2T x ( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈ ( )( )1 1 1 1 2 n n n n x x x x− + + + + + + ≤ Nn ∗∈ ( ) ( )( ), 1n nS x T x n N x∗≤ ∈ > ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3 23 2 2 2 2 2 1 3 1 13 11 1 2 2 1 x x xxxS x T x x x − − − +−−− = − =+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 32 2 2 2 1 2 1 3 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x x x x x x x  − + + − + − − + − − = = = − + + + 1x > ( ) ( ) 3 2 1 0 2 1 x x −− < + ( ) ( )2 2 0S x T x− < ( ) ( )2 2S x T x< ( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈ ( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈ ( )( )1 1 11 1 2 n n n xx x + + −− ≤+ Nn ∗∈ ( )( ) ( )( )11 1 1 1 1 2 n n n x x x x n x x −− + + + + + −≤+  Nn ∗∈ 1x > ( )( )1 1 1 1 2 n n n n x x x x− + + + + + + ≤ Nn ∗∈ 1n = n k= ( )( )1 1 1 1 2 k k k k x x x x− + + + + + + ≤ 1n k= + ( )( )1 11 1 1 2 k k k kk x x x x x+ + + + = + + + + ≤ + 而此时(i)式右边 , 所以只要证 , 只要证 (ii), 令 , , , 因为 , 所以 在 上单调递增,所以 , 故(ii)式成立.这就是说,当 时,(i)式也成立, 综合①②可知(i)式成立,所以 , 成立,得证. 【点睛】本题考查数列不等式的证明,一般利用数学归纳法来证明,在证明时也可以结合分 析法与导数来证明,考查分析问题和解决问题的能力,属于难题. ( )( )12 1 2 kk x ++ + = ( )( ) ( )( )1 11 1 2 1 2 2 k k kk x k x x + + + + + + + ≤ ( )1 1 1 0k kkx k x+ − + + ≥ ( ) ( )1 1 1k kf x kx k x+= − + + 1x > k ∗∈N ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 0k k kf x k k x k k x k k x x− −′ = + − + = + − > ( )y f x= ( )1,+∞ ( ) ( )1 0f x f> = 1n k= + ( ) ( )n nS x T x≤ Nn ∗∈

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