2019-2020 学年第一学期高三期中调研试卷数学
注意事项：
1．本试卷共 4 页.满分 160 分，考试时间 120 分钟.
2．请将填空题的答案和解答题的解题过程写在答题卷上，在本试卷上答题无效.
3．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号写在答题纸的密封线内.
一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请把答案直接填写在答卷纸相应的
位置）
1.已知集合 ， ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集 运算可直接得出结果．
【详解】解： 集合 ， ，
，
故答案为： ．
【点睛】本题考查集合交集的运算，是基础题．
2.已知复数 满足 （i 为虚数单位），则复数 的实部为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】解：由 ，得 ，
∴复数 的实部为−1，
故答案为：−1．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.已知向量 ， ，且 ，则实数 的值是___________.
【答案】1
【解析】
的
{ 2, 1,0,1,2}A = − − { | 0}B x x= > A B =
{1,2}
{ 2, 1,0,1,2}A = − − { | 0}B x x= >
{1,2}A B∴ =
{1,2}
z
2
z ii
=+ z
1−
2
z ii
=+ (2 ) 1 2z i i i= + = − +
z
( ,2)a x= (2, 1)b = − a b⊥ x
【分析】
由题意两个向量垂直，利用向量垂直的坐标运算，列方程求出 的值．
【详解】解：∵向量 ， ，且 ，
∴ ，解得 ，
故答案为：1．
【点睛】本题主要考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．
4.函数 的定义域为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的真数大于零，分母不为零，被开方数不小于零，列不等式求解即可．
【详解】解：由已知得 ，解得 ，
函数的定义域为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查函数定义域的求法，是基础题．
5.等比数列 中， ， ， 是 的前 项和，则 _________.
【答案】31
【解析】
【分析】
利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．
【详解】解：设等比数列 的公比为 ， ， ，
，解得 ，
则前 5 项和 ，
故答案为：31．
x
( ,2)a x= (2, 1)b = − a b⊥
2 2 0x − = 1x =
lg( 1)
2
xy
x
−=
−
(1,2)
1 0
2 0
x
x
− >
− > 1 2x< < (1,2) (1,2) { }na 1 1a = 4 8a = nS { }na n 5S = { }na q 1 1a = 4 8a = 34 1 8a qa ∴ = = 2q = 5 5 2 1 312 1S −= =−
【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了学生的计算能力，属于基础
题．
6.已知 ，则 的值为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
分子分母同时除以 ，可将目标式转化为用 来表示，再代入 的值即可求得结
果．
【详解】解： ，
代入 得，
原式 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系的运用，当目标式是分式且分子分母均为 ，
的齐次式时，可分子分母同时除以 ，达到变形的目的，本题是基础题．
7.“ ”是“ ”的 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既
不充分也不必要”中的某一个）
【答案】充分不必要
【解析】
试题分析：因为 时 不一定成立，所以“ ”是“ ”的
充分不必要条件．
考点：充要关系
8.已知函数 的图象上每个点向左平移 个单位长度得到函数
的图象，则 的值为_______.
【答案】
【解析】
tan 2α = sin
cos 2sin
α
α α+
2
5
cosα tanα tanα
sin
sin cos
cos 2si
ta
ncos 2sin 1 2
o
n
t
s
an
c
α
α α
α αα
α
α
α α= =++ +
tan 2α =
2 2
1 4 5
= =+
2
5
sinα
cosα cosα
2x > 1x >
2 1 1, 1x x x> > ⇒ > > 2x > 2x > 1x >
sin 2y x= (0 )2
πϕ ϕ< < sin 2 6y x π = + ϕ 12 π
【分析】
将函数 平移后的解析式和函数 比较，列方程求解．
【详解】解：把函数 的图象上每个点向左平移 个单位长度，
得到函数 的图象，
，
则 ，
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查函数 的图象变换规律，属于基础题．
9.设函数 ，则不等式 的解集为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
对 分 和 讨论，分别求出解集，再取并集，即得所求．
【详解】解：当 时，由 得： ，
， ，
又 ，
无解；
当 时，由 得： ，
，解得： ，
不等式 的解集为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查分段函数的应用，指数不等式的解法，是基础题．
sin 2y x= sin 2 6y x
π = +
sin 2y x= (0 )2
πϕ ϕ< < sin 2 sin(2 2 )6y x x π ϕ = + = + 2 6 πϕ∴ = 12 πϕ = 12 π sin( )y A xω ϕ= + , 0( ) 2 1, 0 xe xf x x x ≥= +
( 1,2)−
2x + 2 0x + < 2 0x + ≥ 2 0x + < ( )2( 2)f x f x+ > 2
2( 2) 1 xx e+ + >
2 0x +
2 0x + ≥ ( )2( 2)f x f x+ > 22x xe e+ >
22x x∴ + ≥ 1 2x− < < ∴ ( )2( 2)f x f x+ > ( 1,2)−
( 1,2)−
10.已知函数 的极小值大于 0，则实数 的取值范围为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
对 求导，求出极小值点，然后判断 的单调性求出极小值，再由 的极小值大于
0，建立关于 的不等式，求出 的范围．
【详解】解：由 ，得 ，
令 ，则 ，
因为 的极小值大于 0，
必有极小值点 ，故 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 极小值 ，
所以 ，
综上， 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了运算能力，属中档题．
11.已知各项都为正数的等差数列 中， ，则 的最大值为_________.
【答案】9
【解析】
【分析】
( ) ln mf x x x
= − m
1, e
−∞ −
( )f x ( )f x ( )f x
m m
( ) ln mf x x x
= −
2( ) ( 0)x mf x xx
′ += >
( ) 0f x′ = x m= −
( ) ln mf x x x
= −
0m− > 0m < x m> − ( ) 0f x′ > 0 x m< < − ( ) 0f x′ < ( )f x (0, )m− ( , )m− +∞ ( )f x ( ) ln( ) 1 0f m m= − = − + >
1m e
< − m 1, e −∞ − 1, e −∞ − { }na 5 3a = 3 7a a
因为等差数列 各项都为正数，利用 可求其最大值．
【详解】解：依题意，等差数列 各项都为正数，
所以 ，
所以 ．
当且仅当 时等号成立．
故答案为：9．
【点睛】本题考查了等差中项的性质，考查了基本不等式，属于基础题．
12.已知菱形 的棱长为 3，E 为棱 上一点且满足 ，若 ，则
_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用 E 为三等分点结合向量加减法把所给数量积转化为 之间的关系即可解决．
【详解】解：如图，
，
，
由 得 ，
得 ，
得 ，
{ }na
2
3 7
3 7 2
a aa a
+ ≤
{ }na
3 70, 0a a> >
( )2
23 7
3 7 5 92
a aa a a
+ ≤ = =
3 7 3a a= =
ABCD CD 2CE ED= 6AE EB⋅ = −
cosC =
1
3
,CD CB
2CE ED=
CE 2ED∴ =
6AE EB⋅ = − ( ) ( ) 6DE DA CB CE− ⋅ − = −
6DE CB DE CE DA CB DA CE⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ = −
2 9 6ED CB CB CE− ⋅ + − + ⋅ = −
得 ，即 ，即
，
，
故答案为 ．
【点睛】此题考查了向量数量积的定义，向量加减法法则，难度不大．
13.若方程 在 的解为 ， ，则 ___________.
【答案】
【解析】
【分析】
由已知可得 ，得到 ，则 ，结合已知
得答案．
【详解】解：由方程 在 的解为 ， ，
得 ，
，
，
，
，
( 1CE ED CB− ⋅ = ） 1ED CB⋅ = 1 13CD CB⋅ =
1 3 3cos 13 C∴ × × =
1cos 3C∴ =
1
3
3cos 2 6 5x
π − = (0, )π 1x 2x ( )1 2cos x x− =
3
5-
1 2
7
6x x
π+ = 1 2
7
6x x
π= − ( )1 2 2
7cos cos 26x x x
π − = −
3cos 2 6 5x
π − = (0, )π 1x 2x
1 2
3cos 2 cos 26 6 5x x
π π − = − =
(0, ),x π∈
112 ,6 6 6x
π π π ∴ − ∈ −
1 22 26 6
2
x x
π π
π
− + −
∴ =
1 2
7
6x x
π∴ = −
( )1 2 2
7cos cos 26x x x
π ∴ − = −
又 ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查 型函数的图象与性质，特别是对称性的应用是关键，是
中档题．
14.已知函数 ， ，若对于任意 ，总是存在两个
不同的 ， ，使得 ，则实数 a 的取值范围为_____________.
【答案】
【解析】
分析】
利用导数求出 在 上的值域 ，利用导数求出
在 上不同的 对应相同 的 的范围 ，根据题意可得 ，列不等式即可求得
实数 a 的取值范围．
【详解】解： ， ，
，
可得：函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
而 ．
．
，
在 上单调递增，
又 ，
∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增．
【
2
3cos 2 6 5x
π − =
( )1 2 2 2
7 3cos cos 2 cos 26 6 5x x x x
π π − = − = − − = −
3
5-
Acos( )y xω ϕ= +
2 3( ) 3f x x x= − 1( ) lnxg x e a x−= − − 1 (0,3)x ∈
2x 3 (0,3)x ∈ ( ) ( ) ( )1 2 3f x g x g x= =
)21, ln3 4e − −
2 3( ) 3f x x x= − (0,3)x∈ A 1( ) lnxg x e a x−= − −
(0,3)x∈ x y y B A B⊆
2 3( ) 3f x x x= − (0,3)x∈
2( ) 6 3 3 (2 )f x x x x x′ = − = −
( )f x (0,2] (2,3)
(0) (3) 0, (2) 4f f f= = =
( ) (0,4]f x A∴ ∈ =
1( ) ln , (0,3)xg x e a x x−= − − ∈
1 1( ) xg x e x
′ −= − (0,3)x∈
(1) 0g′ =
( )g x (0,1] (1,3)
时， ．
令 ．
对于任意 ，总是存在两个不同的 ，
使得 ．
，且 ．
解得 ．
∴实数 a 的取值范围为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转
化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、解答题（本大题共 6 个小题，共 90 分，请在答题卷区域内作答，解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤）
15.在 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c， ， ， .
（1）求 a，b 的值；
（2）求 的值.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）由已知利用余弦定理可得 ，结合 ，即可解得 a，b 的值．
（2）由（1）及余弦定理可求 ，根据同角三角函数基本关系式可求 的值，利用两
角和的正弦函数公式，诱导公式可求 的值．
【详解】解：（1）由余弦定理得
，
，
0x +→ 2( ) ; (1) 1 , (3) ln3g x g a g e a→ +∞ = − = − −
)21 , ln3B a e a= − − −
1 (0,3)x ∈ 2 3, (0,3)x x ∈
( ) ( ) ( )1 2 3f x g x g x A B= = ⇔ ⊆
1 0a∴ − ≤ 24 ln3e a< − − 21 4 ln3a e≤ < − − )21, ln3 4e − − )21, ln3 4e − − ABC∆ 120C °= 7c = 2a b− = sin( )A C+ 5a = 3b = 3 3 14 2 2 49a b ab+ + = 2a b− = cos B sin B sin( )A C+ 2 2 2 2 2 2 22 cos 2 cos 49120c a b ab C a b ab a b ab°= + − = + − = + + = 2a b− =
整理得： ，
因为 ，解得： ， ，
综上： ， .
（2）由（1）知 ， ， ，所以 ，
因为 为 的内角，所以 ，
因为 ，
所以 的值为 ．
【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式在解三角形中的综
合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
16.已知向量 ， .
（1）若 ， ，求 x 的值；
（2）若 ， ，求 的最大值及相应 x 的值.
【答案】（1） 或 .（2）最大值为 ，此时 .
【解析】
【分析】
（1）根据向量平行的坐标运算，列方程求解；
（2）根据数量积的坐标运算，利用三角公式，将 变形为 的形式，利用三
角函数的性质求最值．
【详解】解：（1）因为， ， .， ，
所以 ，
2 2( 2) ( 2) 49b b b b∴ + + + + =
2 2 15 0b b+ − =
0b > 3b = 5a =
5a = 3b =
5a = 3b = 7c =
2 2 2 13cos 2 14
a c bB ac
+ −= =
B ABC∆ 2 3 3sin 1 cos 14B B= − =
3 3sin( ) sin( ) sin 14A C B Bπ+ = − = =
sin( )A C+ 3 3
14
(cos , 3 cos )a x x= (cos ,sin )b x x=
/ /a b 0, 2x
π ∈
( )f x a b= ⋅ 0, 2x
π ∈ ( )f x
2x
π=
3x
π= 3
2 6x
π=
( )f x sin( )A xω ϕ+
(cos , 3 cos )a x x= (cos ,sin )b x x= / /a b
2cos sin 3 cosx x x=
所以 ，
所以 或 ，即 或 ，
因为 ，所以 或 ；
（2）因为 ， ，
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 的最大值为 ，此时 ．
【点睛】本题是向量背景下的三角运算问题，考查三角函数的恒等变换，以及三角函数的图
像和性质，难度不大，但综合性较强．
17.已知等比数列 满足 ，且 ， ， 成等差数列.
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 n 项和为 .
【答案】（1） . （2）
【解析】
【分析】
（1）由已知列式求得等比数列的公比，进一步求得首项，则数列 的通项公式可求；
（ 2 ） 设 ， 作 差 可 得 当 时 ， ， 即 时 ，
，再求出数列 的前 3 项，然后分类利用数列的分组求和求数列
cos (sin 3 cos ) 0x x x− =
cos 0x = sin 3cos 0x x− = cos 0x = tan 3x =
0, 2x
π ∈ 2x
π=
3x
π=
(cos , 3 cos )a x x= (cos ,sin )b x x=
2( ) cos 3 cos sinf x a b x x x= ⋅ = +
1 cos2 3 1sin 2 sin 22 2 6 2
x x x
π+ = + = + +
0, 2x
π ∈
72 ,6 6 6x
π π π + ∈
1sin 2 ,16 2x
π + ∈ −
3( ) 0, 2f x ∈
( )f x 3
2 6x
π=
{ }na 2 2a = 2a 3 1a + 4a
{ }na
2 1n nb a n= − + { }nb nT
12n
na -=
2
0, 1
1, 2
2, 3
2 3, 4
n
n
n
nT n
n n
=
== =
− + ≥
{ }na
12 1 2 2 1n
n nc a n n−= − + = − + 4n ≥ 0nc > 4n ≥
12 2 1n
n nb c n−= = − + { }nb { }nb
的前 项和为 ．
【详解】解：（1）设等比数列 的公比为 q（不为 0），
， ， 成等差数列，
，
，所以 ，
解得 或 （舍），
，
数列 的通项公式为 ；
（2）设 ，
，
当 ， ，
又 ，所以 时， ，即 时， ，
因为 ， ， ，所以 ， ， ，
所以 ， ， ，
当 时，
，
综上 ．
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及前 项和，考查数列的函数特性，是中档
题．
n nT
{ }na
2a 3 1a + 4a
( )3 2 42 1a a a∴ + = +
2 2a = 22(2 1) 2 2q q+ = +
2q = 0q =
2
1 1aa q
∴ = =
∴ { }na 12n
na -=
12 1 2 2 1n
n nc a n n−= − + = − +
( )1 1
1 2 2( 1) 1 2 2 1 2 2n n n
n nc c n n− −
+∴ − = − + + − − + = −
∴ 3n ≥ 1n nc c+ >
4 1 0c = > 4n ≥ 0nc > 4n ≥ 12 2 1n
n nb c n−= = − +
1 0c = 2 1c = − 3 1c = − 1 0b = 2 1b = 3 1b =
1 0T = 2 1T = 3 2T =
4n ≥ 1 2 3 4 4 5(0 1 1)n n nT b b b b b b b b= + + + + + = + + + + + +
( )3 4 12 2 2 2 (7 9 2 1)n n−= + + + + − + + + −
( )3 3
22 1 2 7 2 12 ( 3) 2 31 2 2
n
nn n n
−− + −= + − ⋅ − = − +−
2
0, 1
1, 2
2, 3
2 3, 4
n
n
n
nT n
n n
=
== =
− + ≥
n
18.如下图所示，某窑洞窗口形状上部是圆弧 ，下部是一个矩形 ，圆弧 所在
圆的圆心为 O，经测量 米， 米， ，现根据需要把此窑洞窗口
形状改造为矩形 ，其中 E，F 在边 上，G，H 在圆弧 上.设 ，矩形
的面积为 S.
（1）求矩形 的面积 S 关于变量 的函数关系式；
（2）求 为何值时，矩形 的面积 S 最大？
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
（1）结合几何图形计算的直角三角形勾股定理，找出矩形 的面积 S 关于变量 θ 的函
数关系式；
（2）对 S 关于变量 θ 的函数关系式进行求导分析，算出 时的 的值，三角计算即
可得出结果．
【详解】解：（1）如图，作 分别交 ， 于 M，N，
由四边形 ， 是矩形，O 为圆心， ，
CD ABCD CD
4AB = 3
3BC = COD 120°∠ =
EFGH AB CD OGF θ∠ =
EFGH
EFGH θ
cosθ EFGH
8 (4cos 1)sin3S θ θ= − πθ 0, 3
æ öç ÷Î ç ÷è ø
1 129cos 16
θ +=
EFGH
0S ′ = cosθ
OP CD⊥ AB GH
ABCD EFGH 120COD °∠ =
所以 ， ，P，M，N 分别为 ， ， 中点， ，
在 中， ， ，
所以 ， ，
所以 ，
在 中， ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 S 关于 的函数关系式为： ，
（2）由（1）得：
因为 ，
所以 ，
OM AB⊥ ON GH⊥ CD AB GH 60CON °∠ =
Rt COP∆ 2CP = 60COP °∠ =
4 33OC = 2 33OP =
3
3OM OP PM OP BC= − = − =
Rt ONG∆ GON OGF θ∠ = ∠ = 4 33OG OC= =
4 3sin3GN θ= 4 3 cos3ON θ=
82 3sin3GH GN θ= = 4 33 cos3 3GF MN ON OM θ= = − = −
4 3 8 83 cos 3sin (4cos 1)sin3 3 3 3S GF GH θ θ θ θ = ⋅ = − ⋅ = −
πθ 0, 3
æ öç ÷Î ç ÷è ø
θ 8 (4cos 1)sin3S θ θ= − πθ 0, 3
æ öç ÷Î ç ÷è ø
( ) ( )2 2 28 84cos 4sin cos 8cos cos 43 3S θ θ θ θ θ′ = − − = − −
πθ 0, 3
æ öç ÷Î ç ÷è ø
1cos ,12
θ ∈
令 ，得 ，
设 ，且 ，
所以 ，得 ，即 S 在 单调递增，
，得 ，即 S 在 单调递减
所以当 时，S 取得最大值，
所以当 时，矩形 的面积 S 最大．
【点睛】本题主要考查根据图形进行计算，掌握运用直角三角形勾股定理知识，三角函数的
计算，函数的一阶导数分析能力，本题属难题．
19.已知函数 .
（1）求 的图像在 处的切线方程；
（2）求函数 的极大值；
（3）若 对 恒成立，求实数 a 的取值范围.
【答案】（1） .（2）-1；（3）
【解析】
【分析】
（1）由函数 ，可得 ，求出 和切点坐标，利用点斜式即可得出切
线方程．
（2）由 ，求得 ，分析 在 上单调
性和零点，即可得出 单调性与极值．
（3）令 ，求出 ，对 分类讨论，利
0S ′ = 1 129 1cos ,116 2
θ + = ∈
0 0, 3
πθ ∈ 0
1 129cos 16
θ +=
0S′ > 00 θ θ< < ( )00,θ 0S ′ < 0 3 πθ θ< < 0 , 3 πθ 0 θ θ= 1 129cos 16 θ += EFGH 1( )f x x x = − ( )f x 1x = ( ) ( )F x f x x= − ( ) lnaf x x≤ (0,1]x∈ 1y x= − 1a ≥ 1( )f x x x = − ( )f x′ (1)f ′ 1( ) ( ) ( 0)F x f x x x x x x = − = − − > ( )F x′ ( )F x′ (0, )+∞
( )F x
1( ) ln ( ) ln , (0,1]g x x af x x a x x
x
= − = − − ∈ ( )g x′ a
用导数研究其单调性即可得出实数 的取值范围．
【详解】解：（1）因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 经过 ，
所以 的图像在 处的切线方程为 ；
（2）因为 ， ，
所以 ，
又 在 递减， ，
所以在 ， ，即 在 递增；
在 ， ，即 在 递减，
所以在 处， 取极大值， ；
（3）设 ， ，
所以 ，
① 时， 对 恒成立，
所以 在 递增，
又 ，
所以 时， ，
这与 对 恒成立矛盾，舍去；
② 时，设 ， ， ，
a
1( )f x x
x
= −
1 1( )
2 2
f x
x x x
′ = + (1) 1f ′ =
( )y f x= (1,0)
( )f x 1x = 1y x= −
1( )F x x x
x
= − − 0x >
1 1( ) 1
2 2
F x
x x x
′ = + −
( )F x′ (0, )+∞ (1) 0F ′ =
(0,1)x∈ ( ) 0F x′ > ( )F x (0,1)
(1, )x∈ +∞ ( ) 0F x′ < ( )F x (1, )+∞ 1x = ( )F x (1) 1F = − 1( ) ln ( ) lng x x af x x a x x = − = − − (0,1]x∈ 21 1 1 ( ) 2( ) 2 2 a a x x ag x x x x x x x ′ − + − = − + = 0a ≤ ( ) 0g x′ > (0,1]x∈
( )g x (0,1]
(1) 0g =
0 (0,1)x∃ ∈ ( )0 0g x < ( ) lnaf x x≤ (0,1]x∈ 1a ≥ 2( ) ( ) 2x a x x aϕ = − + − (0,1]x∈ 24 4 0a∆ = − ≤
所以 ， ，
所以 对 恒成立，
所以 在 递减，
又 ，
所以 对 恒成立，
所以 成立；
③ 时，设 ， ， ，
解 得两根为 ， ，其中 ，
，
所以 ， ，
所以 ， ， ，
所以 在 递增，
又 ，
所以 ，
这与 对 恒成立矛盾，舍去，
综上： .
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、方程
的实数根与判别式的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
20.已知数列 满足 .
（1）证明：数列 为等差数列；
（2）设数列 的前 n 项和为 ，若 ，且对任意的正整数 n，都有
，求整数 的值；
( ) 0xϕ ≤ (0,1]x∈
( ) 0g x′ ≤ (0,1]
( )g x (0,1]
(1) 0g =
( ) (1) 0g x g≥ = (0,1]x∈
1a ≥
0 1a< < 2( ) ( ) 2x a x x aϕ = − + − (0,1]x∈ 24 4 0a∆ = − >
( ) 0xϕ = 1x 2x
2
2
1 1 1ax a
+ −= >
2
1 2
1 1 (0,1)
1 1
a ax a a
− −= = ∈
+ −
10 1x< < 2 1>x
( )1,1x x∈ ( ) 0xϕ > ( ) 0g x′ >
( )g x ( )1,1x
(1) 0g =
( )1 ( ) 01x gg < = ( ) lnaf x x≤ (0,1]x∈ 1a ≥ { }na * 1 1( 1) ,n nn a na a n N+− = − ∈ { }na { }na nS 2 1 1a a− = 1 2 3 1 1 1 1 1 4 3 3nS S S S < + + + +
1 2 3
1 1 1 1 1
3nS S S S
+ + + + >
1 2 1 1
3 3nS n n
= − +
1 2 3
1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 113 4 2 5 3 6 2 1 1 2 3nS S S S n n n n n n
∴ + + + + = − + − + − + + − + − + − − + − + +
2 1 1 1 1 1 11 413 2 3 1 2 3 9 3n n n
= + + − − − < 1a b c+ + = a b c
b c c a a b
+ ++ + +
1 1 1 1 1 1 3b c c a a b
b c c a a b b c c a a b
− − − − − −= + + = + + −+ + + + + +
[ ]2=2( )= ( )+( )+( )a b c a b b c c a+ + + + +
[ ] 1 1 1( ) ( ) ( )b c c a a b b c c a a b
+ + + + + ⋅ + + + + +
21 1 1 9b c c a a b
b c c a a b
≥ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ = + + +
1 1 1 9
2b c a c a b
+ + ≥+ + +
9 332 2
a b c
b c a c a b
+ + ≥ − =+ + +
3
4
1
12
1
4
3
8
2
3
25
24
, ,A B C 3( ) 4P A =
1( ) ( ) 12
1( ) ( ) 4
P A P C
P B P C
=
=
（2）由题意 X 的可能取值为 0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 E
（X）．
【详解】解：（1）设甲、乙、丙击中目标分别记为事件 A、B、C，则 ，且有
即
解得 ， ，
所以乙、丙二人各自击中目标的概率分别为 ， ；
（2）由题意，X 的可能取值为 0，1，2，
，
，
.
所以随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2
P
所以 X 的数学期望为 .
【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计
算公式、相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
25.如图， 直三棱柱 中， ， ， ，点 E，F
分别在 ， ，且 ， .设 .
在
3( ) 4P A =
1( ) ( ) ,12
1( ) ( ) ,4
P A P C
P B P C
=
=
3 11 [1 ( )] ,4 12
1( ) ( ) .4
P C
P B P C
− − =
=
3( ) 8P B = 2( ) 3P C =
3
8
2
3
1( 2) 4P X = =
5 1 5( 0) ( ) ( ) 8 3 24P X P B P C= = = × =
13( 1) 1 ( 0) ( 2) 24P X P X P X= = − = − = =
5
24
13
24
1
4
5 13 1 25( ) 0 1 224 24 4 24E X = × + × + × =
25
24
1 1 1ABC A B C− 90BAC °∠ = AB AC a= = 1AA b=
1BB 1CC 1
1
3BE BB= 1 1
1
3C F CC= b
a
λ =
（1）当 时，求异面直线 与 所成角的大小；
（2）当平面 平面 时，求 的值.
【答案】（1）60°（2）
【解析】
【分析】
（1）推导出 平面 ABC， AC，建立分别以 AB，AC， 为 轴
的空间直角坐标系，利用法向量能求出异面直线 AE 与 所成角．
（2）推导出平面 的法向量和平面 的一个法向量，由平面 平面 ，能
求出 的值．
【详解】解：因为直三棱柱 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，
所以 ， ，
又因为 ，
所以建立分别以 ， ， 为 轴的空间直角坐标系 .
3λ = AE 1A F
AEF ⊥ 1A EF λ
3
2
λ =
1AA ⊥ 1 1,ABAA AA⊥ ⊥ 1AA , ,x y z
1A F
AEF 1A EF AEF ⊥ 1A EF
λ
1 1 1ABC A B C−
1AA ⊥ ABC
,AB AC ⊂ ABC
1AA AB⊥ 1AA AC⊥
90BAC °∠ =
AB AC 1AA , ,x y z A xyz−
（1）设 ，则 ， ，
各点的坐标为 ， ， ， .
， .
因为 ， ，
所以 .
所以向量 和 所成的角为 120°，
所以异面直线 与 所成角为 60°；
（2）因为 ， ，
，
设平面 的法向量为 ，
则 ，且 .
即 ，且 .
令 ，则 ， .
所以 是平面 的一个法向量.
1a = 1AB AC= = 1 3AA =
(0,0,0)A (1,0,1)E 1(0,0,3)A (0,1,2)F
(1,0,1)AE =
1 (0,1, 1)A F = −
1| | | | 2AE A F= =
1 1AE A F⋅ = −
1
1
1
1 1cos , 2| || | 2 2
AE A FAE A F
AE A F
⋅ −〈 〉 = = = −
×
AE
1A F
AE 1A F
,0, 3
bE a
20, , 3
bF a
,0, 3
bAE a ∴ =
20, , 3
bAF a =
AEF 1 ( , , )n x y z=
1 0AEn ⋅ =
1 0AFn ⋅ =
03
bzax + = 2 03
bzay + =
1z =
3
bx a
= − 2
3
by a
= −
1
2 2, ,1 , ,13 3 3 3
b b
a an
λ λ = − − = − −
AEF
同理， 是平面 的一个法向量.
因为平面 平面 ，
所以 ，
，
解得 .
所以当平面 平面 时， .
【点睛】本题考查异面直线所成角的大小、实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间
的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
2
2 2, ,1 , ,13 3 3 3
b bn a a
λ λ = =
1A EF
AEF ⊥ 1A EF
1 2 0n n⋅ =
2 22 2 1 09 9
λ λ∴− − + =
3
2
λ =
AEF ⊥ 1A EF 3
2
λ =
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