2019 年~2020 学年度高三年级第一学期期中抽测
数学Ⅰ
参考公式：锥体的体积公式： ，其中 是锥体的底面面积， 是高.
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置.
1.已知集合 ， ，则 =__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据交集的概念进行运算即可.
【详解】因为 ， ,
所以 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了交集的运算,属于基础题.
2.若复数 满足 （其中 为虚数单位），则 的模为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
两边取模,计算可得到.
【详解】因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
故答案为: .
【点睛】本题考查了复数的模的运算,属于基础题.
3.某学校共有学生 人，其中高一年级 人，高二年级 人，高三年级 人.为
了了解该校学生的健康状况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若从高一年级抽取了 人，
在
1
3V Sh= S h
{ }1,2,3,4A = { }2 4B x x= < < A B { }3 { }1,2,3,4A = { }2 4B x x= < < A B {3}= { }3 z 1z i i⋅ = + i z 2 1z i i⋅ = + 1z i i⋅ = + | | |1 |z i i⋅ = + | | | | |1 |z i i⋅ = + | | 1 1 2z = + = 2 3000 800 1200 1000 160
则应从高二年级抽取__________人.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分层抽样的特点:高一年级人数与高二年级人数之比等于样本中高一年级人数与高二年
级人数之比计算可得.
【详解】分层抽样就是按比例抽样,高一年级人数与高二年级人数之比为 800:1200=2:3,
所以抽取的样本中,高一年级与高二年级的人数之比也为 2:3,
因为高一年级抽取 人数为 160,所以高二年级抽取的人数为 160× =240 人.
故答案为 240
【点睛】本题考查了分层抽样,属于基础题.
4.如图是一个算法的流程图，则输出的 的值是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据程序框图分析,循环 3 次后满足判断框中的条件,结束循环,此时输出值为 6,
【详解】第一次循环后, ,不满足判断框里的条件;
第二次循环后, ,不满足判断框里的条件;
第三次循环后, , ,满足判断框里的条件,结束循环,
的
240
3
2
S
6
1, 2S n= =
1 2 2, 2 1 3S n= × = = + =
2 3 6S = × = 4n =
故输出的 的值是 6.
故答案 6
【点睛】本题考查了直到型循环,属于基础题.
5.甲、乙两人依次从标有数字 ， ， 的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到
标有数字 的卡片的概率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
用甲乙两人未抽到标有数字 的卡片的概率相乘即可得到.
【详解】甲先抽, 未抽到标有数字 的卡片的概率为 ;
乙再抽, 未抽到标有数字 的卡片的概率为 ,
所以甲乙两人均未抽到标有数字 的卡片的概率为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了不放回抽样,属于基础题.
6.在平面直角坐标系 中，若双曲线 （ ， ）的一条渐近线的倾
斜角为 ，则 的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先根据渐近线方程得 ,再根据离心率公式 计算可得到..
【详解】由双曲线 的几何性质可得其渐近线方程为 ,
所以依题意可得 ,
为
S
0 1 2
0
1
3
0
0 2
3
0 1
2
0 2 1 1
3 2 3
× =
1
3
xOy
2 2
2 2: 1x yC a b
− = 0a > 0b >
30° C
2 3
3
3
3
b
a
= 21 ( )c be a a
= = +
2 2
2 2: 1x yC a b
− = by xa
= ±
3tan30 3
b
a
= =
所以双曲线的离心率 .
故答案为: .
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线与离心率,属于基础题.
7.已知等差数列 的公差为 ，若 ， ， 成等比数列，则 的值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用等比数列的性质以及等差数列的通项公式列等式可解得.
【详解】因为 ， ， 成等比数列,
所以 ,
所以 ,
整理得 ,
因为 ,所以 ,
所以 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和等比数列的性质,属于基础题.
8.若 ，则 的值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角的正弦公式和平方关系式的逆用公式弦化切可得 ,利用两角和的正切
2 2 2
2
2 2 1 ( )c c a b be a a a a
+= = = = + 231 ( )3
= + 2 3
3
=
2 3
3
{ }na d ( 0)d ≠ 1a 4a 13a 1a
d
3
2
1a 4a 13a
2
4 1 13a a a=
2
1 1 1( 3 ) ( 12 )a d a a d+ = +
2
13 2d a d=
0d ≠ 13 2d a=
1 3
2
a
d
=
3
2
tan 3α =
sin 2
tan 4
α
πα +
3
10
−
3sin 2 5
α =
公式可得 ,然后相除可得.
【详解】因为 ,
所以 ,
,
所以 .
故答案为:
【点睛】本题考查了二倍角的正弦公式,两角和的正切公式,属于中档题.
9.在平面直角坐标系 中，若直线 被圆 截得的弦长为
，则实数 的取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆心到直线的距离,弦长的一半,半径所满足的勾股定理列方程可解得.
【详解】由圆 可知圆心为 ,半径为 2,
圆心到直线的距离 ,
因为弦长为 2,所以根据勾股定理得 ,
所以 ,
整理得 ,
解得 或 ,
故实数 的取值集合为 .
tan( ) 24
πα + = −
tan 3α =
2 2
2sin cossin 2 2sin cos sin cos
α αα α α α α= = + 2
2tan
tan 1
α
α= + 2
2 3 3
3 1 5
×= =+
tan tan 4tan( )4 1 tan tan 4
παπα πα
+
+ =
−
3 1
1 3 1
+= − × 2= −
3
sin 2 35
2 10tan( )4
α
πα
= = −−+
3
10
−
xOy 3 0kx y k− + + = ( )2 22 4x y− + =
2 k
{ }3,0−
( )2 22 4x y− + = (2,0)
2 2
| 2 0 3 | | 3 3 |
1 1
k k kd
k k
− + + += =
+ +
2 2 21 2d+ =
2
2
(3 3) 31
k
k
+ =+
2 3 0k k+ =
3k = − 0k =
k { }3,0−
故答案为:
【点睛】本题考查了点到直线的距离,圆的标准方程,垂径定理,属于中档题.
10.若 ，则 的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据 可得 ,再根据均值不等式可求得.
【详解】因为 ,
所以 ,且 ,
所以 ,
当且仅当 且 ,即 时,取等号,
故 的最小值为 54.
故答案为:54
【点睛】本题考查了对数 运算性质以及均值不等式求最小值,属于中档题.
11.在正三棱柱 中， 为棱 的中点，若正三棱柱 的体积为 ，
则三棱锥 的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据等底等高的两个锥体的体积相等进行转化,转化为正三棱柱的体积的三分之一可得.
的
{ }3,0−
3 3log log 5m n+ ≥ 3m n+
54
3 3log log 5m n+ ≥ 53mn =
3 3log log 5m n+ ≥
53mn = 0, 0m n> >
5 33 2 3 2 3 3 2 3 54m n m n+ ≥ ⋅ = × = × =
3m n= 53mn = 27, 9m n= =
3m n+
1 1 1ABC A B C− P 1AA 1 1 1ABC A B C− 9
1C PBC−
3
【详解】在正三棱柱 中,如图所示:
.
故答案为 3
【点睛】本题考查了等体积法,三棱锥,三棱柱的体积公式,属于中档题.
12.若函数 在 上恰有一个最大值，则 的取值范围是
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
,换元后,转化为 在 上恰有一个最大值,利用正弦函数的
图象列式可得.
【详解】令 ,因为 ,
所以 ,
因为函数 在 上恰有一个最大值,
所以 在 上恰有一个最大值,
如图所示:
1 1 1ABC A B C−
1 1 1 1C PBC P C CB A C CB C ABCV V V V− − − −= = =
1 1 11
1 1 1 9 33 3 3ABC ABC A B CC C S V −= ⋅ = = × =
( )sin 03y x
πω ω = − > 0, 6
π
ω
( ]5,17
3t x
πω= − siny t= ( , )3 6 3
π ωπ π− −
3t x
πω= − (0, )6x
π∈
( , )3 6 3t
π ωπ π∈ − −
( )sin 03y x
πω ω = − > 0, 6
π
siny t= ( , )3 6 3
π ωπ π− −
由图可知: ,
解得 .
故答案为 .
【点睛】本题考查了正弦函数的图象和性质,属于中档题.
13.已知 ， 是以 为直径的圆上两点，若 ， ，则 的值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利 用 三 角 形 减 法 法 则 的 逆 运 算 可 得 , 再 根 据 平 面 向 量 的 数 量 积 可 得
的值.
【详解】如图所示:
5
2 6 3 2
π ωπ π π< − ≤ 5 17ω< ≤ (5,17] M N AB 2AM = 5AN = AB MN⋅ 1 MN AN AM= − AB MN⋅
因为
.
故答案为:1
【点睛】本题考查了三角形减法法则的逆运算和平面向量的数量积,属于中档题.
14.已知 ，若函数 的最大值为 ，则 的最小值为
__________.
【答案】
【解析】
【分析】
通过导数研究函数 在 上的单调性,求得 ,然后根据 的解析式求得最小值.
【详解】因为函数 ,
所以 ,
①当 时, 在 上恒成立,所以 在 上递增,
所以 时, 取得最大值,所以 ;
②当 时,由 得 ,解得 或 ,
由 解得 ,
所以函数 在 上递增,在 上递减,在 上递增,
( )AB MN AB AN AM⋅ = ⋅ − AB AN AB AM= ⋅ − ⋅
| | | cos | || | cosAB AN BAN AB AM BAM= ∠ − ∠
| | | || | | | || |
| | | |
AN AMAB AN AB AM
AB AB
= ⋅ − ⋅
2 2| | | |AN AM= −
2 2( 5) 2= −
1=
a R∈ ( ) ( )3 1 2f x x ax x= + − ≤ ≤ M M
2
( )f x [ 1.2]− M M
( ) ( )3 1 2f x x ax x= + − ≤ ≤
2( ) 3f x x a′ = +
0a ≥ ( ) 0f x′ ≥ [ 1,2]− ( )f x [ 1,2]−
2x = ( )f x (2) 8 2M f a= = +
0a < ( ) 0f x′ > 23 0x a+ >
3
ax > - 3
ax < - - ( ) 0f x′ < 3 3 a ax- - < < - ( )f x ( , )3 a−∞ − − ( , )3 3 a a− − − ( , )3 a− +∞
(i)若 ,即 时, ,所以 在 上递增,在
上递减,在 上递增,
所以函数 在 或 时取得最大值,
因为
,
.
所以 时, ,
(ii)当 ,即 时, 在 上递减,在 上递增,
所以无论 与 2 的大小关系谁大谁小, 在 上的最大值是 或 ,
因为 ,
所以当 时, ,
综上所述: ,
当 时, 当 时取等号 ;
当 时, ,
所以 的最小值为 2.
【点睛】本题考查了分类讨论,导数研究函数的单调性,根据单调性求最值,属于难题.
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或计算步骤.
15.在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ， ，且 .
（1）求 的值；
1 3
a− < − − 3 0a− < < 13 a− < ( )f x [ 1, )3 a− − − ( , )3 3 a a− − − ( ,2]3 a− ( )f x 3 ax = − − 2x = 3( ) ( ) ( )3 3 3 a a af a− − = − − + − − 2( )3 3 3 3 a a aa a= − − − + = − − 3 32 ( ) 2 3 3 3 3 a a−= = − 32 3 3 3 < 2= (2) 8 2f a= + 8 2 3 2> − × =
3 0a− < < (2) 8 2M f a= = + 1 3 a− ≥ − − 3a ≤ − ( )f x [ 1, )3 a− − , )3 a− +∞ 3 a− ( )f x [ 1,2]− ( 1)f − (2)f (2) ( 1) 8 2 ( 1 ) 9 3 9 3 3 0f f a a a− − = + − − − = + ≤ − × = 3a ≤ − 1M a= − − 1 , 3 8 2 , 3 a aM a a − − ≤ −= + > −
3a ≤ − 1 1 3 2M a= − − ≥ − + = ( 3a = − )
3a > − 8 2 8 2 3 2M a= + > − × =
M
ABC∆ A B C a b c cos 2 sina b C c B= +
tan B
（2）求 的值.
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】
(1)由正弦定理边化角后利用和角的正弦公式变形可得;
(2)由 结合平方关系式,解得 ,再用和角的余弦公式可得.
【详解】（1）因为 ，
由正弦定理，得 ，
因为 ，所以 ,
所以，
所以 ,
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，得
（2）由（1）得： ，即 ,所以 为锐角,
将 代入 ，
解得 ， ，
所以
【点睛】本题考查了正弦定理,两角和的正弦和余弦公式,属于中档题.
16.如图，四棱锥 的底面 是平行四边形，侧面 是正三角形， ，
分别为 ， 的中点， .
cos 3B
π +
1tan 2B = 2 5 15
10
−
1tan 2B = sin ,cosB B
cos 2 sina b C c B= +
sin sin cos 2sin sinA B C C B= +
+ =A B C π+ sin sin[ ( )] sin( )A B C B Cπ= − + = +
( )sin sin cos 2sin sinB C B C C B+ = +
sin cos cos sin sin cosB C B C B C+ = + 2sin sinC B
cos sin 2sin sinB C C B=
0 C π< < sin 0C ≠ cos 2sinB B= 1tan 2B = sin 1tan cos 2 BB B = = 1sin cos2B B= B 1sin cos2B B= 2 2sin cos 1B B+ = 5sin 5B = 2 5cos 5B = 2 5 15cos cos cos sin sin3 3 3 10B B B π π π − + = − = P ABCD− ABCD PCD E F PC PD AP AD=
求证：（1） 平面 ；
（2）
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用中位线和平行四边形可证 ,再由直线与平面平行的判定定理可证;
(2)利用等腰三角形的性质和正三角形的性质可证 , ,再根据线面垂直的
判定定理可证 平面 ,利用线面垂直的性质可证 .
【详解】（1）因为 ， 为 ， 中点，所以 ，
又 为平行四边形，所以 .
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）连结 ， ，
因为 ， 为 的中点，所以， ，
因为三角形 为等边三角形，所以， ，
又 ，
所以 平面 ，
.
EF PAB
AC PD⊥
/ /EF AB
AF PD⊥ CF PD⊥
PD ⊥ ACF PD AC⊥
E F PC PD EF CD∥
ABCD AB CD∥
EF AB∥
AB Ì PAB EF ⊄ PAB
/ /EF PAB
AF CF
AP AD= F PD AF PD⊥
PCD CF PD⊥
CF AF F∩ =
PD ⊥ ACF
平面 ，
所以 .
【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定和性质,属于中档题.
17.如图，在平面直角坐标系 中，已知椭圆 的左顶点为 ，过
的直线交椭圆 于另一点 ，直线 交 轴于点 ，且 .
（1）求椭圆 的离心率；
（2）若椭圆 的焦距为 ， 为椭圆 上一点，线段 的垂直平分线 在 轴上的截距为
（ 不与 轴重合），求直线 的方程.
【答案】（1） （2） 或
【解析】
【分析】
(1)设 ,利用 ,解得 ,将其代入椭圆方程可得 ,再用离心率
公式可得;
(2)由(1)及 可求得椭圆方程,设 的中点为 ,可求得直线 的方程,用中点公
式求得点 的坐标,将其代入椭圆方程可得一个关于 的方程,在直线 的方程中令 ,
,也可得一个关于 的方程,两个方程联立可解得 和 ,从而可得直线 的方程.
【详解】（1） ，设 ，
因为 ，
AC ⊂ ACF
PD AC⊥
xOy ( )2 2
2 2: 1 0x yE a ba b
+ = > > A
A E C AC y 0, 2
aB
3AC BC=
E
E 2 P E AP l y
1
4
− l y l
1
2
12 4y x= − − 2 1
3 4
xy = − −
( , )C x y 3AC BC= 3( , )2 4
a aC
2
2
4
3
a
b
=
2 2c = AP ( ),H s t l
P ,s t l 0x =
1
4y = − ,s t s t l
( ),0A a− ( ),C x y
3AC BC=
所以， ，解得： ， ，所以， ，
因为点 在椭圆上，所以有： ，即 ，
所以离心率 .
（2）依题意有： ，所以， ，
又 ，且 ，解得： ， ，
所以椭圆方程为： ，
设 的中点为 ，则 ，故有 ，
从而 的方程为：
令 得到 ，
整理得 ①,
利用中点公式可得 ,将其代入椭圆方程得 ,
整理得 ②,
联立①②方程解得 或 ，
当 时,可得直线 与 轴重合,不合题意舍去,
所以 ,此时 ,解得 或 ，
故 的方程为 或者 .
【点睛】本题考查了椭圆的标准方程,椭圆的离心率,向量的坐标运算,直线方程的点斜式,运
算求解能力,属于中档题.
18.江苏省滨临黄海，每年夏秋季节常常受到台风的侵袭.据监测，台风 生成于西北太平洋
( ), 3 , 2
ax a y x y + = − 2
ax = 3
4
ay = 3,2 4
a aC
C
2
2
1 9 14 16
a
b
+ =
2
2
4
3
a
b
=
2 2 2
2 2
11 2
c a b be a a a
−= = = − =
2 2c = 1c =
2 2 1a b= + 2 24
3a b= 2 4a = 2 3b =
2 2
14 3
x y+ =
AP ( ),H s t
2AP
tk s
= +
2
l
sk t
+= −
l ( )2sy x s tt
+= − − +
0x =
2 2 2 1
4
s t sy t
+ += = −
2 2 12 04s s t t+ + + =
( )2 2,2P s t+ 2 2(2 2) 4 14 3
s t+ + =
2
2 4 2 03
ts s+ + =
0t = t = 3
4
0t = l y
3t 4
= 2 32 04s s+ + = 1
2s = − s = 3
2
−
l 12 4y x= − − 2 1
3 4
xy = − −
T
洋面上，其中心位于 市南偏东 方向的 处，该台风先沿北偏西 方向移动 后
在 处登陆，登陆点 在 市南偏东 方向 处，之后，台风 将以 的速度
沿北偏西 方向继续移动.已知登陆时台风 的侵袭范围（圆形区域）半径为 ，并以
的速度不断增大.（ ）
（1）求台风 生成时中心 与 市的距离；
（2）台风 登陆后多少小时开始侵袭 市？（保留两位有效数字）
（参考数据： ， ， ）
【答案】（1） （2）台风 登陆后 13 小时开始侵袭 市.
【解析】
【分析】
(1)先求出 , 再根据余弦定理可求得 ;
(2)求出 后,利用 以及余弦定理可解得.
【详解】（1）依题意，得： ，
因为 ,所以 ,
故由余弦定理得
,
所以
A 45° B 60° 800km
C C A 30° 800km T 30 /km h
θ T 200km
20 /km h ( ) 15cos 30 16
θ°− =
T B A
T A
1607 40.09≈ 1608 40.10≈ 1609 40.11≈
( )400 6 2+ km T A
15CBA∠ = 150ACB∠ = AB
,CP AP 15cos cos(30 ) 16ACP θ∠ = − =
60 45 15CBA∠ = °− ° = °
800AC BC= = 150ACB∠ =
2 2 2 2 cos150AB AC BC AB BC= + − ⋅
2 2 3800 800 2 800 800 ( )2
= + − × × × −
2800 (2 3)= +
800 2 3AB = +
24 2 3 ( 3 1)800 8002 2
+ += = 3 1800 400( 6 2)
2
+= × = +
.
（2）假设 小时后，台风位于 点时 刚好受到影响，
如图所示:
则 ， ， ， ,
故 ，
整理得 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
所以
所以 或 ,
因为 时,台风 刚开始侵袭 市,所以 舍去.
答：台风 登陆后 13 小时开始侵袭 市.
【点睛】本题考查了余弦定理的应用,属于中档题.
19.设函数 ， ， .
（1）当 ， ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在区间 上的最小值为 ，求实数 的值；
km
t P A
30CP t= 200 20PA t= + 800AC = 30ACP θ∠ = −
( )22 2800 900 200 2015cos cos(30 ) 16 2 800 30
t tACP t
θ + − +∠ = − = = × ×
2 106 1200 0t t− + =
2 2( 53) 53 1200t − = −
2( 53) 2809 1200t − = −
2( 53) 1609t − =
53 1609t − = ±
53 1609t = ± 53 40.11= ±
12.89t = 93.11t =
12.89t = T A 93.11t =
T A
( ) lnaf x x bx
= + + a b R∈
2a = − 1b = ( )y f x= ( )( )2 2f,
( )f x [ )1,+∞ 1 b+ a
（3）当 时，若函数 恰有两个零点 ， ，求证： .
【答案】（1） （2） （3）证明见解析
【解析】
【分析】
(1)利用导数的几何意义求出斜率,再由点斜式可求得线 在点 处的切线方
程;
(2)利用 ,可得 ,令 ,可解得 ,
,可得 ,再令 ,通过两次求导可得 ,
可得 ,从而可证.
【详解】（1）依题意得： ，则 ，
， ，
所以曲线 在点 处的切线方程： ，即
（2）
当 时， ， 在 上单调递增，
此时 ，∴
当 时，令 ，且当 时， ， 递减；
当 时， ， 递增
∴ ，∴ （舍去）
综上： .
（3）当 时，
1a = ( )f x 1x ( )2 1 20x x x< < 1 2 12 x x+ >
ln 2 2y x= + − 1a =
( )y f x= ( )( )2 2f,
1 2( ) 0, ( ) 0f x f x= = 1 2
1 2
1 2ln ln
x xx x x x
−= −
2
1
1x tx
= >
2
1
ln
tx t
−=
1
1
ln
tx t t
−= 2
1 2
1
ln
tx x t t
−+ = 2( ) 1 2 ln ( 1)g t t t t t= − − > ( ) 0g t >
1 2 2x x+ >
( ) 2 ln 1f x xx
= − + + ( ) 2
2 1f x x x
′ = +
( )2 1k f ′= = ( )2 ln 2f =
( )y f x= ( )( )2 2f, ln 2 2y x− = − ln 2 2y x= + −
( ) 2 2
1a x af x x x x
−′ = − + =
1a ≤ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x [ )1,+∞
( ) ( )min 1 1f x f a b b= = + = + 1a =
1a > ( ) 0f x x a′ = ⇒ = 1 x a ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( )min 1 ln 1+f x f a a b b= = + + = 1a =
1a =
1a = ( ) 1 lnf x x bx
= + +
∴ ，② ①，得
∴ ，
令 ,则 ,
所以 ,因为 ,所以 ,
所以 ,
所以 ,
令 ,
则 ,
所以 , 因为 ,所以 ,
所以 为 上的增函数,
所以 ,
所以 为 上的增函数,
所以 ,即 ,
所以 ,
因为 ,所以 ,
所以 ,即 ,
所以 .
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程,利用导数证明不等式,属于难题.
1
1
2
2
1 ln 0
1 ln 0
x bx
x bx
+ + =
+ + =
①
②
− 1 2
1 2
1 2
ln lnx x x xx x
− = −
1 2
1 2
1 2ln ln
x xx x x x
−= −
2
1
1x tx
= >
2 1x tx=
1 1
1 2
1
2
ln
x txx x x
x
−=
1 > 0x 2
1 1
ln ln
t tx t t
− −= =−
2
1
1
ln
x tx t t t
−= =
1 2
1 1 1 1( 1)ln ln ln
t t tx x t t t t t
− − −+ = + = + 2 1
ln
t
t t
−=
2( ) 1 2 ln ( 1)g t t t t t= − − >
( ) 2 2(1 ln )g t t t′ = − +
g′′ 2( ) 2t t
= − 1t > ( ) 0g t′′ >
( )g t′ (1, )+∞
( ) (1) 0g t g′ ′> =
( )g t (1, )+∞
( ) (1) 0g t g> = 2 1 2 ln 0t t t− − >
2 1 2 lnt t t− >
1t > ln 0t t >
2 1 2ln
t
t t
− > 1 2 2x x+ >
1 2 12
x x+ >
20.已知等比数列 满足： ， ，各项均不为 的等差数列
的前 项为 ， ， ， .
（1）求数列 与 的通项公式；
（2）设集合 ，若 只有两个元素，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， （2）
【解析】
【分析】
(1) 根 据 ， , 解 出 , 可 得 , 根 据 ，
,解得公差 ,可得 ;
(2)将问题转化为 只有两个 的值满足, 令 ,根据
可得 , ,由此可得.
【详解】（1）因为 ，所以， ，所以， ，
又 ，所以， ，即 ，所以， ，
所以， ， ，
由 ①
当 时， ②
① ②得
∵ ，∴ ，设 公差为 ，∴ ③
在①式中令 ，∴ ④
结合③④得：
∴
{ }na 2 4 6a a a= 3 2 14 4 0a a a− + = 0 { }nb
n nS 1 1b = 1n n nS b bλ += *n N∈
{ }na { }nb
*2,n
n
aM n n NtS
= ≤ ∈
M t
2n
na = nb n= 2 4
3 5t = = 3 4 5
4
5 nC C C C< = < ( )
2
1
n
t n n +≥
( )
2
1
n
nC n n
= +
( )( ) ( )
( )
( )( )
( )
( )( )
11
1
2 2 2 2 22 2
1 2 1 1 2 1 2
n n nn n
n n
n n nC C n n n n n n n n n n
++
+
⋅ − + −− = − = =+ + + + + + +
1 2n≤ ≤ 1n nC C+ ≤ 1 2 3C C C> =
3n ≥ 1n nC C+ > 3 4 5 nC C C C< <
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