2019—2020 学年第一学期赣州市十五县（市）期中联考高三数学（文）试题
一、选择题
1.命题“ ， ” 否定为（ ）
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
根据全称命题的否定是特称命题的知识，判断出正确选项.
【详解】原命题是全称命题，其否定是特称命题，注意到要否定结论，条件不用否定，由此
确定 B 选项正确.
故选：B.
【点睛】本小题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定是特称命题，属于基础
题.
2.设 是 上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A. 是奇函数
B. 是奇函数
C. 是偶函数
D. 是偶函数
【答案】D
【解析】
因为 满足 ，所以 是
偶 函 数 ； 因 为 满 足 ， 同 时
，所以 既不是奇函数也不是偶函数；
的x R∀ ∈ 2 2 4 0x x− + < x R∀ ∈ 2 2 4 0x x− + ≥ 0x R∃ ∈ 2 0 02 4 0x x− + ≥ x R∀ ∉ 2 0 02 4 0x x− + ≥ 0x R∃ ∉ 2 0 02 4 0x x− + ≥ ( )f x R ( ) ( )f x f x− ( ) ( )f x f x− ( ) ( )f x f x− − ( ) ( )f x f x+ − ( ) ( ) ( )F x f x f x= ⋅ − ( ) ( ) ( ) ( )F x f x f x F x− = − ⋅ = ( ) ( ) ( )F x f x f x= ⋅ − ( ) ( ) ( )M x f x f x= ⋅ − ( ) ( ) ( ) ( )M x f x f x M x− = − ⋅ ≠ ( ) ( ) ( ) ( )M x f x f x M x− = − ⋅ ≠ − ( ) ( ) ( )M x f x f x= ⋅ −
又 满 足 是 奇 函 数 ；
满足 是偶函数；应选答案 D。
3.已知 为等比数列， ， ，则 的值为（ ）
A. B. 9 或 C. 8 D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】
利用等比中项的性质列方程，再结合等比数列通项的关系，求得 的值.
【详解】根据等比中项 性质可知 ，而 ，故 同号，
故 .
故选：D.
【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等比数列项的符号的判断，属于基础题.
4.已知 ， 均为单位向量，若 ，则 ， 的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据两个向量垂直的表示列方程，利用向量的数量积运算进行化简，由此求得 两个向量夹
角的余弦值，进而求得 两个向量的夹角.
【 详 解 】 设 两 个 向 量 的 夹 角 为 ， 由 于 ， 所 以
，解得 ，由于 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本小题主要考查两个向量垂直的表示，考查向量数量积运算，考查单位向量的概念，
属于基础题.
5.已知 ， ， ，则（ ）
的
( ) ( ) ( )H x f x f x= − − ( ) ( ) ( ) ( )H x f x f x H x− = − − = −
( ) ( ) ( )G x f x f x= + − ( ) ( ) ( ) ( )G x f x f x G x− = − + =
{ }na 3 3a = 15 27a = 9a
9− 9−
9a
2
9 3 15 3 27 81a a a= ⋅ = × = 6
9 3a a q= ⋅ 9 3,a a
9 9a =
a b ( )2a a b ⊥ + a b
6
π
3
π
2
π 2
3
π
,a b
,a b
,a b θ ( )2a a b ⊥ +
( ) 2
2 2 1 2cos 0a a b a a b θ⋅ + = + ⋅ = + = 1cos 2
θ = − 0 πθ≤ ≤ 2π
3
θ =
21
3a =
1ln 2b = 1
32c =
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
通过“ 分段法”判断出 三者的大小关系.
【详解】根据对数的性质可知 ，根据指数的性质可知 ，
，所以 .
故选：B.
【点睛】本小题主要考查利用对数的性质和指数的性质比较大小，考查“ 分段法”，属于
基础题.
6.函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
c b a> > c a b> > b a c> > b c a> >
0,1 , ,a b c
1ln ln1 02b = < = 2 01 1 13 3a = < = 1 032 2 1c = > = 0 1b a c< < < < 0,1 21 1( ) ln | | 2 2f x x x= + −
根据奇偶性排除 ；由 ，排除 ；由 ，排除 ，从而可得结果.
【详解】由 ，得 为偶数，图象关于 轴对称，排除 ；
，排除 ；
，排除 ，故选 C.
【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年
高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.
解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及
时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项
一一排除.
7.如图点 A 为单位圆上一点， ，点 A 沿单位圆逆时针方向旋转角 到点 B
，则 ()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由 ，点 B 得到 ，
将所求的 转化为 ，按照公式展开，得到答案.
D 1 0f e
B
( ) ( )f x f x− = ( )f x y D
2
1 3 1 02 2f e e
= − + B
0 , 0 , ,x x x x+ −→ → → +∞ → −∞
3xOA
π∠ = α
2 2( , )2 2
− sinα =
2 6
4
− + 2 6
4
−
2 6
4
+ 2 6
4
+−
3xOA
π∠ = 2 2( , )2 2
− 2sin 3 2
πα + =
2cos 3 2
πα + = −
sinα sin[( ) ]3 3
π πα + −
【详解】由题意因为 ，点 B
所以 ，
所以 ，
故选 C
【点睛】本题考查三角函数的化简求值，凑角求值，属于简单题.
8.已知正项等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 S15=45,M 为 a5, a11 的等比中项，则 M 的最大值
为
A. 3 B. 6 C. 9 D. 36
【答案】A
【解析】
S15=45 ， 得 ， ， M 为 a5, a11 的 等 比 中 项 ， 则
9.若函数 在区间 上存在极值点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
函数在某个区间上存在极值点，即在这个区间上导数有正有负，由此列不等式，解不等式求
得 的取值范围.
【详解】依题意 ，由于函数 在区间 上
存 在 极 值 点 ， 所 以 在 区 间 上 有 正 有 负 ， 由 于 二 次 函 数
开口向上，对称轴为 ， ，解得
或 . 当 时 ， 对 称 轴 ， 故 此 时 在 区 间 上
3xOA
π∠ = 2 2( , )2 2
−
2sin 3 2
πα + =
2cos 3 2
πα + = −
2 1 2 3 2 6sin sin[( ) ] ( )3 3 2 2 2 2 4
π πα α += + − = ⋅ − − ⋅ =
8 3a = 5 11 82 6a a a+ = =
2 25 11
5 11 ( ) 92
a aM a a
+= ≤ =
( ) 3 22 3 6f x x mx x= − + ( )1,+∞
[ )2,+∞ ( ),1−∞ ( ],2−∞ ( )2,+∞
m
( )' 26 6 6f x x mx= − + ( ) 3 22 3 6f x x mx x= − + ( )1,+∞
( )' 26 6 6f x x mx= − + ( )1,+∞
( )' 26 6 6f x x mx= − +
2
mx = 236 4 6 6 0m∆ = − × × > 2m < − 2m > 2m < − 12 mx = < − ( )' 0 6 0f = > ( )1,+∞
， 函 数 单 调 递 增 ， 没 有 极 值 点 . 当 时 ， 由 于
， 且 二 次 函 数 开 口 向 上 ， 故
区间 上必存在零点，也即 在区间 上存在极值点.
故选：D.
【点睛】本小题主要考查根据函数在给定区间上存在极值点求参数的取值范围，考查二次函
数的性质，属于中档题.
10. 中， , , , 为线段 上任意一点，则
的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先设 PA＝x，x∈[0， ]，利用向量数量积的运算性质可求 ，结合二次函数的性
质即可求解．
【详解】△ABC 中，设 PA＝x，x∈[0， ]，
则 （ ）• x（ ﹣x）×cos180°+2
（ ﹣x）×cos45°
＝x2﹣ x+4 ，
∵x∈[0， ]，
由二次函数的性质可知，当 x 时，有最小值 ；
当 x＝0 时，有最大值 4，
所求 的范围是[ ，4]．
故选：C
( )' 0f x > ( )f x 2m >
( )' 1 6 6 6 12 6 0f m m= − + = − < ( )' 26 6 6f x x mx= − + ( )' 26 6 6f x x mx= − + ( )1,+∞ ( )f x ( )1,+∞ ABC△ 2AB = 2 2AC = 45BAC∠ = P AC PB PC⋅ 1 ,14 − 1 ,04 − 1 ,42 − 1 ,22 − 2 2 PB PC ⋅ 2 2 PB PC⋅ = PA AB+ PC PA PC AB PC= ⋅ + ⋅ = 2 2 2 2 3 2 23 2 1( )2 2x= − − 2 2 3 2 2 = 1 2 − PB PC ⋅ 1 2 −
【点睛】本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等
知识的简单应用，属于中档题．
11.对于函数 f（x），若∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一三角形的三边长，则称
f（x）为“可构造三角形函数”．以下说法正确的是（ ）
A. f（x）=1（x∈R）不是“可构造三角形函数”
B. “可构造三角形函数”一定是单调函数
C. f（x）= 是“可构造三角形函数”
D. 若定义在 R 上的函数 f（x）的值域是 （e 为自然对数的底数），则 f（x）一定是
“可构造三角形函数”
【答案】D
【解析】
【详解】对于 A 选项，由题设所给的定义知，∀a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）都是某一
正三角形的三边长，是“可构造三角形函数”，故 A 选项错误；
对于 B 选项，由 A 选项判断过程知，B 选项错误；
对于 C 选项，当 a=0，b= ，c= 时，f（a）=1＞f（b）+f（c）= ，不构成三角形，故 C
错误；
对于 D 选项，由于 ，可知，定义在 R 上的函数 f（x）的值域是 （e 为
自然对数的底数），则 f（x）一定是“可构造三角形函数”，故 D 正确
故选：D．
12.已知函数 在定义城 R 上可导，且 ，则关于 x 的不等式
的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
3 3
( )f x ( ) cosf x x′ ≥
( ) 22f x f x
π ≥ − + sin 4x
π −
,4
π +∞ ,4
π − +∞ , 4
π −∞
, 4
π −∞ −
【详解】构造函数 ，依题意可知 ，即
在 上递增. 由 得 ，即
，即 ，根据 在 上递增可知
，解得 .
故选：A.
【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查诱导公式，考查导数的运算，考查化归
与转化的数学思想方法，属于中档题.
二、填空题
13.已知函数 ，则 ______．
【答案】3
【解析】
【分析】
利用分段函数解析式，求得所求表达式的值.
【详解】依题意， .
故答案为： .
14.已知数列{ }中, ,则 _______
【答案】
【解析】
【分析】
分别写出 和 时的式子，然后两式相除，得到答案.
【详解】由题意可知，
时， ，
时， ，
( ) ( ) sinF x f x x= − ( ) ( )' ' cos 0F x f x x= − ≥ ( )F x
R ( ) 2 sin2 4f x f x x
π π ≥ − + −
( ) π sin cos2f x f x x x ≥ − + −
( ) π πsin sin2 2f x x f x x − ≥ − − −
( ) π
2F x F x ≥ −
( )F x R
π
2x x≥ − π
4x ≥
( ) ( )2
9
1
log 1 , 0
2 , 0x
x xf x
x+
− >=
≤
( ) ( )10 0f f+ =
( ) ( ) ( ) 0 1
910 0 log 10 1 2 1 2 3f f ++ = − + = + =
3
na 2
1 2 3 ... ,na a a a n n N ∗⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ∈ 5a =
25
16
4n = 5n =
4n = 2
1 2 3 4 4 16a a a a = =
5n = 2
1 2 3 4 5 5 25a a a a a ==
下式比上式得 a5＝
【点睛】本题考查数列的基本概念，属于简单题.
15.若 ，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用二倍角公式和两角和的余弦公式化简已知条件，求得 的值，由此求得所求表
达式的值.
【详解】依题意 ，所以 .
所以 .
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查两角和的余弦、两角差的正弦公式，考查化归与
转化的数学思想方法，属于基础题.
16.设函数 是定义域 R 为的偶函数，且 ，若 时，
，则函数 的图象与 的图象交点个数______．
【答案】10
【解析】
【分析】
根据 的奇偶性和周期性画出 的图像，画出 的图像，由此判断两个函数图
像交点个数.
【详解】由于 ，所以 是周期为 的偶函数，图像关于 轴对称，由于
25
16
2 cos2 3
cos 4
θ
π θ
= +
3sin 4
π θ − =
6
4
sin cosθ θ+
( )
( )
( )
2 22 cos sin
2 sin cos 3
2 cos sin2
θ θ
θ θ
θ θ
−
= + =
−
3sin cos 2
θ θ+ =
3sin 4
π θ − = ( )2 2 3 6sin cos2 2 2 4
θ θ+ = × =
6
4
( )f x ( ) ( )2f x f x+ = [ ]1,0x∈ −
( ) 2f x x= ( )f x lgy x=
( )f x ( )f x lgy x=
( ) ( )2f x f x+ = ( )f x 2 y
时， ，所以 时， .根据 是周期为 的偶函数画
出 的图像如下图所示，同时画出 的图像，根据图像可知，两个函数图像有
个交点.
故答案为： .
【点睛】本小题主要考查函数的周期性和奇偶性，考查两个函数图像交点个数的判断，考查
函数图像的画法，考查数形结合的数学思想，属于中档题.
三、解答题
17.已知集合 ， （ ）．
（1）若 是 的充分不必要条件，求正数 a 的取值范围；
（2）若 ，求正数 a 的取值范图．
【答案】（1） ；（2） ．
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得集合 .
（1）根据 是 的充分不必要条件可知 是 的真子集，由此列不等式组，解不等
式求得 的取值范围.
（2）根据两个集合的交集为空集列不等式，解不等式求得 的取值范围.
【详解】 ，
[ ]1,0x∈ − ( ) 2f x x= [ ]1,1x∈ − ( ) 2f x x= ( )f x 2
( )f x lgy x= 10
10
( )( ){ }3 1 0A x x x= − − < ( )( ){ }2 0B x x a x a= − − < 0a >
x B∈ x A∈
A B = ∅
31 2a a
≤ ≤
[ )10, 3,2
+∞
,A B
x B∈ x A∈ B A
a
a
{ }1 3A x x= < < { }2B x a x a= <
∴ ( )f x
1
2e ,
− +∞
1
20,e
−
( ) 3 31 1ln3 9h x x x x= − ( ) 2 lnh x x x′ =
( ) 2 lnh x x x′ = [ ]1,e ( ) ( )1 0h x h′ ′≥ =
( ) 3 31 1ln3 9h x x x x= − [ ]1,e ( ) ( ) ( )1h h x h e≤ ≤ ( ) 31 2
9 9
eh x− ≤ ≤
在 有解，只需满足 即
实数 a 的取值范围为 ．
【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中
档题.
21.将函数 的图象向左平移 个单位长度后得到
的图象．
（1）若 为偶函数，求 的值；
（2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围．
【答案】（1）0；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）首先化简 解析式，然后求得左移 个单位后函数 的解析式，根据 的奇
偶性求得 的值，进而求得 的值.
（2）根据（1）中求得的 ，求得 的取值范围，根
据 的取值范围，求得 的取值范围，根据 在 上是单调函数，以及正弦
型函数的单调性列不等式，解不等式求得 的取值范围.
【详解】（1）
，
( ) 2 0h x a− = [ ]1,e
31 229 9
ea− ≤ ≤
31
18 9
ea− ≤ ≤
∴
31 ,18 9
e −
( ) 4sin cos 6g x x x
π = + 0 2
πϕ ϕ < ≤ ( )f x ( )f x ( )f ϕ ( )f x 7, 6 π π ϕ ,6 2 π π ( )g x ϕ ( )f x ( )f x ϕ ( )f ϕ ( ) 2sin 2 2 16f x x ϕπ = + + − 2 26x π ϕ+ + ϕ 22 π ϕ+ ( )f x 7, 6 ππ ϕ ( ) ( )3 14sin cos sin 3sin 2 1 cos22 2g x x x x x x = − = − − 2sin 2 16x π = + −
，
又 为偶函数，则 （ ）， ， ．
．
（2） ， ，
， ， ，
在 上是单调函数． 且 ．
．
【点睛】本小题主要考查三角恒等变换，考查根据三角函数的奇偶性求参数，考查三角函数
图像变换，考查三角函数单调区间有关问题的求解，考查运算求解能力，属于中档题.
22.已知函数 .
（1）若 ，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）若函数 在其定义域内为增函数，求 的取值范围；
（3）在（2）的条件下，设函数 ，若在 上至少存在一点 ，使得
成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）y=x-1（2） （3）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）当 时，求出切点坐标，然后求出 ，从而求出 的值即为切
线的斜率，利用点斜式可求出切线方程；
（Ⅱ）先求导函数，要使 在定义域（0，+∞）内是增函数，只需 在（0，+∞）
内恒成立，然后将 分离，利用基本不等式可求出 的取值范围；
（III）根据 g（x）在[1，e]上的单调性求出其值域，然后根据（II）可求出 的最大值，
( ) 2sin 2 2 16f x x
π ϕ ∴ = + + −
( )f x 26 2 kϕπ π+ = + π k Z∈ 0 2
πϕ< ≤ 6 πϕ∴ = ( ) 06f f πϕ ∴ = = 7, 6x ππ ∈ 2 2 2 2 ,2 26 6 2x π π πϕ π ϕ π ϕ ∴ + + ∈ + + + + 0 2 πϕ< ≤ 72 ,6 6 6 π π πϕ ∴ + ∈ 32 ,2 2 2 π π πϕ + ∈ ( )f x 7, 6 ππ 26 2 π πϕ∴ + ≥ 0 2 πϕ< ≤ ,6 2 π πϕ ∴ ∈ ( ) 1 lnf x a x xx = − − 1a = ( )y f x= ( )( )1, 1f ( )f x a ( ) eg x x = [ ]1,e 0x ( ) ( )0 0f x g x≥ a 1 2a ≥ 2 2[ , )1 ea e ∈ +∞− 1a = 'f x（ ） ' 1f（） ( )f x ' 0f x（ ）≥ a a ( )f x
要使在[1，e]上至少存在一点 x0，使得 成立，只需 ，x∈[1，
e]，然后建立不等式，解之即可求出 的取值范围．
试题解析：
（1）当 a=1 时，函数 ， ∴f（1）=1-1-ln1=0. ，
曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为 f'（1）=1+1-1=1．
从而曲线 f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为 y-0=x-1， 即 y=x-1．
（2） ．
要使 f（x）在定义域（0，+∞）内 增函数，只需 f′（x）≥0 在（0，+∞）内恒成立．
即：ax2-x+a≥0 得： 恒成立．
由于 ， ∴ ， ∴
∴f（x）在（0，+∞）内为增函数，实数 a 的取值范围是 ．
（3）∵ 在[1，e]上是减函数
∴x=e 时，g（x）min=1，x=1 时，g（x）max=e，即 g（x）∈[1，e]
f'（x）= 令 h（x）=ax2-x+a
当 时，由（II）知 f（x）在[1，e]上是增函数，f（1）=0＜1
又 在[1，e]上是减函数，故只需 f（x）max≥g（x）min，x∈[1，e]
而 f（x）max=f（e）= ，g（x）min=1，即 ≥1
解得 a≥ ∴实数 a 的取值范围是[ ，+∞）
点睛：不等式的存在问题即为不等式的有解问题，常用的方法有两个：
一是，分离变量法，将变量和参数移到不等式的两边，要就函数的图像，找参数范围即可；
二是，含参讨论法，此法是一般方法，也是高考的热点问题，需要求导，讨论参数的范围，
结合单调性处理.
是
( ) ( )0 0f x g x≥ max minf x g x≥（ ） （ ）
a
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