四川省成都市2020届高三数学（文）模底试卷（附解析Word版）

成都市 2020 届高中毕业班摸底考试 数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（选择题共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.复数 （其中 为虚数单位）的虚部是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析： ，则虚部为 ，故选 . 考点：复数的运算、复数的实部与虚部. 2.若集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ,选 . 3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员 9 场比赛所得分数的茎叶图，则下列说法错误的是（ ） A. 甲所得分数的极差为 22 B. 乙所得分数的中位数为 18 C. 两人所得分数的众数相等 D. 甲所得分数的平均数低于乙所得分数的平均数 【答案】D 【解析】 1 iz i = + i 1 2 − 1 2 i 1 2 1 2 i− (1 ) 1 1 1 1 (1 )(1 ) 2 2 2 i i i iz ii i i − += = = = ++ + − {1 2 3 4}A = ，，， { }2 6 0B x x x= − − ≤ A B = {1} {1 2}， {2,3} {1 2,3}， { }6 0, 2 3, 1,2,3x x x A B − − ≤ ∴− ≤ ≤ ∩ = D 【分析】 根据茎叶图，逐一分析选项，得到正确结果. 【详解】甲的最高分为 33，最低分为 11，极差为 22，A 正确；乙所得分数的中位数为 18，B 正 确 ； 甲 、 乙 所 得 分 数 的 众 数 都 为 22 ， C 正 确 ； 甲 的 平 均 分 为 ， 乙 的 平 均 分 为 ，甲所得分数的平均数高于乙所得分数的平均数，D 错误，故选 D. 【点睛】本题考查了根据茎叶图，求平均数，众数，中位数，考查基本概念，基本计算的， 属于基础题型. 4.若实数 满足约束条件 ，则 的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出 的最大值． 详解】作出实数 ， 满足约束条件 表示的平面区域，如图所示． 由 可得 ，则 表示直线 在 轴上的截距，纵截距越 大， 越小． 作直线 ，然后把该直线向可行域平移，当直线经过点 时， 最大， 最小． 由 可得 ，此时 ， 故选 ． 【 11 15 17 20 22 22 24 32 33 196 9 9x + + + + + + + += =甲 8 11 12 16 18 20 22 22 31 160 9 9x + + + + + + + += =乙 ,x y 2 2 0, 1 0, 0. x y x y + − ≤  − ≥  ≥ 2z x y= − 0 2 4 6 z x y 2 2 0 1 0 0 x y x y + −  −     2z x y= − 1 1 2 2y x z= − 1 2 z− 1 1 2 2y x z= − y z 2 0x y− = B 1 2 z− z 2 2 0 1 x y x + − =  = 1(1, )2B 0z = A 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关 键． 5.已知等比数列 的各项均为正数，若 ，则 ＝（ ） A. 1 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】 首 先 根 据 对 数 运 算 法 则 ， 可 知 ， 再 根 据 等 比 数 列 的 性 质 可 知 ，最后计算 的值. 【详解】由 ， 可得 ，进而可得 ， . 【点睛】本题考查了对数运算法则和等比数列性质，属于中档题型，意在考查转化与化归和 计算能力. 6.设函数 的导函数为 ，若 ，则 （） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先求出 ，即可求出 的值. z { }na 3 1 3 2 3 12log log log 12a a a+ +…+ = 6 7a a ( )3 1 2 12log ... 12a a a = ( )6 1 2 12 6 7.....a a a a a= 6 7a a 3 1 3 2 3 12log log log 12a a a+ + + = 3 1 2 12log 12a a a = ( )6 12 1 2 12 6 7 3a a a a a= = 6 7 9a a∴ = ( )f x ( )f x′ ( ) 1ln 1xf x e x x = + − ( )1f ′ = 3e − 2e − 1e − e ( )f x′ ( )1f ′ 【详解】由题得 ， 所以 . 故选 C 【点睛】本题主要考查函数求导，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力. 7. 中，角 ， ， 的对边分别为 ．若向量 ， ，且 ，则角 的大小为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用数量积结合正弦定理转化为三角函数问题，通过两角和的公式化简得到角 的方程，得 解． 【详解】由 得， ， 由正弦定理得， ， 化为 ， 即 ， 由于 ， ，又 ， 故选 ． 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积和正弦定理，考查和角的正弦公式的应用，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平. 8.执行如图所示的程序框图，则输出的 的值为（） ( ) 2 1= ln x x ef x e x x x ′ + − ( ) 2 11 = =e 11 1 ef ′ − − ABC△ A B C , ,a b c ( ), cosm a A= −r ( )cos , 2n C b c= −r 0m n⋅ =r r A 6 π 4 π 3 π 2 π A 0m n =  0 ( , cos ) (cos , 2 ) cos ( 2 )cosa A C b c a C b c A= − − = − − sin cos 2 sin cos sin cos 0A C B A C A− + = sin( ) 2 sin cos 0A C B A+ − = sin 2 sin cos 0B B A− = sin 0B ≠ ∴ 2cos 2A = ( )0,A π∈ ∴ 4A π= B m A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算 的值并输出变量 的值，模 拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得 开始 ① ② ③ ④ ⑤ 故选 ． 【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正 确的结论，是基础题． 5 6 7 8 S m 0S = 1m = 11 2 2 100× = < 2m = 1 21 2 2 2 10 100× + × = < 3m = 1 2 31 2 2 2 3 2 34 100× + × + × = < 4m = 1 2 3 41 2 2 2 3 2 4 2 98 100× + × + × + × = < 5m = 1 2 3 4 51 2 2 2 3 2 4 2 5 2 258 100× + × + × + × + × = > 6m = B 9.若矩形 的对角线交点为 ，周长为 ，四个顶点都在球 的表面上，且 ，则球 的表面积的最小值为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首先利用矩形求出外接圆的小圆半径，进一步利用基本不等式求出球的半径，进一步求出球 的表面积的最小值． 【详解】如图，设矩形 的两邻边分别为 ， ，则 ，且外接圆 的半径 ． 由球的性质得， 平面 ，所以球 的半径 ． 由均值不等式得， ，所以 ， 所以 ，当且仅当 时，等号成立． 所以球 的表面积的最小值为 ， 故选 ． 【点睛】本题考查的知识要点：球的表面积公式的应用，基本不等式的应用，主要考查学生 的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 10.已知函数 ，则“ ”是“函数 在 处取得极小值” 的( ) ABCD O′ 4 10 O 3OO′ = O 32 2 3 π 64 2 3 π 32π 48π ABCD a b 2 10a b+ = O′ 2 2 2 a br += OO′ ⊥ ABCD O 2 2 2 2( 3) 3 4 a bR r += + = + 2 2 2 2 a b a b+ +  2 2 2 ( ) 202 a ba b ++ = 2 2 2 2 20( 3) 3 3 84 4 a bR r += + = + + = 10a b= = O 24 32Rπ π= C ( ) ( )2 2 1 xf x x a x e= + + 2a = ( )f x -1x = A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 求出原函数 导函数，分析函数 在 处取得极小值时的 的范围，再由充分必要条 件的判定得答案． 【详解】解：若 在 取得极小值， ． 令 ，得 或 ． ①当 时， ． 故 在 上单调递增， 无最小值； ②当 时， ，故当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增． 故 在 处取得极小值． 综上，函数 在 处取得极小值 ． “ ”是“函数 在 处取得极小值”的充分不必要条件． 故选 ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题． 11.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 的坐标为 ．若双曲线 左支上的任意一点 均满足 ，则双曲 线 的离心率的取值范围为( ) A. B. 的 ( )f x 1x = − a ( )f x 1x = − 2 2 2 2( ) [ ( 2) 1] ( 1)( 1)x xf x x a x a e x x a e′ = + + + + = + + + ( ) 0f x′ = 1x = − 2 1x a= − − 0a = 2( ) ( 1) 0xf x x e′ = +  ( )f x R ( )f x 0a ≠ 2 1 1a− − < − 2 1x a< − − ( ) 0f x′ > ( )f x 2 1 1a x− − < < − ( ) 0f x′ < ( )f x 1x > − ( ) 0f x′ > ( )f x ( )f x 1x = − ( )f x 1x = − 0a⇔ ≠ ∴ 2a = ( )f x 1x = − A 2 2 2 2C: 1 ( 0,b 0)x y aa b − = > > ( )1 0F c－ ， ( )2 0F c， N 23c, 2 b a  −   C M 2 4MF MN b>+ C 13 , 53       ( 5, 13) C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 首 先 根 据 双 曲 线 的 定 义 ， ， 转 化 为 ， 即 ，根据数形结合可知，当点 三点共线时， 最小，转化为不等式 ，最后求离心率的范围. 【详解】由已知可得 ，若 ， 即 ，左支上的点 均满足 ， 如图所示，当点 位于 点时， 最小， 故 ，即 , , 或 或 或 或 双曲线 的离心率的取值范围为 . 【点睛】本题考查离心率的取值范围的问题，属于中档题型，意在考查化归和计算能力，关 键是根据几何关系分析 的最小值，转化为 的代数关系，最后求 的范围. 12.若关于 的不等式 在 内恒成立，则满足条件的整数 的最大值 131, ( 5, )3   +∞    (1, 5) ( 13, )+∞ 2 1 2MF MF a= + 1 2 4MF MN a b+ + > ( )1 min 2 4MF MN a b+ + > 1, ,M F N 1MF MN+ 23 2 42 b a ba + > 2 1 2MF MF a− = 2 | | 4MF MN b+ > 1 | | | 2 4MF MN a b+ + >‖ M 2 | | 4MF MN b+ > M H 1 | |MF MN+ 23 2 42 b a ba + > 2 23 4 8b a ab+ > 2 23 8 4 0, (2 )(2 3 ) 0b ab a a b a b∴ − + > ∴ − − > 2 3a b∴ > 2 22 , 4 9a b a b< ∴ > 2 2 2 24 , 9 13a b c a< ∴ < 2 2 135 , 1 3 cc a a > ∴ < < 5,c a > ∴ C 131, ( 5, )3   +∞    1 | | |MF MN+‖ ,a b c a x ln 1 0x x kx k− + + > ( )1,+∞ k 为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根 据 题 意 即 可 得 出 函 数 的 图 象 恒 在 直 线 的 上 方 ， 当 直 线 与 函 数 相 切 时 ， 可 设 切 点 为 ， ， 从 而 可 以 得 出 ，联立三式即可得出 ，根据 即可得出 ，再根据③ 即可得出 ，从而得出整数 的最大值为 2． 【详解】关于 的不等式 在 内恒成立， 即关于 的不等式 在 内恒成立， 即函数 的图象恒在直线 的上方． 当直线 与函数 相切时，设切点为 ， ， 则 ，由①②得， ，把③代入得 ， 化简得 ．由 得， ． 又由③得 ．即相切时整数 ． 因此函数 的图象恒在直线 的上方时，整数 的最大值为 2． 故选 ． 【点睛】本题主要考查基本初等函数的求导公式，积的导数的求导公式，考查直线和曲线的 位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上． 13.某公司一种新产品的销售额 与宣传费用 之间的关系如表： （单位：万元） 0 1 2 3 ( 1)y xlnx x= > ( 1) 1y k x= − − ( 1) 1y k x= − − ( 1)y xlnx x= > 0(x 0 )y ( )0 0 0 0 0 0 1 1 1 y x lnx y k x lnx k =  = − −  + = ① ② ③ 0 1k x= − 0 1x > 0k > 1k > k x 1 0xlnx kx k− + + > (1, )+∞ x ( 1) 1xlnx k x> − − (1, )+∞ ( 1)y xlnx x= > ( 1) 1y k x= − − ( 1) 1y k x= − − ( 1)y xlnx x= > 0(x 0 )y ( )0 0 0 0 0 0 1 1 1 y x lnx y k x lnx k =  = − −  + = ① ② ③ 0 0 0( 1) 1x lnx k x= − − 0 0( 1) ( 1) 1x k k x− = − − 0 1x k= + 0 1x > 0k > 0 1 1k lnx= + > 2k ( 1)y xlnx x= > ( 1) 1y k x= − − k C y x x 0 1 2 3 4 （单位：万元） 已知销售额 与宣传费用 具有线性相关关系，并求得其回归直线方程为 ，则 的 值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 由表中数据计算平均数，代入回归直线方程中求得回归系数． 【详解】由表中数据，计算 ， ， 又归直线方程为 过样本中心点 得， ， 解得 ． 故答案为 6.5． 【点睛】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题． 14.已知曲线 ： （ 为参数）．若点 在曲线 上运动，点 为直线 ： 上的动点，则 的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 先表示出曲线 C 上的点到直线距离，再利用三角函数的图像和性质求|PQ|的最小值. 【 详 解 】 表 示 曲 线 为 参 数 ） 上 任 意 点 到 直 线 的距离 y 10 15 20 30 35 y x  9y bx= + b 6.5 0 1 2 3 4 25x + + + += = 10 15 20 30 35 110 225 5y + + + += = = ˆˆ 9y bx= + (2,22) ˆ22 2 9b= + 13ˆ 6.52b = = C 2cos sin x y θ θ =  = θ P C Q l 2 4 2 0x y+ − = PQ 2 10 5 2cos ,: (sin xC y θ θθ =  = (2cos ,sin )P θ θ : 2 4 2 0l x y+ − = ， 当 时， ． 故答案为 【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，点 到直线的距离公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 15.已知 是定义在 上的奇函数，其导函数为 ， ，且当 时， ．则不等式 的解集为 __________． 【答案】 【解析】 【分析】 令 ，根据据已知条件及导函数符号与函数单调性的关系判断出 的单 调性，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集． 【详解】令 ， 则 ， 所以 在 上为单调递增，且 ， 所以 ， 解得 ． 由 是定义在 上的奇函数得， 所以 在 为偶函数，且 所以不等式 的解集为 ， 2 | 2cos 2sin 4 2 | | 2 2 sin( ) 4 2 | 51 2 d θ θ θ α+ − + −= = + sin( ) 1θ α+ = 2 2 2 10| | 55min minPQ d= = = 2 10 5 ( )f x ( ),π π− ( )f x′ 24f π  =   ( )0,x π∈ ( ) ( )sin cos 0f x x f x x′ + > ( )sin 1f x x < ,4 4 π π −   ( ) ( )sinF x f x x= ( )sinf x x ( ) ( )sin (0 )F x f x x x π= < < ( ) ( )sin ( )cos 0(0 )F x f x x f x x x π′ ′= + > < < ( ) ( )sinF x f x x= (0, )π ( ) ( )sin 14 4 4F f π π π= = ( ) ( )sin ( )4F x f x x F π= < 0 4x π< < ( )f x ( , )π π− ( ) ( )sin( ) ( ) sinF x f x x f x x f− = − − = − ⋅− = （x) si nx=F( x) ( ) ( )sinF x f x x= ( , )π π− (0) (0)sin0 0F f= = ( )sin 1f x x < ( ),4 4 π π− 故答案为 ． 【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函 数的单调性是解决本题的关键． 16.已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ．过点 作倾斜角为 的直线 与准线 相交于点 ，线段 与抛物线 相交于点 ，且 ，则抛物线 的标准方 程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】 设出直线 的方程，与抛物线方程联立，消去 ，解方程求得 的值，再写出抛物线 的 标准方程． 【详解】由题得直线 的方程为 ，从而 ； 由 消去 ， 得 ， 解得 或 （舍去），从而 ； 由 得， ， 解得 ，所以抛物线 的标准方程为 ． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了直线与抛物线方程的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知函数 ，其导函数 的图象关于 轴对称， ． ( ),4 4 π π− C 2 0)2 (y px p= ＞ F l F 120° l A AF C B 4 3AB = C 2 2y x= AF x p C AF 3( )2 py x= − − ( , 3 )2 pA p− 2 2 3( )2 y px py x  = = − − x 2 23 2 3 0y py p+ − = 3 3y p= 3y p= − 1 3( , )6 3B p p 4| | 3AB = 2 21 1 3 4( ) ( 3 )6 2 3 3p p p p+ + − = 1p = C 2 2y x= 2 2y x= ( ) 3 21 33f x x mx nx= + + + ( )f x′ y ( ) 21 3f = − （Ⅰ）求实数 的值； （Ⅱ）若函数 的图象与 轴有三个不同的交点，求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） ， （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）根据导函数 的图象关于 轴对称求出 m 的值，再根据 求出 n 的值； （Ⅱ）问题等价于方程 有三个不相等的实根，再求出函数 f(x)的单调性和极值，分 析得解. 【详解】解：（Ⅰ） . 函数 的图象关于 轴对称， . 又 ，解得 . ， . （Ⅱ）问题等价于方程 有三个不相等的实根时，求 的取值范围. 由（Ⅰ），得 . . 令 ，解得 . 当 或 时， ， ， 上分别单调递增. 又当 时， ， 在 上单调递减. 的极大值为 ，极小值为 . 实数 的取值范围为 . 在 ,m n ( )y f x λ= − x λ 0m = 4n = − 7 25,3 3  −   ( )f x′ y ( ) 21 3f = − ( )f x λ= ( ) 2 2f x x mx n′ = + +  ( )f x′ y 0m∴ = ( ) 1 21 33 3f n= + + = − 4n = − 0m∴ = 4n = − ( )f x λ= λ ( ) 31 4 33f x x x= − + ( ) 2 4f x x′∴ = − ( ) 0f x′ = 2x = ±  2x < − 2x > ( ) 0f x′ > ( )f x∴ ( ), 2−∞ − ( )2 +∞， 2 2x− < < ( ) 0f x′ < ( )f x∴ ( )2,2− ( )f x∴ ( ) 252 3f − = ( ) 72 3f = − ∴ λ 7 25,3 3  −   【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，数形结合思想是数学中的一种重要的 思想，通过数形结合将本题转化为函数图象的交点，可以直观形象的解决问题． 18.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内 ， ， 三类行业共 200 个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到 80 分及其以上的单位被称为“星 级”环保单位，未达到 80 分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得 了这三类行业的 20 个单位，其考评分数如下： 类行业：85，82，77，78，83，87； 类行业：76，67，80，85，79，81； 类行业：87，89，76，86，75，84，90，82． （Ⅰ）计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数； （Ⅱ）若从抽取的 类行业这 6 个单位中，再随机选取 3 个单位进行某项调查，求选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率． 【答案】（Ⅰ） ， ， 三类行业中每类行业的单位个数分别为 60，60，80.（Ⅱ） 【解析】 【分析】 第一问利用分层抽样的概念直接计算即可；第二问是古典概率模型，先列出所有的基本事件， 然后再找出 3 个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位所包含基本事件的个 数，即可求出 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率． 【详解】（Ｉ）由题意，得抽取的 ， ， 三类行业单位个数之比为 . 由分层抽样的定义，有 类行业的单位个数为 ， 类行业的单位个数为 ， 类行业的单位个数为 ， 故该城区 ， ， 三类行业中每类行业的单位个数分别为 60，60，80. （Ⅱ）记选出的这 3 个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件 . 这 3 个单位的考核数据情形有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， A B C A B C A A B C 4 5 A B C 3:3: 4 A 3 200 6010 × = B 3 200 6010 × = C 4 200 8010 × = A B C M { }85,82,77 { }85,82,78 { }85,82,83 { }85,82,87 { }85,77,78 { }85,77,83 { }85,77,87 { }85,78,83 { }85,78,87 { }85,83,87 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 20 种. 这 3 个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有 ， ， ， ，共 4 种，没有都是“非星级”环保单位的情形， 故这 3 个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共 4 种， 故所求概率 . 【点睛】本题主要考查分层抽样及古典概型问题，属基础题． 19.如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ， ， 分别为 ， 的中点． （Ⅰ）证明：平面 平面 ； （Ⅱ）若 ，求三棱锥 的体积． 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 第一问先证明 平面 ， 平面 ，再根据面面平行的判定定理证明平面 平面 ．第二问利用等积法可得 ，分别求出 的面积和 BM 的长度即可解决问题． 【详解】（Ⅰ）连接 ，∴ ， ，∴ 为正三角形. ∵ 为 的中点，∴ . ∵ ， 平面 ，∴ . 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . { }82,77,78 { }82,77,83 { }82,77,87 { }82,78,83 { }82,78,87 { }82,83,87 { }77,78,83 { }77,78,87 { }77,83,87 { }78,83,87 { }85,82,83 { }85,82,87 { }85,83,87 { }82,83,87 ( ) 4 41 20 5P M = − = P ABCD− PAD ⊥ ABCD PA PD= AB AD= PA PD⊥ AD CD⊥ 60BAD∠ =  M N AD PA BMN  PCD 6AD = P BMN− 9 3 4 BM∥ PCD MN∥ PCD BMN  PCD 1 3P BMN B PMN PMNV V S BM− − ∆= = ⋅ PMN∆ BD AB AD= 60BAD∠ =  ABD∆ M AD BM AD⊥ AD CD⊥ ,CD BM ⊂ ABCD BM CD BM ⊄ PCD CD ⊂ PCD BM∥ PCD ∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ . 又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . 又 平面 ， ， ∴平面 平面 . （Ⅱ）在（Ⅰ）中已证 . ∵平面 平面 ， 平面 ，∴ 平面 . 又 ， ，∴ . 在 中，∵ ， ，∴ . ∵ ， 分别为 ， 的中点， ∴ 的面积 ， ∴三棱锥 的体积 . 【点睛】本题主要考查线面、面面平行与垂直 判定和性质，等积法求三棱锥的体积问题， 属中等难度题． 20.已知椭圆 ： 的左，右焦点分别为 ， ，且 经过点 ． （Ⅰ）求椭圆 的标准方程； （Ⅱ）过点 作一条斜率不为 的直线 与椭圆 相交于 两点，记点 关于 轴对 的 M N AD PA MN PD MN ⊄ PCD PD ⊂ PCD MN∥ PCD ,BM MN ⊂ BMN BM MN M= BMN  PCD BM AD⊥ PAD ⊥ ABCD BM ⊂ ABCD BM ⊥ PAD 6AD = 60BAD∠ =  3 3BM = PAD∆ PA PD= PA PD⊥ 2 3 22PA PD AD= = = M N AD PA PMN∆ ( )21 1 1 93 24 4 2 4PMN PADS S∆ ∆= = × × = P BMN− 1 3P BMN B PMN PMNV V S BM− − ∆= = ⋅ 1 9 9 33 33 4 4 = × × = C 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > ( )1 3,0F − ( )2 3,0F 13, 2A     C 0(4 )B ， 0 l C P Q， P x 称的点为 ．证明：直线 经过 轴上一定点 ，并求出定点 的坐标． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）证明见解析，直线 经过 轴上定点 ，其坐标为 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由已知结合椭圆定义求得 ，再求得 ，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由题意，设直线 的 方程为 ，再设 ， ， ， ，则 ， ．联立直线方程与 椭圆方程，化为关于 的一元二次方程，求出 所在直线方程，取 求得 值，即可证 明直线 经过 轴上一定点 ，并求出定点 的坐标． 【详解】解：（Ⅰ）由椭圆的定义，可知 . 解得 . 又 ， 椭圆 的标准方程为 . （Ⅱ）由题意，设直线 的方程为 . 设 ， ，则 . 由 ，消去 ，可得 . ， . ， . ， P′ P Q′ x D D 2 2 14 x y+ = P Q′ x D ( )1,0 a b l 4( 0)x my m= + ≠ 1(P x 1)y 2(Q x 2 )y 1(P x′ 1)y− y P Q′ 0y = x P Q′ x D D 1 22a AF AF= + ( ) 22 1 12 3 42 2  = + + =   2a = ( )22 2 3 1b a= − = ∴ C 2 2 14 x y+ = l ( )4 0x my m= + ≠ ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y ( )1 1,P x y′ − 2 2 4 14 x my x y = + + = x ( )2 24 8 12 0m y my+ + + = ( )216 12 0m∆ = − >Q 2 12m∴ > 1 2 2 8 4 my y m −∴ + = + 1 2 2 12 4y y m = + ( )2 1 2 1 2 1 2 1 P Q y y y yk x x m y y′ + += =− − 直线 的方程为 . 令 ，可得 . . . 直线 经过 轴上定点 ，其坐标为 . 点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档 题． 21.已知函数 ，其中 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若函数 有唯一零点，求 的值． 【答案】(1) ；(2) 【解析】 【分析】 （1）根据题意求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程； （2）问题等价于关于 的方程 有唯一的解时，求 的值．令 ， 求得 的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得 的值； 【详解】解：（1）当 时， ， 所以 ， 所以 ． 又 ， 所以曲线 在点 处的切线方程为 ， 即 ． 【 ∴ P Q′ ( ) ( )2 1 1 1 2 1 y yy y x xm y y ++ = −− 0y = ( )2 1 1 1 2 4m y yx myy y −= + ++ 1 2 1 2 2 4my yx y y ∴ = + =+ 2 2 122 244 4 4 18 8 4 m mm m m m ⋅ + + = + =− − + ( )1,0D∴ ∴ P Q′ x D ( )1,0 ( ) 1x x xf x ae e = − − 0a > 2a = ( )y f x= ( )( )0, 0f ( )f x a 1 0x y− + = 1a = x 1 ( 1)x x xa e e = + a 1( ) ( 1)x x xg x e e = + ( )g x a 2a = ( ) 2 1x x xf x e e = − − ( ) 12 x x xf x e e −′ = − ( )0 2 1 1f ′ = − = ( )0 2 1 1f = − = ( )y f x= ( )( )0, 0f 1y x− = 1 0x y− + = （2）问题等价于关于 的方程 有唯一的解时，求 的值． 令 ，则 ． 令 ，则 ， 在 上单调递减． 又 ， 当 时， ，即 ， 在 上单调递增； 当 时， ，即 ， 在 上单调递减． 的极大值为 ． 当 时， ；当 时， ． 又 ， 当方程 有唯一的解时， ． 综上，当函数 有唯一零点时， 的值为 1． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数 法，以及化简运算能力，属于中档题． 22.在直角坐标系 中，过点 的直线 的参数方程为 （ 为参数）．以 坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 相交于 两点，求 的最小值． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） x 1 1x x xa e e  = +   a ( ) 1 1x x xg x e e  = +   ( ) 2 1 2 x x x eg x e − −′ = ( ) 1 2 xh x x e= − − ( ) 2 0xh x e′ = − − < ( )h x∴ ( ),−∞ +∞ ( )0 0h = ∴ ( ),0x∈ −∞ ( ) 0h x > ( ) 0g x′ > ( )g x∴ ( ),0−∞ ( )0,x∈ +∞ ( ) 0h x < ( ) 0g x′ < ( )g x∴ ( )0, ∞+ ( )g x∴ ( )0 1g = ∴ ( ],0x∈ −∞ ( ) ( ],1g x ∈ −∞ ( )0,x∈ +∞ ( ) ( )0,1g x ∈ 0a > ∴ 1 1x x xa e e  = +   1a = ( )f x a xOy ( )1,1P l 1 cos 1 sin x t y t α α = +  = + t O x C 4cosρ θ= C l C ,A B 1 1 | | | |PA PB + 2 2 4 0x y x+ − = 2 【解析】 【分析】 （Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）将 直线 的参数方程代入曲线 的方程，并整理得 ，再利用 直线参数方程 t 的几何意义求出 的最小值． 【详解】解：（Ⅰ） ， . 由直角坐标与极坐标的互化关系 ， . 曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 的方程，并整理得 . ， 可设 是方程的两个实数根， 则 ， . ，当 时，等号成立. 的最小值为 . 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次 方程根和系数关系式的应用，三角函数关系式的恒等变换，考查直线参数方程 t 的几何意义， 主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． l C ( )2 2sin 2cos 2 0t tα α+ − − = 1 1 | | | |PA PB + 4cosρ θ= 2 4 cosρ ρ θ∴ = 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = ∴ C 2 2 4 0x y x+ − = l C ( )2 2sin 2cos 2 0t tα α+ − − = ( )22sin 2cos 8 0α α∆ = − + >Q ∴ 1 2,t t 1 2 2cos 2sint t α α+ = − 1 2 2 0t t = − < 1 1 PA PB ∴ + = 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 t t t t t t t t t t + −+ = = ( )2 1 2 1 24 2 t t t t+ −= = ( )22cos 2sin 8 8 22 2 α α− + ≥ = 4 πα = 1 1 PA PB ∴ + 2