杭州学军中学 2019 学年第一学期期中考试
高三数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的）
1.设全集 ，集合 ， 则下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对集合 进行化简，然后得到集合 和集合 的关系，得到答案.
【详解】集合 ，
集合 ，
所以 ，
故选：C.
【点睛】本题考查集合之间的关系，属于简单题.
2.设纯虚数 z 满足 （其中 i 为虚数单位），则实数 a 等于
A. 1 B. －1 C. 2 D. －2
【答案】A
【解析】
本题考查的是复数运算。设 ，则 ，所以 。
解得 ，应选 A。
3.若 x,y 满足约束条件 的取值范围是
A. [0,6] B. [0,4] C. [6, D. [4,
【答案】D
【解析】
U = R { }1M x x= > { }2 1P x x= >
M P= M P M=U M P M=I
( )U M P = ∅I
P M P
{ } { }2 1 1 1P x x x x x= > = > < −或 { }1M x x= >
M P M=I
1 i 1 iaz
− = +
x 0
x+y-3 0 z 2
x-2y 0
x y
≥
≥ = +
≤
，则
+∞） +∞）
解：x、y 满足约束条件 ，表示的可行域如图：
目标函数 z=x+2y 经过 C 点时，函数取得最小值，
由 解得 C（2，1），
目标函数的最小值为：4
目标函数的范围是[4，+∞）．
故选：D．
4.已知 ，下列四个条件中，使 成立的充分不必要的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分不必要条件的定义，逐一分析给定四个选项与 a＞b 的关系，可得答案．
【详解】B 选项 是 的充分不必要的条件；
A 选项 是 的必要不充分条件；
C 选项 是 的即不充分也不必要条件；
D 选项 是 的充要条件；
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是充分不必要条件的定义，属于基础题．
5.函数 的图象大致是（ ）
,a b∈R a b>
1a b> − 1a b> + a b> 2 2a b>
1a b> + a b>
1a b> − a b>
a b> a b>
2 2a b> a b>
2 ln( ) x xf x x
=
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
采用排除法，根据函数的奇偶性可排除 C；当 时， 可排除 A；通过判断得出
，故函数 在 内不可能单调递增，可排除 B，进而可得结果.
【详解】函数定义域为 ，定义域关于原点对称，
，
∴函数 为偶函数，其图象关于 轴对称，可排除选项 C；
当 时， ，可排除选项 A；
，
又∵ ， ，
∴ ，即可得 ，故函数 在 内不可能单调递增，
可排除选项 B；
1x > ( ) 0f x >
1 1
4 3f f >
( )f x ( )0, ∞+
{ }0x x ≠
( )2 2ln ln( ) ( )x x x xf x f xx x
− −− = = =−
( )f x y
1x >
2 ln( ) 0x xf x x
= >
1
31 1 1 1ln ln3 3 3 3f = =
1
41 1 1 1ln ln4 4 4 4f = =
121 431 1 1
3 3 81
= =
121 341 1 1
4 4 64
= =
1 1
4 31 1
4 3
>
1 1
4 3f f >
( )f x ( )0, ∞+
故选：D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性识别函数的图象，得到该函数在 内不可
能单调递增是解题的关键，属于中档题．
6.已知函数 ，则（ ）
A. ， 是 的一个周期
B. ， 是 的一个周期
C. ， 是 的一个周期
D. ， 最小正周期不存在
【答案】B
【解析】
【分析】
根据定义，结合函数值之间的关系以及函数周期性的定义进行判断即可．
【详解】若 为有理数， ，
若 为无理数， ，
综上 ，排除 C，D．
根据函数的周期性的定义，周期不可能是 ，故 A 错误，
若 为有理数， ， ，则
若 为无理数， ， ，则
综上 ，
即 是函数 的一个周期，
故选：B．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数值的计算以及函数周期的求解，根据条件
和定义是解决本题的关键，属于简单题.
7.若关于 的不等式 无解，则实数 的取值范围是（ ）
( )0, ∞+
( ) 1,
0,
xD x x
=
为有理数
为无理数
( )( ) 1D D x = 0 ( )D x
( )( ) 1D D x = 1 ( )D x
( )( ) 0D D x = 1 ( )D x
( )( ) 0D D x = ( )D x
x ( )( ) ( )1 1D D x D= =
x ( )( ) ( )0 1D D x D= =
( )( ) 1D D x =
0
x ( )1 1D x + = ( ) 1D x = ( ) ( )1D x D x+ =
x ( )1 0D x + = ( ) 0D x = ( ) ( )1D x D x+ =
( ) ( )1D x D x+ =
1 ( )D x
x 2 22 2 1 3x t x t t t+ − + + + − < t
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先 得 到 当 时 ， 满 足 题 意 ， 再 当 时 ， 根 据 绝 对 值 三 角 不 等 式 ， 得 到
的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于 ，从而得到
关于 的不等式，解得 的范围
【详解】关于 的不等式 无解，
当 时，可得此时不等式无解，
当 时，
，
所以要使不等式无解，则 ，
平方整理后得 ，
解得 ，
所以 ，
综上可得 的范围为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于
中档题.
8.若 是 垂心， 且 ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
1,15
−
( ],0−∞ ( ],1−∞ ( ],5−∞
0t ≤ 0t >
2 22 2 1x t x t t+ − + + + − 3t
t t
x 2 22 2 1 3x t x t t t+ − + + + − < 0t ≤ 0t > ( )2 2 2 22 2 1 2 2 1x t x t t x t x t t+ − + + + − + − − + + −≥
2 1t= − −
2 1 3t t− − ≥
2 05 4 1t t ≤− −
11
5 t≤ ≤−
0 1t< ≤ t ( ],1−∞ O ABC△ 6A π∠ = sin cos sin cosB C AB C BAC+uuur uuur 2 sin sinm B C AO= uuur m = 1 2 3 2 3 3 3 6
利用垂心的性质，连接 并延长交 于 ，得到 ，把已知条件中的式子化简，
得到 ，再两边同乘以 ，利用数量积、正弦定理
进行整理化简，得到 ，再把 化为 ，整理
后得到 值.
【详解】在 中， ，
由 ，
得 ，
连接 并延长交 于 ，
因为 是 的垂心，所以 ， ，
所以
同乘以 得，
因为 ，所以
由正弦定理可得
又 ，所以有 ，
而 ，
所以 ，
所以得到 ，
而 ，所以得到 ，
CO AB D CD AB⊥
( )cos cos 2sin sin
C BAB AC m AD DOC B
+ = ⋅ + AB
3cos cos 3 sin2C B m B+ = ⋅ cosC 5cos 6 B
π −
m
ABC∆ sin sin 0B C ≠
sin cos sin cosB C AB C BAC+uuur uuur
2 sin sinm B C AO= uuur
cos cos 2sin sin
C BAB AC m AOC B
+ = ⋅
CO AB D
O ABC∆ CD AB⊥ AO AD DO= +
( )cos cos 2sin sin
C BAB AC m AD DOC B
+ = ⋅ +
AB
( )cos cos 2sin sin
C BAB AB AC AB m AD DO ABC B
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
2cos cos cos 2 2 cossin sin
C Bc bc A m AD AB m b A cC B
+ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
6A
π= 2cos cos 3 3sin sin 2
C Bc bc mbcC B
+ =
3cos sin cos sin 3 sin sin2C C B C m B C+ =
sin 0C ≠ 3cos cos 3 sin2C B m B+ = ⋅
5
6C A B B
ππ= − − = −
5 3 1cos cos cos sin6 2 2C B B B
π = − = − +
1 sin 3 sin2 B m B=
sin 0B ≠ 3
6m =
故选：D.
【点睛】
本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形
垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．
9.已知二次函数 ，定义 ，
，其中 表示 中 较大者， 表示
中的较小者，下列命题正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
【答案】C
【解析】
【分析】
由新定义可知 f1（﹣1）=f2（﹣1）=f（﹣1），f（x）在[﹣1，1]上的最大值为 f1（1），最小
值为 f2（1），即可判断 A，B，D 错误，C 正确．
【 详 解 】 由 于 , 故 二 次 函 数 的 对 称 轴 .
,
,若此时对称轴为 ,
则有 ,即 ,所以 选项不正确，
, ,
在对称轴的位置取得最小值,
即对称轴为 ,所以 ,故 选项不正确，
, ，
的
( ) ( )2 2f x ax bx b a= + ≤ ( ) ( ){ }1 max 1 1f x f t t x= − ≤ ≤ ≤
( ) ( ){ }2 min 1 1f x f t t x= − ≤ ≤ ≤ { }max ,a b ,a b { }min ,a b
,a b
( ) ( )1 11 1f f− = ( ) ( )1 1f f− > ( ) ( )2 21 1f f− = ( ) ( )1 1f f− >
( ) ( )2 11 1f f= − ( ) ( )1 11 1f f− < ( ) ( )2 11 -1f f= ( ) ( )2 21 1f f− >
2b a≤ [ ]1,12
bx a
= − ∈ −
( ) ( ){ } ( )1 1 max | 1 1f f t t f− = = − = −
( ) ( ){ }1 1 max | 1 1f f t t= − ≤ ≤ 0x =
( ) ( )1 1 1f f= ( ) ( )1 1f f− = A
( ) ( ){ } ( )2 1 min | 1 1f f t t f− = = − = − ( ) ( ){ }2 1 min | 1 1f f t t= − ≤ ≤
1x = − ( ) ( )1 1f f− < B ( ) ( ){ }2 1 min | 1 1f f t t= − ≤ ≤ ( ) ( ){ } ( )1 1 max | 1 1f f t t f− = = − = −
也即是函数在区间 上的最小值,故 ,
所以选 .
【点睛】本题考查了对于新定义的理解和二次函数的图象与性质，考查推理能力，属于中档
题．二次函数的最值和函数的对称轴有关系，在小区间上的最值问题，应该讨论轴和区间的
关系.
10.已知数列 满足 ， ，若 ，设数列 的前项
和为 ，则使得 最小的整数 的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根 据 ， 得 到 ， 判 断 出 为 递 增 数 列 ， 由
，从而得到 ，然后利用裂项相消法得到 ，
从而得到 ，判断出 的范围，得到要使 最小的整数 的值.
【详解】因为 ，所以 ，
所以 为递增数列，
而 ，
所以
所以 ，
因为数列 的前项和为 ，
所以
[ ]1,1− ( ) ( )1 11 1f f− < C { }na 1 1 2a = − 2 1 3 1n n na a a+ = + + 1 2n n b a = + { }nb nS 2019S k− k 0 1 2 3 2 1 3 1n n na a a+ = + + 1 0n na a+ − > na
( )( )1 1 1 2n n na a a+ + = + +
1
1 1
1 1n
n n
b a a +
= −+ + 2019S
2019S k−
2019
1
1a + 2019S k− k
2
1 3 1n n na a a+ = + + ( )22
1 2 1 1 0n n n n na a a a a+ − = + + = + ≥
na
( )( )2
1 1 3 2 1 2n n n n na a a a a+ + = + + = + +
( )( )1
1 1 1 1
1 1 2 1 2n n n n na a a a a+
= = −+ + + + +
1
1 1 1
2 1 1n
n n n
b a a a +
= = −+ + +
{ }nb nS 1
1
2a = −
2019
1 2 2 3 2019 2020
1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1S a a a a a a
= − + − +⋅⋅⋅+ −+ + + + + +
而 ，
，
所以
从而得到
所以 要取最小， 的整数值为 ，
故选：C.
【点睛】本题考查数列的递推关系研究数列的性质，裂项相消法求数列的和，属于中档题.
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．）
11. 展开式中 的系数为___；所有项的系数和为____．
【答案】 (1). -80 (2). -1
【解析】
【分析】
令 可得所有项的系数和，根据通项公式可写出含 的系数.
【详解】因为 ，令 ， ，
所以 的系数为-80，
设 ，
令 ，则 ，所以所有项的系数和为-1.
【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项公式，二项式所有项的系数和，属于中档题.
12.等比数列 中， ， ，则 __________，
__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
2020
12 1a
= − +
( )( )2 1 1
31 1 2 4a a a+ = + + =
( )( )3 2 2
771 1 2 16a a a+ = + + =
2020 3
771 1 16a a+ + =≥
2020
1 1382 ,21 77a
− ∈ +
2019S k− k 2
( )51 2x− 3x
1x = 3x
1 5 ( 2)r r r
rT C x+ = − 3r = 3
4 80T x= −
3x
( )51 2x− 5
0 1 5a a x a x= + +…+
1x = 0 1 5 1a a a+ …+ = −
{ }na 1 2a = 3
2 3a = 2 2013
8 2019
a a
a a
+ =+ 1 2 3 4a a a a =
8
9
9
2
【分析】
根据已知条件，求出等比数列 的公比 ，然后将所求式子进行化简，利用等比数列的基
本量进行计算.
【详解】因为等比数列 中， ， ，
所以 ，
所以
.
故答案为： ；
【点睛】本题考查等比数列通项中基本量的计算，属于简单题.
13.在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则
__________，若 ， 的面积为 ，则 __________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据正弦定理将边化成角，然后得到 ，从而得到 的值，根据余弦定理得到 ，
根据 的面积得到 ，从而得到 的值.
【详解】因为
由正弦定理 可得，
{ }na q
{ }na 1 2a = 3
2 3a =
3
2
1
3
2
aq a
= =
( )2 2013 2 2013
6 6
8 2019 2 2013
1a a a a
a a a a q q
+ += =+ +
63
1 8
93
2
= =
( ) 6344 6
1 2 3 4 1
32
2
a a a a a q
= ⋅ = ⋅
9 94 8 2
= × =
8
9
9
2
ABC△ , ,A B C , ,a b c sin 3 cosc A a C= C =
31c = ABC△ 3 3
2
a b+ =
3
π
7
tan 3C = C 2 2a b+
ABC△ ab +a b
sin 3 cosc A a C=
sin sin sin
a b c
A B C
= =
而 ，所以 ，
，所以 .
因为
所以由余弦定理 可得
，即
因为 的面积为 ，所以
所以 ，
所以 ，
所以 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，余弦定理解三角形，三角形的面积公式，属于简单
题.
14.已知函数 ，则 __________，若函数
有无穷多个零点，则 的取值范围是__________．
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
根据题意得到 ，然后根据 时的解析式，得到答案；根据
时的解析式，得到其图像，然后根据 时，由 可知，每向左 个
单位， 的值增大 倍，得到 的最小值，从而得到 图像与 图像的交
点有无穷多个时， 的取值范围.
sin sin 3sin cosC A A C=
sin 0A ≠ tan 3C =
( )0,C π∈
3C
π=
31c =
2 2 2 2 cosc a b ab C= + −
2 2 131 2 2a b ab= + − × 2 2 31a b ab+ − =
ABC△ 3 3
2
1 3 3sin2 2ab C =
6ab =
2 2 2 49a b ab+ + =
7a b+ =
3
π
7
( ) ( )
2 2 2, 0
2 1 , 0
x x xf x f x x
− + − ≥= +
( )f x′ 0a ≤ 0a > lnx a= ( )f x
( )ln 0f a < a ( )1 0f > ( )3ln 0f a >
1
2
1
2
0,
0,
x
x
e ax a
e ax a
− + =
− + =
2 1
2 1
x xe ea x x
−= −
( )2 1 02
x x s s
− = > 1 2
2
x xf
+ ′
( )g s
1 2 02
x xf
+ ′
( )f x
0a > ( ) 0f x′ = lnx a=
当 时， ， 单调减函数；
时， ， 是单调增函数；
于是当 时， 取得极小值.
因为函数 的图象与 轴交于两点 ， ，
所以 ，即 .
此时，存在 ， ；
存在 ， ，
又 在 上连续，故 .
（2）因为
两式相减得 .
记 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 单调减函数，
则有 ，而 ，所以 .
又 是单调增函数，且 ；
所以 .
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，换元法构造新
函数，涉及知识点较多，题目较综合，属于难题.
22.已知函数 ， .
（1）当 时，试讨论 的单调性；
是
是
lnx a< ( ) 0f x′ < ( )f x lnx a> ( ) 0f x′ > ( )f x
lnx a= ( )f x
( ) ( )xf x e ax a a R= − + ∈ x ( )1,0A x ( )( )2 1 2,0B x x x< ( ) ( )ln 2 ln 0f a a a= − < 2a e>
1 ln a< ( )1 0f e= >
3ln lna a> ( ) 33ln 3 lnf a a a a a= − + 3 23 0a a a> − + >
( )f x R 2a e>
1
2
1
2
0,
0,
x
x
e ax a
e ax a
− + =
− + =
2 1
2 1
x xe ea x x
−= −
( )2 1 02
x x s s
− = >
1 2 2 1
1 2 2
2 12
x x x xx x e ef e x x
++ − ′ = − − ( )
1 2
2
22
x x
s se s e es
+
− = − −
( ) ( )2 s sg s s e e−= − − ( ) ( )2 0s sg s e e−′ = − + < ( )g s ( ) ( )0 0g s g< = 1 2 2 02 x x e s + > 1 2 02
x xf
+ ′
( )1 2 0f x x′ < ( ) 2ln 2f x x ax bx= − − − a R∈ 2b = ( )f x
（2）若对任意 ，方程 恒有 个不等的实根，求 的取值范围.
【答案】（1） ， 在 单调递增， 单调递
减；
， 在 单调递增， 单调递减；
， 单调递增， 单调
递减， 单调递增；
， 在 单调递增.
（2）
【解析】
【分析】
（1）求出 ，然后对 进行分类讨论，判断出 的正负，从而得到 的单调区
间，得到答案；（2）问题等价于 有两解，令 ，利用导数求
出 ，求出其单调性和极值，结合图像得到 ，过 作切线时，斜率 最大，
通过导数求出过一点的切线，得到 最大值，从而得到 取值范围.
【详解】解：（1） ,
（i） ，令 ，得到 ，
解得 ， （舍）
所以当 时， ， 单调递增，
的
在
3,b e
∈ −∞ −
( ) 0f x = 2 a
0a > ( )f x 2 4 80, 4
a
a
− + +
2 4 8 ,4
a
a
− + + +∞
0a = ( )f x 10, 2
1 ,2
+∞
1 02 a− < < ( )f x 2 4 80, 4 a a − + + 2 4 8 2 4 8,4 4 a a a a − + + − − + 2 4 8 ,4 a a − − + +∞ 1 2a ≤ − ( )f x ( )0, ∞+ 2 20 a e < ≤ ( )f x′ a ( )f x′ ( )f x ln 2x ax bx − = + ( ) ln 2xg x x −= ( )g x′ 0a > 30, e
− a
a a
( ) 21 2 2x axf x x
− −′ = 0x >
0a > ( ) 0f x′ = 21 2 2 0x ax− − =
2 4 8
4
ax a
− + += 2 4 8
4
ax a
− − +=
2 4 80, 4
ax a
− + +∈
( ) 0f x′ > ( )f x
当 时， ， 单调递减，
所以 在 单调递增， 单调递减；
（ii） ，令 ，得到
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以 在 单调递增， 单调递减；
（iii） ，
令 ，得到 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
在 单调递增， 单调递减，
单调递增；
（iiii） ， 在 恒成立，所以 在 单调递增；
综上所述，
， 在 单调递增， 单调递减；
， 在 单调递增， 单调递减；
2 4 8 ,4
ax a
− + +∈ +∞
( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x 2 4 80, 4 a a − + + 2 4 8 ,4 a a − + + +∞ 0a = ( ) 0f x′ = 1 2x = 10, 2x ∈ ( ) 0f x′ > ( )f x
1 ,2x ∈ +∞
( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x 10, 2 1 ,2 +∞ 1 02 a− < < ( ) 0f x′ = 2 4 8 4 ax a − + += 2 4 8 4 ax a − − += 2 4 8 2 4 80, ,4 4 a ax a a − + + − − +∈ +∞ U ( ) 0f x′ > ( )f x
2 4 8 2 4 8,4 4
a ax a a
− + + − − +∈
( ) 0f x′ < ( )f x ( )f x 2 4 80, 4 a a − + + 2 4 8 2 4 8,4 4 a a a a − + + − − + 2 4 8 ,4 a a − − + +∞ 1 2a ≤ − ( ) 0f x′ > ( )0, ∞+ ( )f x ( )0, ∞+
0a > ( )f x 2 4 80, 4
a
a
− + +
2 4 8 ,4
a
a
− + + +∞
0a = ( )f x 10, 2
1 ,2
+∞
， 在 单调递增， 单调
递减， 单调递增；
， 在 单调递增.
（2）因为对任意的 ，方程 恒有 个不等的实根
所以将问题等价于 有两解
令 ， 有 ，
； 在 递增， 递减；
， ；
， ；
有图象知要使 的图像和 的图像有两个交点，
，过 作切线时，斜率 最大.
设切点为 ，有 ，
，
此时斜率 取到最大
.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，导数的几何意义，函数与方程，
求过一点的切线，运用了分类讨论以及数形结合的方法，题目比较综合涉及到多个知识点，
对计算能力的要求比较高，属于难题
1 02 a− < < ( )f x 2 4 80, 4 a a − + + 2 4 8 2 4 8,4 4 a a a a − + + − − + 2 4 8 ,4 a a − − + +∞ 1 2a ≤ − ( )f x ( )0, ∞+ 3,b e ∈ −∞ − ( ) 0f x = 2 ln 2x ax bx − = + ( ) ln 2xg x x −= 0x > ( ) 2
3 ln xg x x
−′ = 0x >
( )3 0g e∴ = ( )g x ( )30,e ( )3,e +∞
0x → ( )g x → −∞
x → +∞ ( ) 0g x →
∴ ( ) ln 2xg x x
−= y ax b= +
0a > 30, e
− a
( )0 0,x y 0 0
2
0 0
3 ln 2ln 5x xy xx x
− −= +
0
0
2ln 5 3x
x e
−∴ = −
0x e∴ =
a 2
2
e
2
20 a e
∴ < ≤
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