2019 年高 2020 级高三上期半期考试
数学（文科）测试试题卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答卷上.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在下列各题的四个选项中，只有一个选
项是符合题意的）
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用一元二次不等式解出集合 ，利用补集的运算即可求出 。
【详解】由集合 ，解得：
，
故答案选 C。
【点睛】本题考查一元二次不等式的求解以及集合补集的运算，属于基础题。
2.若复数 z 满足 ，则 z 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】
{ }2| 2 0A x x x= ∈ − − ≥Z zC A =
{0} {1} {0,1}
{-1,0,1,2}
A zC A
{ }2| 2 0A x x x= ∈ − − ≥Z { }| 2 1A x x x= ∈ ≥ ≤ −Z 或
∴ }{z 0,1C A =
( )1 1 2z i i+ = +
将 z 分离出来得到 ，然后分子分母同乘以 ，化简即可得到答案.
【详解】
，则复平面内对应的点 位于第一象限.
故选:A.
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及几何意义，属于基础题.
3.等比数列 中， 、 是函数 的两个零点，则 等于
A. B. 3 C. D. 4
【答案】B
【解析】
分析：利用根与系数的关系求得 ，再由等比数列的性质得答案.
详解： 是函数 的两个零点，
是方程 0 的两个根，
，
由等比数列的性质可得 .
故选：B.
点睛：本题考查等比数列的性质，是基础的计算题.
4.已知向量 ， ， ，若 ，则 的值为
（）
A. 2 B. C. D. -2
【答案】D
【解析】
【分析】
由 表示出 与 基本关系，化简求解即可
【详解】 ，
的
1 2
1
iz i
+= + 1 i−
( )1 1 2z i i+ = +
( )( )
( )( )
1 2 1 3 3 1
1 1 2 2 2
i i iz ii i
+ − +∴ = = = ++ −
3 1,2 2
{ }na 5a 7a ( ) 2 4 3f x x x= − + 3 9a a⋅ ( )
3− 4−
5 7 3a a⋅ =
5 7,a a ( ) 2 4 3f x x x= − +
∴ 5 7,a a 2 4 3x x− + =
∴ 5 7 3a a⋅ =
3 9 3a a⋅ =
( )2,1a =r ( )2,sin 1b α= − ( )2,cosc α= − ( )a b c+
tanα
1
2
1
2
−
( )a b c+
sinα cosα
( )4,sina b α+ = ( ) 4cos 2sin tan 2a b c α α α+ ⇒ = − ⇒ = −
答案选 D
【点睛】本题考查向量平行的坐标表示法、三角函数的化简求值，需熟记向量平行的坐标表
示法为：
或
5.“ ”是“方程 表示的曲线为双曲线”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】
分别判断充分性和必要性， 得到表示焦点在 轴上的双曲线；表示双曲线，则
，计算判断得到答案.
【详解】若 ，则 ， 表示焦点在 轴上的双曲
线，充分性；
若 表示双曲线，则 ，必要性.
故选：
【点睛】本题考查了充分必要条件，意在考查学生的推断能力.
6.过点 的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A. B.
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】
设直线方程为 ，计算截距得到 ，计算得到答案.
1 2 2 1x y x y= 1 1
2 2
x y
x y
=
2 6m< < 2 2 12 6 x y m m − =− − 2 6m< < x ( 2)(6 ) 0m m− − >
2 6m< < 2 0,6 0m m− > − > 2 2
12 6
x y
m m
− =− − x
2 2
12 6
x y
m m
− =− − ( 2)(6 ) 0 2 6m m m− − > ∴ < < C (1 2)A ， 1 0x y− + = 3 0x y+ − = 2 0x y− = + 3 0x y − = 2 0x y− = 1 0x y− + = ( 1) 2y k x= − + 22 1 0k k − − + =
【详解】易知斜率不存在时不满足；
设直线方程为 ，则截距和为： 解得 或
故直线方程为： 和
故选：
【点睛】本题考查了直线方程，意在考查学生的计算能力.
7.已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中 f（x﹣1）=x2+4x﹣5，我们利用凑配法可以求出 f（x）的解析式，进而再由代入法
可以求出 f（x+1）的解析式。
【详解】解：∵ ，
∴
∴ ，故选 A
【考点】用凑配方和代入法求函数的解析式。
【点睛】把 用 表示出来，是解决本题的关键。
8.定义域为 的奇函数 的图象关于直线 对称，且 ， ，
则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据对称性和奇函数得到函数是周期为 8 的周期函数，得到
，计算得到答案.
( 1) 2y k x= − + 22 1 0k k
− − + = 1k = 2k =
1y x= + 2y x=
D
( ) 21 4 5f x x x− = + − ( )1f x + =
2 8 7x x+ + 2 6x x+ 2 2 3x x+ −
2 6 10x x+ −
2 2( 1) 4 5 ( 1) 6( 1)f x x x x x− = + − = − + −
2( ) 6f x x x= +
2 2( 1) ( 1) 6( 1) 8 7f x x x x x+ = + + + = + +
2( 1) 4 5f x x x− = + − 2( 1) ,( 1)x x− −
R ( )y f x= 2x = (1) 2018f = (2) 2019f =
(2018) (2019)f f+ =
4035 4036 4037 4038
(2018) (2019) (2) (1)f f f f+ = +
【详解】 的图象关于直线 对称，则 即
为奇函数，则
则 得到 所以 ，函数周期为 8
故选：
【点睛】本题考查了函数值 计算，通过运算得到函数的周期是解题的关键.
9.如图，正三棱柱 中， ， 是 的中点，则 与平面
所成角的正弦值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
记 分别为直线 的中点，取 中点 ，连结 ， ，只需证 平面
，即可得 是 与平面 所成的角，进而可求出结果.
【详解】记 分别为直线 的中点，取 中点 ，连结 ， ，所以在正
三棱柱 中， 平面 ；又 是 的中点，所以 ,所以
平面 ，故 即是 与平面 所成的角；设 ，则
，
，所以 .
的
( )y f x= 2x = (2 ) (2 )f x f x− = + ( ) (4 )f x f x− = +
( )y f x= ( ) ( )f x f x= − −
( ) (4 )f x f x− = + ( 4) (8 )f x f x− + = + ( ) (8 )f x f x= +
(2018) (2019) (2) (3) (2) (1) 4037f f f f f f+ = + = + =
C
1 1 1ABC A B C− 1 2AA AB= D 1BB AD 1 1AAC C
2
2
3
2
6
4
10
4
P Q、 1 1AC AC、 PQ E AE DE DE ⊥
1 1ACC A DAE∠ AD 1 1AAC C
P Q、 1 1AC AC、 PQ E AE DE
1 1 1ABC A B C− 1B Q ⊥ 1 1AAC C D 1BB 1DE B Q
DE ⊥ 1 1ACC A DAE∠ AD 1 1AAC C 1 2 4AA AB= =
2 2AD 2 2 2 2= + =
2 2
1DE 2 1 3B Q= = − = DE 6sin DAE AD 4
∠ = =
故选 C.
【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，只需在几何体中作出线面角，即可求解，属于
基础题型.
10.已知正实数 满足 ，若对任意满足条件的 ，都有
恒成立，则实数 的最大值为( )
A. B. 7 C. D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ，利用 ，求得 ， 恒成立，
等价于 恒成立，令 ，利用单调性求出 的最
小值，进而可得结果.
【详解】 ，且 ，
故 ，整理即 ，
又 均为正实数，故 ，
又 对于任意满足 的正实数 ，均有 恒成立，
整理可得 恒成立，令 ，
,x y 3x y xy+ + = ,x y
2( ) ( ) 6 0x y a x y+ − + + ≥ a
2 6 4 6
3x y xy+ + =
2
2
x yxy
+ ≤
6x y+ ≥ 2( ) ( ) 6 0x y a x y+ − + + ≥
( ) 6
( )a x y x y
≤ + + + 6m x y= + ≥ 6( )g m m m
= +
3x y xy+ + =
2
2
x yxy
+ ≤
2
3 2
x yx y xy
+ + + = ≤
( 6)( 2) 0x y x y+ − + + ≥
,x y 6x y+ ≥
3x y xy+ + = ,x y 2( ) ( ) 6 0x y a x y+ − + + ≥
( ) 6
( )a x y x y
≤ + + + 6m x y= + ≥
令 ， 时
所以 在 上递增，
，因此 ，
实数 的最大值为 7，故选 B.
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，
属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数 恒成立( 即可)或
恒成立（ 即可）；② 数形结合( 图象在 上方即
可)；③ 讨论最值 或 恒成立.
11.已知 的三个内角 所对的边分别为 ， 的外接圆的面积为 ，且
，则 的最大边长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
化简得到 ，根据正弦定理得到
，根据余弦定理得到 ，再计算得到答案.
【详解】 的外接圆的面积为
则
，根据正弦定理：
根据余弦定理：
故 为最长边：
故选：
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，外接圆面积，意在考查学生的综合应用能力和计
算能力.
6( )g m m m
= + 6m ≥ 2'( ) 1 6 0g m m
= − >
6( )g m m m
= + [ )6,+∞
( ) (6) 7g m g∴ ≥ = (6) 7a g≤ =
a
( )a f x≥ ( )maxa f x≥
( )a f x≤ ( )mina f x≤ ( )y f x= ( )y g x=
( )min 0f x ≥ ( )max 0f x ≤
ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 3π
2 2 2cos cos cosA B C− + 1 sin sinA C= + ABC∆
2 3 3 2 3
2 2 2sin sin sin sin sin 0A B C A C− + + =
2 2 2 0a c b ac+ − + = 120B∠ = °
ABC∆ 2 3 3R Rπ π= ∴ =
2 2 2cos cos cos 1 sin sinA B C A C− + = +
2 2 21 sin 1 sin 1 sin 1 sin sinA B C A C− − + + − = +
2 2 2sin sin sin sin sin 0A B C A C− + + = 2 2 2 0a c b ac+ − + =
2 2 2 12 cos cos 1202a c b ac B ac B B+ − = = − ∴ = − ∴∠ = °
b 2 sin 3b R B= =
B
12.设函数 在 上最小的零点为 ，曲线 在点 处的
切线上有一点 ，曲线 上有一点 ，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由导数的几何意义可得：曲线 在点 处的切线 的方程为 ，
由导数的应用可得：当 的坐标为 时，点 到切线 的距离为 的最小值，再利用
点到直线的距离公式求解即可.
【详解】解:令 ， 。则 ，即 ， ，
则 的最小值为 1，即 =1，又 ，所以 ，
又 ，所以曲线 在点 处的切线 的方程为 ，
由 ，则 ，令 ，解得 ，此时 ，
即当 的坐标为 时，点 到直线 的距离为 的最小值，
由点到直线的距离公式可得： = ，
故选 D.
【点睛】本题考查了利用导数求切线方程及点到直线的距离公式，重点考查了运算能力，属
中档题.
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. __________.
【答案】
2( ) sinf x xππ= − (0, )+∞ 0x ( )y f x= 0( ,0)x
P 23 ln2y x x= − Q | |PQ
10
5
5
5
3 10
10
3 5
10
( )y f x= (1,0) l 2( 1)y x= −
Q 3(1, )2
Q l | |PQ
2 sin 0xππ− = ( 0)x > x kπ π= x k= ( *)k N∈
x 0x ' ( ) 2cosf x xπ= − ' (1) 2f =
(1) 0f = ( )y f x= (1,0) l 2( 1)y x= −
23 ln2y x x= − ' 13y x x
= − 13 2x x
− = 1x = 3
2y =
Q 3(1, )2
Q l | |PQ
min| |PQ
2 2
32 2 3 52
101 2
− −
=
+
cos27 cos18 sin 27 sin18° ° ° °− =
2
2
【解析】
【分析】
直接利用和差公式的逆运算得到答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查了是三角恒等变换，属于简单题.
14.已知 .若数列 是递增数列，则实数 a 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】
数列 是递增数列，则 是单调递增的一次函数型的数列，建立不等式关系进行求解即
可。
【详解】 ，
，解得 。
故答案为： 。
【点睛】本题主要考查数列单调的性质的应用，根据数列单调性建立不等式关系是解决本题
的关键。
15.在直三棱柱 中， 且 , ，设其外接球 球心为
，且球 的表面积为 ，则 的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
先计算球的半径为 ，确定球心为 的中点，根据边角关系得到 ，计算面积得到
答案.
【详解】球 的表面积为
的
2cos27 cos18 sin 27 sin18 cos45 2
° ° ° °− = ° =
2
2
( )2 1na n a n= + − { }na
2a < { }na { }na ( )1 2, (2 )n n aa n a n a n a= + − ∴ = − + 2 0a∴ − > 2a < 2a < 1 1 1ABC A B C− 90BAC °∠ = 3AB = 1 4BB = O O 28π ABC∆ 3 3 2 7 HG 3AC = O 24 28 7R Rπ π= ∴ =
如图所示： 为 中点，连接
，故三角形的外心在 中点上，故外接球的球心为 的中点.
在 中： ，故 ；
在 中： ， ，故 ，故
故答案为：
【点睛】本题考查了三棱柱的外接球问题，确定球心的位置是解题的关键.
16.已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为 ，以 为圆心，
为半径的圆交 的右支于 ， 两点，且线段 的垂直平分线经过点 ，则 的离心率
为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
先 证 明 是 正 三 角 形 ， 在 中 ， 由 余 弦 定 理 、 结 合 双 曲 线 的 定 义 可 得
，化为 ，
,H G 1 1,BC B C HG
90BAC °∠ = BC HG
Rt OGC∆ 1
1 2, 72OG BB OC R= = = = 3CG =
Rt ABC∆ 2 2 3BC CG= = 3AB = 3AC = 3 3
2ABCS∆ =
3 3
2
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > F A F FA
C M N AM N C
4
3
AMN∆ 'MFF∆
2 22 2| | 2 | | cos120 (| | 2 )FF FM FF FM F M FM a′ ′ ° ′+ − = = + 2 23 4 0c ac a− − =
从而可得结果.
【详解】
由题意，得 ，另一个焦点 ，
由对称性知， ，
又因为线段 的垂直平分线经过点 ，，
则 ，可得 是正三角形，
如图所示，连接 ，则 ，
由图象的对称性可知， ，
又因为 是等腰三角形，
则 ，
在 中，
由余弦定理： ，
上式可化为 ，
整理得： ，即 ，由于 ，
则 ，
故 ，故答案为 .
【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线
性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及
顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它
们之间的内在联系.求离心率问题应先将 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系
构造出关于 的等式，从而求出 的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于 的
( )( ,0), ,0A a F c− ( ),0F c′ −
AM AN=
AM N
AN MN= AMN∆
MF AF MF a c= = +
1 302MAF NAF MAN °∠ = ∠ = ∠ =
AMF∆
120AFM °∠ =
'MFF∆
2 22 2| | 2 | | cos120 (| | 2 )FF FM FF FM F M FM a′ ′ ° ′+ − = = +
2 2 214 ( ) 2 2 ( ) (3 )2c a c c a c a c + + − × + − = +
2 23 4 0c ac a− − = ( )( )3 4 =0c a c a+ − 0, 0a c> >
43 4 0, 3c a c a− = =
4
3
ce a
= = 4
3
e
e e e
等式，最后解出 的值.
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.)
17.已知函数 .
（1）求 的对称轴；
（2）当 时，若 ，求 的值.
【答案】（1） ；（2） 或
【解析】
【分析】
（1）化简得到 ，计算 得到答案.
（2）根据 得到 ，根据范围得到 或 计
算得到答案.
【详解】（1）
的对称轴满足：
（2）
故 所以 或
解得： 或
【点睛】本题考查了三角函数的对称轴和根据函数值求角度，意在考查学生的计算能力.
18.已知数列 中， ，
（1）求 的通项公式；
e
2 2( ) 3cos 3sin 2sin cosf x x x x x= − +
( )f x
[0, ]α π∈ ( ) 1f α = α
12 2
kx
π π= +
4
πα = 11
12
πα =
2 n 2) 3( sif x x
π = + 2 3 2x k
π π π+ = +
( ) 1f α = 1sin 2 3 2
πα + =
52 3 6
π πα + = 132 3 6
π πα + =
2 2( ) 3 cos 3sin 2sin cos 3 cos2 sin 2 2sin 2 3f x x x x x x x x
π = − + = + = +
( )f x 2 )3 2 12 2
kx k x k Z
π π π ππ+ = + ∴ = + ∈（
12sin 2 sin 23 3( ) 21f
π παα α + = + =
= ∴
[0, ]α π∈ 42 ,3 3 3
π π πα + ∈
52 3 6
π πα + = 132 3 6
π πα + =
4
πα = 11
12
πα =
{ }na 1 1a = ( )*
1 2 1n na a n N+ = + ∈
na
（2）设 ，求 的前 项和；
【答案】（1） ，（2）
【解析】
【分析】
（1）根据递推公式构造等比数列求通项公式；（2）利用错位相减法对数列求和.
【详解】（1）因为 ，所以 ，则数列 是首项为
公比为 2 的等比数列，则： 即 ；
（2） ，记 的前 项和为 ，则：
，则 ，
两式相减： .
则 的前 项和为： .
【点睛】（1）形如 的递推公式，可采用构造等比数列的方法求解
数列通项公式；
（2）错位相减法一般适用于：等差乘以等比形式的数列求和.
19.如图，在三棱柱 中， 、 分别是 、 的中点.
（1）设棱 的中点为 ，证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，且平面 平面 ，
求三棱柱 的高.
( ) ( )21 log 1n n nb a a= + ⋅ + { }nb n
2 1n
na = − ( ) 11 2 2nn +− +
( )*
1 2 1n na a n N+ = + ∈ 1 1 2( 1)n na a+ + = + { 1}na +
2 1 2n
na + = 2 1n
na = −
( ) ( )21 log 1 2n
n n nb a a n= + ⋅ + = ⋅ { }nb n nS
1 2 31 2 2 2 3 2 ... 2n
nS n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 2 3 4 12 1 2 2 2 3 2 ... 2n
nS n += ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅
1 2 3 1 1 12(1 2 )1 2 2 2 ... 2 2 2 2 ( 1) 21 2
n
n n n n
nS n n n+ + +−= − ⋅ − − − − + ⋅ = − + ⋅ = + − ⋅−
{ }nb n 12 ( 1) 2nn ++ − ⋅
( )1 1, 0n na pa q p q+ = + ≠ ≠
1 1 1ABC A B C− P Q 1AA 1 1AC
1BB D 1 //C D 1PQB
2AB = 1 1 4AC AA AC= = = 1 1 60AA B∠ =
1 1AAC C ⊥ 1 1AA B B
1 1 1ABC A B C−
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）连接 ，证明出平面 平面 ，然后利用平面与平面平行的性质可得出
平面 ；
（2）将三棱柱 的高转化成三棱锥 的高来计算，过点 作
交 于点 ，可得出 平面 ，计算出 的长度，然后利用等体积法由
计算出三棱锥 的高.
【详解】（1）连接 ，在三棱柱 中， ，
是 的中点， 是 的中点， ， 四边形 是平行四边形，
， 平面 ， 平面 ， 平面 .
、 分别是 、 的中点， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 ，
， 、 平面 ， 平面 平面 .
平面 ， 平面 ；
（2）三棱柱的高转化成三棱锥 的高，设为 ，
过点 作 交 于点 ，
4 15
5
AD 1 //AC D 1PQB
1 //C D 1PQB
1 1 1ABC A B C− 1C ABC− B 1BM A A⊥
1A A M BM ⊥ 1 1AAC C BM
1 1C ABC B ACCV V− −= 1C ABC−
AD 1 1 1ABC A B C− 1 1//AA BB
D 1BB P 1AA 1//AP DB∴ ∴ 1ADB P
1//AD PB∴ AD ⊄ 1PQB 1PB ⊂ 1PQB //AD∴ 1PQB
P Q 1AA 1 1AC 1 //AC PQ∴
1AC ⊄ 1PQB PQ ⊂ 1PQB 1 //AC∴ 1PQB
1AD AC A= AD 1AC ⊂ 1AC D ∴ 1 //AC D 1PQB
1C D ⊂ 1AC D 1 //C D∴ 1PQB
1C ABC− h
B 1BM A A⊥ 1A A M
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
在 中， ， .
又因为 ， .
所以 ，所以 ，解得 .
因此，三棱柱 的高为 .
【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了三棱柱高的计算，一般转化为三棱
锥的高，利用等体积法来进行计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
20.已知点 和直线 ，直线 过直线 上的动点 且与直线 垂直，线段
的垂直平分线 与直线 相交于点
（I）求点 的轨迹 的方程；
（II）设直线 与轨迹 相交于另一点 ，与直线 相交于点 ，求 的最小值
【答案】（I） ；（II）
【解析】
【分析】
（I）根据垂直平分线性质可知 ，由抛物线定义可得到所求轨迹方程；（II）由
题意可知，直线 斜率存在，且斜率不为零，设 ， ，与抛物线方程
1 1AAC C ⊥ 1 1AA B B 1 1AAC C 1 1 1AA B B A A=
1BM A A⊥ BM ⊂ 1 1AA B B BM ⊥ 1ACC
ABM∆ 1 1 60BAM AA B∠ = ∠ = sin 3BM AB BAM∴ = ∠ =
1 2 15 152ABCS∆ = × × =
1
1 34 4 42 2ACCS∆ = × × × =
1 1C ABC B ACCV V− −= 1 1 3 4 33 3ABCh S∆× × = × × 4 15
5h =
1 1 1ABC A B C− 4 15
5
( )1,0F 1 : =-1l x 2l 1l M 1l MF
l 2l P
P C
PF C Q 1l N NP NQ⋅
2 4y x= 16
PF PM=
PF ( ): 1PF y k x= − 0k ≠
联立得到韦达定理的形式，利用坐标运算表示出 ，代入韦达定理，结合基本不等式
求得最小值.
【详解】（I）连接
为线段 的垂直平分线
即点 到定点 的距离等于点 到定直线 的距离
由抛物线的定义可知，点 的轨迹为：
（II）由题意可知，直线 斜率存在，且斜率不为零
设 ， ，直线 ，
将直线 方程代入抛物线方程可得：
则
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号
NP NQ⋅
PF
l MF PF PM∴ =
P ( )1,0F P 1 : =-1l x
P 2 4y x=
PF
( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y ( ): 1PF y k x= − 0k ≠
PF ( )2 2 2 22 4 0k x k x k− + + =
( )22 4 22 4 4 16 16 0k k k∆ = + − = + >
2
1 2 2
1 2
2 4
1
kx x k
x x
++ =∴
=
( )1, 2N k− − ( )1 11,NP x kx k∴ = + + ( )2 21,NQ x kx k∴ = + +
( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2
1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 1 1 1NP NQ x x k x x k x x x x∴ ⋅ = + + + + + = + + + +
( ) 2 4 2
2 2 2
2 2 2 2
2 4 4 8 4 4 41 2 4 8 2 4 8 16k k kk k kk k k k
+ + += + ⋅ + = = + + ≥ ⋅ + =
2
2
44k k
= 1k = ±
【点睛】本题考查轨迹方程的求解、抛物线中的最值问题的求解，本题中轨迹求解的关键是
能够根据动点满足的条件确认满足抛物线定义，从而得到抛物线方程；解决最值问题的关键
是能够利用韦达定理表示出所求量，通过基本不等式求得结果.
21.已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，不等式 对一切 恒成立，求实数 的取值范围
【答案】（1）答案见解析（2）
【解析】
【分析】
(1)首先求得导函数的解析式，然后结合导函数的解析式分类讨论即可确定函数的单调区间；
(2)原问题等价于 在 上恒成立，据此设出导函数的零点，
结合导函数的性质讨论函数的最值，得到关于 b 的不等式即可确定其取值范围.
【详解】（1） 的定义域是 ， ．
① 时， ， 在 上单调递增：
② 时， ，解得 ，
当 时， ，则 在 上递减；
当 时， ，则 在 上递增．
（2）当 时， ，
依题意知不等式 ，
即 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
设 ， ，
( )
min
16NP NQ∴ ⋅ =
( ) ( )2e 2 R Rxf x mx m x m= − − ∈ ∈，
( )f x
1m = ( ) ln ln 2f x x bx− ≥ + 0x > b
2e 4b ≤ −
2e 2 1 ln ln 2x x x bx− − − ≥ + ( )0 + ∞，
( )f x R ( ) 2' 2e 2xf x m= −
0m ≤ ( )' 0f x > ( )f x R
0m > ( ) 2' 2e 2 0xf x m= − = 1 ln2x m=
1 ln2x m< ( )' 0f x < ( )f x 1 ln2 m −∞ ， 1 ln2x m> ( )' 0f x > ( )f x 1 ln2 m + ∞ ，
1m = ( ) 2e 2 1xf x x= − −
( ) ln ln 2f x x bx− ≥ +
2e 2 1 ln ln 2x x x bx− − − ≥ + ( )0 + ∞，
( )2e ln 2 ln 2ex x b x− − + ≥ ( )0 + ∞，
( ) ( )2e ln 2xg x x b x= − − + ( ) ( )2 1' 2e 2xg x bx
= − − +
令 ， ，
易知 在 上递减，在 上递增，
则 ，
即 ，设 ，则 ，
，则 递增，又 故 ， ，
∴ ，解得 ．
【点睛】本题主要考查导数研究函数的单调性，导数研究不等式恒成立问题，分类讨论的数
学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.
22.在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参
数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线 ， 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，射线 与曲线 交于点 ，射线 与曲线 交于点 ，求
的面积（其中 为坐标原点）.
【答案】(1) 曲线 : ,曲线 ： .
(2)1.
【解析】
分析：第一问首先将参数方程消参化为普通方程，之后应用极坐标与平面直角坐标之间的转
换关系，求得结果，第二问联立对应曲线的极坐标方程，求得对应点的极坐标，结合极径和
极角的意义，结合三角形面积公式求得结果.
详解：（1）由曲线 ： （ 为参数），消去参数 得：
( ) ( )02
0
0
1' 2e 2 0xg x bx
= − − + = ( )02
0
0
12e 2 0x b xx
− = + >
( )g x ( )00 x， ( )0x + ∞，
( ) ( ) ( ) ( )0 02 2
0 0 0 0 0min e ln 2 1 2 e ln 1 ln 2ex xg x g x x b x x x= = − − + = − − + ≥
( ) 02
0 02 1 e ln 2 0xx x− + ≤ 02 0t x= > ( ) ( )1 e ln 0th t t t= − + ≤
( ) 1' e 0th t t t
= + > ( )h t ( )1 0h = ， 00 2 1t x< = ≤ 0 10 2x< ≤ 02 0 12 2e 2e 2xb x + = − ≤ − 2e 4b ≤ − xOy 1C 4 3 ,x t y t = + = − t 2C 7 cos , 7 sin2 x y θ θ = = θ x 1C 2C 3 πθ = 1C M 6 πθ = 2C N MON∆ O 1C sin 26 πρ θ + = 2C 2 2(1 3sin ) 7ρ θ+ = 1C 4 3 , , x t y t = + = − t t 3 4x y+ =
化简极坐标方程为：
曲线 ： （ 为参数）消去参数 得：
化简极坐标方程为：
（2）联立 即
联立 即
故
点睛：该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，在求解的过程中，需要明确由参数方程
向普通方程转化的过程中，即为消参的过程，注意消参的方法，再者就是直角坐标与极坐标
之间的转换关系，在求有关三角形面积的时候，注意对极坐标的意义的把握，求得结果.
23.
已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）设函数 最小值为 ，实数 满足 ， ， ，求证：
.
【答案】（1） ；（2）见解析
【解析】
分析】
（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通过①当 x＜1 时，②当 1≤x≤3 时，③当 x＞3
时，去掉绝对值符号，求解即可；
（2）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出 a+b=2．令
的
【
sin 26
πρ θ + =
2C
7 ,
7 ,2
x cos
y sin
θ
θ
=
=
θ θ
2 24 17 7
x y+ =
( )2 21 3sin 7ρ θ+ =
26
3
sin
πρ θ
πθ
+ =
=
2
3
ρ
πθ
=⇒ =
2, 3M
π
( )2 21 3sin 7
6
ρ θ
πθ
+ =
=
2
6
ρ
πθ
=⇒ =
2, 6N
π
1 1· ·sin 2 2 sin 12 2 3 6MONS OM ON MON
π π
∆
= ∠ = × × × − =
( ) 1 3f x x x= − + −
( ) 1f x x +
( )f x c ab 0a > 0b > a b c+ =
2 2
11 1
a b
a b
++ +
[ ]1,5
a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．
【详解】①当 时，不等式可化为 ， ．
又∵ ，∴ ∅；
②当 时，不等式可化为 ， ．
又∵ ，∴ ．
③当 时，不等式可化为 ， ．
又∵ ，∴ ．
综上所得， ．
∴原不等式的解集为 ．
（2）证明：由绝对值不等式性质得， ，
∴ ，即 ．
令 ， ，则 ， ， ， ，
，
原不等式得证．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，不等式的证明，考查转化思想以及计算能力，属于
中档题．
4 2 1x x− ≤ + 1x ≥
1x < x∈ 1 3x≤ ≤ 2 1x≤ + 1x ≥ 1 3x≤ ≤ 1 3x≤ ≤ 3x > 2 4 1x x− ≤ + 5x ≤
3x >
( ) ( )1 3 1 3 2x x x x− + − ≥ − + − =
1a m+ = 4m n+ =
( ) ( )2 22 2 1 1
1 1
m na b
a b m n
− −+ = ++ +
1 14m n m n
= + − + + 4
mn
= 2
4 1
2
m n
≥ =
+
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