2020年7月浙江省普通高中学业水平考试数学仿真模拟试题01（考试版+解析版）

1 2020 年 7 月浙江省普通高中学业水平考试 数学仿真模拟试题 01 选择题部分 一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要 求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合 ， ，若 ，则 等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程为 ，则圆的半径为（ ） A．3 B．9 C． D． 4．不等式 的解集是（ ） A． B． C． D． 5． （ ） A． B． C． D． 6．椭圆 的焦距为（ ） A． B．8 C． D．12 7． ， ，若 // ,则 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 8．若直线 与 垂直，则直线 的斜率为（ ） A．-3 B． C．3 D． 9．函数 的图象大致为（ ） { }1,2A = { }1,3,B m= { }1,2,3,4A B = m ( ) ( )lg 1 2f x x x= − + − { }|1 2x x< ≤ { }|1 2x x< < { }|1 2x x≤ ≤ { }2|x x ≤ 2 2 2 4 2 0x y x y+ − + + = 3 3± ( )( )2 2 3 0x x− − > ( )3, 2,2  −∞ ∪ +∞   R 3 ,22      ∅ tan15° = 2 3− 2 3+ 3 2 2− 3 2 2+ 2 2 116 36 x y+ = 2 5 4 5 (2, ,0)a m= (1,3, 1)b n= − a b m n+ = l 3 8 0x y+ + = l 1 3 − 1 3 ( ) 2 1xf x x −=2 A． B． C． D． 10． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 的面积 为（ ） A． B． C． D． 11．一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（ ） A． B． C． D． 12．已知 是实数，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．如图所示， ， ， ， ， ，则平面 和平面 的 交线是（ ） ABC∆ A B C a b c 2b = 6B π= 4C π = ABC∆ 2 2 3+ 3 1+ 2 3 2− 3 1− 12π 18π 24π 36π ,a b 1 1a b= =且 2a b+ = lα β∩ =平面 平面 A β∈ B β∈ AB l D∩ = C α∈ ABC α3 A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 14．已知实数 x，y 满足 ，则 的最大值为（ ） A．4 B．3 C． D．2 15．函数 的图象可看成 的图象按如下平移变换而得到的（ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 16．数列 的前 n 项的和满足 则下列为等比数列的是（ ） A． B． C． D． 17．已知 为双曲线： 右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A． B． C． D． 18．如图，在三棱锥 中， ， ，设二面角 的平面 角为 ，则（ ） A． ， AC BC AB CD 2 3 6 0 0 x y x y + ≤  ≥  ≥ z x y= + 14 5 3sin 3 3y x π = +   3sin3y x= 9 π 9 π 3 π 3 π { }na *3 , ,2n nS a n n N= − ∈ { 1}na + { 1}na − { 1}nS + { 1}nS − P 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A (4 3,0)F | | | |AF PF= 3PFA π∠ = F PA 5 3 2 7 2 7 3 2 15 2 P ABC− PB BC a= = ( )PA AC b a b= = < P AB C- - α + PCA PCBα ∠ + ∠ > π 2 PAC PBCα < ∠ + ∠4 B． ， C． ， D． ， 非选择题部分 二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分） 19．已知 ， ___________；若 ，则实数 的值为___________． 20．已知向量 满足 ，且 则 ___________． 21．已知数列 满足： ， ，若对任意的正整数 ，都有 ，则实数 的取值范围___________． 22．已知 是半径为 ，圆角为 扇形, 是扇形弧上的动点， 是扇形的接矩形，则 的最大值为___________． 三、解答题（本大题共 3 小题，共 31 分） 23．（本小题满分 10 分） 已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求 在 上单调递增区间. 24．（本小题满分 10 分） 已知 为抛物线 的焦点，直线 与 相交于 两点. （1）若 ，求 的值； （2）点 ，若 ，求直线 的方程. + PCA PCBα ∠ + ∠ < π 2 PAC PBCα < ∠ + ∠ + PCA PCBα ∠ + ∠ > π 2 PAC PBCα > ∠ + ∠ + PCA PCBα ∠ + ∠ < π 2 PAC PBCα > ∠ + ∠ 2 2 ( 0)( ) 4 ( 0)x x x xf x x  −=  a OPQ 1 6 π C ABCD 2AB AD+ ( ) 3 cos 2 2sin cos3f x x x x π = − −   ( )f x ( )f x [ ]0,π F 2: 4T x y= : 2l y kx= + T ,A B 1k = FA FB+ ( 3, 2)C − − CFA CFB∠ = ∠ l5 25．（本小题满分 11 分） 已知函数 ， ，（ ） （1）问 取何值时，方程 在 上有两解； （2）若对任意的 ，总存在 ，使 成立，求实数 的取值范围？ 2( ) 2 3 1f x x x= − + ( ) sin( )6g x k x π= − 0k ≠ (sin ) sinf x a x= − [ )0,2π [ ]1 0,3x ∈ [ ]2 0,3x ∈ 1 2( ) ( )f x g x= k6 2020 年 7 月浙江省普通高中学业水平考试 数学仿真模拟试题 01 选择题部分 一、选择题（本大题共 18 小题，每小题 3 分，共 54 分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要 求的，不选、多选、错选均不得分） 1．已知集合 ， ，若 ，则 等于（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 1．【答案】D 【解析】由 ，得 或 ，又由 ，得 ，则 ，即 ，故选： D. 2．函数 的定义域为（ ） A． B． C． D． 2．【答案】A 【解析】由题意使函数表达式有意义，即 ，解得 ，所以函数的定义域为 . 故选：A. 3．已知圆的方程为 ，则圆的半径为（ ） A．3 B．9 C． D． 3．【答案】C 【解析】把圆的方程 化为标准方程是（x–1）2+（y+2）2=3，∴圆的半径为 ．故 选 C． 4．不等式 的解集是（ ） { }1,2A = { }1,3,B m= { }1,2,3,4A B = m { }1,2,3,4A B = 4 A∈ 4 B∈ { }1,2A = 4 A∉ 4 B∈ 4m = ( ) ( )lg 1 2f x x x= − + − { }|1 2x x< ≤ { }|1 2x x< < { }|1 2x x≤ ≤ { }2|x x ≤ 1 0 2 0 x x − >  − ≥ 1 2x< ≤ { }|1 2x x< ≤ 2 2 2 4 2 0x y x y+ − + + = 3 3± 2 2 2 4 2 0x y x y+ − + + = 3 ( )( )2 2 3 0x x− − >7 A． B． C． D． 4．【答案】C 【解析】原不等式可化为 ，解得 ，所以原不等式的解集是 .故选:C. 5． （ ） A． B． C． D． 5．【答案】A 【解析】 . 6．椭圆 的焦距为（ ） A． B．8 C． D．12 6．【答案】C 【解析】由椭圆 ，可知椭圆焦点在 y 轴上，又 ， ， ． 椭圆 的焦距为 ．故选：C． 7． ， ，若 // ,则 （ ） A．6 B．7 C．8 D．9 7．【答案】B 【解析】由 // ,且 ， ，则存在非零实数 使得 ， 即 ，解得 ， ，所以 .故选：B. 8．若直线 与 垂直，则直线 的斜率为（ ） A．-3 B． C．3 D． 8．【答案】D ( )3, 2,2  −∞ ∪ +∞   R 3 ,22      ∅ ( )( )2 2 3 0x x− − < 3 22 x< < 3 ,22      tan15° = 2 3− 2 3+ 3 2 2− 3 2 2+ 31tan 45 tan30 3tan15 tan(45 30 ) 2 31 tan 45 tan30 31 3 −−° = − = = = −+ ⋅ +       2 2 116 36 x y+ = 2 5 4 5 2 2 116 36 x y+ = 2 36a = 2 16b = 2 2 2 5c a b∴ = − = ∴ 2 2 116 36 x y+ = 2 4 5c = (2, ,0)a m= (1,3, 1)b n= − a b m n+ = a b (2, ,0)a m= (1,3, 1)b n= − λ λa b=  ( ) 2 3 0 1 m n λ λ λ  =  =  = − 6m = 1n = 7m n+ = l 3 8 0x y+ + = l 1 3 − 1 38 【解析】直线 可化为 ，其斜率为 ，又因为直线 与直线 垂 直，所以直线 的斜率为 ，故选 D. 9．函数 的图象大致为（ ） A． B． C． D． 9．【答案】D 【解析】由题意，函数 ，可得 ， 即 ，所以函数 为偶函数，图象关于 对称，排除 B、C； 当 时， ，因为函数在 上递增，排除 A，故选 . 10． 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ， ， ，则 的面积 为（ ） A． B． C． D． 10．【答案】B 【解析】根据正弦定理， ，解得 ， ，并且 ，所以 . 11．一个几何体的三视图及其尺寸如图，则该几何体的表面积为（ ） 3 8 0x y+ + = 3 8y x= − − 3k = − l 3 8 0x y+ + = l 1 1' 3k k = − = ( ) 2 1xf x x −= ( ) 2 1xf x x −= ( ) ( )2 2( ) 1 1x xf x f xx x − − −− = = =− ( ) ( )f x f x− = ( )f x y 0x > ( ) 2 1 1xf x xx x −= = − 0 ∞（ ，＋ ） D ABC∆ A B C a b c 2b = 6B π= 4C π = ABC∆ 2 2 3+ 3 1+ 2 3 2− 3 1−9 A． B． C． D． 11．【答案】C 【解析】根据三视图，所求的几何体是底面半径为 ，母线长为 的圆锥，其表面积为 .故选:C. 12．已知 是实数，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 12．【答案】A 【解析】根据题意，由于 是实数，则“ 且 ”是“ ，则可知条件可以推出结论，反之， 则不一定成立，故可知答案为充分不必要条件，选 A. 13．如图所示， ， ， ， ， ，则平面 和平面 的 交线是（ ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 13．【答案】D 【解析】∵ ， ，∴ ，又 ，∴ ．又 平面 ，∴ 为平面 与 平面 的交线．故选 D. 14．已知实数 x，y 满足 ，则 的最大值为（ ） 12π 18π 24π 36π 3 5 23 3 5 24π π π× + × × = ,a b 1 1a b= =且 2a b+ = ,a b 1a = 1b = 2a b+ = lα β∩ =平面 平面 A β∈ B β∈ AB l D∩ = C α∈ ABC α AC BC AB CD l α D l∈ D α∈ C α∈ CD α⊂ CD ⊂ ABC CD ABC α 2 3 6 0 0 x y x y + ≤  ≥  ≥ z x y= +10 A．4 B．3 C． D．2 14．【答案】B 【解析】由题意，作出不等式组 对应的平面区域，如图所示， 目标函数 ，可化为 ，平移直线 ，由图象可知当直线 过点 时，此 时直线 的截距最大，目标函数取得最大值，又由 ，解得 ，所以目标函数的 最大值为 ．故选：B． 15．函数 的图象可看成 的图象按如下平移变换而得到的（ ） A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位 15．【答案】A 【解析】 ,所以函数 的图象可看成 的图 象向左平移 个单位得到的.故 A 正确. 16．数列 的前 n 项的和满足 则下列为等比数列的是（ ） A． B． C． D． 16．【答案】A 【解析】当 时，由 得 ，即 ；当 时，由 得 ，两式相减，得 ，即 ，则 ，又 14 5 2 3 6 0 0 x y x y + ≤  ≥  ≥ z x y= + y x z= − + y x z= − + y x z= − + B y x z= − + 2 3 6 0 x y x + =  = (3,0)B 3 0 3z = + = 3sin 3 3y x π = +   3sin3y x= 9 π 9 π 3 π 3 π 3sin 3 3sin33 9y x x π π   = + = +       3sin 3 3y x π = +   3sin3y x= 9 π { }na *3 , ,2n nS a n n N= − ∈ { 1}na + { 1}na − { 1}nS + { 1}nS − 1n = 3 2n nS a n= − 1 1 3 12a a= − 1 2a = 2n ≥ 3 2n nS a n= − 1 1 3 ( 1)2n nS a n− −= − − 1 3 3 12 2n n na a a −= − − 13 2n na a −= + 11 3( 1)n na a −+ = +11 ，所以数列 是以 3 为首项、公比为 3 的等比数列；故选 A. 17．已知 为双曲线： 右支上一点， 为其左顶点， 为其右焦点，满足 ， ，则点 到直线 的距离为（ ） A． B． C． D． 17．【答案】D 【解析】由题意可得 ， ，由 ， 可得 为等边三角形，所以有 ，代入双曲线方程可得 ，结合 化简可得 ，可解得 ，因为 ，所以 ，所以点 到直线 的距离为 ，故选：D. 18．如图，在三棱锥 中， ， ，设二面角 的平面 角为 ，则（ ） A． ， B． ， C． ， D． ， 18．【答案】C 【解析】如图（1），取 PC 中点 D，连接 AD，BD， 1 1 3a + = { 1}na + P 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > A (4 3,0)F | | | |AF PF= 3PFA π∠ = F PA 5 3 2 7 2 7 3 2 15 2 ( ),0A a− ( ),0F c | | | |AF PF= 3PFA π∠ = APF ( )3,2 2 c aP a c  − +    ( ) ( )2 2 2 2 3 14 4 c a a c a b − +− = 2 2 2b c a= − 2 23 4 0c ac a− − = 4c a= 4 3c = 3a = F PA ( )3 3 155 32 2 2a c+ = ⋅ = P ABC− PB BC a= = ( )PA AC b a b= = < P AB C- - α + PCA PCBα ∠ + ∠ > π 2 PAC PBCα < ∠ + ∠ + PCA PCBα ∠ + ∠ < π 2 PAC PBCα < ∠ + ∠ + PCA PCBα ∠ + ∠ > π 2 PAC PBCα > ∠ + ∠ + PCA PCBα ∠ + ∠ < π 2 PAC PBCα > ∠ + ∠12 由 PB＝BC＝ ，PA＝AC 易知 BD⊥PC，AD⊥PC，故可得 PC⊥平面 ABD， 作 PM⊥AB 于 M，由 ，可得 CM⊥AB， ∴ ，又 ，由图（2）可得 ， ， ，故选：C. 非选择题部分 二、填空题（本大题共 4 小题，每空 3 分，共 15 分） 19．已知 ， ___________；若 ，则实数 的值为___________． 19．【答案】 【解析】因为 ，所以 ，若 ； 则①当 时， ，解得 或 （舍）， ②当 时， ，解得 （舍），综上： ，故答案为： ； . 20．已知向量 满足 ，且 则 ___________． 20．【答案】 【解析】 ， ， ， . 21．已知数列 满足： ， ，若对任意的正整数 ，都有 ，则实数 的取值范围是___________． 21．【答案】 a ABP ABC≅  PMC α∠ = PM CM h a b= = < < 2 2 2 2 PMC PBC PACα ∠ ∠ ∠= > > 2 PAC PBCα∴ > ∠ + ∠ 2 2 PBC PACPCA PCB PCA PCBα ∠ ∠+ ∠ + ∠ > + + ∠ + ∠ 2 2 PBC PACPCB PCA π∠ ∠= + ∠ + + ∠ = 2 2 ( 0)( ) 4 ( 0)x x x xf x x  −=  − − − 35 1y x = − − (3, )+∞ 1 1 3n na a a a+∴ > >…> = > ∴ a (3, )+∞ OPQ 1 6 π C ABCD 2AB AD+ 8 4 3− , 0 6COP πα α ∠ = ≤ ≤   OPQ 1 ABCD sin sinAD BC OC α α= = × = cos cosOB OC α α= × = 3tan 3 ADDOA AO ∠ = = 3 3sinAO AD α= = cos 3sinAB OB OA α α= − = − 2AB AD+ cos 3sin 2sinα α α= − + ( )2 3 sin cosα α= − + ( )8 4 3 sin ,tan 2 3α ϕ ϕ= − + = + tan 2 3ϕ = + 5 12 πϕ = 12 πα = 2AB AD+ 8 4 3− 8 4 3− ( ) 3 cos 2 2sin cos3f x x x x π = − −   ( )f x ( )f x [ ]0,π14 函数 ，（3 分） 所以 的最小正周期为 ．（5 分） （2）令 ， ， 得 ， ，（7 分） 由 ，得 在 上单调递增区间为 ， ．（10 分） 24．（本小题满分 10 分） 已知 为抛物线 的焦点，直线 与 相交于 两点. （1）若 ，求 的值； （2）点 ，若 ，求直线 的方程. 24．（本小题满分 10 分） 【解析】（1）由题意，可得 ，设 ， 联立方程组 ，整理得 ， 则 ， ，（3 分） 又由 .（5 分） （2）由题意，知 ， ， ， 由 ，可得 又 ， ，则 ，（7 分） 整理得 ，解得 ，（9 分） 所以直线 的方程为 . （10 分） 25．（本小题满分 11 分） 3 3( ) cos2 sin 2 sin 22 2f x x x x= + − 1 3= sin 2 cos2 sin 22 2 3x x x π + = +   ( )f x 2 2T π π= = 2 2 22 3 2k x k π π ππ π− ≤ + ≤ + k Z∈ 5 12 12k x k π ππ π− ≤ ≤ + k Z∈ [0, ]x π∈ ( )f x [0, ]π 0,12 π     7 ,12 π π     F 2: 4T x y= : 2l y kx= + T ,A B 1k = FA FB+ ( 3, 2)C − − CFA CFB∠ = ∠ l ( )0,1F 2 2 1 2 1 2, , ,4 4 x xA x B x            2 2 4 y kx x y = +  = 2 4 8 0x kx− − = 1 2 4x x k+ = 1 2 8x x = − 2 2 1 21 14 4 x xFA FB + ++ = + ( )2 1 2 1 22 2 104 x x x x+ −= + = 2 1 1, 14 xFA x  = −    2 2 2 , 14 xFB x  = −    ( )3. 3FC = − − CFA CFB∠ = ∠ cos , cos ,FA FC FB FC=    2 1 14 xFA = + 2 2 14 xFB = + FA FC FB FC FA FC FB FC =          ( )1 2 1 24 2 0x x x x+ + − = 3 2k = − l 3 2 4 0x y+ − =15 已知函数 ， ，（ ） （1）问 取何值时，方程 在 上有两解； （2）若对任意的 ，总存在 ，使 成立，求实数 的取值范围？ 25．（本小题满分 11 分） 【解析】（1） 化为 在 上有两解,换 , 则 在 上解的情况如下： ①当在 上只有一个解或相等解， 有两解 或 , ∴ 或 . ②当 时， 有惟一解 , ③当 时， 有惟一解 , 故 或 . （5 分） （2）当 ∴ 值域为 , 当 时，则 有 , （7 分） ①当 时， 值域为 , ②当 时， 值域为 , 而依据题意有 的值域是 值域的子集, （9 分） 则 或 , （10 分） ∴ 或 . 综上，实数 的取值范围是 . （11 分） 2( ) 2 3 1f x x x= − + ( ) sin( )6g x k x π= − 0k ≠ (sin ) sinf x a x= − [ )0,2π [ ]1 0,3x ∈ [ ]2 0,3x ∈ 1 2( ) ( )f x g x= k 22sin 3sin 1 sinx x a x− + = − 22sin 2sin 1x x a− + = [ ]0,2π sint x= 22 2 1t t a− + = [ ]1,1− ( )1,1− x ( )( )5 1 0a a− − < 0∆ = ( )1,5a∈ 1 2a = 1t = − x 3 2x π= 1t = x 2x π= ( )1,5a∈ 1 2a = [ ]1 0,3x ∈ ( )1f x 1 ,108  −   [ ]2 0,3x ∈ 2 36 6 6x π π π− ≤ − ≤ − 2 1 sin 12 6x π − ≤ − ≤   0k > ( )2g x 1 ,2 k k −   0k < ( )2g x 1, 2k k −   ( )1f x ( )2g x 0 10 1 1 8 2 k k k   >  ≤  − ≥ −  0 110 2 1 8 k k k   <  ≤ −   − ≥ 10k ≥ 20k ≤ − k ( ] [ )∞+∞ ，， 1020-- 16