天津市河北区2020届高三总复习质量检测（一）（一模）数学试题 Word版含答案

高三数学 第 1 页 共 8 页 河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（一） 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟．第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 8 页． 第Ⅰ卷（选择题 共 45 分） 注意事项： 1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上，并在规 定位置粘贴考试用条形码。 2． 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3． 本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。 参考公式： · 如果事件 A，B 互斥，那么 P（A∪B）＝P（A）＋P（B） · 如果事件 A，B 相互独立，那么 P（AB）＝P（A） P（B） · 球的表面积公式 S＝ 球的体积公式 V＝ 其中 R 表示球的半径 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知集合 ， ， ，则集合 （A） （B） （C） （D） （2）设 ，则“ ”是“ ”的 （A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （3）已知直线 与圆 相交于 ， 两点，若 ， 则直线 的斜率为 （A） （B） （C） （D） ⋅ 24 Rπ 34 3 Rπ {1 2 3 4 5 6}U = ，，，，， {1 2 3 4}A = ，，， {2 4 6}B = ，， ( )U A B = {5} {1 5}， {2 4}， {1 2 3 4 6}，，，， a ∈ R > 2a 2 4a > l: 2x ay+ = C: 2 2 4x y+ = M N 2 3MN = l 3 3 3 3 ± 3 3−高三数学 第 2 页 共 8 页 （4）已知双曲线 的焦距为 4，点 为双曲线上一点，则双曲 线的渐近线方程为 （A） （B） （C） （D） （5）已知函数 的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是 （A） （B） （C） （D） （第（5）题图） （6）已知函数 是定义在 上的偶函数，且 在 单调递增，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为 （A） （B） （C） （D） （7）在等腰梯形 中， ， ， 为 的中点，将 与 分别沿 ， 向上折起，使 ， 重合为点 ，则三棱锥 的外接球的体积为 （A） （B） （C） （D） 2 2 2 2 1( 0 0)x y a b a b − = > >， (2 3)， 1 2 y x= ± y x= ± 3 3 y x= ± 3y x= ± ( )f x ( ) 2 x xf x = ( ) 2 2xf x = − 2( ) 2 xf x x= - ( ) e xf x x= - ( )f x R ( )f x [0 + )∞， 3( )2a f= 3(log 7)b f= 3( 0.8 )c f= − a b c b a c< < c b a< < c a b< < a c b< < ABCD 2 2 2AB DC AD= = = 60DAB∠ = ° E AB ADE∆ BEC∆ ED EC A B F F DCE− 2 π3 6 π4 3 π2 6 π8高三数学 第 3 页 共 8 页 （8）将函数 的图象向左平移 个单 位长度，得到函数 的图象，若函数 在 为增函数，则 的最大值为 （A）1 （B）2 （C）3 （D） （9）已知函数 若关于 的方程 恰有 1 个实根， 则实数 的取值范围是 （A） （B） （C） （D） ( ) cos (2sin 2 3 cos ) 3 ( 0) 2 2 2 x x xf x ω ω ω ω= − + > π 3ω ( )g x ( )g x π[0 ]4 ， ω 4 2 3 + 2 1( ) ln 1 x x xf x = x x >    ， ≤ ， ， ， - x ( )f x ax a= − a [ 1 0] [1 + )− ∞， ， ( 1] [0 1]−∞ − ， ， [ 1 1]− ， ( 1] 1 )−∞ − + ∞， ，高三数学 第 4 页 共 8 页 河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（一） 数 学 第Ⅱ卷 注意事项： 1． 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2． 用黑色墨水的钢笔或签字笔答在答题纸上。 3． 本卷共 11 小题，共 105 分。 得 分 评卷人 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 请将答案 写在答题纸上. （10）设复数 （ 为虚数单位），则 _____________． （11）二项式 的展开式中， 项的系数为 ． （12）从某班的 4 名男生，2 名女生中任选 3 人参加学校组织的社会实践活动． 设所选 3 人中女生人数为 ，则 ，数学期望 ． （13）已知 ，且 ，则 的最小值为 ． （14）已知 是边长为 2 的等边三角形， ， ，且 与 相交于点 ，则 ． （15）已知函数 ， ，分别给出下面几个结论： ① 等式 在 时恒成立； ② 函数 的值域为 ； ③ 若 ，则一定有 ； ④ 函数 在 上有三个零点． 其中正确结论的序号是______________． 1 i 1 iz − += i z = 51(2 )x x - 2x X ( 2)P X = = ( )E X = 0 0a b> >， + 2a b = 2 22 1 a b a b + + + ABC∆ BD DC=  1 2AE EC=  AD BE O OA OB⋅ =  ( ) 1 xf x = x+ x∈R ( ) + ( ) 0f x f x- = x∈R ( )f x ( 1 1)− ， 1 2x x≠ 1 2( ) ( )f x f x≠ ( ) ( )g x f x x= - R高三数学 第 5 页 共 8 页 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤． 得 分 评卷人 （16）（本小题满分 14 分） 已知 的内角 的对边分别为 ，满足 ． （Ⅰ）求角 ； （Ⅱ）若 ，求 的值； （Ⅲ）若 ， ，求 的值． 请将答案写在答题纸上 ABC∆ A B C， ， a b c， ， 2 3 2 cosc a b A= + B 1cos 4A = sin(2 )A B+ 7c = sin 3b A = b高三数学 第 6 页 共 8 页 得 分 评卷人 （17）（本小题满分 15 分） 如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 为平行四边形， ，且 ， ， 是棱 的中点． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）在线段 上（不含端点）是否存在一点 ，使得二面角 的余 弦值为 ？若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由． 请将答案写在答题纸上 P ABCD- PA ⊥ ABCD ABCD AB AC⊥ 3PA AB= = 2AC = E PD PB∥ AEC PC AEC PB M M AC E− − 10 10 M高三数学 第 7 页 共 8 页 得 分 评卷人 （18）（本小题满分 15 分） 已知等比数列 的前 项和为 ，公比 ，且 是 ， 的等差中项， ． （Ⅰ）求数列 的通项公式； （Ⅱ）设 ，求数列 的前 项和 ． 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 （19）（本小题满分 15 分） 已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆 相切． （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 交于不同两点 ， ，线段 的中垂线为 ，若 在 轴上的截距为 ，求直线 的方程． { }na n nS 1q > 2 1a + 1a 3a 3 14S = { }na 2ogln n nb a a⋅= { }nb n ( )nT n ∗∈ N C: 2 2 2 2 1 ( 0)x y+ = a > b > a b 1 2 + 6=0x y - 2 2 2x + y b= C (4 0)P ， l C A B AB 1l 1l y 4 13 l高三数学 第 8 页 共 8 页 请将答案写在答题纸上 得 分 评卷人 （20）（本小题满分 16 分） 已知函数 ，其中 ． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）设 ，若对任意的 ， 恒成立，求 的最大值； （Ⅲ）求证：当 时， ． 请将答案写在答题纸上 2( ) ln ( 2) 1f x x ax a x+ + + += a ∈ R ( )f x a ∈ Z 0x > ( ) 0f x ≤ a 0x > 3 2e ln 2 1 0x x x x x x− + − + − >高三数学 第 9 页 共 8 页 河北区 2019－2020 学年度高三年级总复习质量检测（一） 数 学 答 案 一、选择题：本大题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分． 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 答案 A A B D C C D B A 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． （10） ； （11） ； （12） ，1； （13） ； （14） ； （15）①②③． 三、解答题：本大题共 5 小题，共 75 分． （16）（本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）∵ ， 由正弦定理得， ． .…….……2 分 ∴ ， .…….……4 分 即 ． ∵ ， ∴ ． .…….……5 分 1 80 1 5 6 2 2 3 + 3 4 − 2 3 2 cosc a b A= + 2sin 3 sin 2sin cosC A B A= + 2(sin cos + cos sin ) 3 sin 2sin cosA B A B A B A= + 2sin cos 3 sinA B A= sin 0A ≠ 3cos 2 B =高三数学 第 10 页 共 8 页 又 ， ∴ ． .…….……6 分 （Ⅱ）由已知得， ． .…….……7 分 ∴ ， .…….……8 分 ． .…….……9 分 ∴ . ….……11 分 （Ⅲ） 由正弦定理 ，得 ． 由（Ⅰ）知， ， ∴ ． .…….……12 分 由余弦定理得， ． ∴ ． .…….……14 分 （17）（本小题满分 15 分） 证明：（Ⅰ）连接 交 于点 ， 连接 ． ∵ 是平行四边形， ∴ 是 的中点． 又 是 的中点， ∴ ． .…….……2 分 又 平面 ， 平面 ， ∴ 平面 ．.…….……4 分 解：（Ⅱ）以 为坐标原点，分别以 所在直线为 轴， 轴， 轴 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ， ， ， ． 设平面 的法向量为 ． 0 B< < π 6 B π= 2 15sin 1 cos 4 A A−= = 15sin 2 2sin cos 8A A A= = 2 7cos2 2cos 1 8A A= − = − 3 5 7sin(2 ) sin(2 ) sin 2 cos cos 2 sin 6 6 6 16 A B A A A π π π −+ + += = = sin sin a b A B = sin sin b Aa B = 6 B π= 2 3a = 2 2 2 2 cos 19b a c ac B= + − = 19b = BD AC F EF ABCD F BD E PD EF PB∥ PB ⊄ AEC EF ⊂ AEC PB∥ AEC A AC， AB AP， x y z (0 0 0)A ，， (0 3 0)B ，， (2 0 0)C ，， (2 3 0)D −， ， (0 0 3)P ，， 3 3(1 )2 2E −， ， AEC ( )x y z= ，，n高三数学 第 11 页 共 8 页 ∵ ， ∴ 即 不妨取 ，得 ． .…….……6 分 又 ． 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 ， 即直线 与平面 所成角的正弦值为 ． .…….……9 分 （Ⅲ）假设在线段 上（不含端点）存在一点 ，使得二面角 的余弦值 为 ．连接 ． 设 ， .…….……10 分 得 ． 设平面 的法向量为 ． ∵ ， ∴ 即 不妨取 ，得 ． .…….……12 分 设二面角 的平面角为 ， 则 ． 化简得 ， 解得 ，或 ． ∵二面角 的余弦值为 ， ∴ ． ∴在线段 上存在一点 ，且 ，使得二面角 的余弦值为 3 3(1 ) (2 0 0) 2 2 AE AC= − = ， ， ， ，， 0 0 AE AC  ⋅ = ⋅ =   ， ， n n 3 3 02 2 2 0 x y z x  − =  = + ， . 1y = (0 1 1)= ，，n (2 0 3)PC = − ，， PC AEC α 3 26sin cos 26 PCα PC PC ⋅= = = ⋅  ， nn n PC AEC 3 26 26 PB M M AC E− − 10 10 AM MC， (0 1)PM λPB λ= < 3 4 4 4 14S q q = + + = 2q = 1 2a = 1 1 2n n na a q −= = 2n na = 2log 2n n n nb a a n= = ⋅ 2 31 2 2 2 3 2 2n nT n= × + × + × + + ⋅ 2 3 12 1 2 2 2 ( 1) 2 2n n nT n n += × + × + + − ⋅ + ⋅ 2 3 12 2 2 2 2n n nT n +− = + + + + − ⋅ 12(1 2 ) 21 2 n nn +−= − ⋅− 1(1 ) 2 2nn += − ⋅ − 1( 1) 2 2n nT n += − ⋅ +高三数学 第 13 页 共 8 页 解：（Ⅰ）由题意得， ..…….……3 分 又 ， ∴ ． ..…….……4 分 ∴椭圆 的方程为 ． .…….……5 分 （Ⅱ）由题意，直线 的斜率 存在且不为零． 设直线 的方程为 ， ． .…….……6 分 设 ， ， 的中点 ． 由 消去 ，整理得 ． .…….……7 分 由 ， 解得 ，且 ， .…….……8 分 ∴ ． .…….……9 分 ∴ ， ． ∴ ． .…….……11 分 由题意可知， ， 即 ． .…….……12 分 化简得， ． 令 ， ． .…….……13 分 解得 ，或 ． ∵ ，且 ， 1 2 6 3 1 1 ce a b  = = − = = + ， ， 2 2 2a b c= + 2a = C 2 2 14 3 x y+ = l k l ( 4)y k x -= 0k ≠ 1 1( )A x y， 2 2( )B x y， AB 0 0( )Q x y， 2 2 ( 4) 14 3 y k x x y  + = = - ， ， y 2 2 2 2(3 4 ) 32 64 12 0k x k x k+ − + − = 2 2 2 2( 32 ) 4(3 4 )(64 12) 0k k k∆ = − − + − > 1 1 2 2k− < < 0k ≠ 2 1 2 2 32 3 4 kx x + k + = 2 0 2 16 3 4 kx + k = 0 0 2 12( 4) 3 4 ky k x + k = − = − 2 2 2 16 12( )3 4 3 4 k kQ + k + k ，- 1 0 0: ( )1l y y x x k - - -= 2 2 2 12 1 16( )3 4 3 4 k ky + x+ k k + k=- - 2 1 4 3 4 ky xk + k=- + 0x = 2 4 4 3 4 13 k + k = 1 4k = 3k = 1 1 2 2k− < < 0k ≠高三数学 第 14 页 共 8 页 ∴ ． .…….……14 分 故直线 的方程为 ． .…….……15 分 （20）（本小题满分 16 分） 解：（Ⅰ）函数 的定义域为 ， .…….……1 分 ． .…….……3 分 （1）当 时， ∵ ， ∴函数 在 单调递增． .…….……4 分 （2）当 时， ， 由 ，得 ， 由 ，得 ， ∴函数 在 单调递增，在 单调递减． …….……6 分 （Ⅱ）若 ，则 ，不满足 恒成立． .…….……7 分 若 ，由（Ⅰ）知，函数 在 单调递增，在 单调递减． ∴ ． .…….……8 分 又 恒成立， ∴ ，即 ． 令 ， 则 ． ∵ ， ∴函数 在 单调递增，且 ， ． ∴存在唯一的 ，使得 ． .…….……10 分 当 时， ，当 时， ， 1 4k = l 1 ( 4)4y x= − ( )f x (0 + )∞， 1( ) 2 +2f x ax ax ′ + += 0a≥ '( )>0f x ( )f x (0 + )∞， 0f a ( ) 0f x ≤ 1 1( ) ln 2 02 2g = − + < 0 1( 1)2x ∈ ， 0( ) 0g x = 0(0 )x x∈ ， ( ) < 0g x 0( )x x∈ + ∞， ( ) > 0g x高三数学 第 15 页 共 8 页 ∴ ，解得 ． 又 ， ∴ 的最大值为 ． .…….……12 分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当 时， ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． 记 ， ． .…….……14 分 记 ， ． 由 ，得 ． 当 时， ，当 时， ， ∴函数 在 单调递减，在 单调递增． ∴ ． ∴ ，即 ． 故函数 在 单调递增． ∴ ，即 ． ∴ ． .…….……16 分 注：其他解法可参照评分标准酌情给分 0 10 x a < - ≤ 0 1 ( 2 1)a x ∈ − −≤ - ， a ∈ Z a 2− 2a −= 2( ) ln 2 1f x x x x x- - 3 2 3 3 2 2e ln 2 1 e 2 2 1 e 2 1x x xx x+ x x + x > x + x+ x x + x x + x- - - - - - = - - 2( ) e 2 1( 0)xu x x x x+ − >= - ( ) e 2 2xu x x+′ = - ( ) e 2 2xh x x += - ( ) e 2xh x′ = - ( ) 0h x′ = ln 2x = (0 ln 2)x∈ ， ( ) < 0h x′ (ln 2 )x∈ + ∞， ( ) > 0h x′ ( )h x (0 ln 2)， (ln 2 + )∞， ln 2 min( ) (ln 2) e 2ln 2 2 4 2ln 2 0h x h= = − + = − > ( ) 0h x > ( ) 0u x′ > ( )u x (0 + )∞， 0( ) > (0) e 1 0u x u −= = 2e 2 1 0x x x+ − >- 3 2e ln 2 1 0x x x+ x x + x >- - -