2020 高考一线名师模拟预测 01
理科数学试题
本试卷共 23 题。满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.
2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂 黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效.
3. 填空题和解答题答在答 题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。）
1．设 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．已知 ， 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则 a 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．设 ，则( )
A． B． C． D．
4．平面向量 满足 ， ， 在 上的投影为 5，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
5．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘
{ }1A x x= > { }2 2 0B x x x= − − < ( )RC A B = { }1x x > − { }1 1x x− < ≤ { }1 1x x− < < { }1 2x x< < Ra∈ i 1 a iz i += + 1− 0.3 3 4 1( ) , 10, 1010a b c log= = = a c b< < b a c< < c b a< < a b c< < ,a b | | 4a = | | 2b = a b+ a | 2 |a b−
汰两人，一人胜出．现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．在 中， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
7．设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时，
.若对任意 ，都有 ，则 m 的取值范围是
A． B．
C． D．
8．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》
中发明了一种二次不等距插值算法:若函数 在
处的函数值分别为 ，则在区间 上 可以用
二次函数来近似代替: ，其中
.若令 ， ，请依据上述算法，估
算 的值是( )
A． B． C． D．
9．函数 与 的图像如图所示，则 的图像可能为（ ）
1
27
1
9
1
3
2
3
ABC∆ 2, 2 2AC BC= = B
0 4B
π< ≤ 0 6B π< ≤ 0 4B π< ≤ 3 4 B π π≤ < 0 6B π< ≤ 5 6 B π π≤ < ( )f x ( 1) 2 ( )f x f x+ = (0,1]x∈ ( ) ( 1)f x x x= − ( , ]x m∈ −∞ 8( ) 9f x ≥ − 9, 4 −∞ 7, 3 −∞ 5, 2 −∞ 8, 3 −∞ ( )y f x= 1 2 3, ,x x x x x x= = = ( )1 2 3x x x< < ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, ,y f x y f x y f x= = = [ ]1 3,x x ( )f x ( ) ( ) ( )1 1 1 2 1f x y k x x k x x= + − + − ( )2x x− 3 22 1 1 1 2 2 1 3 2 3 1 , ,y yy y k kk k kx x x x x x −− −= = =− − − 1 20, 2x x π= = 3x π= sin 5 π 14 25 3 5 16 25 17 25 ( )y f x= ( )y g x= ( ) ( )y f x g x= ⋅
A． B． C．
D．
10．三棱锥 P－ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三
棱锥 P－ABC 的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
11．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
以 为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与
轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
23π 23
4
π 64π 64
3
π
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F O
1 2F F O P Q B O
y 2POF QOB∠ = ∠ C
3 5+ 3 5
2
+
1 5+ 1 5
2
+
2y x= ( ) ( )lnf x ax b= + ab
4
e
2
e e 2e
13．已知 为坐标原点，点 ，点 为平面区域 内的一个动点，
则 的取值范围是________.
14．已知 ，则 展开式中 的系数为__
15．如图,一个粒子的起始位置为原点,在第一象限内于两正半轴上运动,第一秒运动到(0,1),而
后它接着按图示在 轴、 轴的垂直方向来回运动,且每秒移动一个单位长度,如图所示,经
过 秒时移动的位置设为 ,那么经过 2019 秒时,这个粒子所处的位置的坐标是
______.
16．设抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 与抛物线交于 ， 两点，点 满足
，过 作 轴的垂线与抛物线交于点 ，若 ，则点 的横坐
标为__________， __________．
三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分 12 分）
设数列 的前 项和为 ，已知 ， .
（1）求证：数列 为等差数列，并求出其通项公式；
（2）若 ，求正整数 的值.
18．（本小题满分12 分）
O (5, 4)A − ( , )M x y
2
1
2
x y
x
y
+ ≥
{ }2 2 0B x x x= − − < ( )RC A B = { }1x x > − { }1 1x x− < ≤ { }1 1x x− < < { }1 2x x< < R { | 1}C A x x= ≤ { | 1 2}B x x= − < < ( ) { | 1 1}RC A B x x = − < ≤
故选 .
2．已知 ， 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则 a 的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】 为纯虚数.
则 所以
故选：A
3．设 ，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
， ， ，
．
故选：A．
4．平面向量 满足 ， ， 在 上的投影为 5，则 的值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】因为 在 上的投影为
，
B
Ra∈ i 1
a iz i
+= +
1−
( )( )
( )( )
( ) ( )1 1 1=1 1 1 2
a i i a a ia iz i i i
+ − + + −+= =+ + −
1 10, 02 2
a a+ −= ≠ 1a = −
0.3 3
4
1( ) , 10, 1010a b c log= = =
a c b< < b a c< < c b a< < a b c< < 0.3 01 1( ) ( ) 110 10 < = 3 310 8 2> = 4 4 41 log 4 log 10 log 16 2= < < = a c b∴ < < ,a b | | 4a = | | 2b = a b+ a | 2 |a b− a b+ a 2 ( ) 16| | cos , | | 54| | | | a aba b a b a b a a a b a ba a ab ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ 〈 〉 = ⋅ = =++ + + =+ ‖
所以 ．又 ，
所以 ．
故选:B.
5．甲、乙、丙三人玩“石头、剪刀、布”游戏（石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头），需要淘
汰两人，一人胜出．现三人同时随机出拳，则游戏只进行一回合就结束的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】三人同时随机出拳，共有 种基本事件；
其中游戏只进行一回合就结束的事件数为 ；
所以所求概率为 ；
故选：C
6．在 中， ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】B
【解析】
设 ，则 ，
由余弦定理可得， ，
根据余弦函数的性质可知， ,故选 B.
4a b⋅ = 2 22( 2 ) 4 4 16 16 16 16a b a a b b− = − ⋅ + = − + =
| 2 | 4a b− =
1
27
1
9
1
3
2
3
3 3 3 27× × =
3 3 1 9× × =
9 1
27 3
=
ABC∆ 2, 2 2AC BC= = B
0 4B
π< ≤ 0 6B π< ≤ 0 4B π< ≤ 3 4 B π π≤ < 0 6B π< ≤ 5 6 B π π≤ < AB x= 2 3 2x< < 2 8 2 1 6 1 3cos 2 6 24 2 4 2 4 2 xB x xx + − = = + ≥ × = 0 6B π< ≤
7．设函数 的定义域为R，满足 ，且当 时， .
若对任意 ，都有 ，则 m 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
时， ， ， ，即 右移 1 个
单位，图像变为原来的 2 倍．如图所示：当 时， ，
令 ，整理得： ，
（舍）， 时， 成立，
即 ， ，故选 B．
8．中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》
中发明了一种二次不等距插值算法:若函数 在
处的函数值分别为 ，则在区间 上 可以用
( )f x ( 1) 2 ( )f x f x+ = (0,1]x∈ ( ) ( 1)f x x x= −
( , ]x m∈ −∞ 8( ) 9f x ≥ −
9, 4
−∞
7, 3
−∞
5, 2
−∞
8, 3
−∞
(0,1]x∈ ( )= ( 1)f x x x − ( +1)= ( )f x 2 f x ( ) 2 ( 1)f x f x∴ = − ( )f x
2 3x< ≤ ( )=4 ( 2)=4( 2)( 3)f x f x x x− − − 84( 2)( 3) 9x x− − = − 29 45 56 0x x− + = 1 2 7 8(3 7)(3 8) 0, ,3 3x x x x∴ − − = ∴ = = ( , ]x m∴ ∈ −∞ 8( ) 9f x ≥ − 7 3m ≤ 7, 3m ∴ ∈ −∞ ( )y f x= 1 2 3, ,x x x x x x= = = ( )1 2 3x x x< < ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, ,y f x y f x y f x= = = [ ]1 3,x x ( )f x
二次函数来近似代替: ，其中
.若令 ， ，请依据上述算法，估
算 的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设 ， ， ，则有 ，
则 ， ， ，
由 ，
可得
，答案选 C
9．函数 与 的图像如图所示，则 的图像可能为（ ）
( ) ( ) ( )1 1 1 2 1f x y k x x k x x= + − + − ( )2x x−
3 22 1 1
1 2
2 1 3 2 3 1
, ,y yy y k kk k kx x x x x x
−− −= = =− − − 1 20, 2x x
π= = 3x π=
sin 5
π
14
25
3
5
16
25
17
25
( ) siny f x x= = 1 20, 2x x
π= = 3x π= 1 2 30, 1, 0y y y= = =
1
1 0 2
02
k π π
−= =
−
0 1 2
2
k π ππ
−= = −
− 2 2
4k π= −
( ) ( ) ( )( ) 2
1 1 1 2 1 2 2
4 4f x y k x x k x x x x x xπ π≈ + − + − − = − +
2
2
4 4sin x x xπ π≈ − +
16sin 5 25
π ≈
( )y f x= ( )y g x= ( ) ( )y f x g x= ⋅
A． B． C．
D．
【答案】A
【解析】
函数 定义域不包含 ，故排除 ；
当 时， ，排除 ；
故选： .
10．三棱锥 P－ABC 中，平面 PAC⊥平面 ABC，AB⊥AC，PA＝PC＝AC＝2，AB＝4，则三
棱锥 P－ABC 的外接球的表面积为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意，得到三棱锥 的外接球的球心在等边三角形 的中心高线
和过直角三角形 斜边 的中点的高的交点位置，
如图所示：
( ) ( )y f x g x= ⋅ 0 CD
0x +→ ( ) ( ) 0y f x g x= ⋅ < B A 23π 23 4 π 64π 64 3 π P ABC− PAC ABC BC
三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
所以 ， ，
在直角三角形 中， ，
解得： ，
所以 ，
三棱锥的外接球半径 ，
则 ，
故选： ．
11．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 为坐标原点，
以 为直径的圆 与双曲线及其渐近线在第一象限的交点分别为 、 ，点 为圆 与
轴正半轴的交点，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
P ABC− PAC ⊥ ABC AB AC⊥ 2PA PC AC= = = 4AB =
2 22 1 3PF = − = 3
3EF =
ABC 2 2 2BC AB AC= +
2 5BC =
5CD =
2 23 16( 5) ( )3 3r = + =
2 644 3S r
ππ= =
D
C
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
− = > > 1F 2F O
1 2F F O P Q B O
y 2POF QOB∠ = ∠ C
3 5+ 3 5
2
+
1 5+ 1 5
2
+
【答案】D
【解析】
画出图形如图所示，由题意得双曲线在一、三象限的渐近线方程为 ，以 为直径
的圆 的方程为 ．
由 ，解得 ，故点 P 的坐标为 ；
由 ，解得 ，故点 Q 的坐标为 ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，整理得 ，
∴ ，故得 ，
解得 ．选 D．
12．已知直线 与曲线 相切，则 的最大值为（ ）
by xa
= 1 2F F
O 2 2 2x y c+ =
2 2 2
by xa
x y c
=
+ =
x a
y b
=
=
( , )a b
2 2
2 2
2 2 2
1x y
a b
x y c
− =
+ =
2 2x a b c
by c
= +
=
2 2
( , )a b c b
c c
+
2POF QOB∠ = ∠
2sin sinPOF QOB∠ = ∠
2 2
2
b a b c
c c
+= 2b ac=
2 2c a ac− = 2 1 0e e− − =
1 5
2e
+=
2y x= ( ) ( )lnf x ax b= + ab
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设切点 ，则由 得 ，
又由 ，得 ，则 ，
有 ，令 ，则 ，
故当 时 ；当 时 ，故当 时 取得极大
值也即最大值 .
故选：C.
二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知 为坐标原点，点 ，点 为平面区域 内的一个动点，
则 的取值范围是________.
【答案】
【解析】
，不等式组对应的可行域如图阴影部分所示：
4
e
2
e e 2e
( )( )0 0,lnx ax b+ ( )0
0
2af x ax b
′ = =+ ( )0
1 02ax b a a+ = >
( )0 0ln 2ax b x+ = ( )0 0
1 1ln ln2 2 2
ax ax b= + = 0 ln2 2 2 2
a a a ab ax= − = −
( )2 21 1 ln 02 2 2
aab a a a= − > ( ) 2 21 1 ln2 2 2
ag a a a= − ( ) 1 ln2 2
ag a a ′ = −
0 2 ea< < ( ) 0g a′ > 2 ea > ( ) 0g a′ < 2 ea = ( )g a ( )2g e e= O (5, 4)A − ( , )M x y 2 1 2 x y x y + ≥ > 1AF m= 2AF n=
2 2 24
4 3
6
m n c
m n
mn
+ =
+ =
=
2 9c = 2 12 9 3b = − =
2 2
112 3
x y+ =
3Ay c× = 1Ay = 2 2Ax =
A 2 8x y=
l ( )1 2 2y k x− = − ( )1 1,B x y ( )2 2,C x y
2AC AB= ( )2 12 2 2 2 2x x− = −
1 22 2 2x x− =
( )
2
1 2 2
8
y k x
x
− = −
=
2 8 16 2 8 0x kx k− + − =
1 2 2 8x k+ =
( )
2 2
1 2 2
4 12
y k x
x y
− = −
+ =
( ) ( )2 2 2 21 4 8 16 2 32 16 2 8 0k x k k x k k+ + − + − − =
1 2 2 8x k+ =
( )1 22 2 8 2 2x x k− = − 2
2
16 2 8 2 2 2 21 4
k k
k
−− + =+
( ) 2
216 4 2 1 01 4
kk k
− − = +
2
4k = l 2
4
20．（本小题满分 12 分）
20．设函数 为常数
(1)若函数 在 上是单调函数，求 的取值范围；
(2)当 时，证明 .
【答案】(1) ；(2) 证明见解析.
【解析】
（1）由 得导函数 ，其中 .
当 时， 恒成立，
故 在 上是单调递增函数，符合题意；
当 时， 恒成立，
故 在 上是单调递减函数，符合题意；
当 时，由 得 ，
则存在 ，使得 .
当 时， ，当 时，
，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上是不是单调函数，不符合题意.
( ) sin , (0, ),2f x ax x x a
π= − ∈
( )f x 0, 2
π
a
1a ≤ 31( ) 6f x x≤
] [( ,0 1, )−∞ ∪ +∞
( ) sinf x ax x= − ( ) cosf x a x= −′ 0 cos 1x< < 1a ≥ ( ) 0f x′ >
( ) sinf x ax x= − 0, 2
π
0a ≤ ( ) 0f x′ < ( ) sinf x ax x= − 0, 2 π 0 1a< < ( ) cos 0f x a x′ = − = cosx a= 0 0, 2x π ∈ 0cosx a= 00 x x< < ( )0 0f x′ < 0 2x x π< < ( )0 0f x′ > ( )f x ( )00, x 0 , 2x
π
( )f x 0, 2
π
综上， 的取值范围是 .
（2）由（1）知当 时， ，
即 ，故 .
令 ，
则 ，
当 时， ，所以 在 上是单调递减函数，
从而 ，即 .
21．（本小题满分 12 分）
甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲
乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有 1 人命中，命中者得 1 分，未命中者得
-1 分；两人都命中或都未命中，两人均得 0 分，设甲每次投球命中的概率为 ，乙每次投
球命中的概率为 ，且各次投球互不影响.
（1）经过 1 轮投球，记甲的得分为 ，求 的分布列；
（2）若经过 轮投球，用 表示经过第 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概
率.
①求 ；
②规定 ，经过计算机计算可估计得 ，请根据①中
的值分别写出 a，c 关于 b 的表达式，并由此求出数列 的通项公式.
a ] [( ),0 1,−∞ ∪ +∞
1a = ( ) ( )sin 0 0f x x x f= − > =
sinx x< 2 2sin 2 2 x x < ( ) ( ) 3 31 1sin , 0,6 6 2g x f x x ax x x x π = − = − − ∈ ( ) 2 2 2 2 21 1 1cos 1 2sin 1 2 12 2 2 2 2 x xg x a x x a x a x a = − − = − + − < − + −′ = − 1a ≤ ( ) 1 0g x a −′ = ≤ ( )g x 0, 2 π ( ) ( )0 0g x g< = ( ) 31 6f x x≤ 1 2 2 3 X X n ip i , ,p p p1 2 3 0 0p = 1 1( 1)i i i ip ap bp cp b+ −= + + ≠ , ,p p p1 2 3 { }np
【答案】（1）分布列见解析；
（2）① ；② ， .
【解析】
（1）记一轮投球，甲命中为事件 ，乙命中为事件 ， 相互独立，由题意
， ，甲的得分 的取值为 ，
，
，
，
∴ 的分布列为：
－1 0 1
（2）由（1） ，
，
同理，经过 2 轮投球，甲的得分 取值 ：
记 ， ， ，则
1 2 3
1 7 43, ,6 36 216p p p= = = 1 1
6 1
7 7i iip p p+ −= + 1 115 6n np = −
A B ,A B
1( ) 2P A = 2( ) 3P B = X 1,0,1−
( 1) ( )P X P AB= − = 1 2 1( ) ( ) (1 )2 3 3P A P B= = − × =
( 0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P X P AB P AB P A P B P A P B= = + = + 1 2 1 2 1(1 ) (1 )2 3 2 3 2
= × + − × − =
1 2 1( 1) ( ) ( ) ( ) (1 )2 3 6P X P AB P A P B= = = = × − =
X
X
P 1
3
1
2
1
6
1
1
6p =
2 ( 0) ( 1) ( 1)( ( 0) ( 1))p P X P X P X P X P X= = ⋅ = + = = + = 1 1 1 1 1 7( )2 6 6 2 6 36
= × + × + =
Y 2, 1,0,1,2− −
( 1)P X x= − = ( 0)P X y= = ( 1)P X z= =
， ， ， ，
由此得甲的得分 的分布列为：
－2 －1 0 1 2
∴ ，
∵ ， ，
∴ ， ，∴ ，
代入 得： ，
∴ ，
∴数列 是等比数列，公比为 ，首项为 ，
∴ ．
∴
．
2( 2)P Y x= − = ( 1)P Y xy yx= − = + 2( 0)P Y xz zx y= = + + ( 1)P Y yz zy= = +
2( 2)P Y z= =
Y
Y
P 1
9
1
3
13
36
1
6
1
36
3
1 1 1 1 1 1 13 1 1 43( ) ( )3 36 2 6 36 6 36 6 36 216p = × + × + + × + + =
1 1( 1)i i i ip ap bp cp b+ −= + + ≠ 0 0p =
1 2 1
2 3 2 1
p ap bp
p ap bp cp
= +
= + +
7 1 1
36 6 6
43 7 1 7
216 36 6 36
a b
a b c
+ =
+ + =
6(1 )
7
1
7
ba
bc
− = − =
1 1( 1)i i i ip ap bp cp b+ −= + + ≠ 1 1
6 1
7 7i iip p p+ −= +
1 1
1 ( )6i i i ip p p p+ −− = −
1{ }n np p −− 1
6q = 1 0
1
6p p− =
1
1( )6
n
n np p −− =
1 1 2 1 0( ) ( ) ( )n n n n np p p p p p p− − −= − + − + + −
11 1 1 1 1( ) ( ) (1 )6 6 6 5 6
n n
n
−= + + + = −
请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满
分 10 分）
22．选修 4-4：坐标系与参数方程
已知动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与
， 为 的中点．
（1）求 的轨迹的参数方程；
（2）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点．
【答案】（Ⅰ） ,( 为参数, )（Ⅱ）过坐标原点
【解析】（1）由题，得 ，则
，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得 点到坐
标原点的距离为 ，由此 的轨迹过坐标原点．
试题解析：（1）由题意有， ，因此
， 的轨迹的参数方程为 （ 为
参数， ）．
（2） 点到坐标原点的距离为 ，当 时，
，故 的轨迹过坐标原点．
23．选修 4-5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
,P Q 2cos:{ 2sin
x tC y t
=
= β t α=
( )2 0 2t α α π= < < M PQ M M d α M cos cos2{ sin sin 2 x y α α α α = + = + α 0 2α π< < ( ) ( )2cos ,2sin , 2cos2 ,2sin 2P Qα α α α ( )cos cos2 ,sin sin 2M α α α α+ + M M ( ) ( )2cos ,2sin , 2cos2 ,2sin 2P Qα α α α ( )cos cos2 ,sin sin 2M α α α α+ + M cos cos2{ sin sin 2 x y α α α α = + = + α 0 2α π< < M ( )2 2 2 2cos 0 2d x y α α π= + = + < < a π= 0d = M ( ) | 3 1| | 3 3|f x x x= − + + ( ) 10f x ≥
（2）正数 满足 ，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【解析】（1）当 时， ，
解得 ，所以 ；
当 时， ， ；
当 时， ，
解得 ，所以 .
综上，不等式 的解集为 .
（2）证明：因为 为正数，则
等价于 对任意的 恒成立.
又因为 ，且 ，所以只需证 ，
因为 ，当且仅当 时等号成立.
所以 成立.
,a b 2a b+ = ( )f x a b≥ +
4( , 2] [ , )3
−∞ − +∞
1x < − ( ) 1 3 3 3 6 2 10f x x x x= − − − = − − ≥ 2x −≤ 2x −≤ 11 3x− ≤ ≤ ( ) 1 3 3 3 4 10f x x x= − + + = ≥ x φ∈ 1 3x > ( ) 3 1 3 3 6 2 10f x x x x= − + + = + ≥
4
3x ≥ 4
3x ≥
( ) 10f x ≥ 4( , 2] [ , )3
−∞ − +∞
,a b ( )f x a b≥ +
( ) 2f x a b ab≥ + + x∈R
( ) | 3 1| | 3 3| 4f x x x= − + + ≥ 2a b+ = 1ab ≤
12
a bab
+≤ = 1a b= =
( )f x a b≥ +
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