2020高考一线名师模拟预测01-2020高考数学（文）模考考前复习指导与抢分集训（考试版+解析版）

2020 高考一线名师模拟预测 01 文科数学试题 本试卷共23 题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂 黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效. 3. 填空题和解答题答在答 题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。） 1．设 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ， 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则 a 的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 3．设 ，则( ) A． B． C． D． 4．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的 值为 ，则循环体的判断框内① 处应填（ ） { }1A x x= > { }2 2 0B x x x= − − < ( )RC A B = { }1x x > − { }1 1x x− < ≤ { }1 1x x− < < { }1 2x x< < Ra∈ i 1 a iz i += + 1− 0.3 3 4 1( ) , 10, 1010a b c log= = = a c b< < b a c< < c b a< < a b c< < b 16A． B． C． D． 5．平面向量 满足 ， ， 在 上的投影为 5，则 的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 6．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量 （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一 横断面的车辆数；车流速度 （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密 度 （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， 和 满足一个 线性关系，即 （其中 是正数），则以下说法正确的是 A．随着车流密度增大，车流速度增大 B．随着车流密度增大，交通流量增大 C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小 7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序 时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角 三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图 形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分） 的概率是（ ） 2 3 5 7 ,a b  | | 4a = | | 2b = a b+  a | 2 |a b−  Q V K V K 0 0 = (1 )KV v k − 0 0,v k 2 2DF AF= =A． B． C． D． 8．函数 的图象大致是( ) A． B． C． D． 9．设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则 m 的取值范围是 A． B． C． D． 10．如图所示，正四面体 中, 是棱 的中点, 是棱 上一动点， 的 最小值为 ，则该正四面体的外接球表面积是（ ） 4 13 2 13 13 9 26 3 13 26 ( ) ( )ln sin π π 0f x x x x x= + − ≤ ≤ ≠且 ( )f x ( 1) 2 ( )f x f x+ = (0,1]x∈ ( ) ( 1)f x x x= − ( , ]x m∈ −∞ 8( ) 9f x ≥ − 9, 4  −∞   7, 3  −∞   5, 2  −∞   8, 3  −∞   ABCD E AD P AC BP PE+ 14A． B． C． D． 11．在 中， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 或 12．已知点 为椭圆 上的任意一点，点 分别为该椭圆的上下焦点，设 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 为坐标原点，点 ，点 为平面区域 内的一个动点， 则 的取值范围是________. 14．函数 在点 处的切线方程是______. 15． 两处有甲、乙两艘船，乙船在甲船的正东方向，若乙船从 B 处出发沿北偏西 45°方 向行驶 20 海里到达 C 处，此时甲船与乙船相距 50 海里随后甲船从 A 处出发，沿正北方向 行驶 海里到达 D 处，此时甲、乙两船相距________海里 12π 32π 8π 24π ABC∆ 2, 2 2AC BC= = B 0 4B π< ≤ 0 6B π< ≤ 0 4B π< ≤ 3 4 B π π≤ < 0 6B π< ≤ 5 6 B π π≤ < P 2 2 19 16 x y+ = 1 2,F F 1 2 2 1,PF F PF Fα β= ∠ = ∠ sin sinα β+ 3 7 7 4 7 7 9 8 3 2 O (5, 4)A − ( , )M x y 2 1 2 x y x y + ≥  > A B F C 3AF BF= OA b= O C { }na n nS 1 1a = ( )( )*2 1 Nn nS na n n n= − − ∈ { }na 32 1 4002 3 mS SSS m + + + + = m 1 1 1 1ABCD A B C D− 60BAD∠ =  E 1BB ACE ⊥ 1 1BDD B A 1A BD H B CDH−本 （元）与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下数据： 根据以上数据，绘制了散点图. 观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 和指数函 数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 ， 与 的相关系数 .参考数据（其中 ）： （1）用反比例函数模型求 关于 的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01），并用其估计产量为 10 千件时每件产品的非原料成本； （3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研 数据，若该产品单价定为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率 为 0.2；若单价定为 90 元，则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 10 元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单 y x by a x = + dxy ce=  0.296.54 xy e−= ln y x 1 0.94r = − 1 i i u x = y x价应选择 100 元还是 90 元，请说明理由. 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，相关系数 . 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 ， 、 为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上 一点，且 . （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，线段 的垂直平分线分别 交直线 、直线 于 、 两点，当 最小时，求直线 的方程. 21．（本小题满分 12 分） 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，证明： ． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满 分 10 分） 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 ( )1 1,u υ ( )2 2,u υ ( ),n nu υ uυ α β= +  1 22 1 n i i i n i i u nu u nu υ υ β = = − = − ∑ ∑ a uυ β= − 1 2 22 2 1 1 n i i i n n i i i i u nu r u nu n υ υ υ υ = = = − =   − −     ∑ ∑ ∑ 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F 21, 2P       1 3 2| | 2PF = : 2l x = − 2F A B AB l AB M N MAN∠ AB 1( ) ln af x x x += + ( )f x 0 1a≤ ≤ ( ) (sin 1)xf x a x> +已知动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与 ， 为 的中点． （1）求 的轨迹的参数方程； （2）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点． 23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）正数 满足 ，证明： . ,P Q 2cos:{ 2sin x tC y t = = β t α= ( )2 0 2t α α π= < < M PQ M M d α M ( ) | 3 1| | 3 3|f x x x= − + + ( ) 10f x ≥ ,a b 2a b+ = ( )f x a b≥ +2020 高考一线名师模拟预测 01 文科数学试题 本试卷共 2 页，共 23 题。满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂 黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效. 3. 填空题和解答题答在答 题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效. 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。请将正确的答案填涂在答题卡上。） 1．设 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题得 ， ，所以 . 故选 . 2．已知 ， 为虚数单位，若复数 是纯虚数，则 a 的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【解析】 为纯虚数. { }1A x x= > { }2 2 0B x x x= − − < ( )RC A B = { }1x x > − { }1 1x x− < ≤ { }1 1x x− < < { }1 2x x< < R { | 1}C A x x= ≤ { | 1 2}B x x= − < < ( ) { | 1 1}RC A B x x = − < ≤ B Ra∈ i 1 a iz i += + 1− ( )( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 1=1 1 1 2 a i i a a ia iz i i i + − + + −+= =+ + −则 所以 故选：A 3．设 ，则( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ， ， ， ． 故选：A． 4．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的 值为 ，则循环体的判断框内① 处应填（ ） A． B． C． D． 【答案】B 1 10, 02 2 a a+ −= ≠ 1a = − 0.3 3 4 1( ) , 10, 1010a b c log= = = a c b< < b a c< < c b a< < a b c< < 0.3 01 1( ) ( ) 110 10 < = 3 310 8 2> = 4 4 41 log 4 log 10 log 16 2= < < = a c b∴ < < b 16 2 3 5 7【解析】 a=1,b=1,第一次循环:b=2,a=2;第二次循环:b=4,a=3;第三次循环:b=16,a=4;所以,为使输出的 b 值 为16,循环体的判断框内应填 ,即满足 则执行循环,否则退出循环,输出b=16,故选B. 5．平面向量 满足 ， ， 在 上的投影为 5，则 的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】 因为 在 上的投影为 ， 所以 ．又 ， 所以 ． 故选:B. 6．在交通工程学中，常作如下定义：交通流量 （辆/小时）：单位时间内通过道路上某一 横断面的车辆数；车流速度 （千米/小时）：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密 度 （辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数. 一般的， 和 满足一个 线性关系，即 （其中 是正数），则以下说法正确的是 A．随着车流密度增大，车流速度增大 B．随着车流密度增大，交通流量增大 C．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大 D．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小 【答案】D 3a ≤ 3a ≤ ,a b  | | 4a = | | 2b = a b+  a | 2 |a b−  a b+  a 2 ( ) 16| | cos , | | 54| | | | a aba b a b a b a a a b a ba a ab ⋅ + ⋅ + ⋅⋅ 〈 〉 = ⋅ = =++ + + =+                  ‖ 4a b⋅ =  2 22( 2 ) 4 4 16 16 16 16a b a a b b− = − ⋅ + = − + =      | 2 | 4a b− =  Q V K V K 0 0 = (1 )KV v k − 0 0,v k【解析】由 ，得： ， 由单位关系，得：Q＝VK＝ ＝ ， 可以是看成是 Q 与 V 的二次函数，开口向下， 图象先增大，再减小， 所以，随着车流速度 V 的增大，交通流量 Q 先增大、后减小． 故答案为 D. 7．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元 222 年，赵爽为《周髀算经》一书作序 时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由 4 个全等的直角 三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图 形，它是由 3 个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设 ，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分） 的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在 中， ， ， ，由余弦定理，得 ， 0 0 = (1 )KV v k − 0 0 0 = kK k Vv − 0 0 0 ( )kV k Vv − 20 0 0 k V k Vv − + 2 2DF AF= = 4 13 2 13 13 9 26 3 13 26 ABD∆ 3AD = 1BD = 120ADB∠ = ° 2 2 2 cos120 13AB AD BD AD BD= + − ⋅ ° =所以 . 所以所求概率为 . 故选 A. 8．函数 的图象大致是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 易知函数 是偶函数，故排除 A. 当 时, ,则可得： ,令 ，作出 的图象如图：可知两个函数图象在[0，π]上有一个交点，就是函数有一个 极值点，且 ，所结合选项可知选 D. 2 13 DF AB = 22 4= 1313 DEF ABC S S ∆ ∆   =   ( ) ( )ln sin π π 0f x x x x x= + − ≤ ≤ ≠且 ( ) ( )ln sin π π 0f x x x x x且= + − ≤ ≤ ≠ 0 πx≤ < ( ) ln sinf x x x= + ( ) 1 cosf x xx +′ = 1 cos 0xx + = 1y x = cosy x= − ( )π lnπ 1f = >9．设函数 的定义域为 R，满足 ，且当 时， .若对任意 ，都有 ，则 m 的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 时， ， ， ，即 右移 1 个 单位，图像变为原来的 2 倍． 如图所示：当 时， ，令 ，整 理得： ， （舍）， 时， 成立，即 ， ，故选 B． ( )f x ( 1) 2 ( )f x f x+ = (0,1]x∈ ( ) ( 1)f x x x= − ( , ]x m∈ −∞ 8( ) 9f x ≥ − 9, 4  −∞   7, 3  −∞   5, 2  −∞   8, 3  −∞   (0,1]x∈ ( )= ( 1)f x x x − ( +1)= ( )f x 2 f x ( ) 2 ( 1)f x f x∴ = − ( )f x 2 3x< ≤ ( )=4 ( 2)=4( 2)( 3)f x f x x x− − − 84( 2)( 3) 9x x− − = − 29 45 56 0x x− + = 1 2 7 8(3 7)(3 8) 0, ,3 3x x x x∴ − − = ∴ = = ( , ]x m∴ ∈ −∞ 8( ) 9f x ≥ − 7 3m ≤ 7, 3m  ∴ ∈ −∞  10．如图所示，正四面体 中, 是棱 的中点, 是棱 上一动点， 的 最小值为 ，则该正四面体的外接球表面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 将侧面 和 沿 边展开成平面图形,如图所示,菱形 , 在菱形 中,连接 ,交 于点 ,则 的长即为 的最小值,即 , 因为正四面体 ,所以 ,所以 , 因为 是棱 的中点,所以 ， 所以 , ABCD E AD P AC BP PE+ 14 12π 32π 8π 24π ABC ACD AC ABCD ABCD BE AC P BE BP PE+ 14BE = ABCD AC AB= 120BCD∠ = ° E AD 30DCE∠ = ° 90BCE BCD DCE∠ = ∠ − ∠ = °设 ,则 , 所以 ,则 ,所以 , 则正四面体 的棱长为 , 所以正四面体的外接球半径为 , 所以该正四面体外接球的表面积为 , 故选：A 11．在 中， ，则 的取值范围是（ ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】B 【解析】 设 ，则 ， 由余弦定理可得， ， 根据余弦函数的性质可知， ,故选 B. 12．已知点 为椭圆 上的任意一点，点 分别为该椭圆的上下焦点，设 ，则 的最大值为（ ） A． B． C． D． DE x= 2AB BC CD AD x= = = = 3CE x= 2 2 7 14BE BC CE x= + = = 2x = ABCD 2 2 6 2 2 34 × = ( )2 4 3 12S π π= = ABC∆ 2, 2 2AC BC= = B 0 4B π< ≤ 0 6B π< ≤ 0 4B π< ≤ 3 4 B π π≤ < 0 6B π< ≤ 5 6 B π π≤ < AB x= 2 3 2x< < 2 8 2 1 6 1 3cos 2 6 24 2 4 2 4 2 xB x xx + −  = = + ≥ × =   0 6B π< ≤ P 2 2 19 16 x y+ = 1 2,F F 1 2 2 1,PF F PF Fα β= ∠ = ∠ sin sinα β+ 3 7 7 4 7 7 9 8 3 2【答案】D 【解析】 设| |＝m，| |＝n，| |＝2c，A，B 为短轴两个端点， 由正弦定理可得 ， 即有 ， 由椭圆定义可得 e , ∴ ． 在三角形 中，由 m+n=2a,cos -1= ， 当且仅当 m=n 时，即 P 为短轴端点时，cos 最小， 最大， ∴ = , ∴ 故选：D． 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13．已知 为坐标原点，点 ，点 为平面区域 内的一个动点， 1PF 2PF 1 2F F ( ) 2m n c sin sin sinβ α α β= = + ( ) 2m n c sin sin sinα β α β + =+ + ( )2 7 2 4 sinc a sin sin α β α β += = =+ ( )4sin sin 7 sinα β α β+ = + 2 1F PF 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 4 2 4 4 412 2 2 2 4 m n c m n mn c b bF PF m nmn mn mn + − + − −∠ = = = − ≥ +× （ ） （ ） 2 2 4 12 b a − 2 1F PF∠ 2 1F PF∠ ( ) 2 1sin sin F AFα β+ ≤ ∠ 3 7 8 4 3 7 3sin sin 8 27 α β+ ≤ × = ， O (5, 4)A − ( , )M x y 2 1 2 x y x y + ≥  > A B F C 3AF BF= OA b= O C 3 1F 1AF 1BF AF= 13 3AF BF AF= = 1 2AF AF a− = 13 ,AF a AF a= = AOF∆ 1AOF∆ 2 2 29 2 cosa c b bc AOF= + − ∠ 2 2 2 12 cosa c b bc AOF= + − ∠ 2 2 2 2 210 2 2 3 3a c b c a e= + ∴ = ∴ = 3e =三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分 12 分） 设数列 的前 项和为 ，已知 ， . （1）求证：数列 为等差数列，并求出其通项公式； （2）若 ，求正整数 的值. 【答案】（1）证明见解析， ；（2）20. 【解析】 （1）证明：当 时， ， ∴ ， 两式相减可得， ， 则 ， ∴ ， ∴ 是首项为 1，公差为 4 的等差数列，∴ ； （2） ， 若 ，即为 ， 即有 ，即 ， 解得 . 18．（本小题满分12 分） 如图，在各棱长均为 4 的直四棱柱 中， ， 为棱 上一 { }na n nS 1 1a = ( )( )*2 1 Nn nS na n n n= − − ∈ { }na 32 1 4002 3 mS SSS m + + + + = m 4 3na n= − 2n ≥ ( )2 1n nS na n n= − − ( ) ( )( )1 11 2 1 2n nS n a n n− −= − − − − ( ) ( )11 4 1n n na na n a n−= − − − − ( ) ( ) ( )11 1 4 1n nn a n a n−− = − + − 1 4n na a −= + { }na 4 3na n= − ( ) ( )1 4 2 2 12nS n n n n= − = − 32 1 4002 3 mS SSS m + + + + = ( )1 3 5 7 2 1 400m+ + + +⋅⋅⋅+ − = ( )1 1 2 1 4002 m m+ − = 2 400m = 20m = 1 1 1 1ABCD A B C D− 60BAD∠ =  E 1BB点. （1）证明：平面 平面 ； （2）在图中作出点 在平面 内的正投影 （说明作法及理由），并求三棱锥 的体积. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 （1）证明：∵底面 为菱形，∴ . 在直四棱柱 中， 底面 ，∴ . ∵ ，∴ 平面 . 又 平面 ，∴平面 平面 . （2）解：设 与 交于点 ，连接 ， 过 作 ， 为垂足， 即为 在平面 内的正投影. 理由如下： ∵ 平面 ，∴ ， 又 ， ，∴ 平面 ， ACE ⊥ 1 1BDD B A 1A BD H B CDH− 16 3 7 ABCD AC BD⊥ 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BB ⊥ ABCD 1BB AC⊥ 1BB BD B∩ = AC ⊥ 1 1BDD B AC ⊂ ACE ACE ⊥ 1 1BDD B AC BD O 1AO A 1AH AO⊥ H H A 1A BD 1AA ⊥ ABCD 1AA BD⊥ BD AO⊥ 1AO AA A= BD ⊥ 1A AO∴ ，又 ，∴ 平面 . ∵ ， ， ∴ ，由 得 ， 过 作 ，垂足为 ，由 得 . ∴ . 19．（本小题满分12 分） 某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成 本 （元）与生产该产品的数量 （千件）有关，经统计得到如下数据： 根据以上数据，绘制了散点图. BD AH⊥ 1AO BD O= AH ⊥ 1A BD 4sin60 2 3AO = ° = 1 4AA = 1 2 7AO = 2 1AO OH AO= × 6 7 OH = H HK AO⊥ K 1 1 HK OH AA AO = 12 7HK = B CDH H BCDV V− −= = 1 1 12 16 34 4 sin603 2 7 7 × × × × °× = y x观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型 和指数函 数模型 分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为 ， 与 的相关系数 .参考数据（其中 ）： （1）用反比例函数模型求 关于 的回归方程； （2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到 0.01），并用其估计产量为 10 千件时每件产品的非原料成本； （3）该企业采取订单生产模式（根据订单数量进行生产，即产品全部售出）.根据市场调研 数据，若该产品单价定为 100 元，则签订 9 千件订单的概率为 0.8，签订 10 千件订单的概率 为 0.2；若单价定为 90 元，则签订 10 千件订单的概率为 0.3，签订 11 千件订单的概率为 0.7.已知每件产品的原料成本为 10 元，根据（2）的结果，企业要想获得更高利润，产品单 价应选择 100 元还是 90 元，请说明理由. 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜 率和截距的最小二乘估计分别为： ， ，相关系数 by a x = + dxy ce=  0.296.54 xy e−= ln y x 1 0.94r = − 1 i i u x = y x ( )1 1,u υ ( )2 2,u υ ( ),n nu υ uυ α β= +  1 22 1 n i i i n i i u nu u nu υ υ β = = − = − ∑ ∑ a uυ β= −. 【答案】（1） ；（2）当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本为 21 元； （3）见解析 【解析】 （1）令 ，则 可转化为 ， 因为 ，所以 ， 则 ，所以 ， 所以 关于 的回归方程为 ； （2） 与 的相关系数为： ， 因为 ，所以用反比例函数模型拟合效果更好， 当 时， （元）， 所以当产量为 10 千件时，每件产品的非原料成本为 21 元； （3）（i）若产品单价为 100 元，记企业利润为 （千元）， 订单为 9 千件时，每件产品的成本为 元，企业的利润为 611（千元）， 订单为 10 千件时，每件产品的成本为 31 元，企业的利润为 690（千元）， 企业利润 （千元）的分布列为 1 2 22 2 1 1 n i i i n n i i i i u nu r u nu n υ υ υ υ = = = − =   − −     ∑ ∑ ∑ 10011y x = + 1u x = by a x = + y a bu= + 360 458y = = 8 1 8 2 2 1 8 183.4 8 0.34 45 61 1001.53 8 0.115 0. ˆ 618 i ii ii u y uy b u u = = − − × ×= = = =− ×− ∑ ∑ 45ˆˆ 100 0.34 11a y bu= − = − × = 11 100ˆy u= + y x 10011ˆy x = + y 1 x ( )( ) 8 1 2 8 82 2 2 2 1 1 61 61 0.9961.40.61 6185.58 8 i ii i ii i u y nuy r u u y y = = = − = = = ≈ ×− − ∑ ∑ ∑ 1 2r r< 10x = 100 11 2110y = + = X 100 219 + X611 690 0.8 0.2 所以 （千元）； （ii）若产品单价为 90 元，记企业利润为 （千元）， 订单为 10 千件时，每件产品的成本为 31 元，企业的利润为 590（千元）， 订单为 11 千件时，每件产品的成本为 元，企业的利润为 659（千元）， 企业利润 （千元）的分布列为 590 659 0.3 0.7 所以 （千元）， 故企业要想获得更高利润，产品单价应选择 90 元. 20．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 ， 、 为椭圆的左、右焦点， 为椭圆上 一点，且 . （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线 ，过点 的直线交椭圆于 、 两点，线段 的垂直平分线分别 交直线 、直线 于 、 两点，当 最小时，求直线 的方程. 【答案】(1) (2) 或 . 【解析】（1）设椭圆的左焦点 ，则 ，解得 X P 611 0.8 690 0.2 626.8EX = × + × = Y 100 2111 + Y Y P 590 0.3 649 0.7 638.3EY = × + × = 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F 21, 2P       1 3 2| | 2PF = : 2l x = − 2F A B AB l AB M N MAN∠ AB 2 2 12 x y+ = 1 0x y+ − = 1 0x y− − = 1( ,0)( 0)F c c− > 2 1 1 3 2(1 ) 2 2PF c= + + =， 所以 ，则由椭圆定义 ，∴ ， 故椭圆的标准方程为 . （2）由题意直线 的斜率必定不为零，于是可设直线 ， 联立方程 得 ， ∵直线 交椭圆于 ， ， ∴ 由韦达定理 ， 则 ，∴ ∵ ，∴ ，∴ 又 ∴ 当且仅当 即 时取等号. 此时直线 的方程为 或 . 21．（本小题满分 12 分） 1c = 2 2| | 2PF = 1 2 2 2 2PF PF a+ = = 2a = 1b = 2 2 12 x y+ = AB : 1AB x ty= + 2 2 1 12 x ty x y = + + = ( )2 22 2 1 0t y ty+ + − = AB ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) ( )2 2 24 4 2 8 1 0t t t∆ = + + = + > 1 2 2 2 2 ty y t −+ = + 1 2 2 1 2y y t = − + 2 2N ty t = − + 2 2 2 21 12 2N N tx ty t t = + = − + =+ + MN AB⊥ MNk t= − 2 2 2 2 2 2 2 6| | 1 2 12 2 tMN t tt t += + ⋅ − − = + ⋅+ + 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1| | | | 1 12 2 2 tAN AB t y y t t += = + ⋅ − = + ⋅ + ( )2 2 2 2 2 3| | 2tan 2 1 2 2 2 4| | 1 1 tMNMAN tAN t t +  ∠ = = = + + ≥ ⋅ =  + +  2 2 21 1 t t + = + 1t = ± AB 1 0x y+ − = 1 0x y− − = 已知函数 . （1）讨论 的单调性； （2）当 时，证明： ． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）由 得 . 当 即 时， ，所以 在 上单调递增． 当 即 时，由 得 ；由 得 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）要证 成立， 只需证 成立，即证 . 现证： . 设 ．则 ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增． 所以 . 因为 ，所以 ，则 ， 即 ，当且仅当 ， 时取等号． 再证： . 设 ，则 . 所以 在 上单调递增，则 ，即 . 1( ) ln af x x x += + ( )f x 0 1a≤ ≤ ( ) (sin 1)xf x a x> + 1( ) ln af x x x += + 2 2 1 1 ( 1)'( ) ( 0)a x af x xx x x + − += − = > 1 0a + ≤ 1a ≤ − '( ) 0f x > ( )f x (0, )+∞ 1 0a + > 1a > − '( ) 0f x > 1x a> + '( ) 0f x < 1x a< + ( )f x (0, 1)a + ( 1, )a + +∞ ( ) (sin 1)xf x a x> + ln 1 sinx x a a x a+ + > + ln sin 1x x a x> − ln 1x x ax≥ − ( ) ln 1g x x x ax= − + '( ) 1 ln ln 1g x x a x a= + − = + − ( )f x 1(0,e )a− 1(e , )a− +∞ 1 1 1 1( ) ( ) ( 1) 1 1a a a ag x g e a e ae e− − − −≥ = − − + = − 0 1a≤ ≤ 11 0ae −− ≥ ( ) 0g x ≥ ln 1x x ax≥ − 1x = 1a = 1 sin 1ax a x− ≥ − ( ) sinh x x x= − '( ) 1 cos 0h x x= − ≥ ( )h x (0, )+∞ ( ) (0) 0h x h> = sinx x>因为 ，所以 ．当且仅当 时取等号， 又 与 两个不等式的等号不能同时取到， 即 ， 所以 ． 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满 分 10 分） 22．选修 4-4：坐标系与参数方程 已知动点 都在曲线 （ 为参数）上，对应参数分别为 与 ， 为 的中点． （1）求 的轨迹的参数方程； （2）将 到坐标原点的距离 表示为 的函数，并判断 的轨迹是否过坐标原点． 【答案】（Ⅰ） ,( 为参数, )（Ⅱ）过坐标原点 【解析】（1）由题，得 ，则 ，可得参数方程；（2）由两点距离公式可得 点到坐 标原点的距离为 ，由此 的轨迹过坐标原点． 试题解析：（1）由题意有， ，因此 ， 的轨迹的参数方程为 （ 为 参数， ）． （2） 点到坐标原点的距离为 ，当 时， ，故 的轨迹过坐标原点． 0 1a≤ ≤ 1 sin 1ax a x− ≥ − 0a = ln 1x x ax≥ − 1 sin 1ax a x− ≥ − ln sin 1x x a x> − ( ) (sin 1)xf x a x> + ,P Q 2cos:{ 2sin x tC y t = = β t α= ( )2 0 2t α α π= < < M PQ M M d α M cos cos2{ sin sin 2 x y α α α α = + = + α 0 2α π< < ( ) ( )2cos ,2sin , 2cos2 ,2sin 2P Qα α α α ( )cos cos2 ,sin sin 2M α α α α+ + M M ( ) ( )2cos ,2sin , 2cos2 ,2sin 2P Qα α α α ( )cos cos2 ,sin sin 2M α α α α+ + M cos cos2{ sin sin 2 x y α α α α = + = + α 0 2α π< < M ( )2 2 2 2cos 0 2d x y α α π= + = + < < a π= 0d = M23．选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）正数 满足 ，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】（1）当 时， ， 解得 ，所以 ； 当 时， ， ； 当 时， ， 解得 ，所以 . 综上，不等式 的解集为 . （2）证明：因为 为正数，则 等价于 对任意的 恒成立. 又因为 ，且 ，所以只需证 ， 因为 ，当且仅当 时等号成立. 所以 成立. ( ) | 3 1| | 3 3|f x x x= − + + ( ) 10f x ≥ ,a b 2a b+ = ( )f x a b≥ + 4( , 2] [ , )3 −∞ − +∞ 1x < − ( ) 1 3 3 3 6 2 10f x x x x= − − − = − − ≥ 2x −≤ 2x −≤ 11 3x− ≤ ≤ ( ) 1 3 3 3 4 10f x x x= − + + = ≥ x φ∈ 1 3x > ( ) 3 1 3 3 6 2 10f x x x x= − + + = + ≥ 4 3x ≥ 4 3x ≥ ( ) 10f x ≥ 4( , 2] [ , )3 −∞ − +∞ ,a b ( )f x a b≥ + ( ) 2f x a b ab≥ + + x∈R ( ) | 3 1| | 3 3| 4f x x x= − + + ≥ 2a b+ = 1ab ≤ 12 a bab +≤ = 1a b= = ( )f x a b≥ +