数学试题
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1．设集合 P＝{x|x+2≥x2}，Q＝{x∈N||x|≤3}，则 P∩Q＝（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
2．已知向量
→
a = （1，2），
→
b = （﹣1，x），若
→
a∥
→
b，则|
→
b|＝（ ）
A．
5
2 B．5
2 C． 5 D．5
3．复数 z1＝2+i，若复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z1z2＝（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣3+4i D．3﹣4i
4．一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲
说：有一个科目我们三个人都达 到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达
到优秀的科目比我多．则可以完全确定的是（ ）
A．甲同学三个科目都达到优秀
B．乙同学只有一个科目达到优秀
C．丙同学只有一个科目达到优秀
D．三位同学都达到优秀的科目是数学
5．2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时
难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援
湖北，现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中
的概率为（ ）
A．0.7 B．0.4 C．0.6 D．0.3
6．一组数据的平均数为 m，方差为 n，将这组数据的每个数都乘以 a（a＞0）得到一组新数
据，则下列说法正确的是（ ）A．这组新数据的平均数为 m
B．这组新数据的平均数为 a+m
C．这组新数据的方差为 an
D．这组新数据的标准差为a 푛
7．已知{x - y + 1 ≥ 0
7푥 ― 푦 ― 7 ≤ 0
푥 ≥ 0，푦 ≥ 0
表示的平面区域为 D，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a 为真命题，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A．[5，+∞） B．[2，+∞） C．[1，+∞） D．[0，+∞）
8．将表面积为 36π 的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为2휋
3 的扇形，则该圆锥的
轴截面的面积为（ ）
A．18 3 B．18 2 C．12 3 D．24 3
9．若函数 f（x）＝alnx（a∈R）与函数 g（x） = 푥在公共点处有共同的切线，则实数 a 的
值为（ ）
A．4 B．1
2 C．푒
2 D．e
10．已知 F1，F2 是双曲线 E：푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b ＞0）的左、右焦点，P 是双曲线 E 右
支上一点，M 是线段 F1P 的中点，O 是坐标原点，若△OF1M 周长为 c+3a（c 为双曲线
的半焦距），∠F1MO = 휋
3，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B．y＝±1
2x C．y＝± 2x D．y＝±
2
2 x
11．已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ| ＜휋
2）的图象过点 B（0，﹣1），且在（ 휋
18，
휋
3）上单调，同时 f（x）的图象向左平移 π 个单位之后与原来的图象重合，当 x1，x2∈（ -
17휋
12 ， - 2휋
3 ），且 x1≠x2 时，f（x1）＝f（x2），则 f（x1+x2）＝（ ）
A． - 3 B．﹣1 C．1 D． 312．已知函数 f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当 x∈（0，+∞）时，f
（x） = {(푥 ― 1)2，0＜푥 ≤ 2
1
2푓(푥 ― 2)，푥＞2 ，则函数 g（x）＝8f2（x）﹣6f（x）+1 的零点个数为（ ）
A．20 B．18 C．16 D．14
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1+a3 = 5
2，a2+a4 = 5
4，则
푆3
푎3
= ．
14．已知抛物线 y2＝12x 的焦点为 F，过点 P（2，1）的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点，
且点 P 恰好为线段 AB 的中点，则|AF|+|BF|＝ ．
15．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 an＞0，a1＝1，且 2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），则 S100
＝ ．
16．在三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝PC＝2，BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，若 PA 与底面 ABC 所
成的角为 60°，则点 P 到底面 ABC 的距离是 ；三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面
积是 ．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分.
17．如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点（含端点），记∠BAD＝α，∠ADC＝
β．
（1）求 2cosα﹣cosβ 的最大值；
（2）若 BD＝1，cosβ = 1
7，求△ABD 的面积．18．如图，在直三棱柱 ABC﹣A 1B1C1 中，A1B1⊥A1C1，D 是 B1C1 的中点，A1A＝A1B1＝
2．
（1）求证：AB1∥平面 A1CD；
（2）若异面直线 AB1 和 BC 所成角为 60°，求四棱锥 A1﹣CDB1B 的体积．
19．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续
六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 y（单位：百万元）与月份代码 x
之间的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 A，B 两种型号的新型材
料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料
损坏的年限不相同，现对 A，B 两种型号的新型材料对应的产品各 100 件进行科学模拟测
试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如表：
使用寿命
材料类型
1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100[来源:学*科*网]
如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
6
i=1
yi＝96，
6
i=1
xiyi＝371．
参考公式：回归直线方程为y = bx + 푎，其中b =
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 =
푛
푖=1 (푥푖푦푖) ― 푛푥푦
푛
푖=1 푥2
푖 ― 푛푥2
．20．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的长轴长为 4，且经过点 P（ 2，
2
2 ）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 的斜率为1
2，且与椭圆交于 A，B 两点（异于点 P），过点 P 作∠APB 的角平
分线交椭圆于另一点 Q．证明：直线 PQ 与坐标轴平行．
21．已知函数 f（x）＝ln（x+1）+ax2﹣x（a∈R）．
（1）当a = 1
4时，求函数 y＝f（x）的单调区间；
（2）若对任意实数 b∈（1，2），当 x∈（﹣1，b]时，函数 f（x）的最大值为 f（b），求 a
的取值范围．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计
分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线∁l 的参数方程为{x = 2 + 2cosφ
푦 = 2푠푖푛휑 （φ 为参数），以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ．
（l）写出 C1 的极坐标方程：
（2）设点 M 的极坐标为（4，0），射线θ = α(0＜α＜휋
4)分别交 C1，C2 于 A，B 两点
（异于极点），当∠AMB = 휋
4时，求 tanα．
[选修 4-5：不等式选讲]23．已知 a＞0，b＞0，a2+4b2 = 1
푎푏 + 3．
（1）求证：ab≤1；
（2）若 b＞a，求证： 1
푎3 ―
1
푏3 ≥ 3（1
푎 ―
1
푏）．一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求）
1．设集合 P＝{x|x+2≥x2}，Q＝{x∈N||x|≤3}，则 P∩Q＝（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．{0，1，2} D．{﹣1，0，1，2}
解不等式 x+2≥x2 求出集合 P，再求出集合 Q，再利用集合的交集运算即可算出结果．
解不等式 x+2≥x2，得﹣1≤x≤2，
∴集合 P＝{x|x+2≥x2}＝{x|﹣1≤x≤2}，
又∵集合 Q＝{x∈N||x|≤3}＝{0，1，2，3}，
∴P∩Q＝{0，1，2}，
故选：C．
本题主要考查了集合的基本运算，是基础题．
2．已知向量
→
a = （1，2），
→
b = （﹣1，x），若
→
a∥
→
b，则|
→
b|＝（ ）
A．
5
2 B．5
2 C． 5 D．5
利用向量平行先求出 a，由此能求出|
→
b|．
∵向量
→
a = （1，2），
→
b = （﹣1，x），
→
a∥
→
b，
∴ ―1
1 =
푥
2，
解得 x＝﹣2，
∴|
→
b| = ( ― 1)2 + ( ― 2)2 = 5．
故选：C．
本题考查向量的模的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基
础题．3．复数 z1＝2+i，若复数 z1，z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 z1z2＝（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣3+4i D．3﹣4i
由题意可知 z2＝﹣2+i，再利用复数的运算法则即可得出．
由题意可知 z2＝﹣2+i，
所以 z1z2＝（2+i）（﹣2+i）＝﹣4﹣1＝﹣5．
故选：A．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．一场考试之后，甲乙丙三位同学被问及语文、数学、英语三个科目是否达到优秀时，甲
说：有一个科目我们三个人都达到了优秀；乙说：我的英语没有达到优秀；丙说：乙达
到优秀的科目比我多．则可以完全确定的是（ ）
A．甲同学三个科目都达到优秀
B．乙同学只有一个科目达到优秀
C．丙同学只有一个科目达到优秀
D．三位同学都达到优秀的科目是数学
由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，乙至少有两个科目达到优秀，又乙说：我的
英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科目达到优秀，丙只有一个科目达到优秀，
由题意可知，丙至少有一个科目达到优秀，
又因为丙说：乙达到优秀的科目比我多，所以乙至少有两个科目达到优秀，
因为乙说：我的英语没有达到优秀，所以乙确定有两个科目达到优秀，所以丙只有一个
科目达到优秀，
故选：C．
本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．
5．2020 年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北共抗新型冠状病毒肺炎，重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援
湖北，现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院，则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中
的概率为（ ）
A．0.7 B．0.4 C．0.6 D．0.3
现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院，基本事件总数 n = 퐶25 = 10，恰有 1 名医生
和 1 名护士被选中包含的基本事件个数 m = 퐶13퐶12 = 6，由此能求出恰有 1 名医生和 1 名
护士被选中的概率．
重庆某医院派出 3 名医生，2 名护士支援湖北，
现从这 5 人中任选 2 人定点支援湖北某医院，
基本事件总数 n = 퐶25 = 10，
恰有 1 名医生和 1 名护士被选中包含的基本事件个数 m = 퐶13퐶12 = 6，
则恰有 1 名医生和 1 名护士被选中的概率为 p = 푚
푛 =
6
10 = 0.6．
故选：C．
本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
6．一组数据的平均数为 m，方差为 n，将这组数据的每个数都乘以 a（a＞0）得到一组新数
据，则下列说法正确的是（ ）
A．这组新数据的平均数为 m
B．这组新数据的平均数为 a+m
C．这组新数据的方差为 an
D．这组新数据的标准差为a 푛
根据一组数据的平均数与方差、标准差的定义与性质，即可得出这组新数据的平均数、
方差和标准差．
一组数据的平均数为 m，方差为 n，将这组数据的每个数都乘以 a（a＞0），得到一组新数据，
则这组新数据的平均数为 am，
方差为 a2n，标准差为 a n．
故选：D．
本题考查了一组数据的平均数、方差和标准差的定义与性质应用问题，是基础题．
7．已知{x - y + 1 ≥ 0
7푥 ― 푦 ― 7 ≤ 0
푥 ≥ 0，푦 ≥ 0
表示的平面区域为 D，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a 为真命题，则实
数 a 的取值范围是（ ）
A．[5，+∞） B．[2，+∞） C．[1，+∞） D．[0，+∞）
设 z＝2x+y，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a 为真命题，则等价为求 z 的最大值即可．
作出不等式组对应的平面区域如图，
设 z＝2x+y，若∀（x，y）∈D，2x+y≤a 为真命题，则等价为求 z 的最大值，
由 z＝2x+y 得 y＝﹣2x+z，
平移直线 y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线 y＝﹣2x+z 经过点 A 时，直线 y＝﹣2x+z 的截距最大，
此时 z 最大．
由{x - y + 1 = 0
7푥 ― 푦 ― 7 = 0 ，解得{x = 4
3
푦 =
7
3
，即 A（4
3，7
3），
代入目标函数 z＝2x+y 得 z＝2 × 4
3 +
7
3 = 5．
即目标函数 z＝2x+y 的最大值为 5．
则 a≥5，
故选：A．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想转
化为求 z 的最大值是解决此类问题的基本方法．
8．将表面积为 36π 的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为2휋
3 的扇形，则该圆锥的
轴截面的面积为（ ）
A．18 3 B．18 2 C．12 3 D．24 3
如图所示，设此圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l．可得 πr2+πrl＝36π，2πr＝l•
2휋
3 ，联立解得：r，l．h = 푙2 ― 푟2．即可得出该圆锥的轴截面的面积 S = 1
2•2r•h＝rh．
如图所示，
设此圆锥的底面半径为 r，高为 h，母线长为 l．
则 πr2+πrl＝36π，化为：r2+rl＝36．
2πr＝l•2휋
3 ，可得 l＝3r．
解得：r＝3，l＝9．
h = 푙2 ― 푟2 = 6 2．
该圆锥的轴截面的面积 S = 1
2•2r•h＝rh＝3×6 2 = 18 2．
故选：B．本题考查了圆锥的表面积、弧长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础
题．
9．若函数 f（x）＝alnx（a∈R）与函数 g（x） = 푥在公共点处有共同的切线，则实数 a 的
值为（ ）
A．4 B．1
2 C．푒
2 D．e
根据公共点处函数值相等、导数值相等列出方程组求出 a 的值和切点坐标，问题可解．
由已知得f'(x) = 푎
푥，푔′(푥) =
1
2 푥，设切点横坐标为 t，
∴{alnt = 푡
푎
푡 =
1
2 푡
，解得t = 푒2，푎 =
푒
2．
故选：C．
本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，以及利用方程思想解决问题的能力，属于
基础题．
10．已知 F1，F2 是双曲线 E：푥2
푎2 ―
푦2
푏2 = 1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P 是双曲线 E 右支
上一点，M 是线段 F1P 的中点，O 是坐标原点，若△OF1M 周长为 c+3a（c 为双曲线的
半焦距），∠F1MO = 휋
3，则双曲线 E 的渐近线方程为（ ）
A．y＝±2x B．y＝±1
2x C．y＝± 2x D．y＝±
2
2 x
由双曲线的定义可得：PF1﹣PF2＝2a，．由△PF1F2 的周长为△OF1M 周长的 2 倍，⇒PF1
＝4a，PF2＝2a在△PF1F2 中，由余弦定理可得푏
푎 = 2，即可得 双曲线 E 的渐近线方程为 y =± 2
푥．
由双曲线的定义可得：PF1﹣PF2＝2a，…①
∵M 是线段 F1P 的中点，O 是坐标原点，∴△PF1F2 的周长为△OF1M 周长的 2 倍，
∵PF1+PF2+F1F2＝2（c+3a）…②
⇒PF1＝4a，PF2＝2a
在△PF1F2 中，由余弦定理可得：（2c）2＝（4a）2+（2a）2﹣2 × 2a × 4acos휋
3，
⇒c2＝3a2，⇒a2+b2＝3a2⇒
푏
푎 = 2，
∴双曲线 E 的渐近线方程为 y =± 2푥．
故选：C．
本题考查双曲线的简单性质、渐近线，注意运用点满足双曲线的方程，考查运算能力，
是中档题．
11．已知函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ| ＜휋
2）的图象过点 B（0，﹣1），且在（ 휋
18，
휋
3）上单调，同时 f（x）的图象向左平移 π 个单位之后与原来的图象重合，当 x1，x2∈（ -
17휋
12 ， - 2휋
3 ），且 x1≠x2 时，f（x1）＝f（x2），则 f（x1+x2）＝（ ）
A． - 3 B．﹣1 C．1 D． 3
由题意求得 φ、ω 的值，写出函数 f（x）的解析式，求图象的对称轴，得 x1+x2 的值，再
求 f（x1+x2）的值．
由函数 f（x）＝2sin（ωx+φ）的图象过点 B（0，﹣1），
∴2sinφ＝﹣1，解得 sinφ = - 1
2，
又|φ|＜휋
2，∴φ = - 휋
6，∴f（x）＝2sin（ωx - 휋
6）；
又 f（x）的图象向左平移 π 个单位之后为
g（x）＝2sin[ω（x+π） - 휋
6]＝2sin（ωx+ωπ - 휋
6），
由两函数图象完全重合知 ωπ＝2kπ，∴ω＝2k，k∈Z；
又휋
3 ―
휋
18 ≤
푇
2 =
휋
휔，
∴ω ≤ 18
5 ，∴ω＝2；
∴f（x）＝2sin（2x - 휋
6），其图象的对称轴为 x = 푘휋
2 +
휋
3，k∈Z；
当 x1，x2∈（ - 17휋
12 ， - 2휋
3 ），其对称轴为 x＝﹣3 × 휋
2 +
휋
3 = ―
7휋
6 ，
∴x1+x2＝2×（ - 7휋
6 ） = - 7휋
3 ，
∴f（x1+x2）＝f（ - 7휋
3 ）
＝2sin[2×（ - 7휋
3 ） - 휋
6]
＝2sin（ - 29휋
6 ）
＝﹣2sin
29휋
6
＝﹣2sin
5휋
6 = ― 1．
应选：B．
本题主要考查了三角函数的图象变换和性质的应用问题，也考查了运算求解能力，是综
合题．
12．已知函数 f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，当 x∈（0，+∞）时，f
（x） = {(푥 ― 1)2，0＜푥 ≤ 2
1
2푓(푥 ― 2)，푥＞2 ，则函数 g（x）＝8f2（x）﹣6f（x）+1 的零点个数为（ ）A．20 B．18 C．16 D．14
利用分段函数画出函数的图象，利用数形结合转化求解即可．
∵x∈（0，2]时，f（x）＝（x﹣1）2，又f(x) = 1
2푓(푥 ― 2)，
∴当 x∈（0，+∞）时，即将 f（x）在区间（0，2]图象依次向右移 2 个单位的同时再将纵
坐标缩短为原来的1
2倍，
得到函数 f（x）在（0，+∞）上的图象．关于 y 轴对称得到（﹣∞，0）的图象．如图所
示：
令 g（x）＝0，得f(x) = 1
2或f(x) = 1
4，即y = 1
2与y = 1
4两条直线截函数 y＝f（x）图象
共 16 个交点，所以函数 g（x）共有 16 个零点．
故选：C．
本题考查函数与方程的关系，分段函数的应用，函数的解析式的应用，考查计算能力．
二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1+a3 = 5
2，a2+a4 = 5
4，则
푆3
푎3
= 7 ．
由已知结合等比数列的通项公式可求公比 q，首项 a1，代入即可求解．
设公比为 q，
由a1 + 푎3 =
5
2，푎2 + 푎4 =
5
4可得，{a1(1 + 푞2) =
5
2
푎1푞(1 + 푞2) =
5
4
，
两式相除可得，q = 1
2，a1＝2，则
푆3
푎3
=
2 + 1 + 1
2
1
2
= 7．
故答案为：7
本题 主要考查了等比数列的通项公式的简单应用，属于基础试题．
14．已知抛物线 y2＝12x 的焦点为 F，过点 P（2，1）的直线 l 与该抛物线交于 A，B 两点，
且点 P 恰好为线段 AB 的中点，则|AF|+|BF|＝ 10 ．
因为 P（1，2）是 A（x1，y1），B（x2，y2）中点，则由中点坐标公式得 x1+x2＝4．．再利
用抛物线焦半径公式得|AF|＝x1+3，|BF|＝x2+3，进而求出则|AF|+|BF|．
设 A（x1，y1），B（x2，y2），∵P（2，1）是 AB 中点，∴
푥1 + 푥2
2 = 2，即 x1+x2＝4．
∵F（3，0）是抛物线 y2＝12x 的焦点，∴|AF|＝x1+3，|BF|＝x2+3，
则|AF|+|BF|＝x1+x2+3+3＝10，
故答案是：10．
本题考查中点坐标公式，抛物线焦半径公式|AF|＝x + 푝
2，及其运算能力，属于中档题．
15．设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，若 an＞0，a1＝1，且 2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），则 S100
＝ 5050 ．
先由题设条件求出 t，再由 2Sn＝an（an+1）得 2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1），进而得出 Sn，代
入求 S100．
∵an＞0，a1＝1，且 2Sn＝an（an+t）（t∈R，n∈N*），∴当 n＝1，有 2S1＝a1（a1+t），即 2
＝1+t，解得：t＝1．
∴2Sn＝an（an+1）①，又当 n≥2 时，有 2Sn﹣1＝an﹣1（an﹣1+1）②，
∴①﹣②可得：2（Sn﹣Sn﹣1）＝an（an+1）﹣an﹣1（an﹣1+1），
整理得：an+an﹣1＝an2﹣an﹣12，∵an＞0，∴an﹣an﹣1＝1．[来源:学_科_网 Z_X_X_K]
所以数列{an}是以 a1＝1 为首项，公差 d＝1 的等差数列，∴其前 n 项和 Sn = 푛(푛 + 1)
2 ，
∴S100 = 100(1 + 100)
2 = 5050．
故填：5050．
本题主要考查由数列的前 n 项和与第 n 项的关系式求其通项公式及等差数列前 n 项和公
式，属于基础题．
16．在三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝PC＝2，BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，若 PA 与底面 ABC 所
成的角为 60°，则点 P 到底面 ABC 的距离是 3 ；三棱锥 P﹣ABC 的外接球的表面
积是 5π ．
由题意 PA＝PC，AB＝BC 可得 P 在底面的投影 E 在∠ABC 的角平分线上，再由数量故
选可得 B 与 E 重合，求出棱锥的高 PB，再由∠ABC＝90°可得将三棱锥放在长宽高已知
的长方体中，由长方体的对角线为外接球的直径，进而求出外接球的表面积．
在三棱锥 P﹣ABC 中，PA＝PC＝2，BA＝BC＝1，∠ABC＝90°，
若 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°，所以 P 在底面的投影在∠ABC 的角平分线上，设为
E，
再由若 PA 与底面 ABC 所成的角为 60°，可得 E，B 重合，
PB＝PA•sin60°＝2 ×
3
2 = 3，
即 PB⊥面 ABC，由∠ABC＝90°可得，将三棱锥 P﹣ABC 放在长方 体中，
由长方体的对角线为外接球的直径 2R 可得：4R2＝12+12+（ 3）2＝5，
所以外接球的表面积 S＝4πR2＝5π，
故答案为： 3；5π．本题由所给条件求出三棱锥的三条侧棱两两相等，在已知一条侧棱与底面所成角的情况
下求外接球的体积，着重考查了直线与平面所成角的定义、球内接多面体和球体积的求
法等知识，属于中档题．
三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60
分.
17．如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边上的动点（含端点），记∠BAD＝α，∠ADC＝
β．
（1）求 2cosα﹣cosβ 的最大值；
（2）若 BD＝1，cosβ = 1
7，求△ABD 的面积．
（1）求出 β＝α + 휋
3，根据三角函数的运算性质求出其最大值即可；
（2）根据正弦定理求出 AB 的值，从而求出三角形的面积即可．
（1）由△ABC 是等边三角形，得 β＝α + 휋
3，0≤α ≤ 휋
3，故 2cos α﹣cos β＝2cos α﹣cos（α + 휋
3） = 3，
故当 α = 휋
6，即 D 为 BC 中点时，原式取最大值 3．
（2）由 cos β = 1
7，得 sin β = 4 3
7 ，
故 sin α＝sin（β - 휋
3）＝sin βcos
휋
3 ― cos βsin
휋
3 =
3 3
14 ，（7 分）[来源:Z.Com]
由正弦定理 퐴퐵
푠푖푛∠퐴퐷퐵 =
퐵퐷
푠푖푛∠퐵퐴퐷，
故 AB = 푠푖푛훽
푠푖푛훼BD = 8
3，（9 分）
故 S△ABD = 1
2AB•BD•sin B = 1
2 ×
8
3 × 1 ×
3
2 =
2 3
3 ．（11 分）
本题考查了三角函数的运算性质，考查正弦定理以及三角形面积的求法，是一道中档
题．
18．如图，在直三棱柱 ABC﹣A 1B1C1 中，A1B1⊥A1C1，D 是 B1C1 的中点，A1A＝A1B1＝
2．
（1）求证：AB1∥平面 A1CD；
（2）若异面直线 AB1 和 BC 所成角为 60°，求四棱锥 A1﹣CDB1B 的体积．
（1）连 AC1 交 A1C 于点 E，连 DE．证明 DE∥AB1，然后证明 AB1∥平面 A1CD．
（2）说明∠C1DE 或其补角为异面直线 AB1 和 BC 所成角．说明 A1D⊥平面 CDB1B，求
出四棱锥的底面积与高，即可求解体积．
（1）证明：如图，连 AC1 交 A1C 于点 E，连 DE．因为直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，四边形 AA1C1C 是矩形，故点 E 是 AC1 中点，
又 D 是 B1C1 的中点，故 DE∥AB1，
又 AB1⊄平面 A1CD，DE⊂平面 A1CD，故 AB1∥平面 A1CD．
（2）解：由（1）知 DE∥AB1，又 C1D∥BC，故∠C1DE 或其补角为异面直线 AB1 和 BC
所成角．
设 AC＝2m，则C1퐸 = 푚2 + 1，퐶1퐷 = 푚2 + 1，퐷퐸 = 2，
故△C1DE 为等腰三角形，故∠C1DE＝60°，故△C1DE 为等边三角形，则有 m2 + 1 =
2，得到 m＝1．
故△A1B1C1 为等腰直角三角形，故 A1D⊥C 1B1，又 B1B⊥平面 A1B1C1，A1D⊂平面
A1B1C1，
故 A1D⊥B1B，又 B1B∩C1B1＝B1，故 A1D⊥平面 CDB1B，
又梯形 CDB1B 的面积S퐶퐷퐵1퐵 =
1
2 × ( 2 +2 2) × 2 = 3 2，퐴1퐷 = 2，
则四棱锥 A1﹣CDB1B 的体积V = 1
3푆퐶퐷퐵1퐵 ⋅ 퐴1퐷 =
1
3 × 3 2 × 2 = 2．
本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，几何体的体积的求法，考查空间想象能力
以及计算能力，逻辑推理能力．
19． 某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司 2018 年连续
六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示
（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润 y（单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求 y 关于 x 的线性回归方程，并预测该公司 2019 年 3 月份的利润；
（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有 A，B 两种型号的新型材
料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用 4 个月，但新材料的不稳定性会导致材料
损坏的年限不相同，现对 A，B 两种型号的新型材料对应的产品各 100 件进行科学模拟测
试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如表：
使用寿命
材料类型
1 个月 2 个月 3 个月 4 个月 总计
A 20 35 35 10 100
B 10 30 40 20 100
如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？
参考数据：
6
i=1
yi＝96，
6
i=1
xiyi＝371．
参考公式：回归直线方程为y = bx + 푎，其中b =
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)(푦푖 ― 푦)
푛
푖=1 (푥푖 ― 푥)2 =
푛
푖=1 (푥푖푦푖) ― 푛푥푦
푛
푖=1 푥2
푖 ― 푛푥2
．
（1）由折线图可知统计数据（x，y）共有 6 组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，
15），（5，20），（6，21）．根据这 6 组数据可求得线性回归方程，再令 x＝11，可得；
（2）比较 A，B 两种新材料的使用寿命的平均进行比较可得．
（1）由折线图可知统计数据（x，y）共有 6 组，即（1，11），（2，13），（3，16），（4，15），（5，20），（6，21）．
计算可得x =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6 = 3.5，y =
1
6
6
i=1
yi = 1
6 × 96＝16，
所以b =
6
푖=1 (푥푖푦푖) ― 6 ⋅ 푥 ⋅ 푦
6
푖=1 푥푖 ― 6 ⋅ 푥2
=
371 ― 6 × 3.5 × 16
17.5 = 2，
a = y ― b•x = 16﹣2×3.5＝9．
所以月度利润 x 与月份代码 x 之间的线性回归方程为y = 2x+9，
当 x＝11 时，y = 2×11+9＝31．
故预计甲公司 2019 年 3 月份的利润为 31 百万元．
（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为x1 = 2.35，B 型新材料对应的产品的使
用寿命的平均数为x2 = 2.7，
∵x1＜x2，∴应该采购 B 新新材料．
本题考查了线性回归方程，属中档题．
20．已知椭圆 C：푥2
푎2 +
푦2
푏2 = 1（a＞b＞0）的长轴长为 4，且经过点 P（ 2，
2
2 ）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）直线 l 的斜率为1
2，且与椭圆交于 A，B 两点（异于点 P），过点 P 作∠APB 的角平
分线交椭圆于另一点 Q．证明：直线 PQ 与坐标轴平行．
（1）由条件得：{2a = 1
( 2)2
푎2 +
( 2
2 )2
푏2 = 1
解得 a，b，即可得到椭圆方程．
（2）证明：欲证 PQ 与坐标轴平行，即证直线 PQ 的方程为 x = 2；或 y =
2
2 ，又因
为 PQ 平分∠APB，故只需证明 PA，PB 的斜率都存在时满足 kPA+kPB＝0 即可．当 PA，
PB 的斜率不存在时，说明不满足题意．然后证明 kPA+kPB＝0．设直线 l：y = 1
2푥 + 푚，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{푥2
4 + 푦2 = 1
푦 =
1
2푥 + 푚
，利用韦达定理结合 kPA+kPB 的表达式，推出
结果即可．
（1）解：由条件得：{2a = 1
( 2)2
푎2 +
( 2
2 )2
푏2 = 1
解得 a＝2，b＝1，
椭圆 C：푥2
4 + 푦2 = 1．
（2）证明：欲证 PQ 与坐标轴平行，即证直线 PQ 的方程为 x = 2；或 y =
2
2 ，又因
为 PQ 平分∠APB，故只需证明 PA，PB 的斜率都存在时满足 kPA+kPB＝0 即可．
当 PA，PB 的斜率不存在时，即点 A 或 B 的坐标为( 2， ―
2
2 )，而经检验此时直线 l 与
椭圆 C 相切，不满足题意．故 PA，PB 的斜率都存在，下证 kPA+kPB＝0．
设直线 l：y = 1
2푥 + 푚，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{푥2
4 + 푦2 = 1
푦 =
1
2푥 + 푚
，可得 x2+2mx+2m2﹣
2＝0
此时△＝﹣4m2+8＞0，
x1+x2＝﹣2m，x1x2＝2m2，
kPA+kPB＝0．
푦1 ― 2
2
푥1 ― 2 +
푦2 ― 2
2
푥2 ― 2 =
(푦1 ― 2
2 )(푥2 ― 2) + (푦2 ― 2
2 )(푥1 ― 2)
(푥1 ― 2)(푥2 ― 2)
（※），
（※）式的分子 = 2 -
2
2 (푥1 + 푥2) ― 2(푦1 + 푦2) + 푥1푦2 + 푥2푦1
= 2 -
2
2 (푥1 + 푥2) ― 2(
1
2푥1 +푚 +
1
2푥2 +푚) + 푥1(
1
2푥2 +푚) + 푥2(
1
2푥1 +푚)
= 2 - 2 2푚 + (푚 ― 2)(푥1 + 푥2) + 푥1푥2 = 2 - 2 2푚 + (푚 ― 2)( ― 2푚) + 2푚2
―2 = 0，直线 PQ 与坐标轴平行．得证．
本题考查仔细与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21．已知函数 f（x）＝ln（x+1）+ax2﹣x（a∈R）．
（1）当a = 1
4时，求函数 y＝f（x）的单调区间；
（2）若对任意实数 b∈（1，2），当 x∈（﹣1，b]时，函数 f（x）的最大值为 f（b），求 a
的取值范围．
（1）当a = 1
4时，f（x）＝ln（x+1） + 1
4푥2 ―푥，求其导函数，由导函数在不同区间内的
符号判断原函数的单调性；
（2）由题意 f′（x） = 푥[2푎푥 ― (1 ― 2푎)]
푥 + 1 （x＞﹣1）．当 a≤0 时，由原函数的单调性可
得不存在实数 b∈（1，2） ，使得当 x∈（﹣1，b]时，函数 f（x）的最大值为 f（b）；当 a
＞0 时，令 f′（x）＝0，有 x1＝0，x2 =
1
2푎 ―1，然后分 a = 1
2，0＜a＜1
2和 a＞1
2三类求
解．
（1）当a = 1
4时，f（x）＝ln（x+1） + 1
4푥2 ―푥，
则 f′（x） = 1
푥 + 1 +
1
2푥 ― 1 =
푥(푥 ― 1)
2(푥 + 1)（x＞﹣1）．
令 f′（x）＞0，得﹣1＜x＜0 或 x＞1；令 f′（x）＜0，得 0＜x＜1，
∴函数 f（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞），单调递减区间为（0，1）；
（2）由题意 f′（x） = 푥[2푎푥 ― (1 ― 2푎)]
푥 + 1 （x＞﹣1）．
当 a≤0 时，函数 f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减，
此时，不存在实数 b∈（1，2），使得当 x∈（﹣1，b]时，函数 f（x）的最大值为 f（b）；
当 a＞0 时，令 f′（x）＝0，有 x1＝0，x2 =
1
2푎 ―1，
①当 a = 1
2时，函数 f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，显然符合题意．②当 1
2푎 ―1＞0，即 0＜a＜1
2时，
函数 f（x）在（﹣1，0）和（ 1
2푎 ―1，+∞）上单调递增，
在（0， 1
2푎 ―1）上单调递减，f（x）在 x＝0 处取得极大值，且 f（0）＝0，
要使对任 意实数 b∈（1，2），当 x∈（﹣1，b]时，函数 f（x）的最大值为 f（b），
只需 f（1）≥0，解得 a≥1﹣ln2，又 0＜a＜1
2，
∴此时实数 a 的取值范围是 1﹣ln2≤a＜1
2．
③当 1
2푎 ―1＜0，即 a＞1
2时，
函数 f（x）在（﹣1， 1
2푎 ―1）和（0，+∞）上单调递增，在（ 1
2푎 ―1，0）上单调递减，
要使对任意实数 b∈（1，2），当 x∈（﹣1，b]时，函数 f（x）的最大值为 f（b），
只需 f（ 1
2푎 ―1）≤f（1），
代入化简得ln(2a) + 1
4푎 +푙푛2 ― 1 ≥ 0，（*）
令 g（a）＝ln（2a） + 1
4푎 + ln2﹣1（a＞1
2），
∵g′（a） = 1
푎(1 ―
1
4푎)＞0 恒成立，
故恒有 g（a）＞g（1
2）＝ln2 - 1
2＞0，
∴a＞1
2时，（*）式恒成立，
综上，实数 a 的取值范围是[1﹣ln2，+∞）．
本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力，属
难题．
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分.[选修 4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系 xOy 中，曲线∁l 的参数方程为{x = 2 + 2cosφ
푦 = 2푠푖푛휑 （φ 为参数），以坐标
原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ．[来源:学#科#
网]
（l）写出 C1 的极坐标方程：
（2）设点 M 的极坐标为（4，0），射线θ = α(0＜α＜휋
4)分别交 C1，C2 于 A，B 两点
（异于极点），当∠AMB = 휋
4时，求 tanα．
（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转
换．
（2）利用直线和圆的位置关系，建立方程组，进一步求出交点的坐标，最后利用两直线
间的位置关系及夹角公式的应用，最后利用方程的解法的应用求出结果．
（1）曲线∁l 的参数方程为{x = 2 + 2cosφ
푦 = 2푠푖푛휑 （φ 为参数），转换为直角坐标方程为（x﹣2）
2+y2＝4，转换为极坐标方程为 ρ＝4c osθ．
（2）曲线 C2 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ．转换为直角坐标方程为 x2+（y﹣2）2＝4．
设点 M 的极坐标为（4，0），射线θ = α(0＜α＜휋
4)分别交 C1，C2 于 A，B 两点（异于
极点），
如图所示：
设射线 OA 的方程为 y＝kx，
则：{ y = kx
푥2 ― 4푥 + 푦2 = 0 ，解得A( 4
1 + 푘2，
4푘
1 + 푘2)．
同理 B(4 푘
1 + 푘2，
4푘2
1 + 푘2)．
由于∠A = 휋
2，∠AMB = 휋
4时，所以 BM 与 AO 的夹角为휋
4，
由于k푀퐵 =
푘2
푘 ― 1 ― 푘2，kAO＝k，利用两直线的夹角公式的应用|
푘퐵푀 ― 푘푂퐴
1 + 푘퐵푀푘푂퐴
| = 1，
整理得
푘 ― 푘2
푘 ― 1 ― 푘2
1 + 푘3
푘 ― 1 ― 푘2
= 1 或 ― 1，
即：2k3﹣k2+2k﹣1＝0 或 k2﹣2k+1＝0．
解得 k = 1
2或 k＝1．
由于0＜α＜휋
4，所以 k＝1（舍去）．
故 k = 1
2．
所以 tanα = 1
2．
本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线的夹角
公式的应用，方程的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属
于中档题型．
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知 a＞0，b＞0，a2+4b2 = 1
푎푏 + 3．
（1）求证：ab≤1；
（2）若 b＞a，求证： 1
푎3 ―
1
푏3 ≥ 3（1
푎 ―
1
푏）．（1）根据条件利用基本不等式可得 1
푎푏 +3 = 푎2 +4푏2⩾4푎푏，然后解关于 ab 的不等式即可；
（2）要证 1
푎3 ―
1
푏3 ≥ 3（1
푎 ―
1
푏），即证 1
푎2 +
1
푎푏 +
1
푏2⩾3，然后根据条件得到 1
푎2 +
1
푎푏 +
1
푏2⩾3
成立．
证明：（1）由条件，有 ab＞0， 1
푎푏 +3 = 푎2 +4푏2⩾4푎푏，
∴1+3ab≥4（ab）2，∴4（ab）2﹣3ab﹣1≤0，
∴ab≤1．
（2）∵b＞a＞0，∴1
푎 ―
1
푏＞0．
要证 1
푎3 ―
1
푏3 ≥ 3（1
푎 ―
1
푏），
只需证(1
푎 ―
1
푏)(
1
푎2 +
1
푎푏 +
1
푏2)⩾3(
1
푎 ―
1
푏)，
即证 1
푎2 +
1
푎푏 +
1
푏2⩾3．
∵0＜ab≤1，∴ 1
푎2 +
1
푎푏 +
1
푏2⩾
2
푎푏 +
1
푎푏 =
3
푎푏⩾3，
∴原不等式成立．
本题考查了基本不等式，利用综合法证明不等式和利用分析法证明不等式，考查了转化
思想，属中档题．
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