文宫中学 2019 级春季数学月考试题（理）
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分）
1.下列说法正确的是( )
A. 是增函数 B. 在第一象限是增函数
C. 在每个区间 上是增函数
D. 在某一区间上是减函数
2.将函数 的图象沿 x 轴向左平移 个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为 ( )A.
B. C.0 D.
3.在 内,不等式 的解集是（ ）
A. B. C. D.
4.已知 是角 θ 终边上一点,则 等于（ ）
A. B. C. D.
5.已知函数 的周期为 T,在一个周期内的图象如图所示,则正确的结论是( )
A. B. C. D.
6.若向量 ,则 （ ）
A. B. C. D.
7.已知向量 与 不共线,且 ,则下列结论正确的是( )
A.向量 与 垂直 B.向量 与 垂直
C.向量 与 垂直 D.向量 与 共线
8.已知向量 ,且 与 共线,则 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
tany x= tany x=
tany x= ( ),2 2k k k Z
π ππ π − + ∈
tany x=
(sin 2 )y x ϕ= + π
8
ϕ 3π
4
π
4
π
4
−
[0,2π] 3sin 2x < −
( )0,π π 4π,3 3
4π 5π,3 3
5π ,2π3
( )4, 3P − ( )sin 2π θ+
4
5
3
5
3
5
− 3
4
−
πsin( ) ( 0, 0,| | )2y A x B Aω ϕ ω ϕ= + + > > <
3, 2πA T= = 1, 2B ω= − = π4π, 6T ϕ= = − π3, 6A ϕ= =
(1,2), (3,4)AB BC= = AC =
( )4,6 ( )4, 6− − ( 2, 2)− − ( )2,2
a b 0a b= ≠
a b+ a b− a b− a
a b+ a a b+ a b−
( ) ( )1, , 2,2a bλ= = a b+ a a b⋅ =9.已知非零向量 与 满足 ，且 ，则 的形状是（）
A．三边均不相等的三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．以上均有可能
10.已知 为等边三角形， ，设 满足 ，若 ，
则 ( )
A. B. C. D.
11.已知 是非零向量且满足 ,则 与 的夹角是( )
A. B. C. D.
12. 设 分 别 是 的 三 边 上 的 点 , 且 , 则
与 ( )
A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13.① 在定义域上单调递增;
②若锐角 满足 ,则 ;
③ 是定义在 上的偶函数,且在 上是增函数若 ,则 ;④函数
的一个对称中心是 ;其中正确命题的序号为__________
14.设 是任意非零向量，且互不共线，给出以下命题：
① ；② 不与 垂直；
③ .其中是真命题的是_________.(填序号)
15. 是 不 共 线 的 向 量 ， 且 ， 若 以 为 一 组 基 底 ， 则 向 量
_____________.
16.已知向量 的夹角为 ,且 ,则 _____
AB AC 0AB AC BC
AB AC
+ ⋅ =
1
2
AB AC
AB AC
⋅ =
ABC∆
ABC△ 2AB = ,P Q , (1 ) ( R)AP AB AQ ACλ λ λ= = − ∈ 3
2BQ CP⋅ = −
λ =
1
2
1 2
2
± 1 10
2
± 3 2 2
2
±
,a b ( 2 ) ,( 2 )a b a b a b− ⊥ − ⊥ a b
6
π
3
π 2
3
π 5
6
π
, ,D E F ABC△ , ,BC CA AB 2 , 2 , 2DC BD CE EA AF FB= = =
AD BE CF+ + BC
tany x=
,α β cos sinα β>
2
πα β+ <
( )f x [ ]1,1− [ ]1,0− 0, 4
πθ ∈
( ) ( )sin cosf fθ θ>
4sin 2 3y x
π = − ,06
π
, ,a b c
( ) ( ) 0a b c c a b⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ( ) ( )b c a c a b⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ c
2 2
(3 2 ) (3 2 ) 9 4a b a b a b+ ⋅ − = −
1 2,l l
1 2 1 2 1 23 , 4 2 , 3 12a l l b l l c l l= − + = + = − + ,b c a =
,a b 45 1, 2 10a a b= − = b =三、解答题（17 题 10 分，其余每小题 12 分，共 70 分）
17.已知函数 为偶函数,且函数 的图象的两相邻对称轴间的距离
为 .(1)求 的值;(2)将函数 的图象向右平移 个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的 4 倍,纵
坐标不变,得到函数 的图象,求函数 的单调递减区间.
18.已知函数 , ,其中 .
(1)当 时，求函数 的最大值与最小值；
(2)求 的取值范围，使 在区间 上是单调函数.
19. 已 知 .(1) 化 简 ； (2) 若 是 第 三 象 限 的 角 ， 且
，求 的值；(3)若 ，求 的值.
20.如下图所示，在平行四边形 中，设 .试用 表示 及
.
21.已知向量 .
(1)求 的最小值及相应的 t 值
(2)若 与 共线，求实数 t.
22.已知 .
1.若 ,且 ,求 的值;
2.若函数 ,求 的最小值;
3.是否存在实数 和 ,使得 ?若存在,求出 的取值范围;若不存在,请说明理由.
π( ) 2sin 16f x xω ϕ = + − + (0 π, 0)ϕ ω< < > ( )f x
π
2
π
8f
( )f x π
6
( )g x ( )g x
2( ) 2 tan 1f x x x θ= + − 1, 3x ∈ − ,2 2
θ π π ∈ −
6
θ π= − ( )f x
θ ( )y f x= 1, 3 −
3sin( 3 )cos(2 )sin 2( ) cos( )sin( )f a
α α α
α α
π − π π − − + = −π − −π − ( )f α α
3 1cos 2 5
α π − = ( )f α 31
3
α π= − ( )f α
OADB 1 1, , ,3 3OA a OB b BM BC CN CD= = = = ,a b ,OM ON
MN
( 3,2), (2,1), (3, 1), Ra b c t= − = = − ∈
a tb+
a tb− c
( ) ( ) ( ) ( )( )2 sin ,1 , 2, 2 , sin 3,1 , 1, ,a x b c x d k x R k R= + = − = − = ∈ ∈
,2 2x
π π ∈ −
( )a b c+
x
( )f x a b= ⋅ ( )f x
k x ( ) ( )a d b c+ ⊥ + k2019 级数学月考参考答案
1.答案：C 解析：正切函数在每个区间 上是增函数.但在整个定义域
上不是增函数,另外,正切函数不存在减区间.
2.答案：B 解析：解：令 ，
则 ，∵ 为偶函数，
∴ ，∴ ， ，∴当 时， ．
故 φ 的一个可能的值为 ．故选：B．
3.答案：C 解析：画出 的草图如下:
因为 ,所以
即在 内,满足 的 或 可知不等式
的解集是 .故选 C.
4.答案：C5.答案：C 解析：由题图得
得 ,所以 .
又 ,得 .又 ,所以 .
6.答案：A 解析：∵ ,故选 A.
7.答案：A 解析：如图所示,作 ,以 和 为邻边作四边形 .由于
,则四边形 是菱形,所以必有 .
( ),2 2k k k Z
π ππ π − + ∈
2y f x sin x ϕ= = +（ ） （ ）
π π π( ) sin[2( ) ] sin(2 )8 8 4f x x xϕ ϕ+ = + + = + + π( )8f x +
π π+ π4 2kϕ = + ππ 4kϕ = + k Z∈ 0k = π
4
ϕ =
π
4
[ ]sin , 0,2πy x x= ∈
π 3sin 3 2
= 3sin 3 2
π π + = −
3sin 2 3 2
π = π − = − [0,2π] 3sin 2x = − 4π
3x = 5π
3x =
3sin 2x < − 4π 5π,3 3
2,
4,
A B
A B
+ =
− + = −
3,
1,
A
B
=
= −
2π 4π 2π2( ) 4π3 3T ω= = + = 1
2
ω =
1 4π π 2 π, Z2 3 2 k kϕ⋅ + = + ∈ π 2 π, Z6 k kϕ = − + ∈ π| | 2
ϕ < π
6
ϕ = −
(1,2) (3,4) (4,6)AC AB BC= + = + =
,OA a OC b= = OA OC OABC
0a b= ≠ OABC AC OB⊥又因为 ,所以 .
8. 答 案 ： D 解 析 ： 因 与 共 线 , 故 得 , 所 以
.
9.答案：C
解析：∵ ，∴ 的平分线所在的向量与 垂直，所以 为等腰三
角形．又 ，∴ ，∴ .故 为等边三角形．
10. 答 案 ： A 解 析 ： 因 为 , 所 以
，所以 .
11. 答 案 ： B 解 析 ： 由 题 可 得 , 即 , 即 , 所 以
,即 .设向量 与 的夹角为
则 ,所以向量 与 的夹角为 .12.答案：A
13.答案：②③④14.答案：③
解析： 表示与向量 共线的向量， 表示与向量 共线的向量，而 不共线，
所以①错误；由 知 与 垂直，故②错误；向量的乘
法运算符合多项式乘法法则，所以③正确.所以真命题的序号是③.
15.答案： 解析：设 ，由题意可知 ，
,a b OB a b CA+ = − = ( ) ( )a b a b+ ⊥ −
( )3, 2a b λ+ = + a b+ a ( )3 1 2λ λ⋅ = ⋅ + 1λ =
( ) ( )1,1 2,2 1 2 1 2 4a b⋅ = ⋅ = × + × =
0AB AC BC
AB AC
+ ⋅ =
A∠ BC ABC∆
1
2
AB AC
AB AC
⋅ =
cos 1
2A = π
3A∠ =
ABC∆
,BQ BA AQ CP CA AP= + = +
( ) ( )BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP⋅ = + ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅
2 2
(1 ) (1 )AB AC AB AC AB ACλ λ λ λ= ⋅ − − − + − ⋅
2 32 4 4(1 ) 2 (1 ) 2 2 2 2
λ λ λ λ λ λ= − − − + − = − + − = − 1
2
λ =
( 2 ) 0a b a− ⋅ = 2 2 ,( 2 ) 0a a b b a b= ⋅ − ⋅ = 2 2b a b= ⋅
2 2
a b= a b= a b ,θ
2
2
1
12cos 2
aa b
a b a
θ ⋅= = =
a b
3
π
( )a b c⋅ ⋅ c ( )c a b⋅ ⋅ b ,b c
( ) ( ) 0b c a c a b c ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ = ( ) ( )b c a c a b⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ c
1 7
18 27b c− + a xb yc= +
1 2 1 2 1 23 (4 2 ) ( 3 12 )l l x l l y l l− + = + + − + 整理得 .
由平面向量基本定理得 解得 所以 .
16.答案： 解析：因为 ,所以 ,
即 ,解得 .
17. 答 案 ： (1) 因 为 为 偶 函 数 , 所 以 , 所 以 . 又
,所以 ,所以 .
有函数 的图象的两相邻对称轴间的距离为 ,所以 ,
所以 ,所以 ,
所以 .
(2)将 的图象向右平移 个单位长度后,得到函数 的图象,再将所得图象上各点的
横坐标伸长为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 的图象,
所以 .
当 ,
即 时, 单调递减.
所以函数 的单调递减区间是 .
18.答案：(1)当 时，
.
所以当 时， 有最小值为 ；
当 时， 有最大值为 .
(2)函数 的图象的对称轴为 .
1 2 1 23 (4 3 ) (2 12 )l l x y l x y l− + = − + +
4 3 1
2 12 3
x y
x y
− = −
+ =
1
18
7
27
x
y
= −
=
1 7
18 27a b c= − +
3 2 2 10a b− = ( )22 2 2
2 2 4 4 10a b a b a a b b− = − = − ⋅ + =
2
2 2 6 0b b− − = 3 2b =
( )f x π ππ ( Z)6 2k kϕ − = + ∈ 2ππ ( Z)3k kϕ = + ∈
0 πϕ< < 2π
3
ϕ = π( ) 2sin 1 2cos 12f x x xω ω = + + = +
( )f x π
2
2π π2 2T ω= = ×
2ω = ( ) 2cos2 1f x x= +
π π2cos 2 1 2 18 8f = × + = +
( )f x π
6
π
6f x −
π
4 6
xf −
π π π( ) 2cos 2 1 2cos 14 6 4 6 2 3
x x xg x f
= − = − + = − +
π2 π 2 π π( Z)2 3
xk k k≤ − ≤ + ∈
2π 8π4 π 4 π+ ( Z)3 3k x k k+ ≤ ≤ ∈ ( )g x
( )g x 2π 8π4 π ,4 π+ ( Z)3 3k k k + ∈
6
θ π= −
2
2 2 3 3 4( ) 1 , 1, 33 3 3f x x x x x
= − − = − − ∈ −
3
3x = ( )f x 4
3
−
1x = − ( )f x 2 3
3
2 2( ) ( tan ) 1 tanf x x θ θ= + − − tanx θ= −因为 在区间 上单调，
所以 或 .
即 或 .
又 ，所以 的取值范围是 .
19.答案：(1)
.
(2)因为 .所以 .
又 是第三象限角，所以 .
所以 .
(3)因为 ，所以
，所以 .
20.答案：由题意知，在平行四边形 中，
，
则 ，
.
则 .
21.答案：(1)因为 ，
所 以 . 所 以
.
当且仅当 时取等号，即 的最小值为 ，此时 .
(2)因为 ，
( )y f x= 1, 3 −
tan 1θ− ≤ − tan 3θ− ≥
tan 1θ ≥ tan 3θ ≤ −
,2 2
θ π π ∈ −
θ , ,2 3 4 2
π π π π − − ∪
3sin( 3 )cos(2 )sin 2( ) cos( )sin( )f
α α α
α α α
π − π π − − + = −π − −π −
( sin ) cos ( cos ) cos( cos ) sin
α α α αα α
− ⋅ ⋅ −= = −− ⋅
3 1cos sin2 5
α απ − = − =
1sin 5
α = −
α
21 2cos 1 65 5
α = − − − = −
2( ) 65f α =
31 56 23 3
π π− = − × π + 31 31cos3 3f
π π − = − −
5cos 6 2 3
π = − − × π +
5 1cos cos3 3 2
π π= − = − = − 1( ) 2f α = −
OADB
1 1 1 1 1 1( ) ( )3 6 6 6 6 6BM BC BA OA OB a b a b= = = − = − = −
1 1 1 5
6 6 6 6OM OB BM b a b a b= + = + − = +
2 2 2( ) ( )3 3 3ON OD OA OB a b= = + = +
2 1 5 1 1( )3 6 6 2 6MN ON OM a b a b a b= − = + − − = −
( 3,2), (2,1), (3, 1)a b c= − = = −
( 3,2) (2,1) ( 3 2 ,2 )a tb t t t+ = − + = − + +
2
2 2 2 4 49 49 7 5( 3 2 ) (2 ) 5 8 13 5 5 5 5 5a tb t t t t t + = − + + + = − + = − + ≥ =
4
5t = a tb+ 7 5
5
4
5t =
( 3,2) (2,1) ( 3 2 ,2 )a tb t t t− = − − = − − − 又 与 共线， ，
所以 ，解得 .
22.答案：1.∵ ,又 ,
∴ ,即 .
又 ,∴ .
2.∵ ,
∴ .
又 ,
∴当 时, 有最小值,且最小值为 .
3. ,
若 ,则 ,
即 ,
∴ .
由 ,得 ,
∴ ,
故 .
∴存在 ,使得 .
a tb− c (3, 1)c = −
( 3 2 ) ( 1) (2 ) 3 0t t− − × − − − × = 3
5t =
( )sin 1, 1b c x+ = − − ( )a b c+
( )2 sin sin 1x x− + = − 1sin 2x = −
,2 2x
π π ∈ − 6x
π= −
( ) ( )2 sin ,1 , 2, 2a x b= + = −
( ) ( )2 2 sin 2 2sin 2f x a b x x= ⋅ = + − = +
x R∈
sin 1x = − ( )f x 0
( ) ( )3 sin ,1 , sin 1, 1a d x k b c x+ = + + + = − −
( ) ( )a d b c+ ⊥ + ( ) ( ) 0a d b c+ +⋅ =
( )( ) ( )3 sin sin 1 1 0x x k+ − − + =
( )22sin 2sin 4 sin 1 5k x x x= + − = + −
[ ]sin 1,1x∈ − [ ]sin 1 0,2x + ∈
( ) [ ]2sin 1 0,4x + ∈
[ ]5, 1k ∈ − −
[ ]5, 1k ∈ − − ( ) ( )a d b c+ ⊥ +
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