宁夏六盘山高级中学2020届高三数学（理）下学期第一次模拟试题（含答案Word版）

绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学 2020 届高三第一次模拟考试 理科数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字 体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在 草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知 , 是虚数单位，若 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 3. 函数 的图象大致为（ ） A. B ． C ． Ra∈ i aiz +=1 4=⋅ zz =a 11 −或 15 15− 33 −或 ( ){ } { }12020310log 2 2020 +==−−== xyyNxxyxM ， =NM  ( )2,1− [ )2,1− ( )2,1 [ )2,1 ( ) 21 lg | | xf x x −=D． 4. 设向量 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知△ 的三个内角 所对的边分别为 ，若 ， 且 ，则△ 的面积 ( ) A. B. C. D. 7. 《算法统宗》是我国古代数学名著，有明代数学家程大位所著.该著作完善了珠算口诀， 确立了算盘用法，完成了有筹算到珠算的转变，对我国民间普及珠算起到了重要的作用. 如图所示的程序框图的算法思路源于该著作中的“李白沽酒”问题.执行该程序框图，若 输入的 的值为 4，则输出的 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 琴、棋、书、画、诗、酒、花、茶被称为中国传统八雅.为弘扬中国传统文化，某校在 周末学生业余兴趣活动中开展了“八雅”知识讲座，每雅安排一节，连排八节.则 “琴”“棋”“书”“画”互不相邻的概率为( ) ba , 3,2 =−== baba  =+ ba  2 6 23 10 34 ( )0,01: 2 2 2 2 >>=− bab y a xC 5 xy 2±= xy 2±= xy 2 1±= xy 2 2±= ABC CBA ,, cba ,, 5sin sin 2b A B = ( )( ) 04 =+−−−+ cbabca ABC =S 2 3 2 4 3 a m 11 19 35 25 是 否 ?3≤i 输出 m 结束输入 a开始 32 −= am 1=i 32 −= mm 1+= iiA. B. C. D. 9. 已知底面为长方形的四棱锥 中， 平面 ， ， ， 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数 ， ，且 ， 则 （ ） A. 或 B. C. D. 或 11. 已知函数 为偶函数， 为奇函数，且满足 .若存在 ， 使得不等式 有解，则实数 的最大值为( ) A. B. C. D. 12. 已知 是椭圆 的左、右焦点，过 的直线交椭圆于 两点.若 依次构成等差数列，且 ，则椭圆 的离心率 为( ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 曲线 在点 处的切线方程为_________. 70 1 35 2 14 1 8 1 ABCDP − ⊥PA ABCD 42 == PABC 3=AB E PD AE BD 5 3 5 2 25 56 25 58 ( ) ( ) ( )0sin2 >++= ωϕω bxxf      −=     + xfxf 88 ππ 58 =    π f =b 3 7 3 5 5 8 ( )xg ( )xh ( ) ( ) xxhxg 2=− [ ]1,1−∈x ( ) ( ) 0≤+⋅ xhxgm m 1− 5 3 1 5 3− 21, FF ( )01: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 2F QP, 1122 ,,, QFPFPFQF 1PFPQ = C 15 105 4 3 5 15 3 2 ( ) sinf x x x= ( ),0π14. 若 满足约束条件 ，则 的最大值是__________. 15. 若 ， 是第三象限角，则 _______________. 16. 在 矩 形 中 ， ， 为 中 点 ， 将 和 分 别 沿 翻折，使点 与 重合于点 .若 ，则三棱锥 的外 接球的表面积为______________. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分） 已知数列 满足 ， ，设 ． （Ｉ）证明数列 是等差数列，并求其通项公式； （ＩＩ）若 ，求数列 的前 项和. yx,    ≥−+ ≤−− ≥− 02 063 0 yx yx yx yxz −= 2 ( ) 3sin 5 π α+ = α cos sin2 2 cos sin2 2 α α α α + − ABCD 4=BC M BC ABM△ DCM△ DMAM , B C P °=∠ 150APD PADM − { }na 1 2a = ( ) ( )1 1 2 1n nna n a n n+ − + = + n n ab n = { }nb 2 nb nc n= − { }nc n18. （本小题满分 12 分） 在某企业中随机抽取了 5 名员工测试他们的艺术爱好指数 和创新灵感 指数 ，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）： （I）求创新灵感指数 关于艺术爱好指数 的线性回归方程； （II）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培 训，培训音乐次数 对艺术爱好指数 的提高量为 ，培训绘 画次数 对艺术爱好指数 的提高量为 ，其中 为参加培 训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱好指数已达到 3 的员工甲选择参加 音乐培训，艺术爱好指数已达到 4 的员工乙选择参加绘画培训，在他们都培训 了 20 次后，估计谁的创新灵感指数更高？ 参考公式：回归方程 中， . 参考数据： ， 19. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 与圆 相交于 两点，且点 的横 坐标为 . 是抛物线 的焦点，过焦点的直线 与抛物线 相交于不同的两点 . （I）求抛物线 的方程. （II）过点 作抛物线 的切线 ， 是 的交点，求证：点 在定直 线上. 艺术爱好指数 2 3 4 5 6 创新灵感指数 3 3.5 4 4.5 5 ( )100 ≤≤ xx ( )100 ≤≤ yy y x t x ( )       −− − 20 0 110 t ex t x ( )      +−− 10 10110 0 tx 0x axby ˆˆˆ += xbya xnx yxnyx b n i i n i ii ˆˆ,ˆ 1 22 1 −= − − = ∑ ∑ = = 85 1 =∑ = n i ii yx 90 1 2 =∑ = n i ix ( )02: 2 >= ppyxC 12: 22 =+ yxO BA, A 22 F C l C NM , C NM , C 21,ll ( )00 , yxP 21,ll P20. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 中， ，四边形 为平行四边形， 且 . （I）证明： 平面 （II）当直线 与平面 所成角的正切值为 时， 求锐二面角 的余弦值. 21. （本小题满分 12 分） 已知函数 ， . （I）证明：当 时， . （II）若函数 在 有两个零点，证明： . （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的 第一题计分． ABCDP − PACPB 平面⊥ ABCD °=∠== 135,42 BADABAD ⊥AC PAB PC PAB 2 DPCA −− ( ) xxxxf ln1      −= ( ) x kxxg −= [ )∞+∈ ，1x ( ) 0≥xf )()( xgxfy −= [ )∞+，1 8 171 −+ 01)( a绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学 2020 届高三第一次模拟考试 理科数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体 工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 24. 已知 , 是虚数单位，若 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【解析】D. 以为复数 ， ， ，所以 ，故选 D 25. 已知集合 ，则 ( ) A. B. C. D. 【解析】C 因为 ， ，所以 ，故选 C 26. 函数 的图象大致为（ ） Ra∈ i aiz +=1 4=⋅ zz =a 11 −或 15 15− 33 −或 aiz +=1 aiz −=1 41 2 =+=⋅ azz 3±=a ( ){ } { }12020310log 2 2020 +==−−== xyyNxxyxM ， =NM  ( )2,1− [ )2,1− ( )2,1 [ )2,1 ( ){ } { }25310log 2 2020 ++= ωϕω bxxf      −=     + xfxf 88 ππ 58 =    π f =b 3 7 3 5 5 8      −=     + xfxf 88 ππ 8 π=x 528 =±=     bf π 3=b 7 ( )xg ( )xh ( ) ( ) xxhxg 2=− [ ]1,1−∈x ( ) ( ) 0≤+⋅ xhxgm m 1− 5 3 1 5 3− ( )xg ( )xh ( ) ( ) xxhxg 2=− ( ) ( ) ( ) ( ) xxhxgxhxg −=+=−−− 2 ( ) ( ) 2 22,2 22 xxxx xhxg −=+= −− ( ) ( ) 0≤+⋅ xhxgm 14 2114 14 22 22 +−=+ −=+ −≤ − − xx x xx xx m 14 21 +−= xy 1=x 5 3 5 3≤m m 5 3 21, FF ( )01: 2 2 2 2 >>=+ bab y a xC 2F QP,两点.若 依次构成等差数列，且 ，则椭圆 的离心率为 ( ) A. B. C. D. 【解析】A. 依次构成等差数列 ，设公差为 ，根据椭圆的定义得 ，因为 ，所以 ，所以 ， 解 得 ， ， 所 以 ，所以在△ 和△ 中，由余弦定理 得 ， 整理得 ，故选 A . 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 36. 曲线 在点 处的切线方程为_________. 答案： 【解析】：因为 ，所以 ，所以在点 处的切线方程为 ，即： . 37. 若 满足约束条件 ，则 的最大值是__________. 答案：4 1122 ,,, QFPFPFQF 1PFPQ = C 15 105 4 3 5 15 3 2 1122 ,,, QFPFPFQF { }na d aaaaa 24321 =+++ 1PFPQ = 321 aaa =+    =+ =+++ 321 4321 2 aaa aaaaa ad 5 2= aaaaaaaa 5 8,5 6,5 4,5 2 4321 ==== aQFaPFaPFaPQ 5 8,5 6,5 4,5 6 112 ==== 21FPF QPF1 ( ) aa aaa aa caa PFF 5 6 5 62 5 8 5 6 5 6 5 6 5 42 25 6 5 4 cos 222 2 22 21 ⋅⋅   −  +   = ⋅⋅ −  +   =∠ 15 105== a ce ( ) sinf x x x= ( ),0π 02 =−+ ππ yx ( ) xxxxf cossin +=′ ( ) πππππ −=+=′ cossinf ( ),0π ( )ππ −−= xy 02 =−+ ππ yx yx,    ≥−+ ≤−− ≥− 02 063 0 yx yx yx yxz −= 238. 若 ， 是第三象限角，则 _______________. 答案： 【解析】 39. 在矩形 中， ， 为 中点，将 和 分别沿 翻折，使点 与 重合于点 .若 ，则三棱锥 的外接球的表面 积为______________. 答案： 【解析】由题意知， ，所以 ，设 外接圆的半 径为 ，则有正弦定理可得 ，所以 ，设三棱锥 的外接球的半 径为 ，则 ，所以外接球的表面积为 . 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答． （二）必考题：共 60 分. 40. （本小题满分 12 分） 已知数列 满足 ， ，设 ． （Ｉ）证明数列 是等差数列，并求其通项公式； ( ) 3sin 5 π α+ = α cos sin2 2 cos sin2 2 α α α α + − 1 2 − 2 cos sincos sin 1 sin2 22 2 = coscos sin cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 α αα α α α α α α α α α  ++   + =   − − +     ( ) 2 1 cos sin1 5 4cos5 3sin5 3sinsin −=+∴ −=∴−=∴=−=+ α α αααααπ ，为第三象限角，，，  ABCD 4=BC M BC ABM△ DCM△ DMAM , B C P °=∠ 150APD PADM − π68 PDMPPAMP ⊥⊥ ， PADMP 平面⊥ ADP△ r rAPD AD 2sin =∠ 4=r PADM − R 171612 2 2 2 =+=+    = rPMR ππ 684 2 =R { }na 1 2a = ( ) ( )1 1 2 1n nna n a n n+ − + = + n n ab n = { }nb（ＩＩ）若 ，求数列 的前 项和. 41. （本小题满分 12 分） 在某企业中随机抽取了 5 名员工测试他们的艺术爱好指数 和创新灵感指数 ，统计结果如下表（注：指数值越高素质越优秀）： 艺术爱好指数 2 3 4 5 6 创新灵感指数 3 3.5 4 4.5 5 2 nb nc n= − { }nc n ( )100 ≤≤ xx ( )100 ≤≤ yy（I）求创新灵感指数 关于艺术爱好指数 的线性回归方程； （II）企业为提高员工的艺术爱好指数，要求员工选择音乐和绘画中的一种进行培训，培训音 乐次数 对艺术爱好指数 的提高量为 ，培训绘画次数 对艺术爱好指数 的提高量为 ，其中 为参加培训的某员工已达到的艺术爱好指数.艺术爱 好指数已达到 3 的员工甲选择参加音乐培训，艺术爱好指数已达到 4 的员工乙选择参加绘画 培训，在他们都培训了 20 次后，估计谁的创新灵感指数更高？ 参考公式：回归方程 中， . 参考数据： ， 解析：（I）设 ，有 ， （ＩＩ）员工甲经过 20 次的培训后， 　　　　估计他的艺术爱好指数将达到 ， 　　　　因此估计他的创新灵感指数为 ． 　　　　员工乙经过 20 次的培训后， 　　　　估计他的艺术爱好指数将达到 ， 　　　　因此估计他的创新灵感指数为 ． y x t x ( )       −− − 20 0 110 t ex t x ( )      +−− 10 10110 0 tx 0x axby ˆˆˆ += xbya xnx yxnyx b n i i n i ii ˆˆ,ˆ 1 22 1 −= − − = ∑ ∑ = = 85 1 =∑ = n i ii yx 90 1 2 =∑ = n i ix axby ˆˆˆ += 45 1,45 1 5 1 5 1 ==== ∑∑ == i i i i yyxx 242 14ˆˆ,2 1 10 5ˆ 2 1 2 1 =×−=−=== − − =∴ ∑ ∑ = = xbya xnx yxnyx b n i i n i ii 22 1ˆ +=∴ xy ( ) 120 20 71013103 −− −=      −−+= eex ( )      −=−×+= − eey 2 1177102 12 1 ( ) 81020 1014104 =     +−−+=x 682 12 =×+=y　　　　由于 ，故培训后乙的创新灵感指数更高． 42. （本小题满分 12 分） 已知抛物线 与圆 相交于 两点，且点 的横坐 标为 . 是抛物线 的焦点，过焦点的直线 与抛物线 相交于不同的两点 . （III）求抛物线 的方程. （IV）过点 作抛物线 的切线 ， 是 的交点，求证：点 在定直 线上. 【解析】（I）点 的横坐标为 ，所以点 的坐标为 ，……………2 分 代入 解得 ，所以抛物线的方程为 ……………4 分 （ＩＩ）抛物线 ，则 ，设 ……………5 分 　　　　　　所以切线 的方程为 ，即 　　　　　　同理切线 的方程为 ………………………………………7 分 　　　　　　联立解得点 ………………………………………………9 分 　　　　　　设直线 的方程为 ，代入 得 ，所以 ………………………………… … 11 分 62 117 = ppyxC 12: 22 =+ yxO BA, A 22 F C l C NM , C NM , C 21,ll ( )00 , yxP 21,ll P A 22 A ( )2,22A pyx 22 = 2=p yx 42 = 4: 2xyC = 2' xy = ( ) ( )2211 ,,, yxNyxM PM ( )1 1 1 2 xxxyy −=− 42 2 11 xxxy −= PN 42 2 22 xxxy −=      + 42 2121 xxxxP ， MN 1+= kxy yx 42 = 0442 =−− kxx 421 −=xx所以点 在 上，结论得证.…………………………………………12 分 43. 如图，在四棱锥 中， ，四边形 为平行四边形，且 . （I）证明： 平面 （II）当直线 与平面 所成角的正切值为 时，求锐二面角 的余弦值. 解： （I）证明：∵ 四边形 为平行四边形， ∴ ， ，……………………2 分 ∴在△ 中， ，∴ . ∴ ，即 ，……………………………………3 分 又∵ 平面 ，∴ ，……………………………………4 分 又∵ ∴ 平面 ……………………………………………………………5 分 （II） 由 （ I ） 知 ， 是 直 线 与 平 面 所 成 角 ， ， ∴ ， 又∵ 平面 ，∴ .………6 分 ∴△ 是等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则有： P 1−=y ABCDP − PACPB 平面⊥ ABCD °=∠== 135,42 BADABAD ⊥AC PAB PC PAB 2 DPCA −− ABCD °=∠== 135,42 BADABAD 22,4 ==== CDABBCAD °=∠ 45ABC ABC 4cos2222 =∠⋅⋅−+= ABCBCABBCABAC 22=AC 222 BCACAB =+ ACAB ⊥ ⊥PB PAC ACPB ⊥ PABPBABBPBAB 平面⊂= ,, ⊥AC PAB APC∠ PC PAB 222tan ===∠ APAP ACAPC 2=AP ⊥PB PAC 2==⊥ PAPBPAPB ， PAB ，………………7 分 由已知 是平面 的法向量，………………………… …8 分 设平面 的法向量为 ， ， ， ， ， ………………………… …10 分 ，…………………………… …… …11 分 ∴ 锐二面角 的余弦值 …………………………… …… …12 分 44. 已知函数 ， . （III）证明：当 时， . （IV）若函数 在 有两个零点，证明： . 解析：（I） ，……………………………2 分 当 时， 在区间 上单调递增………………… ………………3 分 ，不等式成立.………………… ……………………4 分 （ＩＩ）函数 在 有两个零点， 　　　　　即方程 在区间 上有两解，…………5 分 令 ，则 令 ， ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2,0,2,0,22,22,0,22,0,0,0,22,0,0,0 PDCBA − ( )202 −= ，，PB PAC PCD ( )zyxn ,,= ( )0,0,22−=CD ( )2,22,2 −=CP    =⋅ =⋅∴ 0 0 CDn CPn    = =∴ 0 222 x zy ( )2,1,0=∴n 5 10 52 22,cos == ⋅ ⋅ =∴ nPB nPB nPB DPCA −− 5 10 ( ) xxxxf ln1      −= ( ) x kxxg −= [ )∞+∈ ，1x ( ) 0≥xf )()( xgxfy −= [ )∞+，1 8 171 ++=′∴ xxxϕ在区间 单调递增…………………………………………6 分 又 ， 故存在唯一的实数 ，使得 ， 即 …………………………………………………………8 分 所以 在 上单调递减，在区间 上单调递增， 且 ，…………………………………………………………9 分 ， 又因为 ，所以 ，…………………………………11 分 方程关于 的方程 在 上有两个零点， 由 的图象可知， ， 即 .……………………………………………………………12 分 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分． [选修 4-4：坐标系与参数方程] 已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为： （ 为参数）.在 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 ， 直 线 的 极 坐 标 方 程 为 ： . （III）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程； （IV）设点 的直角坐标为 ，若直线 与曲线 分别交于 两点，求 的值. )(xh′∴ [ )∞+，1 02 52ln4)2(,02)1( >−=′xh x ( ) kxxx −=−− 22 ln1 [ )∞+，1 ( )xf ( ) ( ) 118 17 min −=≤−−+ 01 ( ) .1, +−>∈∀ axxfRx ( ) 12 ++−= xxxf ( )    >− ≤≤− − 12