上海市浦东新区2020届高三数学下学期期中（二模）试题（含答案Word版）

浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学试卷 2020.05 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零 分． 1．设全集 ，集合 ，则 ． 2. 某次考试， 名同学的成绩分别为： ，则这组数据的中位数为 ． 3. 若函数 ，则 ． 4. 若 是关于 的方程 的一个根（其中 为虚数单位， ），则 ． 5.若两个球的表面积之比为 则这两个球的体积之比为 ． 6.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，圆 的参数方程 为 ，则直线 与圆 的位置关系是 ． 7. 若二项式 展开式的第 项的值为 ，则 ． 8. 已知双曲线的渐近线方程为 ，且右焦点与抛物线 的焦点重合，则这个双 曲线的方程是____________. 9. 从 个男生、 个女生中任选 个人当发言人，假设事件 表示选 出的 个人性别相同，事件 表示选出的 个人性别不同．如果 的概率和 的概率相等， 则 ． 10. 已知函数 的零点有且只有一个，则实数 的取值集合 为 ． 11. 如图，在 中， ， 为 中点， 5 1 { }210 ,,U = { }10,A = =AUC 5 115,108,95,100,96 ( ) 2 1 xxf = ( )=− 11f i−1 x 02 =++ qpxx i Rq,p ∈ =+ qp 41: xOy l ( )为参数tty tx    = −= 1 O ( )为参数θ    θ= θ= siny cosx l O ( )421 x+ 4 24 ( )=++++ ∞→ n n xxxx  32lim xy ±= xy 42 = ( )4N ≥∈ ∗ mmm ，且 6 2 A 2 B 2 A B =m ( ) ( ) 222 2 2 −+++= axlogaxxf a ABC∆ 3 π=∠BAC D AB P为 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，则 的最小值 为 . 12.已知数列 满足 ，对任何正整数 均有 ， ，设 ，则数列 的前 项之和为 . 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 13．若 、 满足 ， 则目标函数 的最大值为( ) A． B． C． D. 14. 如图，正方体 中， 、 分别为棱 、 上的点，在平面 内且与平面 平行的直线( ) A． 有一条 B． 有二条 C． 有无数条 D. 不存在 15. 已知函数 .给出下列结论： ① 是周期函数； ② 函数 图像的对称中心 ； ③ 若 ，则 ； ④ 不等式 的解集为 . 则正确结论的序号是 ( ) A． ① ② B． ② ③ ④ C． ① ③ ④ D. ① ② ④ 16. 设集合 ，设集合 是集合 的非空子集， 中的最大元素和最小 元素之差称为集合 的直径. 那么集合 所有直径为 的子集的元素个数之和为( ) A． B． C． D. CD ABACtAP 3 1+= ABC∆ 2 33 AP { } { },n na b 1 1 1a b= = n 2 2 1n n n n na a b a b+ = + + + 2 2 1n n n n nb a b a b+ = + − + 1 13n n n n c a b  = +    { }nc 2020 x y    ≥ ≤+ ≥− 0 1 0 y yx yx yxf += 2 1 2 3 4 ABCDDCBA −1111 E F AA1 BC 11 AADD DEF ( ) xcosxcosxf ⋅= ( )xf ( )xf + ,0) ( )2 （ ππ ∈k k Z ( ) ( )21 xfxf = ( )Zkkxx ∈π=+ 21 xcosxcosxsinxsin π⋅π>π⋅π 2222       ∈+ ,,,,, 54321 16 1 8 1 4 1 2 11 ,,,, −−（2）若数列 满足对任何正整数 ，均有 .证明：数列 是跳跃数 列的充分必要条件是 . （3）跳跃数列 满足对任意正整数 均有 ，求首项 的取值范围. { }na n 1 1 na na a+ = ( )1 0a > { }na 10 1a< < { }na n 2 1 19 5 n n aa + −= 1a浦东新区 2019 学年度第二学期期中教学质量监测 高三数学答案及评分细则 2020.05 一、填空题（本大题满分 54 分）本大题共有 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分．考生 应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分或 5 分，否则一律得零 分． 1．设全集 ，集合 ，则 ． 2. 某次考试， 名同学的成绩分别为： ，则这组数据的中位数为 ． 3. 若函数 ，则 ． 4. 若 是关于 的方程 的一个根（其中 为虚数单位， ），则 ． 5.若两个球的表面积之比为 则这两个球的体积之比为 ． 6.在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ，圆 的参数方程 为 ，则直线 与圆 的位置关系是 相交 ． 7. 若二项式 展开式的第 项的值为 ，则 ． 8. 已知双曲线的渐近线方程为 ，且右焦点与抛物线 的焦点重合，则这个双 曲线的方程是__ __________. 9. 从 个男生、 个女生中任选 个人当发言人，假设事件 表示选 出的 个人性别相同，事件 表示选出的 个人性别不同．如果 的概率和 的概率相等， 则 ． 10. 已知函数 的零点有且只有一个，则实数 的取值集合 为 {1} ． 5 1 { }210 ,,U = { }10,A = =AUC { }2 5 115,108,95,100,96 100 ( ) 2 1 xxf = ( )=− 11f 1 i−1 x 02 =++ qpxx i Rq,p ∈ =+ qp 0 41: 81: xOy l ( )为参数tty tx    = −= 1 O ( )为参数θ    θ= θ= siny cosx l O ( )421 x+ 4 24 ( )=++++ ∞→ n n xxxx  32lim xy ±= xy 42 = 122 22 =− yx ( )4N ≥∈ ∗ mmm ，且 6 2 A 2 B 2 A B =m 10 ( ) ( ) 222 2 2 −+++= axlogaxxf a11. 如图，在 中， ， 为 中点， 为 上一点，且满足 ，若 的面 积为 ，则 的最小值为 . 12.已知数列 满足 ，对任何正整数 均有 ， ，设 ，则数列 的前 项之和为 . 【解】 ， ， ， 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案．考生必须 在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分． 13．若 、 满足 ， 则目标函数 的最大值为( ) A． B． C． D. 14. 如图，正方体 中， 、 分别为棱 、 上的点，在平面 内且与平面 平行的直线( ) A． 有一条 B． 有二条 C． 有无数条 D. 不存在 16. 已知函数 .给出下列结论： ① 是周期函数； ② 函数 图像的对称中心 ； ③ 若 ，则 ； ④ 不等式 的解集为 . 则正确结论的序号是 ( ) ABC∆ 3 π=∠BAC D AB P CD ABACtAP 3 1+= ABC∆ 2 33 AP 2 { } { },n na b 1 1 1a b= = n 2 2 1n n n n na a b a b+ = + + + 2 2 1n n n n nb a b a b+ = + − + 1 13n n n n c a b  = +    { }nc 2020 ( )1 1 2 + 2n n n n n n na b a b a b+ ++ = ⇒ + = 1 1 1 2 2n n n n n n na b a b a b − + + = ⇒ + = 12 3 3 3n n n nc += ⋅ = − 2021 2020 3 3S = − x y    ≥ ≤+ ≥− 0 1 0 y yx yx yxf += 2 B 1 2 3 4 ABCDDCBA −1111 E F AA1 BC 11 AADD DEF C ( ) xcosxcosxf ⋅= ( )xf ( )xf + ,0) ( )2 （ ππ ∈k k Z ( ) ( )21 xfxf = ( )Zkkxx ∈π=+ 21 xcosxcosxsinxsin π⋅π>π⋅π 2222       ∈+： l A B 2221 =+ AFAF Γ l 2F ,P Q ABPQ l l 2F 2AF l 2BF l y 1 2AF + AF =2 2 2 2 2a = 2a = 2 2 12 x y+ = ABPQ / /AB PQ | | | |AB PQ= 1F PQ ,AP BQ AP BQ⊥ OA OB⊥ : 1l x my− = 2 2( 2) 2 1 0m y my+ + − = 1 2 2 2 2 my y m + = − + 1 2 2 1 2y y m = − + 1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2( 1) ( ) 1 1 02 2 m mm y y m y y m m ++ + + + = − − + =+ + 2m = ± 2 1 0x y± − = :l y kx b= + 1 2 2k k k+ = 1 2 1 2 21 1 y y kx x + =− − 1 2 1 2 21 1 kx b kx b kx x + ++ =− − 1 2 1 2 1 22 ( )( ) 2 2 ( 1)( 1)kx x b k x x b k x x+ − + − = − − 1 2( )( 2) 0b k x x+ + − = 0b k+ = :l y kx k= − 2F 1 2 2x x+ = 2 2 2(2 1) 4 (2 2) 0k x kbx b+ + + − =因为 ① 由 ，可得， ② ………… (14 分) 将②代入①， ；再由 ， 可得， . ………… (16 分) 21．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小 题满分 8 分. 若数列 对任意连续三项 ，均有 ，则称该数列 为“跳跃数列”. （1）判断下列两个数列是否是跳跃数列： ① 等差数列： ； ② 等比数列： ； （2）若数列 满足对任何正整数 ，均有 .证明：数列 是跳跃数 列的充分必要条件是 . （3）跳跃数列 满足对任意正整数 均有 ，求首项 的取值范围. 【解答】（1）① 等差数列： 不是跳跃数列；………… (2 分) ② 等比数列： 是跳跃数列. ………… (4 分) （2）必要性：若 ，则 是单调递增数列，不是跳跃数列； 若 ， 是常数列，不是跳跃数列. ………… (6 分) 充 分 性 ： 下 面 用 数 学 归 纳 法 证 明 ： 若 ， 则 对 任 何 正 整 数 ， 均 有 成立. （1）当 时，， ， ， ， ………… (8 分) 2 28(2 1) 0k b∆ = − + > 1 2 2 4 22 1 kbx x k + = − =+ 22 1 2 kb k += − 2 2 2 14 2 1, 2k k k> + > 1 1(2 )2b k k = − + ( , 2 2) (2 2, )b∈ −∞ − ∪ +∞ { }na 1 2, ,i i ia a a+ + ( )( )2 2 1 0i i i ia a a a+ + +− − > ,,,,, 54321 16 1 8 1 4 1 2 11 ,,,, −− { }na n 1 1 na na a+ = ( )1 0a > { }na 10 1a< < { }na n 2 1 19 5 n n aa + −= 1a 1,2,3,4,5,... 1 1 1 11, , , , ,...2 4 8 16 − − 1 1a > { }na 1 1a = { }na 10 1a< < n 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1,n n n n n na a a a a a− + + +< < > > 1n = 1 1 2 1 1 1 aa a a a= > = 2 1 3 1 1 2 a aa a a a= < = 1 2 1 2 1 3 1 1 11,a aa a a a a a= < ∴ = > =Q 2 3 1a a a∴ > >，所以 命题成立………… (9 分) （2）若 时， ， 则 ， ，所以当 时命题也成立……… (10 分) 根据数学归纳法，可知命题成立，数列满足 ，故 是跳跃数 列. （3） ， ，………… (11 分) ，………… (12 分) [1]若 ，则 ，此时 ；………… (14 分) [2]若 ，则 ，此时 ；………… (16 分) 若 ，则 ，所以 . 若 ，则 ，所以 . 所以 ， 此时对任何正整数 ，均有 ………… (18 分) 32 1 2 3 1 1 1 1 3 4 2, ,aa aa a a a a a a a a> > ∴ < < < > 2 2 2 2 1 2 1 2 3 2 2,k k ka a a k k ka a a a a a+ + + + +< < ∴ < < 2 1 2 3 2 2 2 2 2 4 2 3,k k ka a a k k ka a a a a a+ + + + + +> > ∴ > > 1n k= + ( )( )2 2 1 0i i i ia a a a+ + +− − > { }na ( )2 1 1 19 55n n n na a a a+ − = − − ( )( )2 2 2 1 1 5 19 19 5125n n n n n na a a a a a+ +− = − − − − ( )( )( )2 2 1 2 3 19 5125n n n n n na a a a a a+ − = − − − − 1n na a+ > 1 2n n na a a+ +> > 5 101 ,22na  −∈    1n na a+ < 1 2n n na a a+ +< < 5 1013, 2na  +∈    5 101 ,22na  −∈    2 1 19 5 1013,5 2 n n aa +  − += ∈    ( )2,2na ∈ − 5 1013, 2na  +∈    ( )2 1 19 2,25 n n aa + −= ∈ − ( )3, 21na ∈ ( ) ( )1 2,2 3, 21a ∈ − U n ( ) ( )2,2 3, 21na ∈ − U