1
目 录 Contents
培优点一 函数的图象与性质 01
培优点二 函数零点 10
培优点三 含导函数的抽象函数的构造 20
培优点四 恒成立问题 29
培优点五 导数的应用 43
培优点六 三角函数 56
培优点七 解三角形 68
培优点八 平面向量 76
培优点九 线性规划 85
培优点十 等差、等比数列 99
数 学 （ 文 ）2
培优点十一 数列求通项公式 106
培优点十二 数列求和 115
培优点十三 三视图与体积、表面积 125
培优点十四 外接球 136
培优点十五 平行垂直关系的证明 146
培优点十六 圆锥曲线的几何性质 161
培优点十七 离心率 174
培优点十八 圆锥曲线综合 185
培优点十九 几何概型 197
6
培优点二十 框图 2081
2020 届高三精准培优专练
1.单调性的判断
例１：（1）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2） 的单调递增区间为________．
【答案】（1）D；（2） ，
【解析】（1）因为 ， 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，
即求函数 的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为 ．
（2）由题意知，当 时， ；当 时， ，
二次函数的图象如图．
由图象可知，函数 在 ， 上是增函数．
2．利用单调性求最值
例 2：函数 的最小值为________．
【答案】1
【解析】易知函数 在 上为增函数，∴ 时， ．
培优点一 函数的图象与性质
( ) 2
1
2
log ( 4)f x x −=
(0, )+∞ ( 0),−∞ (2, )+∞ ( ), 2−∞ −
2 2 3y x x+− +=
( ], 1−∞ − [ ]0,1
1
2
logy t= 0t >
2 4t x= − ( ), 2−∞ −
0x≥ 2 22 3 1 4( )y x x x= − + = − −+ + 0x< 2 22 3 1 4( )y x x x= − + = − +− +
2 2 3y x x+− += ( ], 1−∞ − [ ]0,1
1y x x= + −
1y x x= + − [1, )+∞ 1x = min 1y =2
3．利用单调性比较大小、解抽象函数不等式
例 3：（1）已知函数 的图象向左平移 1 个单位后关于 轴对称，当 时，
恒成立，设 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为
（ ）
A． B． C． D．
（2）定义在 R 上的奇函数 在 上递增，且 ，则满足 的 的集合为
________________．
【答案】（1）D；（2）
【解析】（1）根据已知可得函数 的图象关于直线 对称，且在 上是减函数，
因为 ，且 ，所以 ．
（2）由题意知 ， ，由 得 或
解得 或 ．
４．奇偶性
例４：已知偶函数 在区间 上单调递增，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是偶函数，所以其图象关于 轴对称，又 在 上单调递增，
( )f x y 2 1 1x x> >
( ) ( )2 1 2 1( ) 0f x f x x x− ⋅ − < 1
2a f = −
( )2b f= ( )3c f= a b c
c a b> > c b a> > a c b> > b a c> >
( )y f x= (0, )+∞ 1 02f = 1
9
log 0f x
>
x
1| 0 1 33x x x
< < <
1 02f =
1 02f = 1
9
log 0f x
>
1
9
1log 2x > 1
9
1 log 02 x− < <
10 3x< < 1 3x< <
( )f x [0, )+∞ 1(2 1) 3f x f − < x
1 2,3 3
1 2,3 3
1 2,2 3
1 2,2 3
( )f x y ( )f x [0, )+∞3
，所以 ，所以 ．故选 A．
５．轴对称
例５：已知定义域为 的函数 在 上只有 1 和 3 两个零点，且 与 都
是偶函数，则函数 在 上的零点个数为（ ）
A．404 B．804 C．806 D．402
【答案】C
【解析】 ， 为偶函数 ， ， 关于
， 轴对称， 为周期函数，且 ，
将 划分为
关于 ， 轴对称 ，
， ，
在 中只含有四个零点，而 共 201 组
所以 ；在 中，含有零点 ， 共两个，
所以一共有 806 个零点，故选 C．
６．中心对称
例６：函数 的定义域为 ，若 与 都是奇函数，则（ ）
1(2 1) 3f x f − <
1| 2 1| 3x − < 1 2
3 3x< <
R ( )y f x= [ ]0,7 ( )2y f x= + ( )7y f x= +
( )y f x= [ ]0,2013
( )2f x + ( )7f x + ( ) ( )2 2f x f x∴ + = − + ( ) ( )7 7f x f x+ = − + ( )f x∴
2x = 7x = ( )f x∴ ( )2 7 2 10T = ⋅ − =
∴ [ ]0,2013 [ ) [ ) [ ) [ ]0,10 10,20 2000,2010 2010,2013
( )f x 2x = 7x = ( ) ( )4f x f x∴ = − ( ) ( )14f x f x= −
( ) ( )1 6 0f f= = ( ) ( ) ( )8 14 8 6 0f f f= − = = ( ) ( ) ( )3 4 3 1 0f f f= − = =
∴ [ )0,10 [ ) [ ) [ )0,10 10,20 2000,2010
201 4 804N = × = [ ]2010,2013 ( ) ( )2011 1 0f f= = ( ) ( )2013 3 0f f= =
( )f x R ( )1f x + ( )1f x −4
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． D． 是奇函数
【答案】D
【解析】从已知条件入手可先看 的性质，由 ， 为奇函数分别可得到：
， ，所以 关于 ， 中心对称，双对称出周期可求
得 ，所以 C 不正确，且由已知条件无法推出一定符合 A，B．
对于 D 选项，因为 ，所以 ，进而可推出 关于 中心对称，
所以 为 图像向左平移 3 个单位，即关于 对称，所以 为奇函数，D 正确．
７．周期性的应用
例７：已知 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ，
则 的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．无法计算
【答案】C
【解析】由题意，得 ，∵ 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，
∴ ， ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ 的周期为 4，
∴ ， ，
又∵ ，∴ ．
( )f x ( )f x
( ) ( )2f x f x= + ( )3f x +
( )f x ( )1f x + ( )1f x −
( ) ( )1 1f x f x+ = − − + ( ) ( )1 1f x f x− = − − − ( )f x ( )1,0 ( )1,0−
( )2 1 1 4T = ⋅ − − =
4T = ( ) ( ) ( )5 1 1f x f x f x+ = + = − − + ( )f x ( )3,0
( )3f x + ( )f x ( )0,0 ( )3f x +
( )f x R ( )g x R ( ) ( )1g x f x= −
( ) ( )2017 2019f f+
1−
( ( )1)g x f x− −− = ( )f x R ( )g x R
( )( )g x g x− = − ( )( )f x f x− = ( ) ( )1 1f x f x= −− +
( ) ( 2)f x f x += − ( ) ( )4f x f x= + ( )f x
( )2017 1f f= （） ( ) ( )2019 3 ( 1)f f f= = −
( )1 1 0 0( )f f g− == =（） ( ) ( )2017 2019 0f f+ =5
一、选择题
1．若函数 的单调递增区间是 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】C
【解析】由图象易知函数 的单调增区间是 ，令 ，∴ ．
2．已知函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】要使 在 上是增函数，则 且 ，即 ．
3．设函数 ，则 是（ ）
A．奇函数，且在 内是增函数
B．奇函数，且在 内是减函数
C．偶函数，且在 内是增函数
D．偶函数，且在 内是减函数
【答案】A
【解析】易知 的定义域为 ，且 ，则 为奇函数，
又 在 上是增函数，所以 在 上是增函数．
4．已知函数 的图象关于 对称，且在 上单调递增，设 ， ，
对点增分集训
( ) 2| |f x x a= + [3, )+∞ a
2− 6−
( ) 2| |f x x a= + ,2
a − +∞ =32
a− 6a = −
2 (og 1)ly ax= − ( )1,2 a
( ]0,1 [ ]1,2 [1, )+∞ [2, )+∞
2 (og 1)ly ax= − ( )1,2 0a > 1 0a − ≥ 1a ≥
( ) ( ) ( )ln 1 ln 1f x x x= −+ − ( )f x
(0,1)
(0,1)
(0,1)
(0,1)
( )f x ( )1,1− ( )( ) ( )ln 1 l (n 1 )f x x x f x− +− = − = - ( )y f x=
ln 1 ln 1( ) ( )y x y x= + = − −与 (0,1) ( ) ( ) ( )ln 1 ln 1f x x x= −+ − (0,1)
( )y f x= 1x = (1, )+∞ 1
2a f = −
( )2b f=6
，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵函数图象关于 对称，∴ ，又 在 上单调递增，
∴ ，即 ，故选 B．
5．已知 是奇函数， 是偶函数，且 ， ，则 等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】由已知得 ， ，则有 解得 ．
6．函数 的图象可能为（ ）
【答案】D
【解析】因为 ， 且 ，所以函数 为奇
函数，排除 A，B．当 时， ，排除 C，故选 D．
( )3c f= a b c
c b a< < b a c< < b c a< < a b c< <
1x = 1 5
2 2a f f = − =
( )y f x= (1, )+∞
5(2) (3)2f f f < −+ 2 4 2 0b b +
= =
−
= =
− a
ln 2
a (2, )+∞
2 0ax x
+ − >
2 2 0x x a
x
− + >
1a > 2 2 0x x a+ >− (0, )+∞
1a = 0{ | }1x x x> ≠且
0 1a< < { | 0 1 1 1 1 }x x a x a< < − − > + −或
( ) 2ag x x x
= + − 4( )1,a∈ ,[ )2x∈ +∞
2
2 2( ) 1 0a x ag x x x
−′ = − = >
( )g x [2, )+∞ ( )f x [2, )+∞ min( ) (2) ln 2
af x f= =
,[ )2x∈ +∞ ( ) 0f x > 2 1ax x
+ − > ,[ )2x∈ +∞
23a x x> − ( ) 23h x x x= − ,[ )2x∈ +∞
23 9( ) 2 4h x x = − − + [2, )+∞ ( ) ( )max 2 2h x h= =
2a > ( ) 0f x > a (2, )+∞
( )f x R ( )1 ( )1f x f x=+ − 1 0x− ≤ ≤
( )f x x= −
( )f x
( )f x [ ]1,2−12
【答案】（1） 是偶函数；（2） ．
【解析】（1）∵ ，∴ ．
又 ，∴ ．又 的定义域为 ，∴ 是偶函数．
（2）当 时， ，则 ；
进而当 时， ， ．
故 ．
1．零点的判断与证明
例 1：已知定义在 上的函数 ，
求证： 存在唯一的零点，且零点属于 ．
【答案】见解析
【解析】 ， ， ， 在 单调递增，
， ， ， ，使得
因为 单调，所以 的零点唯一．
( )f x ( )
[ ]
( )
[ ]
1,0
0,1
2 1,2
x x
x x
x x
f x
− ∈ −
= ∈
− + ∈
( )1 ( )1f x f x=+ − ( ( )2)f x f x= +−
( )2( )f x f x+ = ( )( )f x f x− = ( )f x R ( )f x
1[ ]0,x∈ 1,[ ]0x −− ∈ ( ) ( )f x f x x= − =
1 2x≤ ≤ 1 2 0x− ≤ − ≤ ( ) 2( ) 2( ) 2f x f x x x= = − = −− − +
( )
[ ]
( )
[ ]
1,0
0,1
2 1,2
x x
x x
x x
f x
− ∈ −
= ∈
− + ∈
培优点二 函数零点
( )1,+∞ ( ) ln 2f x x x= − −
( )f x ( )3,4
( ) 1 11 xf x x x
−′ = − = ( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′∴ > ( )f x∴ ( )1,+∞
( )3 1 ln3 0f = − ( ) ( )3 4 0f f∴ < ( )0 3,4x∴∃ ∈ ( )0 0f x =
( )f x ( )f x13
2．零点的个数问题
例 2：已知函数 满足 ，当 ， ，若在区间 内，
函数 有三个不同零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，当 时， ，
所以 ，而 有三个不同零点 与 有三个不同交点，
如图所示，可得直线 应在图中两条虚线之间，所以可解得：
3．零点的性质
例 3：已知定义在 上的函数 满足： ，且 ，
，则方程 在区间 上的所有实根之和为（ ）
A． B． C． D．
( )f x ( ) ( )3f x f x= [ )1,3x∈ ( ) lnf x x= [ )1,9
( ) ( )g x f x ax= − a
ln3 1,3 e
ln3 1,9 3e
ln3 1,9 2e
ln3 ln3,9 3
( ) ( ) ( )3 3
xf x f x f x f = ⇒ = [ )3,9x∈ ( ) ln3 3
x xf x f = =
( )
ln 1 3
ln 3 93
x x
f x x x
≤
( ),a b ( ),b c ( )f x
( )f x ( ),a b ( ),b c
( )f x R 0x > ( ) e 3xf x x= + − ( )f x
( )f x R ( )0 0f = ( )f x 0x >
( ) 3e 0xf x x= + − = e 3x x= − + 1 exy = 2 3y x= − +
( )f x17
根据对称性知，当 时函数 也有一个零点．
综上所述， 的零点个数为 3．
6．函数 的零点个数为（ ）
A．3 B．2 C．7 D．0
【答案】B
【解析】方法一：由 得 或 ，解得 或 ，
因此函数 共有 2 个零点．
方法二：函数 的图象如图所示，由图象知函数 共有 2 个零点．
7．已知函数 ，则使方程 有解的实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
0x< ( )f x
( )f x
( ) 2 2 0
1 ln 0
x x x
x x
f x
+ − ≤= − + >
( ) 0f x =
2
0
2 0
x
x x
≤
+ − = 2
0
2 0
x
x x
>
+ − =
2x = − ex =
( )f x
( )f x ( )f x
( )
1 0
1 0
x
xx
f x
≤= >
( )x f x m+ = m
( )1,2 ( ], 2−∞ −
( ) ( ),1 2,−∞ +∞ ( ] [ ),1 2,−∞ +∞18
【解析】当 时， ，即 ，解得 ；当 时， ，即 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ．故选 D．
8．若函数 在区间 内存在一个零点，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当 时， 与 轴无交点，不合题意，所以 ；函数 在区间
内是单调函数，所以 ，即 ，解得 或 ．故选 B．
9．已知函数 ，则使函数 有零点的实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】函数 的零点就是方程 的根，画出
的大致图象（图略）．观察它与直线 的交点，得知当 或 时，有交点，即函数
有零点．故选 D．
10．已知 是奇函数且是 上的单调函数，若函数 只有一个零点，则实数
的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
0x≤ ( )x f x m+ = 1x m+ = 1m≤ 0x > ( )x f x m+ = 1x mx
+ =
2m≥ m ( ] [ ),1 2,−∞ +∞
( ) 3 1 2f x ax a+ −= ( )1,1− a
1 ,5
+∞
( ) 1, 1 ,5
−∞ − +∞
11, 5
− ( ), 1−∞ −
0a = ( ) 1f x = x 0a ≠ ( ) 3 1 2f x ax a+ −= ( )1,1−
( ) 0( 1 1)f f− ⋅ < ( )(1 0)5 1a a− + > 1a < − 1
5a >
( ) 0 0
e 0x
x
x
f x
≤= >
( ) ( )g x f x x m= + − m
[ )0,1 ( 1),−∞
( ] ( ),1 2,−∞ +∞ ( ] ( ),0 1,−∞ +∞
( ) ( )g x f x x m= + − ( )f x x m+ = ( ) ( ) 0
e 0x
x xh x f x x
x x
≤= +
=
>
+
y m= 0m≤ 1m>
( ) ( )g x f x x m= + −
( )f x R 22 1( ) ( )y f x f xλ+ += − λ
1
4
1
8
7
8
− 3
8
−19
【解析】令 ，则 ，因为 是 上的单调函数，
所 以 ， 只 有 一 个 实 根 ， 即 只 有 一 个 实 根 ， 则 ， 解 得
．
11．已知当 时，函数 的图象与 的图象有且只有一个交点，则正实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】在同一直角坐标系中，分别作出函数 与 的大致图
象．分两种情形：
（1）当 时， ，如图①，当 时， 与 的图象有一个交点，符合题意．
（2）当 时， ，如图②，要使 与 的图象在 上只有一个交点，
只需 ，即 ，解得 或 （舍去）．
综上所述， ．故选 B．
12．已知函数 和 在 的图像如下，给出下列四个命题：
（1）方程 有且只有 6 个根
（2）方程 有且只有 3 个根
2( )2 1 ( 0)y f x f xλ+ −+ == 2( ) ( ) )2 1 (f x f x f xλ λ−− = −+ = ( )f x R
22 1x x λ+ = − 22 1 0x x λ+ + =− 1 8 1 0( )∆ = λ− + =
7
8
λ = −
[ ]0,1x∈ 21( )y mx= − y x m= + m
(0,1] [2 3,+ )∞ ( ]0,1 3[ ),+∞
(0, 2] [2 3,+ )∞ (0, 2] [3,+ )∞
2
2 2 1( ) ( 1)f x mx m x m
= − = − ( )g x x m= +
0 1m< ≤ 1 1m
≥ [ ]0,1x∈ ( )f x ( )g x
1m> 10 1m
< < ( )f x ( )g x [ ]0,1
( ) ( )1 1g f≤ 21 1( )m m+ ≤ − 3m≥ 0m≤
( ] [0,1 3 ),m∈ +∞
( )y f x= ( )y g x= [ ]2,2−
( ) 0f g x =
( ) 0g f x = 20
（3）方程 有且只有 5 个根
（4）方程 有且只有 4 个根
则正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】每个方程都可通过图像先拆掉第一层，找到内层函数能取得的值，从而统计出 的总数．
（1）中可得 ， ， ，进而 有 2 个对应的 ， 有 2 个，
有 2 个，总计 6 个，（1）正确；
（2）中可得 ， ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个，总计 4 个，
（2）错误；
（3）中可得 ， ， ，进而 有 1 个对应的 ， 有 3 个，
有 1 个，总计 5 个，（3）正确；
（4）中可得： ， ，进而 有 2 个对应的 ， 有 2 个，共计 4 个，
（4）正确
则综上所述，正确的命题共有 3 个．
( ) 0f f x =
( ) 0g g x =
x
( ) ( )1 2, 1g x ∈ − − ( )2 0g x = ( ) ( )3 1,2g x ∈ ( )1g x x ( )2g x
( )3g x
( ) ( )1 2, 1f x ∈ − − ( ) ( )2 0,1f x ∈ ( )1f x x ( )2f x
( ) ( )1 2, 1f x ∈ − − ( )2 0f x = ( ) ( )3 1,2f x ∈ ( )1f x x ( )2f x
( )3f x
( ) ( )1 2, 1g x ∈ − − ( ) ( )2 0,1g x ∈ ( )1g x x ( )2g x21
二、填空题
13．函数 的零点个数为________．
【答案】2
【解析】由 ，得 ，作出函数 和 的图象，
由上图知两函数图象有 2 个交点，故函数 有 2 个零点．
14．设函数 与 的图象的交点为 ，若 ， ，则 所在的区间是
______．
【答案】
【解析】令 ，则 ，易知 为增函数，且 ， ，∴ 所在的
区间是 ．
15．函数 的零点个数是________．
【答案】2
【解析】当 时，令 ，解得 （正根舍去），所以在 上有一个零点；
当 时， 恒成立，所以 在 上是增函数．又因为 ，
，所以 在 上有一个零点，综上，函数 的零点个数为 2．
16．已知函数 ， ，若方程 恰有 4 个互异的实数根，则实数 的取值
范围是________________．
( ) 0 52 log| |xf x x−= − ．
( ) 0f x = 0.5
1| log | 2
x
x = 1 0 5log| |y x= ． 2
1
2
x
y =
( )f x
3
1y x=
2
2
1
2
x
y
− = 0 0( , )x y 0 , 1( )x n n∈ + n∈ Ν 0x
( )1,2
( ) 2
3 1
2
x
f x x
− = −
( )0 0f x = ( )f x ( )1 0f < ( )2 0f > 0x
( )1,2
( ) 2 2 0
2 6 ln 0
f x x x
x x x
− ≤= − + >
0x≤ 2 2 0x − = 2x = − ( 0],−∞
0x > 1'( ) 2 0f x x
= + > ( )f x (0, )+∞ ( )2 2 ln 2 0f +− ( )f x (0, )+∞ ( )f x
( ) 2 3| |f x x x= + Rx∈ ( ) 1| 0|f x a x −− = a22
【答案】
【解析】设 ， ，
在同一直角坐标系中作出 ， 的图象如图所示．
由图可知 有 4 个互异的实数根等价于 与 的图象有 4 个不同的交
点且 4 个交点的横坐标都小于 1，所以 有两组不同解，
消去 得 有两个不等实根，
所以 ，即 ，
解得 或 ．又由图象得 ，∴ 或 ．
三、解答题
17．关于 的二次方程 在区间 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】
【解析】显然 不是方程 的解，
时，方程可变形为 ，
又∵ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 在 上的取值范围是 ，∴ ，∴ ，
( )0,1 9( ),+∞
( ) 2
1 | 3 |y f x x x= = + 2 | 1|y a x= −
2
1 | |3y x x= + 2 | 1|y a x= −
( ) 1| 0|f x a x −− = 2
1 | |3y x x= + 2 | 1|y a x= −
( )
2 3
1
y x x
y a x
= − − = −
y 2 ) 0(3x a x a− + =+
2( )3 4 0a a∆ = −− > 2 10 9 0a a + >−
1a < 9a > 0a > 0 1a< < 9a >
x 2 1( ) 1 0x m x ++ − = [ ]0,2 m
( ], 1−∞ −
0x = 2 1( ) 1 0x m x ++ − =
0 2x< ≤ 11 m x x
− = +
1y x x
= + ( ]0,1 [ ]1,2
1y x x
= + ( ]0,2 [2, )+∞ 1 2m− ≥ 1m≤ −23
故 的取值范围是 ．
18．设函数 ．
（1）作出函数 的图象；
（2）当 且 时，求 的值；
（3）若方程 有两个不相等的正根，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2）2；（3） ．
【解析】（1）如图所示．
（2）∵
故 在 上是减函数，而在 上是增函数．
由 且 ，得 且 ，∴ ．
（3）由函数 的图象可知，当 时，方程 有两个不相等的正根．
m ( ], 1−∞ −
1( ) 1 ( 0)f x xx
= − >
( )f x
0 a b< < ( ) ( )f a f b= 1 1
a b
+
( )f x m= m
0 1m< <
( ]
( )
1 1 0,11( ) 1 11 1,
xxf x x xx
− ∈= − =
− ∈ +∞
( )f x ( ]0,1 (1, )+∞
0 a b< < ( ) ( )f a f b= 0 1a b< < < 1 11 1a b
− = − 1 1 2a b
+ =
( )f x 0 1m< < ( )f x m=2425
1．对于 ，可构造
例 1：函数 的定义域为 ， ，对任意 ， ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，所以 ，由于对任意 ， ，
所以 恒成立，所以 是 上的增函数，
又由于 ，所以 ，
即 的解集为 ．
2．对于 ，构造 ；对于 ，构造
例 2：已知函数 的图象关于 轴对称，且当 ， 成立， ，
， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
培优点三 含导函数的抽象函数的构造
×( ) ( )' 0f x a a> ≠ ( ) ( )h x f x ax= −
( )f x R ( )1 2f − = Rx∈ ( ) 2f x′ > ( ) 2 4f x x> +
( )1,1− ( )1− + ∞， ( )1−∞ −， ( )−∞ + ∞，
( ) ( ) 2 4G x f x x= − − ( ) ( ) 2G x f x′ ′= − Rx∈ ( ) 2f x′ >
( ) ( ) 2 0G x f x′ ′ − >= ( ) ( ) 2 4G x f x x= − − R
( ) ( ) ( )1 1 2 1 4 0G f− = − − − −× = ( ) ( ) 2 4 0G x f x x− − >=
( ) 2 4f x x> + ( )1− + ∞，
( ) ( )' 0xf x f x+ > ( ) ( )h x xf x= ( ) ( )' 0xf x f x− > ( ) ( )f xh x x
=
( )y f x= y ( ),0x∈ −∞ ( ) ( ) 0f x xf x′+ < ( )0.2 0.22 2a f=
( )log 3 log 3b fπ π= ( )3 3log 9 log 9c f= a b c26
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数 关于 轴对称，所以函数 为奇函数．
因为 ，所以当 时， ，函数 单调递
减，当 时，函数 单调递减．
因为 ， ， ，所以 ，所以 ．
3．对于 ，构造 ；对于 或 ，构造
例 3：已知 为 上的可导函数，且 ，均有 ，则有（ ）
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
【答案】D
【解析】构造函数 ，则 ，
因为 均有 并且 ，所以 ，故函数 在 上单调递减，
所以 ， ，即 ， ，
a b c> > a c b> > c b a> > b a c> >
( )y f x= y ( )y xf x=
( ) ( ) ( )xf x f x xf x′ ′= + ( ),0x∈ −∞ ( ) ( ) ( ) 0xf x f x xf x′ ′= + >
'( ) ( ) 0f x f x+ > ( ) ( )exh x f x= '( ) ( )f x f x> '( ) ( ) 0f x f x− > ( )( ) ex
f xh x =
( )f x R Rx∀ ∈ ( ) ( )f x f x′>
2016e ( 2016) (0)f f− < 2016(2016) e (0)f f>
2016e ( 2016) (0)f f− < 2016(2016) e (0)f f<
2016e ( 2016) (0)f f− > 2016(2016) e (0)f f>
2016e ( 2016) (0)f f− > 2016(2016) e (0)f f<
( ) ( )
ex
f xg x = ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
e e
ee
x x
xx
f x f x f x f xg x
′′ − ′ −′ = =
Rx∀ ∈ ( ) ( )f x f x′> e 0x > ( ) 0g x′ < ( ) ( )
ex
f xg x = R
( 2016) (0)g g− > (2016) (0)g g< 2016
( 2016) (0)e
f f−
− > 2016
(2016) (0)e
f f 2016(2016) e (0)f f<
( )f x sin x cos x
( )y f x= ,2 2x
π π ∈ −
( ) ( )cos sin 0f x x f x x′ + >
( )0 2 4f f
π >
( )0 3f f
π < 2 −
2 3 4f f
π π a b a b<
( ) ( )af b bf a< ( ) ( )bf a af b< ( ) ( )af a bf b< ( ) ( )bf b af a<
( ) ( ) 0xf x f x′ + > ( ) ( )F x xf x=
( ) ( ) ( ) 0F x xf x f x′ ′= + > ( )F x R28
∵ ，∴ ，即 ，故选 C．
2．已知函数 满足 ，且 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造新函数 ，则 ，
，对任意 ，有 ，即函数 在 上单调递减，
所以 的解集为 ，即 的解集为 ，故选 D．
3．已知函数 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题得 ，设 ，所以函数 在 上单调递增，
因为 ，所以当 时， ；当 时， ．
当 时， ， ，所以 ．
当 时， ， ，所以 ．
当 时， ，所以 ．
综上所述，故答案为 C．
4．设函数 是函数 的导函数，已知 ，且 ， ，
则使得 成立的 的取值范围是（ ）
a b< ( ) ( )F a F b< ( ) ( )af a bf b<
( ) ( )Rf x x∈ ( )1 1f = ( ) 1
2f x′ < ( ) 1
2 2
xf x < +
}{ 1 1x x| − < < }{ 1x x| < − }{ 1 1x x x| < − >或 }{ 1x x| >
1( ) ( ) 2 2
xF x f x = − +
1 1(1) (1) 1 1 02 2F f = − + = − =
1'( ) '( ) 2F x f x= − Rx∈ 1'( ) '( ) 02F x f x= − < ( )F x R
( ) 0F x < (1, )+∞ ( ) 1
2 2
xf x < + (1, )+∞
( )f x R ( )f x′ ( )f x ( ) ( ) ( )1 0f x x f x′+ − >
( )1 0f = ( ) 0f x < ( ) 0f x > ( ) ( )1 0x f x− <
( ) ( ) '[ 1 ] 0x f x− > ( ) ( ) ( )1g x x f x= − ( )g x R
( )1 0g = 1x < ( ) 0g x < 1x > ( ) 0g x >
1x < ( ) 0g x < ( ) ( )1 0x f x− < ( ) 0f x >
1x > ( ) 0g x > ( ) ( )1 0x f x− > ( ) 0f x >
1x = ( ) ( ) ( )1 1 1 1 0f f+ − ′ > ( )1 0f >
( )f x′ ( ) ( )Rf x x∈ ( ) ( )f x f x′ < ( ) ( )4f x f x′ ′= − ( )4 0f =
( )2 1f = ( ) 2e 0xf x − < x29
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 ，即函数 在 上单调递减，
因为 ，即导函数 关于直线 对称，
所以函数 是中心对称图形，且对称中心 ，
由于 ，即函数 过点 ，
其关于点 的对称点 也在函数 上，
所以有 ，所以 ，
而不等式 ，即 ，即 ，所以 ，
故使得不等式 成立的 的取值范围是 ．故选 B．
5．已知函数 的图象关于点 对称，函数 对于任意的 满足
（其中 是函数 的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由已知， 为奇函数，函数 对于任意的 满足 ，
得 ，即 ，
( )2− + ∞， ( )0 + ∞， ( )1 + ∞， ( )4 + ∞，
( ) ( )
ex
f xF x = ( ) ( ) ( )'' e 0x
f x f xF x
−= < ( )F x R
( ) ( )' ' 4f x f x= − ( )'y f x= 2x =
( )y f x= 2,1（ ）
( )4 0f = ( )y f x= 4,0（ ）
2,1（ ） 0,2（ ） ( )y f x=
0 2f =（ ） ( ) ( )
0
0 2e0 fF = =
( ) 2e 0f x x− < ( )
e 2x
f x ＜ ( ) ( )0F x F< 0x >
( ) 2e 0f x x− < x 0 +∞（ ， ）
( )1y f x= − ( )1,0 ( )y f x= ( )0,πx∈
( ) ( )sin cosf x x f x x>′ ( )f x′ ( )f x
π π33 6f f − > −
3π π2 4 2f f < − −
π π3 22 3f f >
5π 3π2 6 4f f ′
( ) ( )sin cos 0f x x f x x′ − > ( )
0sin
f x
x
′ >
30
所以 在 上单调递增；又因为 为偶函数，
所以 在 上单调递减．所以 ，即 ．故选 C．
6．定义在 上的函数 的导函数为 ，若对任意实数 ，有 ，且 为奇函
数，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数 ，则 ，所以 在 上单独递减，
因为 为奇函数，所以 ，∴ ， ．
因此不等式 等价于 ，即 ，故选 B．
7．已知函数 是偶函数，且当 时满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】 是偶函数，则 的对称轴为 ，
构造函数 ，则 关于 对称，
( )
sin
f xy x
= ( )0,π ( )
sin
f xy x
=
( )
sin
f xy x
= ( ),0−π 3 2
sin sin3 2
f f <
π π
π π 3 22 3f f >
π
π
R ( )f x ( )f x′ x ( ) ( )f x f x> ′ ( ) 2018f x +
( ) 2018e 0xf x + <
( ),0−∞ ( )0,+∞ 1
e, −∞
1
e , +∞
( ) ( )
ex
f xg x = ( ) ( ) ( )
0ex
f x f xg x
−′′ = < ( )g x R
( ) 2018f x + ( )0 2018 0f + = ( )0 2018f = − ( )0 2018g = −
( ) 2018e 0xf x + < ( ) ( )0g x g< 0x >
( )2f x + 2x > ( ) ( ) ( )2xf x f x f x′ ′> +
( ) ( )2 1 4f f< ( )32 32f f >
( ) 50 4 2f f <
( ) ( )1 3f f<
( )2f x + ( )f x 2x =
( ) ( )
2
f xg x x
= − ( )g x ( )2,031
当 时，由 ，得 ，
则 在 上单调递增， 在 上也单调递增，
故 ，∴ ．本题选择 A 选项．
8．已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时， ，
若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】定义域为 的奇函数 ，
设 ，∴ 为 上的偶函数，∴ ，
∵当 时， ，∴当 时， ．
当 时， ，即 在 单调递增，在 单调递减．
， ， ，
∵ ，∴ ．即 ，故选 C．
9．已知定义在 上的函数 的导函数为 ， （ 为自然对数的底数），
且当 时， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
2x > ( ) ( ) ( )2xf x f x f x′ ′> + ( ) ( ) ( ) ( )
( )2
2 '' 0
2
x f x f xg x
x
− −= >
−
( )g x ( )2,+∞ ( )g x ( ),2−∞
( ) ( ) ( )1 3 4
1 2 3 2 4 2
f f f= − > −− − − ( ) ( )2 1 4f f<
R ( )y f x= ( )y f x= ′ 0x ≠ ( ) ( )
0f xf x x
+′ >
1 1
3 3a f =
( )3 3b f= − − 1 1ln ln3 3c f = a b c
a b c< < b c a< < a c b< < c a b< <
R ( )y f x=
( ) ( )F x xf x= ( )F x R ( ) ( ) ( )F x f x xf x′ = + ′
0x ≠ ( ) ( )
0f xf x x
′ + > 0x > ( ) ( ) 0x f x f x⋅ ′ + >
0x< ( ) ( ) 0x f x f x⋅ ′ + < ( )F x 0,+∞（ ） ( ),0∞-
( )31 1 1 ln e3 3 3F a f F = = =
( ) ( ) ( )3 3 3 3F b f F− = = − − = ( )1 1 1ln ln ln ln33 3 3F c f F = = =
3ln e ln3 3< < ( ) ( ) ( )3ln e ln3 3F F F< < a c b< <
R ( )f x ( )f x′ ( ) ( ) 2 22 e xf x f x −− = e
1x ≠ ( ) ( ) ( )1 0x f x f x− − > ′
( ) ( )1 0f f< ( ) ( )2 e 0f f> ( ) ( )33 e 0f f> ( ) ( )44 e 0f f − >
( ) ( ) ( )22 e 1 e 0f f f− > − >
( ) ( ) 2 22 e xf x f x −− = ( ) ( ) 64 2 ef f= − ( ) ( ) 43 1 ef f= −
( ) ( ) 44 0 ef f> ( ) ( ) 33 0 ef f>
R ( )f x ( )'f x ( )0 0f = Rx∈ ( ) ( )' 1f x f x> +
( ) e 1f x x+ < x
( ),1∞- ( ),0∞- ( )1,+∞- 0,+∞（ ）
( ) ( ) 1
ex
f xg x
−= ( ) ( )
0
0 1
e0 1fg
−= = −
Rx∈ ( ) ( )' 1f x f x> +
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
2
e 1 e 1 0ee
x x
xx
f x f x f x f xg x
′ − − ′ + − ′ = = <
( )g x R ( ) e 1xf x + < ( ) ( ) ( )1 1 0ex
f xg x g
−= < − =
0x > ( ) e 1xf x + < x 0,+∞（ ）
( )f x ( )0,+∞ ( ) 0f x > ( ) ( )' 0f x f x+ < ( )'f x33
的导函数），若 且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】构造函数 ， ，所以 是 上的减函
数．
令 ，则 ，由已知 ，可得 ，下面证明 ，即证明
，
令 ，则 ，即 在 上递减， ，即 ，
所以 ，若 ， ，则 ．故选 C．
12．定义在 上的奇函数 满足 ，且当 时，不等式 恒成立，则函数
的零点的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】定义在 上的奇函数 满足：
，且 ，
又 时， ，即 ，
∴ ，函数 在 时是增函数，
0 1a b< < < 1ab =
( ) ( ) ( )1f a a f b> + ( ) ( ) ( )1f b a f a> −
( ) ( )af a bf b> ( ) ( )af b bf a>
( ) ( ) ( )e 0xF x f x x= >， ( ) ( ) ( )e 0xF x f x f x′ ′= +
( ) 1 1e xxf x f x
− >
1
2e 1xx
x
− >
1 2ln 0x xx
− + >
( ) 1 2lng x x xx
= − + ( ) ( )2
2
1 0xg x x
−′ = − < ( )g x ( )0,1 ( ) ( )1g x g>
1
2e 1xx
x
− >
( ) 1 1xf x fx x
> 0 1a b< < < 1ab = ( ) ( )af a bf b>
R ( )y f x= ( )3 0f = 0x > ( ) ( )'f x xf x> −
( ) ( ) lg 1g x xf x x= + +
R ( )f x
( ) ( ) ( )0 0 3 3f f f= = = − ( ) ( )f x f x− = −
0x > ( ) ( )'f x xf x> − ( ) ( )' 0f x xf x+ >
( ) 0xf x ′ > ( ) ( )h x xf x= 0x >34
又 ，∴ 是偶函数；
∴ 时， 是减函数，结合函数的定义域为 ，且 ，
可得函数 与 的大致图象如图所示，
∴由图象知，函数 的零点的个数为 3 个．故选 C．
二、填空题
13．设 是 上的可导函数，且 ， ， ．则 的值为________．
【答案】
【解析】由 得 ，所以 ，即 ，
设函数 ，则此时有 ，故 ， ．
14．已知 ， 为奇函数， ，则不等式 的解集为
_________．
【答案】
【解析】∵ 为奇函数，∴ ，即 ，
令 ， ，则 ，
( ) ( ) ( )h x xf x xf x− = − − = ( ) ( )h x xf x=
0x< ( )h x R ( ) ( ) ( )0 3 3 0f f f= = − =
( )1y xf x= 2 lg 1y x= − +
( ) ( ) lg 1g x xf x x= + +
( )f x R '( ) ( )f x f x≥ − (0) 1f =
2
1(2) ef = (1)f
1
e
'( ) ( )f x f x≥ − '( ) ( ) 0f x f x+ ≥ e '( ) e ( ) 0x xf x f x+ ≥ [e ( )]' 0x f x ≥
( ) e ( )xF x f x= 1 (2) (0) 1F F= ≥ = ( ) e ( ) 1xF x f x= = 1(1) ef =
,2 2x ∈ −
π
π ( ) 1y f x= − ( ) ( )' tan 0f x f x x+ > ( ) cosf x x>
0, 2
π
( ) 1y f x= − ( )0 1 0f − = ( )0 1f =
( ) ( )
cos
f xg x x
= ,2 2x ∈ −
π
π ( ) ( ) ( )
2
' cos sin 0cos
f x x f x xg x x
+′ = >35
故 在 递增， ，得 ，
故 ，故不等式的解集是 ，故答案为 ．
15．已知定义在实数集 的函数 满足 ，且 导函数 ，则不等式
的解集为__________．
【答案】
【解析】设 ，则不等式 等价为 ，
设 ，则 ，
∵ 的导函数 ，∴ ，函数 单调递减，
∵ ，∴ ，则此时 ，解得 ，
即 的解为 ，所以 ，解得 ，
即不等式 的解集为 ，故答案为 ．
16．已知函数 是定义在 上的奇函数，且 ．若 时， ，
则不等式 的解集为__________．
【答案】
【解析】设 ，则 ，当 时，由已知得 ， 为增函数，
由 为奇函数得 ，即 ，
∴当 时 ， ，
( )g x ,2 2x ∈ −
π
π ( ) cosf x x> ( ) ( ) ( )1 0cos
f xg x gx
= > =
0x > 0, 2
π
0, 2
π
R ( )f x ( )2 7f = ( )f x ( ) 3f x′ <
( )ln 3ln 1f x x> +
( )20,e
lnt x= ( )ln 3ln 1f x x> + ( ) 3 1f t t> +
( ) ( ) 3 1g x f x x= − − ( ) ( )' ' 3g x f x= −
( )f x ( )' 3f x < ( ) ( )' ' 3 0g x f x= − < ( ) ( ) 3 1g x f x x= − −
( )2 7f = ( ) ( )2 2 3 2 1 0g f= − × − = ( ) ( ) ( )3 1 0 2g t f t t g= − − > = 2t <
( ) 3 1f t t> + 2t < ln 2x < 20 ex< <
( )ln 3ln 1f x x> + ( )20,e ( )20,e
( )f x ( ) ( ),0 0,−∞ +∞ ( )1 0f = 0x< ( ) ( )' 0xf x f x− >
( ) 0f x >
( ) ( ), 1 0,1−∞ −
( ) ( )f xg x x
= ( ) ( ) ( )
2
'' xf x f xg x x
−= 0x< ( )' 0g x > ( )g x
( )f x ( ) ( )1 1 0f f− = − = ( )1 0g − =
1x < − ( ) ( )
0f xg x x
= < ( ) 0f x >36
当 时， ， ，又 是奇函数，
∴当 时， ， 时， ．
∴不等式 的解集为 ．故答案为 ．
1．参变分离法
例 1：已知函数 ，若 在 上恒成立，则 的取值范围是_________．
【答案】
【解析】 ，其中 ，
只需要 ．
令 ， ， ， ，
在 单调递减， 在 单调递减，
， ．
2．数形结合法
例 2：若不等式 对于任意的 都成立，则实数 的取值范围是
___________．
【答案】
【解析】本题选择数形结合，可先作出 在 的图像，
1 0x− < < ( ) ( )
0f xg x x
= > ( ) 0f x < ( )f x
0 1x< < ( ) 0f x > 1x > ( ) 0f x <
( ) 0f x > ( ) ( ), 1 0,1−∞ − ( ) ( ), 1 0,1−∞ −
培优点四 恒成立问题
( ) ln af x x x
= − ( ) 2f x x< ( )1,+∞ a
1a ≥ −
2 3 3ln ln lnax x x x a x a x x xx
− < ⇔ − < ⇔ > − ( )1,x∈ +∞
∴ ( )3
max
lna x x x> −
( ) 3lng x x x x= − ( )' 21 ln 3g x x x= + − ( )' 1 2g = − ( ) 2
'' 1 1 66 0xg x xx x
−= − = <
( )'g x∴ ( )1,+∞ ( ) ( ) ( )' ' 1 0g x g g x∴ < < ⇒ ( )1,+∞
( ) ( )1 1g x g∴ < = − 1a∴ ≥ −
( )log sin 2 0, 1a x x a a> > ≠ π0, 4x ∈ a
π ,14a ∈
sin 2y x= π0, 4x ∈ 37
扮演的角色为对数的底数，决定函数的增减，根据不等关系可得 ，观察图像进一步可得只需
时， ，
即 ，所以 ．
3．最值分析法
例 3：已知函数 ，在区间 上， 恒成立，求 的取值范围___________．
【答案】
【解析】 恒成立即不等式 恒成立，令 ，
只需 即可， ，
，令 （分析 的单调性）
当 时 在 单调递减，则
(思考：为什么以 作为分界点讨论？因为找到 ，若要不等式成立，那么一定从 处起
要增（不一定在 上恒增，但起码存在一小处区间是增的），所以 时导致 在 处开始单
减，那么一定不符合条件．由此请体会零点对参数范围所起的作用）
a 0 1a< <
π
4x = log sin 2a x x>
π π πlog sin 2 14 4 4a a> ⋅ = ⇒ > π ,14a ∈
( ) ( )ln 1 0f x a x a= + > ( )1,e ( )f x x> a
e 1a ≥ −
( )f x x> ln 1 0a x x− + > ( ) ln 1g x a x x= − +
∴ ( )min 0g x > ( )1 0g =
( )' 1a a xg x x x
−= − = ( )' 0 0a xg x x ax
−> ⇒ > ⇒ < ( )g x
1a ≤ ( )g x ( )1,e ( ) ( )0 1 0g x g< =
1a = ( )1 0g = 1x = ( )g x
( )1,e 1a ≤ ( )g x 1x =38
当 时，分 是否在 中讨论（最小值点的选取）
若 ，单调性如表所示
， ．
（1）可以比较 ， 的大小找到最小的临界值，再求解，但比较麻烦．由于最小值只会在 ，
处取得，所以让它们均大于 0 即可．
（2）由于 ， 并不在 中，所以求得的只是临界值，临界值等于零也符合条件）
若 ，则 在 上单调递增， ，符合题意，
综上所述： ．
一、选择题
1．已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
1a > x a= ( )1,e
1 ea< <
( )
( )
1 0
e 1
e 0
g
a
g
≥∴ ⇒ ≥ − ≥
e 1 ea∴ − ≤ <
( )1g ( )eg 1x =
ex =
1x = ex = ( )1,e
ea ≥ ( )g x ( )1,e ( ) ( )1 0g x g∴ > =
e 1a ≥ −
对点增分集训
( ) ( )
2
ln 1 , 0
3 , 0
x x
f x
x x x
− + ≤= + >
( ) ( )2 0f x m x− + ≥ m
( ],1−∞ [ ]2,1− [ ]0,3 [ )3,+∞39
【解析】
若 ，即有 ，分别作出函数 和直线 的图象，
由直线与曲线相切于原点时， ，则 ，解得 ，
由直线绕着原点从 轴旋转到与曲线相切，满足条件．
即有 ，解得 ．故选 B．
2．已知函数 ，当 时， 恒成立，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得： ，
令 可得： ， ，且： ， ， ， ，
据此可知函数 在区间 上的最小值为 ，
结合恒成立的条件可得： ，
求解关于 的不等式可得实数 的取值范围是 ．本题选择 C 选项．
3．若函数 在区间 内单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
( ) ( )2 0f x m x− + ≥ ( ) ( )2f x m x≥ + ( )f x ( )2y m x= +
( )2 3 ' 2 3x x x+ = + 2 3m + = 1m =
x
0 2 3m≤ + ≤ 2 1m− ≤ ≤
( ) 3 22 4f x x x x= − − + [ ]3,3x∈ − ( ) 2 14f x m m≥ − m
( )3,11− ( )3,11 [ ]3,11 [ ]2,7
( ) ( )( )2' 3 4 4 2 3 2f x x x x x= − − + = − + −
( )' 0f x = 1 2x = − 2
2
3x = ( )3 3f − = − ( )2 8f − = − 2 40
3 27f =
( )3 33f = −
( )f x [ ]3,3− 33−
2 14 33m m− ≤ −
m m [ ]3,11
( ) 2ln 2f x x ax= + − 1 ,22
a40
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， 在 内恒成立，所以 ，
由于 ，所以 ， ，所以 ，故选 D．
4．已知对任意 不等式 恒成立（其中 ，是自然对数的底数），则实数 的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得 在 上恒成立，即 在 上恒成立．
令 ， ，则 ，
∴当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减．
∴ ，∴ ，∴ ．
故实数 的取值范围是 ．故选 A．
5．已知函数 ，当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】若 恒成立，则 ， ，
( ], 2−∞ − ( )2,− +∞ 12, 8
− −
1,8
− +∞
( ) 21 2 12 axf x axx x
=′ += + 22 1 0ax + > 1 ,22
2
max
1
2a x
> −
1 ,22x ∈
2 1 ,44x ∈ 2
1 12,2 8x
− ∈ − −
1
8a ≥ −
21,eex ∈
2e
x
a x> e 2.71828= a
e0, 2
( )0,e ( ), 2e−∞ − 2
4, e
−∞
2e
x
a x> 2lnx xa
> 21,eex ∈
1 2ln x
a x
> 21,eex ∈
( ) 2ln xf x x
= 21,eex ∈
( ) ( )
2
2 1 ln' xf x x
−=
1,eex ∈
( )' 0f x > ( )f x 2e,ex ∈ ( )' 0f x < ( )f x
( ) ( )max
2e ef x f= = ( )1 2e efa
> = e0 2a< <
a e0, 2
( ) 2exf x x= [ ]1,1x∈ − ( )f x m< m
1,e
+∞
1,e
+∞
[ )e,+∞ ( )e,+∞
( )m f x> ( )maxm f x> ( ) ( )' 22 e e 2 ex x xf x x x x x= + = +41
所以 在 单调递减，在 单调递增． ， ，所以 ．
故选 D．
6．当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 时，恒成立不等式等价于 ， ，
设 ， ，
， 在 单调递减，在 单调递增， ，
当 时，可知无论 为何值，不等式均成立，
当 时，恒成立不等式等价于 ， ，
同理设 ， ， 在 单调递增，
， ，综上所述： ．故选 C．
7．函数 ，若存在 使得 成立，则实数 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若存在 使得 成立，则在 内 即可，
( )f x ( )1,0− ( )0,1 ( ) 11 ef − = ( )1 ef = em >
[ ]2,1x∈ − 3 2 4 3 0ax x x− + + ≥ a
[ ]5, 3− − 96, 8
− −
[ ]6, 2− − [ ]4, 3− −
[ )2,0x∈ − 2
3
4 3x xa x
− −≤
2
3
min
4 3x xa x
− −∴ ≤
( ) 2
3
4 3x xf x x
− −= ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2 2 2
'
6 4 4
2 4 3 4 3 9 18 9x x x x x x xx xf x x x x
− − − − − +− + +∴ = = = −
[ )2,0x∈ − ( )f x∴ [ ]2, 1− − ( )1,0− ( ) ( )min 1 2f x f∴ = − = −
0x = a
( ]0,1x∈ 2
3
4 3x xa x
− −≥
2
3
max
4 3x xa x
− −∴ ≥
( ) 2
3
4 3x xf x x
− −= ( ) ( )( )'
4
9 1x xf x x
− +∴ = − ( )f x∴ ( )0,1
( ) ( )max 1 6f x f∴ = = − 6a∴ ≥ − [ ]6, 2a∈ − −
( ) 2
e
1
x
f x x
= − + ( ]0 0,2x ∈ ( )0 0m f x− > m
21 e5 , − +∞
( )1,− +∞ ( )1,+∞ 1 e,2
− +∞
( ]0 0,2x ∈ ( )0 0m f x− > ( ]0 0,2x ∈ ( )minf x m −
( ) lnf x x ax= + ( )0 0,x ∈ +∞ ( )0 0f x > a
1,1e
−
1, e
−∞
( )1,− +∞ 1,e
− +∞
( )f x ( )0,+∞ ( ) 1 1 axf x ax x
′ += + =
0a ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞ ( )1 0f a= ≥
( )0 0,x ∈ +∞ ( )0 0f x >
0a < ( ) 0f x′ > 10 x a
< < − ( ) 0f x′ < 1x a
> −
( )f x∴ 10, a
−
1 ,a
− +∞
( )max
1 1ln 1 0f x f a a
∴ = − = − − >
1
ea > −
a 1,e
− +∞
0x ≥ ( ) exf x ax= + a
( ),e−∞ ( ], e−∞ − [ )e,+∞ ( )e,− + ∞
0x ≥ ( ) e 0xf x ax= + > ∴ 0x = a ( ) e 0xf x ax= + >
0x > ( ) e 0xf x ax= + >43
即当 时， 恒成立，设 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
当 时， 取得最大值为 ．
则要使 时， 恒成立， 的取值范围是 ，故选 D．
10．已知函数 ， ，若对任意 ，总有 或 成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，得 ，故对 时， 不成立，
从而对任意 ， 恒成立，
因为 ，对任意 恒成立，
如图所示，则必有 ，计算得出 ．故选 B．
0x > ex
a x
> − ( ) ex
g x x
= − ( ) ( )
2 2
1 ee e xx x xxg x x x
−−= − =′
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,1
( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ < ( )g x ( )1,+∞
∴ 1x = ( )g x e−
0x ≥ ( ) e 0xf x ax= + > a ( )e,− +∞
( ) ( )( )3f x a x a x a= − + + ( ) 2 2xg x = − x∈R ( ) 0f x < ( ) 0g x <
a
( ), 4−∞ − ( )4,0− [ )4,0− ( )4,− +∞
( ) 2 2 0xg x = − < 1x < 1x ≥ ( ) 0g x <
1x ≥ ( ) 0f x <
( ) ( )3 0a x a x a⋅ − ⋅ + + < 1x ≥
0
1
3 1
a
a
a
<
<
− <
−
4 0a− < ( ) ( )1 2
2 1
0f x f x
x x
− < a
( ],e−∞ ( ),e−∞ e, 2
−∞
e, 2
−∞
( ) ( )1 2
2 1
0f x f x
x x
− < ( ) ( )1 1 2 2
1 2
0x f x x f x
x x
− <
2 1 0x x> > ( ) ( )1 1 2 2 0x f x x f x− < ( ) ( )2 2 1 1x f x x f x>
( ) ( ) 2exg x xf x ax= = − ( )g x
( )' e 2 0xg x ax= − ≥ e
2
x
a x
≤
( ) ( )e 02
x
h x xx
= > ( ) ( )
2
e 1' 2
x xh x x
−=
0 1x< < ( )' 0h x < ( )h x 1x > ( )' 0h x > ( )h x
( )h x ( ) 1e e1 2 1 2h = =× a e, 2
−∞
( ) ( )e 3 1xf x x ax a= − − + 1a < 0x ( )0 0f x ≤ a
2 3,e 4
2 3,e 4
2 ,1e
2 ,1e
( ) ( )e 3 1xg x x= − ( )h x ax a= − ( ) ( )e 3 +2xg x x′ =
2, 3x ∈ −∞ − 时 ( )' 0g x < ( )g x45
当 ， ， 单调递增，
∴当 时， 取得最小值 ．
如下图所示．
又 ，故 ；
，故 ．
故当 时，满足 在直线 的下方．
∵直线 恒过定点 且斜率为 ，∴要使得有且只有一个整数 使得 ，
只需 ，∴ ，
又 ，∴实数 的取值范围 ．故选 C．
二、填空题
13．设函数 ， ，对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值
2 ,3x ∈ − +∞ 时 ( ) 0g x′ > ( )g x
2
3x = − ( )g x
2
32 3e3g
− − = −
( ) ( )1 1 2e 0g h− = > ( ) ( )1 1g h>
( ) ( )0 0 1 0g h a− = − + < ( ) ( )0 0g h<
0 0x = ( )0g ( )h x ax a= −
( )h x ax a= − ( )1,0 a 0x ( )0 0f x ≤
( ) ( ) 11 1 4e 2 0g h a−− − − = − + > 2
ea >
1a < a 2 ,1e
( )f x x a= + ( ) 1g x x= − x∈R ( ) ( )f x g x≥ a46
范围是__________．
【答案】
【解析】法一：如图，
因为 恒成立，则 的图像在 的上方（可以有公共点），
所以 即 ，填 ．
法 2：由题设有 ．
当 时， ；
当 时，有 恒成立或 恒成立，
故 或 即 ，填 ．
14．函数 ，其中 ，若对任意正数 都有 ，则实数 的取值范围为
____________．
【答案】
【解析】对任意正数 都有 ，即不等式 对于 恒成立．
设 ，则 ．
[ )1,− +∞
( ) ( )f x g x≥ ( )y f x= ( )y g x=
1a− ≤ 1a ≥ − [ )1,− +∞
1x a x+ ≥ −
1x ≤ a∈R
1x > 1x a x+ ≥ − 1x a x+ ≤ − +
1a ≥ − a φ∈ 1a ≥ − [ )1,− +∞
( ) ln 1f x x x ax= − + a∈R x ( ) 0f x ≥ a
]( ,1 − ∞
x ( ) 0f x ≥ 1lna x x
≤ +
( )0,x∈ +∞
( ) 1lng x x x
= + ( ) 2 2
1 1 1' xg x x x x
−= − =47
故 在 上是减函数，在 上是增函数，
所以 的最小值是 ，所以 的取值范围是 ．
15．已知函数 ，若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】根据函数 在 上单调递增，则 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，所以 恒成立，
即 在 上恒成立，所以 ，
故实数 的取值范围是 ．
16．已知关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围为___________．
【答案】
【解析】①当 时，函数 外层单调递减，
内层二次函数：
当 ，即 时，二次函数在区间内单调递增，函数单调递减，
，解得 ；
当 ，即 时， 无意义；
( )g x ( )0,1 [ )1,+∞
( )g x ( )1 1g = a ]( ,1 − ∞
( ) 21ln 22f x x ax x= − − ( )f x 1 ,22
a
( ], 1−∞ −
( )f x 1 ,22
( ) 1' 2 0f x axx
= − − ≥ 1 ,22
21 2 0ax x
x
− − ≥ 1 ,22
21 2 0ax x− − ≥
2
2
1 2 1 1 1a x x x
≤ − = − −
1 ,22
1a ≤ −
a ( ], 1−∞ −
x 2 1log 02m mx x + >
− [ ]1,2 m
1 5 3, ,2 8 2
+∞
0 1m< < ( ) 2 1log 2mf x mx x = − +
1 12m
< 1 12 m< <
( ) ( )min
32 log 4 02mf x f m = = − >
1 5
2 8m< <
1 12m
= 1
2m = ( )1f48
当 ，即 时，二次函数在区间内先递减后递增，函数先递增后递减，
则需 ， ，无解；
当 ，即 时，二次函数在区间内单调递减，函数单调递增，
，无解．
②当 时，函数 外层单调递增，
，二次函数单调递增，函数单调递增，
所以 ，解得： ．
综上所述： 或 ．
三、解答题
17．设函数 ，其中 ，
（1）讨论函数 极值点的个数，并说明理由；
（2）若 ， 成立，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】（1） ，定义域为 ，
，
设 ，
11 22m
< < 1 1
4 2m≤ <
( )1 0f < ( )2 0f <
1 22m
≥ 10 4m< ≤
( ) ( )min
11 log 02mf x f m = = − >
1m > ( ) 2 1log 2mf x mx x = − +
1 1
2 2m
<
( ) ( )min
11 log 02mf x f m = = − >
3
2m >
1 5
2 8m< < 3
2m >
( ) ( ) ( )2ln 1f x x a x x= + + − a∈R
( )f x
0x∀ > ( ) 0f x ≥ a
0 1a≤ ≤
( ) ( ) ( )2ln 1f x x a x x= + + − ( )1,− +∞
( ) ( ) ( )( ) 22 1 1 11 2 12 11 1 1
a x x ax ax af x a xx x x
− + + + + −′ = + − = =+ + +
( ) 22 1g x ax ax a= + + −49
当 时， ， ，函数 在 为增函数，无极值点．
当 时， ，
若 时 ， ， ，函数 在 为增函数，无极值点．
若 时 ，设 的两个不相等的实数根 ， ，且 ，
且 ，而 ，则 ，
所以当 ， ， ， 单调递增；
当 ， ， ， 单调递减；
当 ， ， ， 单调递增．
因此此时函数 有两个极值点；
当 时 ，但 ， ，
所以当 ， ， ， 单调递增；
当 ， ， ， 单调递减．
所以函数只有一个极值点．
综上可知，当 时 有一个极值点；当 时 的无极值点；当 时， 的有两个
极值点．
（2）由（1）可知当 时 在 单调递增，而 ，
则当 时， ，符合题意；
当 时， ， ， 在 单调递增，而 ，
0a = ( ) 1g x = ( ) 1 01f x x
′ = >+ ( )f x ( )1,− +∞
0a > ( )2 28 1 9 8Δ a a a a a= − − = −
80 9a< ≤ 0Δ≤ ( ) 0g x ≥ ( ) 0f x′ ≥ ( )f x ( )1,− +∞
8
9a > 0Δ> ( ) 0g x = 1x 2x 1 2x x<
1 2
1
2x x+ = − ( )1 1 0g − = > 1 2
11 4x x− < < − <
( )11,x x∈ − ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x
( )1 2,x x x∈ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x
( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x
( )f x
0a < 0Δ> ( )1 1 0g − = > 1 1x < −
( )21,x x∈ − ( ) 0g x > ( ) 0f x′ > ( )f x
( )2 ,x x∈ +∞ ( ) 0g x < ( ) 0f x′ < ( )f x
0a < ( )f x 80 9a≤ ≤ ( )f x 8
9a > ( )f x
80 9a≤ ≤ ( )f x ( )0,+∞ ( )0 0f =
( )0,x ∈ +∞ ( ) 0f x >
8 19 a< ≤ ( )0 0g ≥ 2 0x ≤ ( )f x ( )0,+∞ ( )0 0f =50
则当 时， ，符合题意；
当 时， ， ，所以函数 在 单调递减，而 ，
则当 时， ，不符合题意；
当 时，设 ，当 时 ，
在 单调递增，因此当 时 ， ，
于是 ，当 时 ，
此时 ，不符合题意．
综上所述， 的取值范围是 ．
18．设函数 ，
（1）证明： 在 单调递减，在 单调递增；
（2）若对于任意 ， ，都有 ，求 的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2） ．
【解析】 ，注意到 ，于是再求导得， ，由于 ，
于是 为单调递增函数，
时， ， 时， ，
在 单调递减，在 单调递增．
（2）若不等式 恒成立，
( )0,x ∈ +∞ ( ) 0f x >
1a > ( )0 0g < 2 0x > ( )f x ( )20, x ( )0 0f =
( )20,x x∈ ( ) 0f x <
0a < ( ) ( )ln 1h x x x= − + ( )0,x ∈ +∞ ( ) 11 01 1
xh x x x
′ = − = >+ +
( )h x ( )0,+∞ ( )0,x ∈ +∞ ( ) ( )0 0h x h> = ( )ln 1x x+ <
( ) ( ) ( )2 2 1f x x a x x ax a x< + − = + − 11x a
> − ( )2 1 0ax a x+ − <
( ) 0f x <
a 0 1a≤ ≤
( ) 2emxf x x mx= + −
( )f x ( ),0−∞ ( )0,+∞
1x [ ]2 1,1x ∈ − ( ) ( )1 2 e 1f x f x− ≤ − m
[ ]1,1m∈ −
( )' e 2mxf x m x m= + − ( )' 0 0f = ( ) 2e 2mxf x m′′ = + ( ) 0f x′′ >
( )f x′
( ),0x∴ ∈ −∞ ( )' 0f x < ( )0,x∈ +∞ ( )' 0f x >
( )f x∴ ( ),0−∞ ( )0,+∞
( ) ( )1 2 e 1f x f x− ≤ −51
则 ， 在 连续，
在 有最大最小值，
，
由（1）可知 在 单调递减，在 单调递增，
， ，
，
设 ，
， 在 单调递减，在 单调递增
， ，故当 时， ，
当 时， ， ，则上式 成立．
当 时，由 的单调性， ，即 ，
当 时， ，即 ，
综上， 的取值范围为 ．
( ) ( )1 2 max e 1f x f x− ≤ − ( )f x [ ]1,1−
( )f x∴ [ ]1,1−
( ) ( ) ( ) ( )1 2 max minmaxf x f x f x f x∴ − = −
( )f x ( )1,0− ( )0,1
( ) ( )min 0 1f x f∴ = = ( ) ( ) ( ){ } { }max 1 , 1 e 1 ,e 1m mf x f f m m−= − = + − + +
( ) ( )
( ) ( )
1 0 e 1 e e 1
1 0 e 1 e e 1
m
m
f f m
f f m−
− ≤ − − ≤ − ∴ ⇒ − − ≤ − + ≤ −
( ) e e 1xh x x= − − +
( )' e 1xh x = − ( )h x∴ ( ),0−∞ ( )0,+∞
( )1 0h = ( ) 11 2 e 0eh − = + − < [ ]1,1x∈ − ( ) 0h x ≤
[ ]1,1m∈ − ( ) 0h m ≤ ( ) 0h m− ≤ e e 1
e e 1
m
m
m
m−
− ≤ − + ≤ −
1m > ( )h x ( ) 0h m > e e 1m m− > −
1m < − ( ) 0h m− > e e 1m m− + > −
m [ ]1,1−52
1．利用导数判断单调性
例 1：求函数 的单调区间
【答案】见解析
【解析】第一步：先确定定义域， 定义域为 ，
第二步：求导：
，
培优点五 导数的应用
( ) ( )3 23 3 3 e xf x x x x −= + − −
( )f x R
( ) ( ) ( ) ( )' 2 3 2 33 6 3 e 3 3 3 e 9 ex x xf x x x x x x x x− − −= + − − + − − = − −
( )( )3 3 e xx x x −= − − +53
第三步：令 ，即 ，
第四步：处理恒正恒负的因式，可得 ，
第五步：求解 ，列出表格
2．函数的极值
例 2：求函数 的极值．
【答案】 的极大值为 ，无极小值
【解析】
令 解得： ， 的单调区间为：
的极大值为 ，无极小值．
3．利用导数判断函数的最值
( ) 0f x′ > ( )( )3 3 e 0xx x x −− − + >
( )( )3 3 0x x x− + <
( ) ( )3,0 3,x∈ − +∞
( ) e xf x x −=
( )f x ( ) 11 ef =
( ) ( )' e e 1 ex x xf x x x− − −= − = −
( )' 0f x > 1x < ( )f x∴
( )f x∴ ( ) 11 ef =54
例 3：已知函数 在区间 上取得最小值 4，则 ___________．
【答案】
【解析】思路一：函数 的定义域为 ， ．
当 时， ，
当 时， ， 为增函数，所以 ， ，矛盾舍去；
当 时，若 ， ， 为减函数，若 ， ， 为增函数，
所以 为极小值，也是最小值；
①当 ，即 时， 在 上单调递增，所以 ，
所以 （矛盾）；
②当 ，即 时， 在 上单调递减， ，
所以 ；
③当 ，即 时， 在 上的最小值为 ，
此时 （矛盾）．
综上 ．
思路二： ，令导数 ，考虑最小值点只有可能在边界点与极值点处
取得，因此可假设 ， ， 分别为函数的最小值点，求出 后再检验即可．
( ) ( )ln mf x x mx
= − ∈R [ ]1,e m =
3e−
( )f x ( )0,+∞ ( ) 2
1 mf x x x
′ = +
( ) 0f x′ = 2
1 0m
x x
+ =
0m ≥ ( ) 0f x′ > ( )f x min( ) (1) 4f x f m= = − = 4m = −
0m < ( )0,x m∈ − ( ) 0f x′ < ( )f x ( ),x m∈ − +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( )ln 1f m m− = − +
1m− < 1 0m− < < ( )f x [1,e] min( ) (1) 4f x f m= = − =
4m = −
em− > em < − ( )f x [1,e] ( ) ( )min e 1 4e
mf x f= = − =
3em = −
1 em≤ − ≤ e 1m− ≤ ≤ − ( )f x [1,e] ( ) ( )ln 1 4f m m− = − + =
3e em = − < −
3em = −
( )'
2 2
1 m x mf x x x x
+= + = ( )' 0f x x m= ⇒ = −
x m= 1x = ex = m55
一、单选题
1．函数 的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数 的导数为 ，令 ，得 ，
∴结合函数的定义域，得当 时，函数为单调减函数．
因此，函数 的单调递减区间是 ．故选 A．
2．若 是函数 的极值点，则（ ）
A． 有极大值 B． 有极小值
C． 有极大值 0 D． 有极小值 0
【答案】A
【解析】因为 是函数 的极值点，所以 ， ， ，
．当 时， ；当 时， ，因此 有极大值 ，
故选 A．
对点增分集训
( ) lnf x x x= −
( )0,1 ( )0,+∞
( )1,+∞ ( ) ( ),0 1,−∞ +∞
lny x x= − 11y x
′ = − 1' 1 0y x
= − < 1x <
( )0,1x∈
lny x x= − ( )0,1
1x = ( ) lnf x ax x= +
( )f x 1− ( )f x 1−
( )f x ( )f x
1x = ( ) lnf x ax x= + ( )1 0f ′ = 1 01a∴ + = 1a∴ = −
( ) 11 0 1f x xx
∴ ′ = − + = ⇒ = 1x > ( ) 0f x′ < 0 1x< < ( ) 0f x′ > ( )f x 1−56
3．已知函数 在 上单调递减，且 在区间 上既有最大值，又有最小
值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数 在 上单调递减，
所以 对于一切 恒成立，得 ， ，
又因为 在区间 上既有最大值，又有最小值，
所以，可知 在 上有零点，
也就是极值点，即有解 ，在 上解得 ，
可得 ， ，故选 C．
4．函数 是 上的单调函数，则 的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】若函数 是 上的单调函数，只需 恒成立，
即 ， ．故选 C．
5．遇见你的那一刻，我的心电图就如函数 的图象大致为（ ）
( ) 3f x x ax= − − ( ], 1−∞ − ( ) 2 ag x x x
= − ( ]1,2
a
2a > − 3a ≥ − 3 2a− ≤ < − 3 2a− ≤ ≤ −
( ) 3f x x ax= − − ( ], 1−∞ −
( ) 2' 3 0f x x a= − − ≤ ( ], 1x∈ −∞ − 23x a− ≤ 3a∴ ≥ −
( ) 2 ag x x x
= − ( ]1,2
( ) 2' 2 ag x x
= + ( ]1,2
22 0a
x
+ = ( ]1,2 22a x= −
8 2a− ≤ < − 3 2a∴− ≤ < −
3 2 1y x x mx= + + + R m
1,3
+∞
1, 3
−∞
1,3
+∞
1, 3
−∞
3 2 1y x x mx= + + + R 2' 3 2 0y x x m= + + ≥
4 12 0Δ m= − ≤ 1
3m∴ ≥
1ln sin1
xy xx
− = + + 57
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，其定义域为 ，即 ， ，
则 函数为奇函数，故排除 C、D，
，则函数在定义域内单调递减，排除 B，故选 A．
6．函数 在 内存在极值点，则（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】若函数 在 无极值点，则 或
在 恒成立．
①当 在 恒成立时， 时， ，得 ； 时，
，得 ；
②当 在 恒成立时，则 且 ，得 ；
综上，无极值时 或 ．∴在 在 存在极值．故选 A．
1ln sin1
xy xx
− = + +
1 01
x
x
− >+ 1 1x− < < ( ) 1ln sin1
xf x xx
+ − = − −
( ) ( ) 0f x f x− + =
( ) ( )( )
2 cos 01 1f x xx x
−= + 1
2a ≤ − 1
2a ≥
( ) 3 21 2 13f x x ax x= + − + ( )1,2x∈ ( ) 2' 2 2 0f x x ax= + − ≥
( ) 2' 2 2 0f x x ax= + − ≤ ( )1,2x∈
( ) 2' 2 2 0f x x ax= + − ≥ ( )1,2x∈ 1a− ≤ ( )1 2 1 0f a −′ = ≥ 1
2a ≥ 2a− ≥
( )2 4 +2 0f a′ = ≥ a∈∅
( ) 2' 2 2 0f x x ax= + − ≤ ( )1,2x∈ ( )1 2 1 0f a −′ = ≤ ( )' 2 4 +2 0f a= ≤ 1
2a ≤ −
1
2a ≤ − 1
2a ≥ 1 1
2 2a− < < ( )1,2x∈58
7．已知 ， ，若函数 在区间 上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A． 或 B． 或 C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】因为 ，函数 在区间 上单调递减，
所以 在区间 上恒成立，
只需 ，即 解得 或 ，故选 D．
8．函数 在定义域 内可导，其图像如图所示．记 的导函数为 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由图象知 和 上 递减，因此 的解集为 ．故选 A．
9．设函数 ，则 （ ）
A．在区间 ， 内均有零点
( ) 2 2f x ax x a= + + x∈R ( ) ( ) ( )3 2 2g x x a x f x= − − − ( )1,3−
a
1a < − 3a > 1a ≤ − 3a ≥ 9a < − 3a > 9a ≤ − 3a ≥
( ) 2 23 2g x x ax a= − −′ ( ) ( ) ( )3 2 2g x x a x f x= − − − ( )1,3−
( ) 0g x′ ≤ ( )1,3−
( )
( )
1 0
3 0
g
g
′ − ≤
≤
′
2
2
2 3 0
6 27 0
a a
a a
− − ≥
+ − ≥
9a ≤ − 3a ≥
( )y f x= 3 ,32
−
( )y f x= ( )y f x= ′
( ) 0f x′ ≤
[ ]1,1 2,33
−
1 4 81, ,2 3 3
−
[ )3 1, 1,22 2
−
3 1 1 4 4, , ,32 3 2 3 3
− −
1,13
−
[ ]2,3 ( )f x ( )' 0f x ≤ [ ]1,1 2,33
−
( ) ( )1 ln 03f x x x x= − > ( )y f x=
1,1e
( )1,e59
B．在区间 ， 内均无零点
C．在区间 内有零点，在区间 内无零点
D．在区间 内无零点，在区间 内有零点
【答案】D
【解析】 的定义域为 ， 在 单调递减， 单调递增， ，
当在区间 上时， 在其上单调， ， ，故 在区间 上无零
点，
当在区间 上时， 在其上单调， ， ，故 在区间 上有零点．
故选 D．
10．若函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【解析】 ， ，
函数 既有极大值又有极小值，
有两个不等的实数根，
， ，则 或 ，故选 D．
11．已知函数 的两个极值点分别在 与 内，则 的取值范围是
（ ）
1,1e
( )1,e
1,1e
( )1,e
1,1e
( )1,e
( )f x ( )0,+∞ ( )f x ( )0,3 )[3,+∞ ( ) 1 1
3f x x
=′ −
1,1e
( )f x 1 1 1 0e 3ef = + >
( ) 11 03f = > ( )f x 1,1e
( )1,e ( )f x ( ) ee 1 03f = − < ( ) 11 03f = > ( )f x ( )1,e
( ) ( )3 23 3 2 1f x x ax a x= + + + + a
1 2a− < < 1 2a− ≤ ≤ 1a ≤ − 2a ≥ 1a < − 2a >
( ) ( )3 23 3 2 1f x x ax a x= + + + + ( ) ( )23 6 3 2f x x ax a∴ = + + +′
( ) ( )3 23 3 2 1f x x ax a x= + + + +
( ) ( )23 6 3 2 0f x x ax a∴ + + +′ = =
( )236 36 2 0Δ a a∴ = − + > 2 2 0a a− − > 1a < − 2a >
( ) 3 22 3f x x ax bx c= + + + ( )1,0− ( )0,1 2a b−60
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 由函数 ， 求导 ，
的两个极值点分别在区间 与 内， 由 的两个根分别在区间 与
内， ，
令 ， 转化为在约束条件为 时，求 的取值范围，
可行域如下阴影（不包括边界），
目标函数转化为 ， 由图可知， 在 处取得最大值 ，在 处取得最小值
， 可行域不包含边界， 的取值范围 ．本题选择 A 选项．
12．设函数 在区间 上的导函数为 ， 在区间 上的导函数为 ，若在区间
上 ，则称函数 在区间 上为“凹函数”，已知 在区间
上为“凹函数”，则实数 的取值范围为（ ）
3 3,2 2
−
3 ,12
−
1 3,2 2
−
31, 2
( ) 3 22 3f x x ax bx c= + + + ∴ ( ) 2' 3 4 3f x x ax b= + +
( )f x ( )1,0− ( )0,1 ∴ 23 4 3 0x ax b+ + = ( )0,1
( )1,0−
( )
( )
( )
' 0 0
' 1 0
' 1 0
f
f
f
>
2z a b= − ∴
3 0
3 4 3 0
3 4 3 0
b
a b
a b
<
− + >
+ + >
2z a b= −
∴ 2z a b= − ∴ z 3 ,04A
3
2
3 ,04B −
3
2
− 2z a b∴ = − 3 3,2 2
−
( )y f x= ( ),a b ( )f x′ ( )f x′ ( ),a b ( )f x′′
( ),a b ( ) 0f x′′ > ( )f x ( ),a b ( ) 5 4 21 1 220 12f x x mx x= − −
( )1,3 m61
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，∴ ，∴ ，
∵函数在区间 上为“凹函数”∴ ，
∴ 在 上恒成立，即 在 上恒成立．
∵ 在 上为单调增函数，∴ ，∴ ，
故选 D．
二、填空题
13．函数 在区间 上的最大值是___________．
【答案】8
【解析】 ，已知 ，
当 或 时， ， 在该区间是增函数，
当 时， ， 在该区间是减函数，
故函数在 处取极大值， ，又 ，故 的最大值是 8．
14．若函数 在 ， 上都是单调增函数，则实数 的取值集合是
______．
【答案】
【解析】 ， ，
31, 9
−∞
31,59
( ],5−∞ ( ], 3−∞ −
( ) 5 4 21 1 220 12f x x mx x= − − ( ) 3
41 44 3
mxf x x x= − −′ ( ) 3 2 4f x x mx′′ = − −
( )1,3 ( ) 0f x′′ >
3 2 4 0x mx− − > ( )1,3 2
4m x x
< − ( )1,3
2
4y x x
= − ( )1,3 2
4 1 4 3x x
− > − = − 3m ≤ −
( ) 3 22 2f x x x= − [ ]1,2−
( ) ( )26 4 2 3 2f x x x x x′ = − = − [ ]1,2x∈ −
22 3x≥ > 1 0x− ≤ < ( ) 0f x′ > ( )f x
20 3x< < ( ) 0f x′ < ( )f x
0x = ( )0 0f = ( )2 8f = ( )f x
( ) 3 2 33 4f x x ax x a= − + − ( ), 1−∞ − ( )2,+∞ a
153, 4
−
( ) 3 2 33 4f x x ax x a= − + − ( ) 23 2 3f x x ax= − +′62
函数 在 ， 上都是单调增函数，
则 ，即 ，解得 ， ，即 ，解得 ，
则实数 的取值集合是 ，故答案为 ．
15．函数 在 内不存在极值点，则 的取值范围是___________．
【答案】 或
【解析】函数 在 内不存在极值点 在 内单
调 函数 或 在 内恒成立，
由 在 内恒成立 ， ，即 ，
同理可得 ，故答案为 或 ．
16．已知函数 ，
① 当 时， 有最大值；
② 对于任意的 ，函数 是 上的增函数；
③ 对于任意的 ，函数 一定存在最小值；
④ 对于任意的 ，都有 ．
其中正确结论的序号是_________．（写出所有正确结论的序号）
【答案】②③
【解析】由函数的解析式可得： ，当 时， ， ， 单调
递增，且 ，
( ) 3 2 33 4f x x ax x a= − + − ( ), 1−∞ − ( )2,+∞
( )1 0f ′ − ≥ 3 2 3 0a+ + ≥ 3a ≥ − ( )2 0f ′ ≥ 15 4 0a− ≥ 15
4a ≤
a 153, 4
−
153, 4
−
( ) ( )2 ln 1f x x a x a= − − ∈R [ ]1,2 a
2a ≤ 8a ≥
( ) ( )2 ln 1f x x a x a= − − ∈R [ ]1,2 ( ) ( )2 ln 1f x x a x a⇔ = − − ∈R [ ]1,2
⇔ ( ) 0f x′ ≥ ( ) ( )0f x a′ ≤ ∈R [ ]1,2
( ) 2 0af x x x
−′ = ≥ [ ]1,2 ( )2
min
2a x⇔ ≤ [ ]1,2x∈ 2a ≤
8a ≥ 2a ≤ 8a ≥
( ) e lnxf x a x= +
1a = ( )f x
0a > ( )f x ( )0,+ ∞
0a < ( )f x
0a > ( ) 0f x >
( )' ex af x x
= + 1a = ( ) 1' exf x x
= + ( ) 2
1'' exf x x
= − ( )''f x
( )1 e 1 0f ′′ = − >63
据此可知当 时， ， 单调递增，函数没有最大值，说法①错误；
当 时，函数 ， 均为单调递增函数，则函数 是 上的增函数，说法②正确；
当 时， 单调递增，且 ，
且当 ，据此可知存在 ，
在区间 上， ， 单调递减；
在区间 上， ， 单调递增；
函数 在 处取得最小值，说法③正确；
当 时， ，
由于 ，故 ， ，说法④错误；
综上可得：正确结论的序号是②③．
三、解答题
17．已知函数
（1）讨论函数 在 上的单调性；
（2）证明： 恒成立．
【答案】（1）当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，
在 上单调递减；（2）见解析．
1x > ( )' 0f x > ( )f x
0a > exy = lny a x= ( )f x ( )0 + ∞,
0a < ( )' ex af x x
= + ( )' e 1 0af a −− = − >
0
lim e 0x
x
a
x→
+ =
( )0 0,x a∈ −
( )00, x ( )' 0f x < ( )f x
( )0 ,x +∞ ( )' 0f x > ( )f x
( )f x 0x x=
1a = ( ) e lnxf x x= +
( )5e 0,1− ∈ ( )5ee 1,e
− ∈ ( ) 5 55 e 5 ee e lne e 5 0f
− −− −= + = − <
( ) ( )lnf x x ax a= − ∈R
( )f x ( )0,+∞
2e e ln 0x x− >
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞ 64
【解析】（1） ，
当 时， 恒成立，所以， 在 上单调递增；
当 时，令 ，得到 ，所以，当 时， ， 单调递增，当
时， ， 单调递减．
综上所述，当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在
上单调递减．
（2）证法一：由（1）可知，当 时， ，
特别地，取 ，有 ，即 ，所以 （当且仅当 时等号成立），
因此，要证 恒成立，只要证明 在 上恒成立即可，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增．
所以，当 时， ，即 在 上恒成立．
因此，有 ，又因为两个等号不能同时成立，所以有 恒成立．
证法二：记函数 ，则 ，
可知 在 上单调递增，又由 ， 知， 在 上有唯一实根 ，
且 ，则 ，即 （*），
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
( ) 1 1 axf x ax x
′ −= − = ( )0x >
0a ≤ ( ) 0f x′ > ( )f x ( )0,+∞
0a > ( ) 0f x′ = 1x a
= 10,x a
∈
( ) 0f x′ > ( )f x
1 ,x a
∈ +∞
( ) 0f x′ < ( )f x
0a ≤ ( )f x ( )0,+∞ 0a > ( )f x 10, a
1 ,a
+∞
0a > ( ) 1ln ln 1f x x ax a
= − ≤ −
1
ea = ln 0e
xx − ≤ ln e
xx ≤ 2e ln ex x≤ ex =
2e e ln 0x x− > e ex x≥ ( )0,+∞
( ) ex
g x x
= ( )0x > ( ) ( )
2
e 1x xg x x
=′ −
( )0,1x∈ ( ) 0g x′ < ( )g x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0g x′ > ( )g x
1x = ( ) ( )min 1 eg x g= = e ex x≥ ( )0,+∞
2e e e lnx x x≥ ≥ 2e e ln 0x x− >
( ) 2
2
ee ln lne
x
xx x xφ −= − = − ( ) 2
2
1 1 1e ee
x xx x x
φ −= × − = −′
( )xφ′ ( )0,+∞ ( )1 0φ′ < ( )2 0φ′ > ( )xφ′ ( )0,+∞ 0x
01 2x< < ( ) 0 2
0
0
1e 0xx x
φ − −′ = = 0 2
0
1ex
x
− =
( )00,x x∈ ( ) 0xφ′ < ( )xφ ( )0 ,x x∈ +∞ ( ) 0xφ′ > ( )xφ65
所以 ，结合（*）式 ，知 ，
所以 ，
则 ，即 ，所以有 恒成立．
18．已知函数 ，其导函数为 ．
（1）当 时，若函数 在 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围；
（2）设 ，点 是曲线 上的一个定点，是否存在实数 使得
成立？并证明你的结论．
【答案】（1） 或 ；（2）不存在，见解析．
【解析】（1）当 时， ， ， ， ，
由题意得 ，即 ，
令 ，则 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，
，
当 时， ，当 时， ，
则 或 时， 在 上有且只有一个零点．
（2）由 ，得 ，
( ) ( ) 0 2
0 0e lnxx x xφ φ −≥ = − 0 2
0
1ex
x
− = 0 02 lnx x− = −
( ) ( ) ( )22
00 0
0 0
0 0 0
12 11 2 0xx xx x xx x x
φ φ −− +≥ = + − = = >
( ) 2e ln 0xx xφ −= − > 2e lnx x− > 2e e ln 0x x− >
( ) ( )2e ,xf x a x bx a b= + − ∈R ( )'y f x=
2b = ( )'y f x= R a
0a ≠ ( )( ), ,P m n m n∈R ( )y f x= ( )0 0x x m≠
( ) ( )0
0 0' 2
x mf x n f x m
+ − = −
2
2
ea = − [ )0,a∈ +∞
2b = ( ) 2e 2xf x a x x= + − ( )a∈R ( )' e 2 2xf x a x= + − ( )a∈R
e 2 2 0xa x+ − = 2 2
ex
xa
−=
( ) 2 2
ex
xh x
−= ( ) 2 4 0ex
xh x
−′ = = 2x =
2x < ( )' 0h x < ( )h x 2x > ( )' 0h x > ( )h x
( ) 2
2( ) 2 eminh x h∴ = = −
1x = − ( )1 4e 0h − = > 2x > ( ) 2 2 0ex
xh x
−= <
2
2
ea = − [ )0,a∈ +∞ ( )'f x R
( ) 2exf x a x bx= + − ( )' e 2xf x a x b= + −66
假设存在 ，则有 ，
即 ，
，
，
，
即 ， ， ，
令 ，则 ，
两边同时除以 ，得 ，即 ，
令 ， ，
令 在 上单调递增，且 ，
对于 恒成立，即 对于 恒成立，
在 上单调递增， ，
对于 恒成立， 不成立，
同理， 时，也不成立，
0x ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0 0 02 2
x m x mf x f x m n f x m f m′ + + = − + = − +
′
( ) ( ) ( )0 0
0
0 2
f x f m x mf x mx m
− + = ≠ −
′
，
0
0 02' e 22 2
x mx m x mf a b
++ + = + ⋅ −
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 02 2
0 00
0
0 0 0
e e e ex xm ma x m b x m af x f m x m bx m x m x m
− + − − − −− = = + + −− − −
( ) ( )00
02
0
0
e e
e 2 2
x mx m ax ma b x m bx m
+ −+∴ + ⋅ − = + + −−
( )00
2
0
e e
e
x mx m a
a x m
+ −
= − 0a ≠
0 0
2
0
e ee
x m x m
x m
+ −∴ = −
0 0t x m= − > 2 e ee
t t m mm
t
++ −=
em 2 e 1e
t t
t
−= 2e e 1
t
tt = −
( ) 2e e 1
t
tg t t= − − ( ) 2 2 2 2e e e e e 12 2
t t t t
t t tg t
∴ =′ − + = − −
( ) 2e 12
t th t = − − ( )0,+∞ ( )0 0h =
( ) 0h t∴ > ( )0,t ∈ +∞ ( )' 0g t > ( )0,t ∈ +∞
( )eg∴ ( )0,+∞ ( )0 0g =
( ) 0g t∴ > ( )0,t ∈ +∞
( )00
2
0
e e
e
x mx m a
a x m
+ −
∴ = −
0 0t x m= −
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