滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题
数学学科（B 卷）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试用时 120 分钟.
第Ⅰ卷 1 至 3 页，第Ⅱ卷 4 至 6 页.
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案涂写
在答题卡上，答在试卷上的无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
祝各位考生考试顺利！
第 I 卷
注意事项：
1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案标号.
2.本卷共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分.
参考公式：
如果事件 、 互斥，那么 如果事件 、 相互独立，那么
柱体的体积公式 . 球的表面积、体积公式：
锥体的体积公式 . ， ，
其中 表示柱（锥）体的底面积, 其中 为球的半径．
表示柱（锥）体的高.
一.选择题:在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）已知全集 ，集合 ，集合 ，则
（2）设 ，则“ ”是“ ”的
（3）设 , , ,则 的大小关系为
（4）在 的二项展开式中， 的系数为
（A） （B）
（C） （D）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（A） （B）
（C） （D）
• A B • A B
( ) ( ) ( )P A B P A P B= + ( ) ( ) ( )P AB P A P B=
• V Sh= •
1
3V Sh= 24S R= π 34
3V R= π
S R
h
U { | 7 }x x= 是小于 的正整数 { }1,3,6A = { }2,3,4,5B = U =A B
Rx ∈ 3x ≤ 2 3 0x x− ≤
0.31( )3a −= 2
1log 3b = 3lg 2c = , ,a b c
2 52( )x x
− 7x
{3} {1,3,6}
{2,4,5} {1,6}
b a c< < c b a< <
b c a< < a b c< 1a ≠ R x
| ( ) | 3f x x= + a
i ( )1
m iz m Ri
−= ∈+ m =
1 0C（ ，） y 2
{ }na nS n *Nn∈ 3 2011, -80,a S= = 10S
1 3 13[ , ] { }4 4 16
1 3 13[ , ) { }4 4 16
3 3( , )4 16
3 13(0, ) { }4 16M
A
B
C
C1
B1
A1
若从中随机取球，每次只取 1 个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球四次，恰好
取到两次白球”的概率为 ；若从中一次取 3 个球，记所取球中白球个数为 ，则随
机变量 的期望为 .
（14）已知双曲线 ： 的一条渐近线方程为 ，则双曲线 的离心率
为 ；若抛物线 的焦点 与双曲线 的一个焦点相同， 是抛
物线 上一点， 的延长线交 轴的正半轴于点 ，交抛物线 的准线 于点 ，且
，则 .
（15）如图，在直角梯形 中，已知
对角线 交
于点 ，点 在 上，且满足 ，则
的值为 .
三. 解答题:本大题共 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题满分 14 分）
在 中，内角 所对的边分别为 .已知 .
（I）求角 的大小；
（II）设 ，求 和 的值.
（17）（本小题满分 15 分）
已知三棱柱 , 平面 , .
（Ⅰ）求异面直线 与 所成的角;
（Ⅱ）求二面角 的正弦值;
（Ⅲ）设 为 的中点,在 的内部或边上是否存 在
一点 ,使得 平面 ?若存在,确定点 的位置, 若
不存在,说明理由.
（18）（本小题满分 15 分）
已知数列 的前 项和为 ，且 ，数列
ξ
ξ
1C
2
2
2 1( 0)yx bb
− = > 3y x= 1C
2
2 : 2 ( 0)C y px p= > F 1C M
2C FM y N 2C l P
3FM MN= | |NP =
ABCD AB // DC ,
=90 =2 = =1DAB AB AD CD ,∠ °， ， AC BD
O M AB OM BD⊥
AM BD
ABC∆ , ,A B C , ,a b c sin sin( )3a C c A
π= +
A
6, 4b c= = a cos( 2 )A C−
1 1 1ABC A B C− 1AA ⊥ ABC 190 , 1BAC AA AB AC∠ = ° = = =
1AC 1A B
1 1A BC A− −
M 1A B ABC∆
N MN ⊥ 1ABC N
{ }na n nS
2
2n
n nS +=
(第 15 题图)满足： N*.
（Ⅰ）求数列 、 的通项公式；
（Ⅱ）设 ， 的前 项和，求
（19）（本小题满分 15 分）
已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆 的短轴为直径的圆与直线
相切.
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）若直线 与椭圆 交于 两点，且 .已知直线 上存
在点 ，使得 是以 为顶角的等腰直角三角形，若 在直线 的右下方，求
实数 的值.
（20）（本小题满分 16 分）
已知函数 （其中 是实数）.
（Ⅰ）若 ，求曲线 在 处的切线方程；
（Ⅱ）求函数 的单调区间;
（Ⅲ）设 ，若函数 的两个极值点 恰为函数 的两
个零点，且 的范围是 ，求实数 的取值范围.
{ }nb 2log ,n na b n= ∈
{ }na { }nb
1 ( ,2)
2 ( ,
n
n
n
na nc
nb
为奇数）（
为偶数）
+=
{ }n nT c为数列 n 2 .nT
2 2
2 2: 1( 0)x yE a ba b+ = > >
6
3 E
: 3 4 5 0l x y+ - =
E
y x m= + E 1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y 1 2x x> l
P PMND PMNÐ P MN
m
1( ) 2 lnf x x a xx
= − + a
1
2a = ( )y f x= (1, (1))f
( )f x
2( ) lng x x bx cx= − − ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< ( )g x
1 2
1 2( ) ( )2
x xy x x g
+′= − 2[ln2 , )3
− +∞ a滨海新区高三居家专题讲座学习反馈检测试题
数学学科（B 卷）参考答案及评分标准
一.选择题（本大题共 9 个小题，每小题 5 分，共 45 分.）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D B C A B A C C A
二.填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.试题中包含两个空的，答对一个的给 3 分，
全部答对的给 5 分.)
10 11 12 13 14 15
1 2，
三.解答题(本大题 5 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)．
说明：解答给出了一种解法供参考，其他解法可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定
相应的评分细则.
（16）（本小题满分 14 分）
解： (Ⅰ) 在 中，由正弦定理 ，可得 …………1 分
又由 得
…………3 分
又因为 ，可得 …………5 分
（II）由 和 ， 得：
所以 …………7 分
2 2-1 2x y（ ）+ = 60 8 ,127
10
3
2
3
−
ABC∆
sin sin
a c
A C
= sin sina C c A=
sin sin( )3a C c A
π= +
sin sin( ) sin sin( ) tan 33 3c A c A A A A
π π= + ⇒ = + ⇒ =
(0, )A π∈
3A
π=
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 6, 4b c= =
3A
π=
2 136 16 2 6 4 282a = + − × × × =
2 7a =由 得 ……9 分
因为 ，所以 …………11 分
所以 …………12 分
…………13 分
…………14 分
（17）（本小题满分 15 分）
解: 因为 平面 ,
如图,以 为 轴, 为 轴, 为 轴建立空间直角坐标系:
因为 ,所以 , , ,
, , , …………2 分
（Ⅰ） , …………3 分
……4 分
所以异面直线 与 所成的角为 .………5 分
（ Ⅱ ） , 设 平 面 的 法 向 量 为
,不妨令 ,则平面 的一个法向量为 …………6 分
设平面 的法向量为 ,
,不妨令 ,则平面 的一个法向量为 . …………7 分
………………………9 分
从而 ,所以二面角 的正弦值为 .……………………10 分
（ Ⅲ ） 假 设 在 平 面 的 边 上 或 内 部 存 在 一 点 , 因 为 为 的 中 点 ,
所以 , ………………………12 分
sin sin( )3a C c A
π= + 2 2 3 212 7 sin 4sin( ) 4sin sin3 3 3 72 7
C C
π π π= + = ⇒ = =
c a< 2 2 7cos 1 sin 7C C= − =
21 2 7 4 3sin 2 2sin cos 2 7 7 7C C C= = × × =
2 22 7 1cos2 2cos 1 2 ( ) 17 7C C= − = × − =
1 1 3 4 3 13cos( 2 ) cos cos2 sin sin 23 3 2 7 2 7 14A C C C
π π− = + = × + × =
1AA ⊥ ABC 90BAC∠ = °
1 1A B x 1 1A C y 1A A z
1 1AA AB AC= = = 1(0,0,0)A 1(1,0,0)B 1(0,1,0)C
(0,0,1)A (1,0,1)B (0,1,1)C
1 (0,1, 1)AC = −
1 (1,0,1)A B =
1 1
1 1
1 1
cos ,
| || |
AC A BAC A B
AC A B
⋅< >=
1 1
22 2
−= = −
×
1AC 1A B 60°
1 ( 1,1, 1)BC = − −
1ABC
1 1 1 1( , , )n x y z=
1 1
1 1
0
0
AC n
BC n
⋅ = ⇒
⋅ =
1 1
1 1 1
0
0
y z
x y z
− =
− + − =
1 0x = 1 11, 1z y= = 1ABC 1 (0,1,1)n =
1 1BC A 2 2 2 2( , , )n x y z= 1 2
1 2
0
0
A B n
BC n
⋅ = ⇒
⋅ =
2 2
2 2 2
0
0
x z
x y z
+ =
− + − =
2 0y = 2 21, 1x z= = − 1 1BC A 2 (1,0, 1)n = −
1 2
1 2
1 2
cos ,
| || |
n nn n
n n
⋅< >=
1
2
−=
1 2
3sin , 2n n< >=
1 1A BC A− − 3
2
ABC ( , ,1)N x y M 1A B
1 (1,0,1)A B =
1 1( ,0, )2 2M所以 ，又 ,
则 所以 ………………………14 分
且 ,所以 是 的中点.
故存在点 , 为 的中点,满足条件. ………………………15 分
（18）（本小题满分 15 分）
解：（Ⅰ） 数列 的前 项和 ，
因为 时， ………………1 分
时，
所以 ………………3 分
又 时， 满足上式
所以 ………………………………5 分
又 所以
所以 ………………6 分
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知， ，
所以 ……………8 分
……………11 分
……………13 分
……………15 分
（19）（本小题满分 15 分）
1 1( , , )2 2MN x y= −
1 (0,1, 1)AC = −
1 ( 1,1, 1)BC = − −
1
1
0
0
AC MN
BC MN
⋅ = ⇒
⋅ =
1
2y
x y
=
=
1 1( , ,1)2 2N
1
2BN BC= N BC
N N BC
{ }na n
2
2n
n nS +=
1n = 1 1 1a S= =
2n ≥ 2 2
1
1 1[( 1) ( 1)] ( )2 2nS n n n n- = - + - = -
1n n na S S n-= - = ( 2)n ≥
1n = 1 1a =
na n=
2logn na b= 2log nn b=
2n
nb =
1 ( ,2)
2 ( ,
n
n
n
na nc
nb
为奇数）（
为偶数）
+=
na n= 2n
nb =
1
1 ( ,2)
1 ( ,2
n
n
nn nc
n
为奇数）（
为偶数）−
+=
2 1 3 2 1 2 4 2( ) ( )n n nT c c c c c c −= + + + + + + +
2 2 1
1 1 1 1 1 1( ) ( )1 3 3 5 (2 1)(2 1) 2 8 2n nT n n −= + + + + + + +× × − +
1 1(1 )1 1 1 1 1 1 2 4(1 ) 12 3 3 5 2 1 2 1 1 4
n
n n
−
= − + − + + − +− + −
1 1 2 1(1 ) (1 )2 2 1 3 4nn
= − + −+
7 1 2
6 2(2 1) 3 4nn
= − −+ ⋅解：（Ⅰ）依题意， .………2 分
因为离心率 .………4 分
所以 解得 .………5 分
所以椭圆 的标准方程为 .………6 分
（Ⅱ）因为直线 的倾斜角为 ，且
是以 为顶角的等腰直角三角形，且 在直线 的右下方.
所以 .………8 分
过 作 的垂线，垂足为 ，则 为线段 的中点，
所以 ，故 .………9 分
所以 ，即
整理的 .………10 分
由
所以 ，解得 .………11 分
所以 （2）
（3）.………12 分
（1）-（2）得 （4）
（4）代入（2）得 （5）
（4）（5）代入（3）得 ，解得 .
所以 的值为-1.………………………15 分
（20）（本小题满分 16 分）
（I）由 得：
2 2
| 0 0 5 | 1,
3 4
b + -= =
+
6 ,3
ce a= =
2 2 2 ,a b c= +
2 1 6 ,3
a
a
- = 3a =
E
2
2: 13
x y+ =
y x m= + 45° PMND
PMNÐ P l
NP // x ,轴
M NP Q Q NP
1 2( , )Q x y 1 2 2(2 , )P x x y-
1 2 23(2 ) 4 5 0x x y- + - = 1 2 23(2 ) 4( ) 5 0x x x m- + + - =
1 26 4 5 0 (1)x x m + + - =
2
2
2 21, 4 6 3 3 03
x y x mx m
y x m
得
ìïï + =ï + + - =íïï = +ïî
2 236 48 48 0m mD = - + > 2 2m- < <
1 2
3
2x x m+ =-
2
1 2
3 ( 1)4x x m= -
1 1 2
mx = -
2 1x m=- -
2 2 +1 0m m+ = -1m = ( 2,2)∈ −
m
1
2a = 1( ) lnf x x xx
= − +则 ，所以 ,又 .………3 分
所以曲线 在点 处的切线方程为 .………4 分
（Ⅱ）因为 ，所以 定义域为
………5 分
若 ，则 ，当且仅当 时， ………6 分
若 ， 得
当 时，
当 时，
所以，当 时， 的单调递减区间为 ，无单调递增区间；
时 ， 的 单 调 递 减 区 间 为 ； 单 调 递 增 区 间 为
..………9 分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若 有两个极值点，则 ，且
所以
，
由 得 .………11 分
令 ，
，所以 上单调递减
2
1 1( ) 1f x xx
′ = − − + (1) 1f ′ = − (1) 0f =
( )y f x= (1, (1))f 1y x= − +
1( ) 2 lnf x x a xx
= − + ( )f x (0, )+∞
2
2 2
1 2 2 1( ) 1 a x axf x xx x
− +′ = − − + = −
1a ≤ ( ) 0f x′ ≤ 1, 1a x= = ( ) 0f x′ =
1a > ( ) 0f x′ = 2 2
1 21, 1,x a a x a a= − − = + −
1 2(0, ) ( , )x x x∈ +∞ ( ) 0f x′ <
1 2( , )x x x∈ ( ) 0f x′ >
1a ≤ ( )f x (0, )+∞
1a > ( )f x 2 2(0, 1) ( 1, )a a a a,− − + − +∞
2 2( 1, 1)a a a a− − + −
( )f x 1a > 1 2 1 22 , 1x x a x x+ = =
1 20 1x x< < <
2 1( ) ln ( ) 2g x x bx cx g x b cxx
′= − − ⇒ = − − 1 2
1 2
1 2
2( ) ( )2
x xg b c x xx x
+′ = − − ++
1 2( ) ( ) 0g x g x= = 2 21
1 2 1 2
2
ln ( ) ( )x b x x c x xx
= − + −
1 2
1 2( ) ( )2
x xy x x g
+′= − 2 21 2
1 2 1 2
1 2
2( ) ( ) ( )x x b x x c x xx x
−= − − − −+
1 2 1
1 2 2
2( ) lnx x x
x x x
−= −+
1
2 1
1 2
2
2( 1)
ln
1
x
x x
x x
x
−
= −
+
1
2
(0,1)x tx
= ∈ 2( 1)( ) ln1
th t tt
−= −+
2
2
( 1)( ) 0( 1)
th t t t
− −′ =
a 3 2[ , )4
+∞
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