宁夏六盘山高级中学2020届高三数学（理）下学期第二次模拟试题（Word版附答案）

绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学 2020 届高三第二次模拟考试 理科数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚. 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草 稿纸、试卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1.设 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.集合 ，若 则实数 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 3.等差数列 的首项为 1，公差不为 ，若 ， ， 成等比数列，则数列 的前 项 的和 为 A. B. C. 3 D. 8 4.设向量 ， 则与 垂直的向量可以是 ( ) A. B. C. D. 5.用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为 ，则球心到截面的距离为 A. 2 B. C. D. 1 , ,a b R i∈ 0ab = ba i + { }0,2, ,A a= { }21, ,B a= { }0,1,2,4,16 ,A B = a { }na 0 2a 3a 6a { }na 6 6S (2,1)a = (0, 2)b = − 2a b+  4 3π π6. 的展开式中的 系数为 （ ） A. B. C. 40 D. 80 7.下列命题中，错误命题是 A. “若 则 的逆命题为真. B. 线性回归直线 必过样本点的中心 . C. 在平面直角坐标系中到点 和 的距离的和为 的点的轨迹为椭圆. D. 在锐角 中， . 8.元朝著名数学家朱世杰在 四元玉鉴 中有一首诗：“我 有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗， 店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？” 用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余 原壶中 的酒量”，即输出值 是输入值的 ，则输入的 A. B. C． D. 9.已知圆 的一条切线 与双曲线 没有公 共点，则双曲线的离心率的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 10.将正方形 沿对角线 折成直二面角 ，有如下四个结论： ； 是等边三角形； 所成的角为 ； 所成的角为 ． 5( )(2 )x y x y+ − 3 3x y 1 1 a b < 0a b> >  y bx a= + ( , )x y (1,0) (0,1) 2 ABC∆ 2 2sin cosA B> 1 3 1 3 x = 3 5 9 11 21 23 45 47 2 2 3( 1) 4x y− + = y kx= 2 2 2 2: - 1x yC a b = ( 0, 0)a b> > (1, 3) (1,2] 3 +∞（ ， ） [2, )+∞ ABCD BD ABCD其中错误的结论是 （ ） A. B. C. D. 11.函数 有两个不同的零点，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 12.在矩形 中， ， ,动点 在以点 为圆心且与 相切的圆上． 若 ，则 的最大值为 ( ) A. B. C. D. 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）． 13.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立设 为该群 体的 10 位成员中使用移动支付的人数， ， ， 则 ________． 14. 函数 的部分图象如图所示， 则 的值是______ 15. 若数列 满足 ， ， _____. 16.“解方程 ”有如下思路；设 ，则 在 上单调递减， 且 ，故原方程有唯一解 ，类比上述解题思路，不等式 的解集是______． 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求作答 17.(本小题满分 12 分) 3( ) lnf x x mx= + m 1( , )3e − +∞ 1( ,0)3e − 1( , )3e −∞ − 1 1( , )3e e − − ABCD 1AB = 2AD = P C BD AP AB ADλ µ= +   λ µ+ 3 2 2 5 2 p X ( ) 2.4D X = ( 4) ( 6)P X P X= < = p = ( ) sin( )f x A xω ϕ= + ( , , 0, 0)A Aω ϕ ω> >是常数， - 3f π（ ） { }na 1 1a = 2 1 2 32 3 n na a a na n a+ + + + = 2020a = 3 4( ) ( ) 15 5 x x+ = 3 4( ) ( ) ( )5 5 x xf x = + ( )f x R (2) 1f = 2x = 6 3 2( 2) ( 2)x x x x− + > + −在 中，内角 所对的边分别是 ，已知 ， ， .求 的值； .求 的值． 18. (本小题满分 12 分) 某公司 人数众多 为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套餐．为了 解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工 的比例分层抽样，得到 名员工的 月使用流量 单位： 的数据，其频率分布直方图如图所示． .求 的值，并估计这 名员工月使用流量的平均值 （同一组中的数据 用中点值代表 .若将月使用流量在 以上（含 ）的员工称为“手机营销达人”，填写下面 的 列联表，能否有超过 的把握认为“成为手机营销达人与员工的性别有关”； 男员工 女员工 合计 ABC∆ A B C、 、 , ,a b c sin 3 sinb A c B= 3a = 2cos 3B = b sin(2 )3B π− 1: 3 200 a 200 x 800M 800M 2 2× 0 095手机营销达人 5 非手机营销达人 合计 200 参考公式及数据： ，其中 ． .若这 名员工中有 名男员工每月使用流量在 ，从每月使用流量 在 的员工中随机抽取名 进行问卷调查，记女员工的人数为 , 求 的分 布列和数学期望． 19.(本小题满分 12 分) 如图所示，四棱锥 中， ， ， ， ， , ， ，E 为 CD 的中点． .求证： ； .求二面角 的余弦值． 2( )P K k≥ k 200 2 [900,1000] [900,1000] 3 X X P ABCD− PA ABCD⊥ 平面 2PA = 90ABC∠ =  3AB = 1BC = 2 3AD = 4CD = / /AE PBC平面 B PC D− −20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，且离心 率为 ． .求椭圆 的标准方程； .不过原点的直线 与椭圆 交于 两点，若三直线 的斜率 成等比数列，求直线 的斜率及 的值． 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 ，且 ． 2 2 2 2: 1x yC a b + = ( 0)a b> > 2 4 3y x= 3 2e = C l C M N、 OM l ON、 、 1 2, ,k k k l 2 2OM ON+ 2( ) lnf x ax ax x x= − − ( ) 0f x ≥.求 ； .证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ． 选考题：共 10 分，请考生在 22,、23 题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分 22. 选考题(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程 ,以坐标原点为极点， 以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． .写出曲线 的极坐标方程； .设点 的极坐标为 ，过点 的直线 与曲线 相交于 两点， 若 ，求 的弦长． 23. 选考题(本小题满分 10 分) .设函数 证明： ； .若实数 满足 ， 求证： ． a 0x 2 2 0( ) 2e f x− −< < xoy C 2cos 2 2sin x y θ θ =  = + (θ为参数) C M ( 2, )4 π M l C A B、 2MA MB= AB 1( )f x x x aa = − + + ( 0)a > ( ) 2f x ≥ , ,x y z 2 2 24 3x y z+ + = 2 3x y z+ + ≤绝密★启用前 宁夏六盘山高级中学 2020 届高三第二次模拟考试 理科数学试卷（答案） 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 设 是虚数单位，则“ ”是“复数 为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 解： ， 当 为纯虚数时， 且 ， 若 ，则 或 ，此时充分性不成立， 若 且 ，则 成立，即必要性成立， 则“ ”是“复数 为纯虚数”的必要不充分条件． 故选 B． 2．集合 ， ，若 ，则实数 a 的值为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 解：集合 ， ， 因为 ， 当 时， ，此时 满足条件， 故选 D． 3.等差数列 的首项为 1，公差不为 若 ， ， 成等比数列，则 前 6 项 的和为 A. B. C. 3 D. 8 【答案】A 解： 设等差数列 的公差为 d， ， 由题意得 ， ， ， 成等比数列， ， ， 解得 ， 前 6 项的和为 ． 故选 A． 4.设向量 ， 则与 垂直的向量可以是 A. B. C. D. 【答案】A 解： 向量 ， ． ， ， 与 垂直的向量可以是 ． 故选：A．5.用一平面去截体积为 的球，所得截面的面积为 ，则球心到截面的距离为 A. 2 B. C. D. 1 【答案】C 解：球的体积 ，则球的半径是 ， 截面的面积为 ，则截面圆的半径是 ， 所以球心到截面的距离为 ． 故选 C． 6. 的展开式中的 系数为 A. B. C. 40 D. 80 【答案】C 解： 的展开式的通项公式： ． 令 ，解得 ． 令 ，解得 ． x 项： ， y 项： ， 的展开式中的 系数为 ． 故选 C．7.下列命题中，错误命题是 A. “若 ，则 ”的逆命题为真 B. 线性回归直线 必过样本点的中心 C. 在平面直角坐标系中到点 和 的距离的和为 的点的轨 迹为椭圆 D. 在锐角 中，有 【答案】C 解：选项 A：“若 ，则 ”的逆命题为：若 ， 则 ，显然是真命题； 选项 B：线性回归直线 必过样本点的中心，所以 B 正确； 选项 C：因为点 和 之间的距离为 ，所以在平面直角 坐标系中到点 和 的距离的和为 的点的轨迹为线段， 所以 C 不正确 选项 D：在锐角 中，有 ，则 ， 所以 ，可得 ，所以 D 正确； 故选：C． 8.元朝著名数学家朱世杰在 四元玉鉴 中有一首诗：“我有一壶酒，携着 游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中 的酒量”，即输出值是输入值的 ，则输入的 A. B. C. D. 【答案】C 解： 时． ， 时， ， 时， ， 时，退出循环，此时 解得 ， 故选：C． 9.已知圆 的一条切线 与双曲线 没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 解：由题意，圆心到直线的距离 ， ， 圆 的一条切线 与双曲线 C： 没 有公共点， ， ， ，又 ， 双曲线的离心率的取值范围 ． 故选 B． 10.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 ，有如下四个结论： ； 是等边三角形； 与平面 BCD 所成的角为 ； 与 CD 所成的角为 ． 其中错误的结论是A. B. C. D. 【答案】C 解：取 BD 的中点 E，则 ， ． 又 ， 平面 AEC， 平面 AEC， 面 AEC． 平面 AEC， ，故 正确； 设正方形边长为 a，则 ， ． ， ， 为二面角 所成平面角， 又二面角 为直二面角，则 ， ． 为等边三角形，故 正确； ，则 ， 又 ， ， 平面 BCD， 平面 BCD， 平面 BCD， 为 AB 与面 BCD 所成的角，为 ，故 不正确； 以 E 为坐标原点，EC、ED、EA 分别为 x，y，z 轴建立直角坐标系， 则 0， ， ， ， 0， ．， ． ， ， ， ，即 AB 与 CD 所成的角为 ，故 正确． 故选 C． 11.函数 有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 解：由题意可知， ，定义域为 ， ， 令 ，解得 ， 函数 有两个不同的零点， ，且当 ， ， 单调递增；当 ， ， 单调递减， 即 在 上取得极大值， ，解得， ． 故实数 m 的取值范围是 ．故选 B． 12.在矩形 ABCD 中， ， ，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的 圆上．若 ，则 的最大值为 A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 解：如图：以 A 为原点，以 AB，AD 所在的直线为 x，y 轴建立如图所示的坐标系， 则 ， ， ， ， 动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上， 设圆的半径为 r， ， ， ， ， 圆的方程为 ， 设点 P 的坐标为 ， ，， ， ， ，其中 ， ， ， 故 的最大值为 3， 故选 A． 二、填空题：（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）． 13.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p，各成员的支付方式相互独立 设 X 为该群体的 10 位成员中使用移动支付的人数， ， ，则 ________． 【答案】 解：由题意，使用移动支付的人数 X 服从二项分布， 则 ，解得 或 ， 又 ，即 ， 化简得 ，解得 ， 所以 ． 故答案为 ． 14.函数 是常数， ， 的部分图象如图所示， 则 的值是______．【答案】 解：根据函数 是常数， ， 的部分图象， 得 ， ， ． 再根据五点法作图可得 ， ，则取 ， 故 ， 故答案为 ． 15. 若数列 满足 ， ，则 ______ ． 【答案】 解：因为 ， 所以当 时， ，两式相减得： ， 即 ， 所以 ， 由 可知 ， 所以 ． 故答案为 ． 16. “解方程 ”有如下思路；设 ，则 在 R 上单调递减，且 ，故原方程有唯一解 ，类比上述解题思路，不等式 的解集是______． 【答案】 解：不等式 变形为， ； 令 ， ， 则 ； 考察函数 ，知 在 R 上为增函数， ， ； 不等式 可化为 ，解得 或 ； 不等式的解集为： ．故答案为 ． 四、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 为选考题，考生根据要求 作答． 17.在 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b， 已知 ， ， ． 求 b 的值； 求 的值． 【答案】解： .在 中，由正弦定理 ，可得 ， 又 ，可得 ，又 ，所以 ． 由余弦定理可知： ， ， 即 ， 可得 ． .由 ，可得 ， 所以 ， ， 所以． 18.某公司 人数众多 为鼓励员工利用网络进行营销，准备为员工办理手机流量套 餐．为了解员工手机流量使用情况，按照男员工和女员工 的比例分层抽样，得 到 200 名员工的月使用流量 单位： 的数据，其频率分布直方图如图所示． .求 a 的值，并估计这 200 名员工月使用流量的平均值 同一组中 的数据用中点值代表 ； .若将月使用流量在 800M 以上 含 的员工称为“手机营 销达人”，填写下面的 列联表，能否有超过 的把握认为“成 为手机营销达人与员工的性别有关”； 男员工女员工合计 手机营销达人 5 非手机营销达人 合计 200 参考公式及数据： ，其中 ．k .若这 200 名员工中有 2 名男员工每月使用流量在 ，从每 月使用流量在 的员工中随机抽取 3 名进行问卷调查，记女员工 的人数为 求 X 的分布列和数学期望． 【答案】解： .由已知： ， 由已知得 列联表如下： 男员工 女员工 合计 手机营销达人 5 35 40 非手机营销达人 45 115 160 合计 50 150 200 由表中数据可得： 的观测值 所以有超过 的把握认为“手机营销达人与员工的性别有关” 由频率分布直方图可得在 的员工共有： 人， X 的取值为 1，2，3， ， ， ， 所以分布列如下： X 1 2 3 P 所以 ． 19. 如图所示，四棱锥 中， 底面 ABCD， ， ， ， ， ， ，E 为 CD 的中点．求证： 平面 PBC； 求二面角 的余弦值． 【答案】 证明： ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． 是 CD 的中点， ，， ， 是等边三角形， ， ， ，又 平面 PBC， 平面 PBC， 平面 PBC． 由 可知 ，以 A 为原点，以 AB，AE，AP 为坐标轴建立空间直角坐 标系如图： 则 0， ， 0， ， 1， ， 3， ， 2， ， 0， ， 1， ， 3， ， 2， ． 设平面 PBC 的法向量为 ，平面 PCD 的法向量为 ， 则 ， ， ， ， 令 得 0， ，令 得 1， ． ． 二面角 的余弦值为 ． 20．已知椭圆 C： 的一个焦点与抛物线 的焦点重 合，且离心率为 ．.求椭圆 C 的标准方程； .不过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 M，N 两点，若三直线 OM、l、ON 的 斜率 ，k， 成等比数列，求直线 l 的斜率及 的 值． 【答案】 解： .依题意得 ，又 ， 椭圆 C 的方程为 ． .设直线 l 的方程为 ， 由 得 ， ， 由题设知 ， ， ， ， ， 此时 ， 则 ， 故直线 l 的斜率为21.已知函数 ，且 ． .求 a； .证明： 存在唯一的极大值点 ，且 ． 【答案】 解：因为 ， 则 等价于 ，求导可知 ． 则当 时 ，即 在 上单调递减， 所以当 时， ，矛盾，故 ． 因为当 时 ，当 时 ， 所以 ， 又因为 ， 所以 ，解得 ； 另解：因为 ，所以 等价于 在 时的最小值为 ， 所以等价于 在 处是极小值， 所以解得 ； 证明：由 可知 ， ， 令 ， 可 得 ， 记 ， 则 ， 令 ，解得： ，所以 在区间 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ，从而 有解，即 存在两 根 ， ， 且不妨设 在 上为正、在 上为负、在 上为正， 所以 必存在唯一极大值点 ，且 ， 所以 ， 由 可知 ； 由 可知 ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， 所以 ； 综上所述， 存在唯一的极大值点 ，且 ． 22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 为参数 以坐标 原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． 写出曲线 C 的极坐标方程； 设 M 的极坐标为 ，过点 M 的直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，若 ，求 AB 的弦长． 【答案】解： 曲线 C 的参数方程为 为参数 ， 曲线 C 的直角坐标方程为 ，曲线 C 的极坐标方程为 ， 即曲线 C 的极坐标方程为 ； 由点 M 的极坐标为 ，直角坐标为 ， 设直线 l 的参数方程是 为参数 ， 曲线 C 的直角坐标方程是 ， ， 联立，得 ， ，且 ， ， 则 ， 或 ， ， 的弦长 ． 23. 设函数 证明： ； 若实数 x，y，z 满足 ，求证： ． 【答案】证明： 由 ， 有 ， 又 ，当且仅当 时取等号． 所以 ； 实数 x，y，z 满足 ， 由柯西不等式得： ， 当且仅当 即 ， 时取“ ”号，整理得： ， ．