高三数学（文）试卷 第 2 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 1 页 （共 6 页）
………………………………………………
装
…………
订
…………
线
………………………………………………
2020 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试
数 学（供文科考生使用）
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共 6 页．满分 150 分；考试时间：120 分钟.
2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用 2B 铅笔涂
在答题卡上．
3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸
的相应位置上．
4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一、选择题：本题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．在复平面内，复数 对应的点位于
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2． , 则
A． B． C． D．
3．已知向量 ，且 ，则 m=
A． B．2 C． D．
4．某地区甲、乙、丙、丁四所高中分别有 120,150,180,150 名高三学生参加某次数学调
研考试．为了解学生能力水平，现制定以下两种卷面分析方案：方案①：从这 600
名学生的试卷中抽取一个容量为 200 的样本进行分析；方案②：丙校参加调研考试
的学生中有 30 名数学培优生，从这些培优生的试卷中抽取 10 份试卷进行分析．完
成这两种方案宜采用的抽样方法依次是
A．分层抽样法、系统抽样法 B．分层抽样法、简单随机抽样法
C．系统抽样法、分层抽样法 D．简单随机抽样法、分层抽样法
5．从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的恰有一名女同学的
概率为
A． B． C． D．
6．执行如图所示的程序框图，则输出的 值为
A．-3 B． C． D．2
7．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，
长五尺，斩本一尺，重四斤．斩末一尺，重二斤．”意思
是：“现有一根金锤，长度为 5 尺，头部的 1 尺，重 4 斤；
尾部的 1 尺，重 2 斤；且从头到尾，每一尺的重量构成
等差数列．”则下列说法正确的是
A. 该金锤中间一尺重 3.5 斤
B. 中间三尺的重量和是头尾两尺重量和的 3 倍
C. 该金锤的重量为 15 斤
D. 该金锤相邻两尺的重量之差的为 1.5 斤
8．已知命题 p： ;命题 q：若 ,则 a>b.下列命题为真命题的是
A． B． C． D．
9．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是
某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为
A. B.
C. D.
10．函数 图象的大致形状是
A B C D
(1 )(2 )z i i= + −
{ } { }22,3 , 3 0A B x N x x= = ∈ − < A B =
{ }1,2,3 { }0,1,2, { }0,2 3， { }0,1,2,3
= ( 2,3), = (3, )m−a b a//b
2− 9
2
− 9
2
0.3 0.4 0.5 0.6
a
1
3 2
1−
,x∀ ∈R 2 1 0x x− + ≥ 2 2a b>
p q∧ p q∧ ¬ p q¬ ∧ p q¬ ∧ ¬
12π 6π
4 3π 3π
( ) 2 1 sin1 xf x xe
= − +
学 校
姓 名
考 号
9 题
5 题
开始
a=2,i=1
i >2020? 是
结束
输出 a
i=i+1
a= 1
1
a
a
+
−高三数学（文）试卷 第 2 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 1 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 4 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 3 页 （共 6 页）
11．已知双曲线 C： 的两个焦点为 ， ，过 且与 x 轴垂直
的直线交 C 的渐近线于 A，B 两点.若 为直角三角形，则双曲线 C 的离心率为
A. B. C. D.
12. 关于 x 的方程 有四个不同的实数根，且 x1＜x2＜x3＜x4，则
的取值范围
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分）
二、填空题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分，共 20 分.
13．函数 的单调递增区间是 ．
14. 设变量 x,y 满足约束条件 ，则 的最小值为 ．
15. 已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
16．已知 ，函数 若对任意 ，
，恒成立，则 m 的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分 12 分)
已知函数 .
（1）求 的值和 的最小正周期；
（2）设锐角 的三边 a，b，c 所对的角分别为 A,B,C，且 ， ，
求 b+c 的取值范围.
18．(本小题满分 12 分)
如图，在三棱柱 中， 平面 ， 分别是线段 AB， 的
中点.
（1）证明： 平面 ；
（2）当三棱柱的各棱长均为 2 时，求三棱锥
的体积.
19．(本小题满分 12 分)[
2020 年是具有里程碑意义的一年,我们将全面建成小康社会，实现第一个百年
奋斗目标;2020 年也是脱贫攻坚决战决胜之年。(总书记二〇二〇年新年贺词) 截
至 2018 年底，中国农村贫困人口从 2012 年的 9899 万人减少至 1660 万人，贫困
发 生 率 由 2012 年 的 10.2%下 降 至 2018 年 的 1.7%;连 续 7 年 每 年 减 贫 规 模 都 在
1000 万人以上;确保到 2020 年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，
脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤。某贫困地区截至 2018 年底，按照农村家庭
人均年纯收入 8000 元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实
现小康的家庭中随机抽取 50 户，得到这 50 户家庭 2018 年的家庭人均年纯收入的频率
分布直方图.
（1）补全频率分布直方图，并求出这 50 户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同
一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；
( )2 2
2 2 1 0, 0x y a ba b
− = > > 1F 2F 1F
2ABF∆
5 3 2 5
2
01 14
t x
x tx t
− =
+ − +
4 1 3 2( ) ( )x x x x− + −
( )2 6,4 3 ( )2 6,4 2 2+
( )4 2 2,4 3+ 2 6,4 3
2( ) ln( 2 8)f x x x= + −
0
2
3 6 0
x y
x y
x y
− ≥
+ ≥
− − ≤
2z x y= −
,a b∈R 2 4 0a b− + = 13 9
a
b
+
m∈R
2
2
2 3 0( )
2( ) 1 0
x x m xf x
x x m x
+ + −= − + − − >
， ≤ ，
， ．
[ 3, )x∈ − +∞
( ) | | 1f x x −≤
( ) ( )1sin cos 6 4f x x x x R = ⋅ − − ∈
π
6f
π ( )f x
ABC∆ 1
2 4
Af = 2a =
1 1 1ABC A B C− 1A A ⊥ ABC ,D E 1BB
1 //BC 1ACD
1C A DE−
频率/组距
0.04
2 5 6 73
0.30
0.32
0.10
0.06
4 8 家庭人均年纯收入（千元）高三数学（文）试卷 第 6 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 5 页 （共 6 页）
（2）2019 年 7 月，为估计该地能否在 2020 年全面实现小康，统计了该地当时最贫
困的一个家庭 2019 年 1 至 6 月的人均月纯收入如下表:
月份/2019（时间代码 x） 1 2 3 4 5 6
人均月纯收入（元） 275 365 415 450 470 485
由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入 y 与时间代码 x 之间具有较强的线
性相关关系,请求出回归直线方程；由于 2020 年 1 月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔
小康的进展，该家庭 2020 年第一季度（1,2,3 月份）每月的人均月纯收人均为预估值的
1
3,从 4 月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的4
5，由此估计该家庭 2020 年能否达
到小康标准，并说明理由；
①可能用到的数据： Σ
6
i = 1xiyi=9310;
②参考公式：线性回归方程y^
=b^
x+a^
中，b^
=xiyi - 6
xi2 - 62,a^
=y
-
-b^
x
-
.
20．(本小题满分 12 分)
已知 ， 是椭圆 C： 的左右两个焦点，过 的直线与 C 交
于 P，Q 两点（ 在第一象限）， 的周长为 8，C 的离心率为 .
（1）求 C 的方程；
（2）设 ， 为 C 的左右顶点，直线 的斜率为 ， 的斜率为 ，求
的取值范围.
21．(本小题满分 12 分)
已知函数 f (x)=mex(x+1)(m≠0),g(x)=ex+x+ax2.
（1）若 f (x)在(0,m)处的切线的方程为 y=2x+n,求 m,n 的值并求此时 f (x)的最值；
（2）在（1）的条件下,不等式 f (x)≥g (x)在 x≥0 时恒成立，求实数 a 的取值范围.
请考生在第 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时请
写清题号。
22．(本小题满分 10 分)选修 4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原
点 为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 直线 的极坐标方程为
.
（1）求 和 的直角坐标方程；
（2）已知 与 相切，求 的值.
23．(本小题满分 10 分)选修 4—5：不等式选讲
已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若 ，且 ，证明： .
1F 2F ( )2 2
2 2 1 0x y a ba b
+ = > > 2F
P 1PF Q∆ 1
2
1A 2A 1PA 1k 2QA 2k 2
1 2
1
3k k−
xOy C
1 1
2
2 1
2
x t t
y t t
= +
= −
t
O x l
2 cos sin 0m− + =ρ θ ρ θ
C l
l C m
( ) 2 2f x x x= − −
( ) 3f x ≥ −
a R∈ 0a ≠ ( )14 1 1 4a f xa
− + + ≥高三数学（文）试卷 第 6 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 5 页 （共 6 页）
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装
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2020 年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试
数学（文）
参考答案及评分标准
第 I 卷（选择题)
一、选择题（本小题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每个小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求）
1．A 2．A 3．C 4．B 5．D 6．D 7．C 8．B 9．A 10．C 11．A 12．B
第 II 卷（非选择题)
二、填空题(本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．(2, + ) 14．1 15． 16．
三、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17－21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题，共 60 分。
17．(本小题满分 12 分)
由题
.--------------------------4
（1） , .--------------6
（2） , ,所以 ,---------------8
在 中,由余弦定理 可得：
,即
,-------------------10
又因为在 中, ,
所以,综上可得： 的取值范围是
.--------------------------------------12
18．(本小题满分 12 分)
(1)证明：连接 与 相交于点 ，连接 ，
由侧面 为平行四边形可得 是线段 的中点，
又因为 是线段 的中点，∴ ---------------------3
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .----------------------------------------6
(2)∵ 平面 ， 平面 ，∴
∵ ， 是线段 的中点，∴
∵ ， 平面 ，∴ 平面 ，
∞ 2
9
1 , 28
( ) 1 3 1sin sin cos2 2 4x x xf x
= ⋅ + −
21 3 1sin sin cos2 2 4x x x= + −
1 1 3 1 1cos2 sin 2 sin 24 4 4 4 2 6x x x
π = − + − = −
1 1sin6 2 3 6 4f
π π π = − =
2
2T
π π= =
1 1sin2 2 6 4
Af A
π = − = 0, 2A
π ∈ 3A
π=
ABC∆ 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
( ) ( ) ( )2
2 22 24 3 3 4
b cb c bc b c bc b c
+= + − = + − ≥ + −
4b c+ ≤
ABC∆ 2b c+ >
b c+
( ]2,4
1AC 1AC F DF
1 1ACC A F 1AC
D AB
1//DF BC
1BC ⊄ 1A DC DF ⊆ 1A DC
1 //BC 1ACD
1AA ⊥ ABC CD ⊆ ABC 1AA CD⊥
AC BC= D AB AB CD⊥
1AB AA A= 1,AB AA ⊆ 1 1A ABB CD ⊥ 1 1A ABB
学 校
姓 名
考 号高三数学（文）试卷 第 6 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 5 页 （共 6 页）
∴线段 为三棱锥 的高，
∵ ，∴ ，-------------------------8
∵ 平面 ， 平面 ，∴ ，
∵三棱柱的各棱长均为 2，∴四边形 为正方形，
∴ ，-------------10
∴ ----------------------12
19．(本小题满分 12 分)[
（1） 解：由频率之和为 1 可得： 家庭人均年纯收入在[6,7)的频率为 0.18,所以频率
分布直方图如下：
(补图)------------------------------------------------------------------------------------------------2
中位数为：5+0.5 - 0.04 - 0.10 - 0.32
0.30 =5+ 2
15=5.133(千元)------------------------------4
(或：设中位数为 x，则
0.04
0.26=x - 5
6 - x,解得：x=5.133)
平 均 数 x
-
=2.5×0.04+3.5×0.10+4.5×0.32+5.5×0.30+6.5×0.18+7.5×0.06=5.16( 千
元)-----------------------------6
（ 2 ） 解 ： 由 题 意 得 ： x
-
=1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6
=3.5, y
-
=
275 + 365 + 415 + 450 + 470 + 485
6 =
2460
6 =410
Σ
6
i = 1
xi2=1+4+9+16+25+36=91 6× x
-
2=6×3.52=73.5
所以：b^
=xiyi - 6
xi2 - 62=
9310 - 6×3.5×410
91 - 73.5 =
9310 - 8610
91 - 73.5 =
700
17.5=40
a^
= y
-
-b^
x
-
=410-40×3.5=270
所以回归直线方程为：y^
=40x+270
设 y 为 2020 年该家庭人均月纯收入，则 x=13,14,15 时，y=
1
3(40x+270),即 2020 年前三
月总收入为：
1
3(790+830+870)=830 元；
当 x=16,17,…,24 时，y=
4
5(40x+270)=32x+216,即 2020 年从 4 月份起的家庭人均月纯收
入依次为：728，760,…,984,构成以 32 为公差的等差数列，所以 4 月份至 12 月份的总
收入为：
(728 + 984)×9
2 =7704
所以 2020 年该家庭总收入为：7704+830=8534>8000
所 以 该 家 庭 2020 年 能 达 到 小 康 标 准
-------------------------------------------------------------12
CD 1C A DE−
2AB BC AC= = = 3CD =
1AA ⊥ ABC AB ⊆ ABC 1AA AB⊥
1 1A ABB
1
1 1 1 32 2 1 2 1 1 1 22 2 2 2A DES∆ = × − × × − × × − × × =
11
1 1 3 333 3 2 2A DEC A DEV S CD∆− = × × = × × =三棱锥
频率/组距
0.04
2 5 6 73 4 8 家庭人均年纯收入（千元）
0.10
0.18
0.300.32
0.06高三数学（文）试卷 第 6 页 （共 6 页）高三数学（文）试卷 第 5 页 （共 6 页）
:学科网 ZXXK]
20．(本小题满分 12 分)
（1）由条件得 解得 ，
所以 的方程为 .--------------------------4
（2）由（1）得 ， ， ，
当直线 的斜率不存在时， ， ，
， .-------------------------6
当直线 的斜率存在时，此时直线 的斜率不为 0，设直线 的方程为
，
设 ， ，由 得
，
则 ， ，
∴
.∴ .---------------------------------8
因为点 在第一象限，所以 ，（ 为椭圆的上顶点）
∴ ，-----------------10
∴ .------------------------12
21．(本小题满分 12 分)
解：(1)f′(x)=mex(x+2) 令 x=0 得： f′(0)=2m 由题意：2m=2 ∴m=1
f(0)=m=1 ∴n=1-----------------------------------------------------------------------------2
f′(x)=ex(x+2) 由 f′(x)>0 得：x>-2, 由 f′(x)0 ∴ex>1
(i) 若 a≤1, 则 h′(x) ≥ 0 h(x) 在 (0,+ ∞ ) 上 单 调 递 增 ， h(x)>h(0)=0 合 题 意 ；
----------------------------------8
(ii)若 a>1,令 h′(x)=0 得：x=lna>0 由 h′(x)0 时：x(ex-1)-ax2≥0⇔ex-1-ax≥0⇔a≤ex - 1
x ---------------------8
令 h(x)=
ex - 1
x 则 h′(x)=
ex(x - 1) + 1
x2 令 t(x)=ex(x-1)+1,则 t′(x)=xex>0
所以 t(x)在(0,+∞)单调递增，∴t(x)>t(0)=0 即 h′(x)>0 ∴h(x)在（0，+∞）上单调递增
---------10
又 lim
x→0h(x)=lim
x→0
ex - 1
x =lim
x→0ex=1
∴t(x)0 ∴存在唯一 x0∈(0,+∞)
使 t′(x0)=0,当 0
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