山 东 省 泰 安 市 新 泰 市 第 二 中 学 2019-2020 学 年
高 一 下 学 期 期 中 考 试 数 学 试 卷
一 、 选 择 题 (每 小 题 5 分 ,共 12 小 题 60 分 )
1、 下 列 命 题 中 正 确 的 个 数 有 ( )
① 向 量 与 是 共 线 向 量 ,则 A、 B、 C、 D 四 点 必 在 一 直 线 上 ;② 单
位 向 量 都 相 等 ;③ 任 一 向 量 与 它 的 相 反 向 量 不 相 等 ;④ 共 线 的 向 量 ,若
起 点 不 同 ,则 终 点 一 定 不 同 .
A.0 B.1 C.2 D.3
2、 把 电 影 院 的 张 电 影 票 随 机 地 分 发 给 甲 、 乙 、 丙 、 丁 人 ， 每 人 分
得 张 ， 事 件 “ 甲 分 得 排 号 ” 与 事 件 “ 乙 分 得 排 号 ” 是
（ ）
A.对 立 事 件 B.不 可 能 事 件 C.互 斥 但 不 对 立 事 件 D.以 上 答 案 都 不 对
3、 如 图 ， 已 知 ， 用 表 示 ， 则 等 于 ( )
A. B. C. D.
4、已 知 某 运 动 员 每 次 投 篮 命 中 的 概 率 为 .现 采 用 随 机 模 拟 的 方 法
估 计 该 运 动 员 三 次 投 篮 恰 有 两 次 命 中 的 概 率：先 由 计 算 器 算 出 到 之
间 取 整 数 值 的 随 机 数 ，指定 表 示 命 中 ， 表 示 不 命 中；
再 以 每 三 个 随 机 数 为 一 组 ， 代 表 三 次 投 篮 的 结 果 ． 经 随 机 模 拟 产 生
了 组 随 机 数 ：
据 此 估 计 ， 该 运 动 员 三 次 投 篮 恰 有 两 次 命 中 的 概 率 为 ( )
A. B. C. D.
5、 一 梯 形 的 直 观 图 是 如 图 的 等 腰 梯 形 ,且 直 观 图
的 面 积 为 ,则 原 梯 形 的 面 积 为 ( )
A. B. C. D.
6、 一 组 数 据 的 平 均 数 为 ， 标 准 差 为 ， 则 数 据
的 平 均 数 与 标 准 差 分 别 是 ( )
A. B. C. D.
7、 《 九 章 算 术 》 是 中 国 古 代 的 数 学 瑰 宝 ,其 第 五 卷
商 功 中 有 如 下 问 题 :“ 今 有 羡 除 ,下 广 六 尺 ,上 广 一
丈 ,深 三 尺 ,末 广 八 尺 ,无 深 ,袤 七 尺 ,问 积 几 何 ?” 翻
译 成 现 代 汉 语 就 是 :今 有 三 面 皆 为 等 腰 梯 形 ,其 他 两
侧 面 为 直 角 三 角 形 的 五 面 体 的 隧 道 ,前 端 下 宽 尺 ,
上 宽 一 丈 ,末 端 宽 尺 ,深 尺 ,长 尺 (注 :一 丈 十 尺 ).则 该 五 面 体 的
体 积 为 ( )
A. 立 方 尺 . B. 立 方 尺 . C. 立 方 尺 . D. 立 方 尺
8、 已 知 点 在 平 面 中 ， 且
， 则 点 是 的
（ ）
A.重 心 B.垂 心 C.外 心 D.内 心
二 、 多 选 题 (每 小 题 5 分 ,共 4 小 题 20 分 )
9、 一 个 圆 柱 和 一 个 圆 锥 的 底 面 直 径 和 它 们 的 高 都 与 一 个 球 的 直 径
相 等 ,下 列 结 论 正 确 的 是 ( )
A.圆 柱 的 侧 面 积 为 B.圆 锥 的 侧 面 积 为
C.圆 柱 的 侧 面 积 与 球 面 面
积 相 等
D.圆 锥 的 表 面 积 最 小
10、 下 列 结 论 不 正 确 的 是
A.若 向 量 共 线 ,则 向 量 的 方 向 相 同
B. 中 ,D 是 BC 中 点 ,则
C.向 量 与 向 量 是 共 线 向 量 ,则 A,B,C,D 四 点 在 一
条 直 线 上
D.若 ,则 使
11、 是 衡 量 空 气 质 量 的 重 要 指 标 ,我 国 采
用 世 卫 组 织 的 最 宽 限 定 值 ,即 日 均 值 在
以 下 空 气 质 量 为 一 级 ,在
空 气 质 量 为 二 级 ,超 过 为 超 标 .如 图 是
某 地 月 日 至 日 的 (单 位 : )的
日 均 值 ,则 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )
A.这 天 中 有 天 空 气 质 量 为 一 级
B.从 日 到 日 日 均 值 逐 渐 降 低
C.这 天 中 日 均 值 的 中 位 数 是
D.这 天 中 日 均 值 最 高 的 是 月 日
12、设 表 示 不 同 直 线 ， 表 示 不 同 平 面 ，则 下 列 结 论 中 正 确 的
是 ( )．
A． 若 ， 则
B． 若 ， 则
C． , 是 两 条 异 面 直 线 ,若 , , , .则 .
D． 若 ， 则
三 、 填 空 题 (每 小 题 5 分 ,共 4 小 题 20 分 )
13、 已 知 为 虚 数 单 位 ,若 复 数 ,的 共 轭 复 数 为 ,则
__________.
14、已知 , ,且 与 的 夹 角 为 锐 角 ,则 实
数 的 取 值 范 围 是 __________.
15、 如 图 所 示 ,一 艘 海 轮 从 处 出 发 ,测 得 灯 塔 在 海 轮
的 北 偏 东 方 向 ,与 海 轮 相 距 海 里 的 处 ,海 轮 按 北
偏 西 的 方 向 航 行 了 分 钟 后 到 达 处 ,又 测
得 灯 塔 在 海 轮 的 北 偏 东 的 方 向 ,则 海 轮 的 速
度 为 __________海 里 分 .
16、 如 图 ， 在 中 ， ，
， ， 则 的 值 为
__________．
四 、 解 答 题 (共 6 小 题 70 分 )
17.(本 小 题 满 分 10 分 )已 知 复 数 （ 为 虚 数 单 位 ） .
（ 1） 若 ， 求 复 数 的 共 轭 复 数 ；
（ 2） 若 z 是 关 于 x 的 方 程 一 个 虚 根 ， 求 实 数 m 的 值
18、 (本 小 题 满 分 15 分 )已 知 在 中 ， ， ， ，
边 上 的 高 为 ．
(1)求 证 ： ；
(2)求 点 和 向 量 的 坐 标 ；
(3)设 ， 求 ．
19、 (本 小 题 满 分 15 分 )某 重 点 高 中 拟 把 学 校 打 造 成 新 型 示 范 高 中 ,
为 此 制 定 了 很 多 新 的 规 章 制 度 ,新 规 章 制 度 实 施 一 段 时 间 后 ,学 校 就
新 规 章 制 度 的 认 知 程 度 随 机 抽 取 名 学 生 进 行 问 卷 调 查 ,调 查 卷 共
有 个 问 题 ,每 个 问 题 分 ,调 查 结 束 后 ,发 现 这 名 学 生 的 成 绩 都
m n、 α β、
/ / / /m m nα， / /n α
/ / / /m n m nα β β α⊂ ⊂， ， ， / /α β
m n / /m α / /m β / /n α / /n β / /α β
/ / / / / /m n m nα β α β⊄， ， ， / /n β
1 2iz = − i
0 02z z z z⋅ = + 0z
2 5 0x mx− + =
在 内 ,按 成 绩 分 成 组 :第 组 ,第 组 ,第 组 ,第
组 ,第 组 ,绘 制 成 如 图 所 示 的 频 率 分 布 直 方 图 ,已 知 甲 、
乙 、 丙 上 分 别 在 第 , , 组 ,现 在 用 分 层 抽 样 的 方 法 在 第 , , 组 共
选 取 人 对 新 规 取 章 制 度 作 深 入 学 习 .
(1)求 这 人 的 平 均 得 分 (同 一 组 数 据 用 该
区 间 的 中 点 值 作 代 表 );
(2)求 第 , , 组 分 别 选 取 的 人 数 ;
(3)若 甲 、乙、丙都 被 选 取 对 新 规 章 制 度 作 深
入 学 习 ,之 后 要 从 这 人 随 机 选 取 人 ,再 全
面 考 查 他 们 对 新 规 章 制 度 的 认 知 程 度 ,求 甲 、
乙 、 丙 这 人 至 多 有 一 人 被 选 取 的 概 率 .
20(本 小 题 满 分 15 分 )
设 a， b 是 不 共 线 的 两 个 非 零 向 量 ．
(1)若 OA
→
＝ 2a－ b， OB
→
＝ 3a＋ b， OC
→
＝ a－ 3b， 求 证 ： A， B， C 三 点
共 线 ；
(2)若 8 a＋ kb 与 ka ＋ 2b 共 线 ， 求 实 数 k 的 值 ；
(3)若 AB
→
＝ a＋ b， BC
→
＝ 2a－ 3b， CD
→
＝ 2a－ kb ， 且 A， C， D 三 点 共
线 ， 求 k 的 值 ．
21.(本 小 题 满 分 15 分 )
已知 中，角 的对边分别是 ，向量 ，
满足 .
（1）求角 A.
（2）若 的面积为 ， ，求 的周长.
ABC△ A B C, , a b c, , c 3cos s( )ina c A C= + +,m
s( )inb B= ,n //m n
ABC△ 4 3 5a = ABC△
数学期中考试答案解析
第 1 题答案 A
第 1 题解析
对于①,若向向量 与 是共线向量,则 ,或 A, , , 在同条直线
上,故①错误;
对于②,因为单位向量的模相等,但是它们的方向不一定相同,所以单位向量不一
定相等,故②错误;
对于③,相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量,而零向量的相反向
量是零向量,因为零向量的方向是不确定的,可以是任意方向,所以相等,故③错误;
对于④,比如共线的向量 与 (A,B,C 在一条直线上)起点不同,则终点相同,
故④错误.
故选: .
第 2 题答案 C
第 2 题解析
“甲分得 排 号”与“乙分得 排 号”是互斥事件但不对立.
第 3 题答案 C
第 3 题解析
，选
C...
第 4 题答案 B
第 4 题解析
表示恰有两次命中的有 共 组，
故概率近似值为 .
第 5 题答案 D
第 5 题解析
把该梯形的直观图还原为原来的梯形,如图所示:
设该梯形的上底为 ,下底为 ,高为 ,
则直观图中等腰梯形的高为 ;
∵等腰梯形的面积为 ,
∴原梯形的面积为 .
第 6 题答案 A
第 6 题解析
由题意知 .
∴ .
设 的平均数是 ，则
.
∵数据 的标准差为 ，
∴ ，
设数据 方差是 ，则
.
∴数据 的标准差为 .故选 A.
第 7 题答案 C
第 7 题解析
如图,在 , 上取 , ,使得 ,连接 , , , ,故多面
体的体积
.
第 8 题答案 D
第 8 题解析
由于 ，
∴ ，当
时，即 ，
∴ ，∴ 点在三角形的角 A 平分线上；，同理 点在三角形的角 ，
角 平分线上；故定点 是 的内心.故选 D.
第题答 9 案 C,D
第 9 题解析依题意得球的半径为 ,则圆柱的侧面积为 ,∴A 错误;
圆锥的侧面积为 ,∴B 错误;
球面面积为 ,∵圆柱的侧面积为 ,∴C 正确;所以圆锥的表面积最小,D 正
确。
第 10 题答案 A,C,D
第 10 题解析根据平面向量的线性运算与共线定理,对选项中的命题判断正误即
可.
对于 A,若向量 共线,则向量 的方向相同或相反,A 错误;
对于 B, 中,D 是 BC 中点,延长 AD 至 E,使 ,连接 ,
则四边形 ABEC 是平行四边形,如图所示;
所以 ,B 正确;
对于 C,向量 与向量 是共线向量,但 A,B,C,D 四点不一定在一条直线上,
如平行四边形的对边是共线向量,但四点不共线;C 错误;
对于 D, 时,满足 ,但不一定存在 ,使 ,D 错误.
第 11 题答案 A,B,D
第 11 题解析
这 天中第一天,第三天和第四天共 天空气质量为一级,所以 A 正确;
从图可知从 日到 日 日均值逐渐降低,所以 B 正确;
从图可知,这 天中 日均值最高的是 月 日,所以 D 正确;
由图可知,这 天中 日均值的中位数是 ,所以 C 不正确.
12 题 CD
第 13 题答案
第 13 题解析
依题意,得 ,所以 ,所以 .
第 14 题答案
第 14 题解析
因为 与 的夹角为锐角,所以 ,即 ,所以 ;又因为 与 不共
线,所以 ,所以 ,故答案为 .
第 15 题答案
第 15 题解析
由已知得 , , ,由正弦定理可得 ,
∴ ,所以海轮的速度为 海里 分.
第 16 题答案
第 16 题解析
．
17.答案：（1）因为 ，所以 ，
所以复数 的共轭复数为 .
（2）因为 z 是关于 x 的方程 的一个虚根，
所以 ，即 .
又因为 m 是实数，所以 .
第 18 题解析
(1)证明：
∴
∴ 即 ．
(2)设点 的坐标为 ，则 ， ∵ ，∴
①
又 而 与 共线，
∴ ，②联立①②，解得
故点 D 的坐标为( ∴
(3) ...
0 02z z z z⋅ = + ( )
0
2 1 2i2 2 i1 2i
zz z
−= = = +− −
0z 2 i−
2 5 0x mx− + =
( ) ( )21 2i 1 2i 5 0m− − − + = ( ) ( )2 2 4 i 0m m− + − =
2m =
第 19 题解析
(1)这 人的平均得分为:
.
(2)第 组的人数为 ,
第 组的人数为 ,
第 组的人数为 ,故共有 人,
∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为: , , .
(3)记其他人为丁、戊、己,
则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、
(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己 )、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、
(丁、戊)、(丁、己 )、(戊、己)共 种情况,
其中甲、乙、丙这 人至多有一人被选取有 种情况,
故甲、乙、丙这 人至多有一人被选取的概率为 .
20. 证明：(1)设 DF 与 GN 交于点 O，连接 AE，则 AE 必过点 O，
且 O 为 AE 的中点，连接 MO，
则 MO 为△ABE 的中位线，所以 BE∥MO.
因为 BE⊄平面 DMF，MO⊂平面 DMF，
所以 BE∥平面 DMF.
(2)因为 N，G 分别为 AD，EF 的中点，四边形 ADEF 为平行四边形，
所以 DE∥GN.
因为 DE⊄平面 MNG，GN⊂平面 MNG，
所以 DE∥平面 MNG.
因为 M 为 AB 的中点，N 为 AD 的中点，
所以 MN 为△ABD 的中位线，所以 BD∥MN.
因为 BD⊄平面 MNG，MN⊂平面 MNG，
所以 BD∥平面 MNG.
因为 DE∩BD＝D，BD，DE⊂平面 BDE，
所以平面 BDE∥平面 MNG.
21.解 (1)证明：因为AB
→
＝OB
→
－OA
→
＝a＋2b，AC
→
＝OC
→
－OA
→
＝－a－2b，
所以AC
→
＝－AB
→
.又因为 A 为公共点，所以 A，B，C 三点共线．
(2)设 8a＋kb＝λ(ka＋2b)，λ∈R，则Error!
解得 Error!或Error!
所以实数 k 的值为±4.
(3)AC
→
＝AB
→
＋BC
→
＝(a＋b)＋(2a－3b)＝3a－2b，
因为 A，C，D 三点共线，所以AC
→
与CD
→
共线．
从而存在实数 μ 使AC
→
＝μCD
→
，
即 3a－2b＝μ(2a－kb)，
所以 Error!解得 Error!所以 k＝4
3.
22.解：（1）由 得 ，
结合正弦定理得 .
， ， . ， .
（2） 的面积为 ， .
由（1）知 ， .
由余弦定理得 .
. 的周长为 .
//m n ( ) ( )sin 3cos sina c B b A C+ = +
( )sin sin sin sin sinA C B B C+ − 3sin cosB A=
),π(0B∈ sin 0B∴ ≠ tan 3A∴ = ),π(0A∈
π
3A∴ =
ABC△ 4 3
1 sin 4 32bc A∴ =
π
3A = 16bc∴ =
2 2 2 2 cosa b c bc A= + − 2 2b c bc= + − ( )2 3b c bc= + − ( )2 48 25b c= + − =
73b c∴ + = ABC∴△ 5 73+
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