高二年级数学试卷 第 1 页（共 4 页）
和平区 2019—2020 学年度第二学期高二年级线上学习阶段性评估检测
数学学科试卷
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 100 分，考试用时 100
分钟。祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
（1）已知空间向量 (3,1,3)m
， ( 1, , 1)n ，且 m n
∥ ，则实数 （ ）.
A.
1
3
B. 3 C.
1
3 D.6
（2）如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， M 为 1 1AC 与 1 1B D 的交点．
若 AB a , AD b ， 1AA c ，则下列向量中与 AM
相等的向量是( ).
A. 1 1
2 2a b c
B. 1 1 +2 2a b c
C. 1 1
2 2a b c
D. 1 1
2 2a b c
（3）在下列条件中，使 M 与 , ,A B C 一定共面的是
.
A.OM OA OB OC
B. 1 1 1
5 3 2OM OA OB OC
C. 0MA MB MC
D. 0OM OA OB OC
（4）函数 33 4 , 0,1f x x x x ∈ 的最大值是
.
A. 1
2 B. 1 C. 0 D.1
（5）下列函数求导数，正确的个数是
① 2 2x xe e ；② 82 23 8 3 2x x x ；③ 2ln 2x x
;④ 2 2 12x xa a .
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3高二年级数学试卷 第 2 页（共 4 页）
（6）在“志愿和平”活动中，某校高二年级 3 名男教师和 4 名女教师参与社区防控新冠肺炎疫情的
志愿服务．根据岗位需求应派 3 人巡视商户，且至少有 1 名男教师；另外 4 人测量出入人员体
温．则这 7 名教师不同的安排方法有( ).
A.15 种 B.18 种 C.31 种 D.45 种
（7）某学校周一安排有语文、数学、英语、物理、化学、生物六节课，要求生物课不排在第一节课，
物理不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为
.
A. 240 B. 384 C. 480 D. 504
（8）已知定义在 R 上的函数 ( )y xf x 的图象（如图所示）
与 x 轴分别交于原点、点 ( 2,0) 和点 (2,0) ，
若 3 和 3 是函数 ( )f x 的两个零点，则不等式 ( ) 0f x 的解集（ ）.
A. ( , 2) (2, ) B. ( , 3) (3, )
C. ( , 3) (0,2) D. ( 3,0) (3, )
第Ⅱ卷
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
（9） 已知曲线 exy 在点 0 0,P x f x 处的切线为 y x a ，则 a __________．
（10）在
52x x
的二项展开式中， 3x 的系数为 ．
（11）已知函数 sin
sin cos
xf x x x
， f x 为 f x 的导函数，则
4f
．
（12）若函数 lnf x x ax 在区间 0,1 上单调递增，则实数
的取值范围是 ．
三．解答题：本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分．解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤．
2－2
( )y xf x高二年级数学试卷 第 3 页（共 4 页）
（13）已知 3
1 n
f x x
x
，
f x 的展开式的各二项式系数的和等于 128，
（Ⅰ）求 n 的值；
（Ⅱ）求 f x 的展开式中的有理项；
（Ⅲ）求 f x 的展开式中系数最大的项和系数最小的项．
（14）如图，在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 1AD AA ， 2AB ，
点 E M N， ， 分别是线段 1BC AE CD， ， 的中点．
（Ⅰ）求证： MN ∥平面 1 1ADD A ；
（Ⅱ）在线段 1 1A D 上有一点 P ，若二面角 P AE D 的余弦值为 2 21
21
，
求点 1D 到平面 PAE 的距离．
A B
CD
A1 B1
C1D1
M
N
E高二年级数学试卷 第 4 页（共 4 页）
（15）如图，在四棱锥 S ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，侧面 SBC 底面 ABCD ．
已知 45ABC ∠ ， 2AB ， 2 2BC ， 3SC SB ．
（Ⅰ）求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段 AB 上是否存在一点 P ，使 SP SC ？
若存在，请求出 AP 的长；若不存在，请说明理由．
（16）已知函数 3 21 1( ) 2 4f x x x x ， xR ．
（Ⅰ）求函数 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）若函数 3 21 1( ) ( ) ln( )2 4g x x x f x x a 的极小值为 0， 0a ．
（ⅰ）求 a 的值；
（ⅱ）若对于任意的 [0, )x ，有 2( )g x kx≤ 成立，求实数 k 的取值范围．
D
BC
A
S高二年级数学参考答案 第 1 页（共 4 页）
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数学学科试卷参考答案
一．选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
（1）A （2）B （3）C （4）D
（5）A （6）C （7）D （8）B
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
（9）1 （10）10 （11） 1
2
（12） 1a ≥
三．解答题：本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分．
（13）本小题满分 10 分．
（Ⅰ）解：二项式系数之和为 2n ，
2 128n ， 7n .……………………………………………… …………… 2 分
（Ⅱ）解： 7
1 7 3
1C
r
r r
rT x
x
…………………………………………………………… 3 分
21 4
7 3 3
7 71 C 1 C
r r
r rr r rx x x
…………………………………… 4 分
展开式中的有理项， 21 4
3
r ∈Z …………………………………………………… 5 分
0,3,6r ……………………………………………………………………………… 6 分
7 3
1 4 7
7, 35 ,T x T x T x
为展开式中的有理项. …………………………… 7 分
（Ⅲ）解： 3 4
7 7 7C C 35 ,r ≥C
3
4 35T x 为系数最小的项，
5
3
5 35T x 为系数最大的项.…………………………………………………10 分高二年级数学参考答案 第 2 页（共 4 页）
（14）本小题满分 10 分．
（Ⅰ）证明：如图，以长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的
顶点 D 为原点建立空间直角坐标系．
则 (1,0,0)A ， (0,2,0)C ， (1,2,0)B ， 1(0,0,1)D ．
因为点 E M N， ， 分别是线段 1BC AE CD， ， 的
中点，则 1( ,2,0)2E ， 3( ,1,0)4M ， 1(0,1, )2N ．
易知，平面 1 1ADD A 的一个法向量为 (0,1,0)m ．
因为 3 1( ,0, )4 2MN ，所以 0MN m
，即 MN m ．
又因为 MN 平面 1 1ADD A ，所以 MN ∥平面 1 1ADD A ． ……………………… 3 分
（Ⅱ）解：设点 ( ,0,1)pP x ，其中 [0,1]px ．则 ( 1,0,1)pAP x ， 1( ,2,0)2AE ．
设平面 PAE 的法向量为 1 ( , , )n x y z ，由 1
1
0
0
n AP
n AE
，得
( 1) 0
1 2 02
px x z
x y
．
令 1y ，得到 4x ， 4 4 pz x ，即 1 (4,1,4 4 )pn x ．
易知，平面 AED 的一个法向量为 2 (0,0,1)n ． ……………………… 6 分
由二面角 P AE D 的余弦值为 2 21
21
，可得 1 2
2 21cos , 21n n ，即
2
4 4 2 21
2116 1 (4 4 ) 1
p
p
x
x
．化简得 268 136 51 0p px x ．即 (2 1)(34 51) 0p px x ，
解得 1
2px 或 51
34px ．因为 [0,1]px ，所以 1
2px ．则 1( ,0,1)2P ， ………… 9 分
可得 1 (4,1,2)n ， 1
1( ,0,0)2D P ．设点 1D 到平面 PAE 的距离为 h ，则
1 1
1
2 2 21
2116 1 4
D P n
h
n
． ………………………………………… 10 分高二年级数学参考答案 第 3 页（共 4 页）
（15）本小题满分 10 分．
（Ⅰ）解：取 BC 中点 E ，连接 SE ．因为 SC SB ，所以 SE BC ，且 1SE ．
因为侧面 SBC 底面 ABCD ，且平面 SBC 平面 ABCD BC ， SE 平面 SBC ，
所以 SE 平面 ABCD ． ………………………………………………………… 2 分
连接 AC ，在 ABC△ 中根据余弦定理可知 2 2 2 2 cosAC AB BC AB BC ABC ∠ ，
解得 2AC AB ，可知 AC AB ．连接 AE ，可知 AE BC ，且 2AE ． …… 3 分
如图，以 E 为原点建立空间直角坐标系，则 (0,0,1)S ， ( 2,0,0)A ， (0, 2,0)B ，
(0, 2,0)C ， ( 2, 2 2,0)D ．
所以 ( 2,0,1)AS ， ( 2, 2,0)AB ．
设平面 SAB 的法向量为 ( , , )n x y z ，
由 0
0
AS n
AB n
，得 2 0
2 2 0
x z
x y
．
令 1x ，得到 1y ， 2z ，即 (1,1, 2)n ．
又因为 ( 2, 2 2, 1)SD ，所以 2 2 2 2 22cos , 112 8 1 1 1 2
SD nSD n
SD n
．
设直线 SD 与平面 SAB 所成角为 ，因为 sin cos , SD n ，所以直线 SD 与平面 SAB 所成
角的正弦值为 22
11
． …………………… 7 分
（Ⅱ）解：设线段 AB 上的点 ( , , )p p pP x y z ，且 AP AB ，其中 [0,1] ．
则 ( 2, , ) ( 2, 2,0)p p px y z ，解得 ( 2 2 , 2 ,0)P ． …………………… 8 分
( 2 2 , 2 , 1)SP ， (0, 2, 1)SC ，要使 SP SC ，只需 0SP SC
．
所以 2 1 0 ，解得 1
2
，此时 1 12AP AB ．
故线段 AB 的中点 P 满足 SP SC ，此时 AP 的长为 1． …………………… 10 分
D
BC
A
S
A
B
D x
y
z
S
E高二年级数学参考答案 第 4 页（共 4 页）
（16）本小题满分 10 分．
（Ⅰ）解：由已知得 23 1( ) 12 2f x x x ，令 ( ) 0f x ，方程 23 2 0x x 无实数解，
可知对任意 x R 都有 ( ) 0f x ，所以函数 ( )f x 的单调递减区间为 ( , ) ． …… 2 分
（Ⅱ）解：由已知化简得 ( ) ln( )g x x x a ， x a ．
（ⅰ） 1 1( ) 1 x ag x x a x a
，令 ( ) 0g x ，解得 1x a a ．
所以当 x 变化时， ( )g x ， ( )g x 的变化情况如下表：
x ( ,1 )a a 1 a (1 , )a
( )g x － 0 ＋
( )g x ↘ 极小值 ↗
故极小值 (1 ) 1 ln(1 ) 1g a a a a a ．因为极小值为 0 ，所以 1a ． …… 5 分
（ⅱ）设 2 2( ) ( ) ln( 1)h x g x kx x x kx ，根据题意，对于任意的 [0, )x ，有
( ) 0h x ≤ 成立．可得
22 (1 2 )( ) 21 1
x kx k xh x kxx x
．
由（ⅰ）可知，当 [0, )x 时， ( )g x 在 0x 处取得最小值 0 ，又因为 ( )g x 在区间 (0, )
上单调递增，所以当 0x 时， ( ) 0g x ．
若 0k≤ ，则当 (0, )x 时 ( ) 0h x ，不符题意，舍去．可知必有 0k ． …… 6 分
令 ( ) 0h x ，解得 1 0x ， 2
1 2 1 1 12 2
kx k k
． …………………… 7 分
下面根据 2x 与定义域[0, ) 的关系分情况讨论：
①当 2 0x ≤ ，即 1
2k≥ 时， ( ) 0h x 在 (0, ) 上恒成立，因此 ( )h x 在[0, ) 上单调递减．
从而当 [0, )x 时，总有 ( ) (0) 0h x h ≤ ，故 1
2k≥ 符合题意．
②当 2 0x ，即 10 2k 时，可知对于任意的 1 2(0, )2
kx k
， ( ) 0h x 恒成立，因此 ( )h x
在区间 1 2[0, )2
k
k
内单调递增．因为 (0) 0h ，所以当 1 2(0, )2
kx k
时， ( ) 0h x ，不合题意．
综上，k 的取值范围是 1[ , )2
． …………………………………… 10 分
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