数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
l．已知集合 ，则
A．{1，2} B．{1，－2} C．{－1，2} D．{－1，－2}
2．复数 的实部与虚部相等，其中 为虚数单位，则实数
A．3 B． C. D．
3．设 ，命题“存在 m>0，使方程 有实根”的否定是
A．任意 m>0，使方程 无实根
B．任意 m≤0，使方程 有实根
C．存在 m>0，使方程 无实根
D．存在 m≤0，使方程 有实根
4. 的展开式中 的系数是 ，则实数 m=
A．2 B．1 C． D．
5．函数 上为增函数，则 的值可以是
A．0 B. C. D．
6.若圆锥轴截面面积为 ，母线与底面所成角为 60°，则体积为
A. B. C. D.
7.2019 年 10 月 17 日是我国第 6 个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活
动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院 A，医生乙只
能分配到医院 A 或医院 B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配
到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有
{ } { }2 2 0 , 2A x x x B x Z x= − − = = ∈ ≤ A B∩ =
( )( )2a i i− − i a =
1
3
− 1
2
− 1−
m R∈ 2 0x x m+ − =
2 0x x m+ − =
2 0x x m+ − =
2 0x x m+ − =
2 0x x m+ − =
5
21 mx
x
+
5x 10−
1− 2−
( ) ( ) [ ]sin 0f x x θ π= + 在 ， θ
2
π π 3
2
π
2 3
3
3
π 6
3
π 2 3
3
π 2 6
3
π
A.18 种 B.20 种 C.22 种 D.24 种
8.在 中， ，若 ，
则实数
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9.已知抛物线 上一点 M 到其准线及对称轴的距离分别为 3 和 ，则 p
的值可以是
A.2 B.6 C.4 D.8
10.在正方体 中，P，Q 分别为棱 BC 和棱 的中点，则下列说法正确
的是
A. 平面 AQP B.平面 APQ 截正方体所得截面为等腰梯形
C. 平面 AQP D.异面直线 QP 与 所成的角为
11.居民消费价格指数（Consumer Price Index，简称 CPI），是度量居民生活消费品和服务价
格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况.
下图为国家统计局于 2020 年 4 月公布的 2019 年 3 月至 2020 年 3 月 CPI 数据同比和环比
涨跌幅折线图：
（注：同比= ，同比涨跌幅= ，环比=
，环比涨跌幅= ）
ABC∆ 0, 2 ,OA OB OC AE EB AB ACλ+ + = = = 9AB AC AO EC⋅ = ⋅
=λ
3
3
3
2
6
3
6
2
( )2 2 0y px p= > 2 2
1 1 1 1ABCD A B C D− 1CC
1 / /BC
1A D ⊥ 1 1AC 60
CPI
CPI
本月
去年同月 100%CPI CPI
CPI
− ×本月 去年同月
去年同月
CPI
CPI
本月
上月 100%CPI CPI
CPI
− ×本月 上月
上月
则下列说法正确的是
A.2019 年 12 月与 2018 年 12 月 CPI 相等
B.2020 年 3 月比 2019 年 3 月 CPI 上涨 4.3%
C.2019 年 7 月至 2019 年 11 月 CPI 持续增长
D.2020 年 1 月至 2020 年 3 月 CPI 持续下降
12.已知函数 是 R 上的奇函数，对于任意 ，都有
成立，当 时， ，给出下列结论，其中正确的是
A.
B.点 是函数 的图象的一个对称中心
C.函数 在 上单调递增
D.函数 在 上有 3 个零点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13.曲线 在点 处的切线方程是___________.
14.记 为数列 的前 项和，若 ，则 ___________.
15. 如图， 分别是双曲线 的
左、右顶点，以实轴为直径的半圆交其中一条渐近线于点
M，直线 交另一条渐近线于点 N，若 ，则
___________，若 为双曲线右焦点，则 的
周长为_________.（本题第一空 2 分，第二空 3 分）
( )y f x= x R∈ ( ) ( ) ( )4 2f x f x f+ = +
[ )0,2x∈ ( ) 2 1xf x = −
( )2 0f =
( )4,0 ( )y f x=
( )y f x= [ ]6, 2− −
( )y f x= [ ]6,6−
( ) 1 1lnf x x x
= + ( )( )1, 1f
nS { }na n 12
n
n
Sa = − 7S =
1 2,A A ( )2
2: 1 0yC x aa
− = >
2MA 1 / /MA NO
a = 2F 2MF O∆
16.某校为了解家长对学校食堂的满意情况，分别从高一、高二年级随机抽取了 20 位家长的
满意度评分，其频数分布表如下：
根据评分，将家长的满意度从低到高分为三个等级：
假设两个年级家长的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发
生的概率.现从高一、高二年级各随机抽取 1 名家长，记事件 A：“高一家长的满意度高于
高二家长的满意度等级”，则事件 A 发生的概率为__________.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）等差数列 中， 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，
且其中的任何两个数不在下表的同一列.
（1）请选择一个可能的 组合，并求数列 的通项公式；
（2）记（1）中您选择的 的前 项和为 ，判断是否存在正整数 k，使得
成等比数列，若有，请求出 k 的值；若没有，请说明理由.
18.（12 分）
如图，在直线 ， ，点 M 在线段 AB 上.
{ }( )na n N ∗∈ 1 2 3, ,a a a
{ }1 2 3, ,a a a { }na
{ }na n nS 1 2, ,k ka a S +
2ACB ACB
π∆ ∠ =中， , 23CAB AC
π∠ = =
（1）若 ，求 CM 的长；
（2）点 N 是线段 CB 上一点， ，求 BM+BN 的值.
19.（12 分）
如 图 所 示 ， 在 四 棱 锥 中 ， 底 面 ABCD 为 正 方 形 ，
为 PC 的中点，F 为棱 BC 上的一点。
（1）证明：面 面 ABCD；
（2）当 F 为 BC 中点时，求二面角 余弦值.
20.（12 分）
根据国家统计局数据，1978 年至 2018 年我国 GDP 总量从 0.37 万亿元跃升至 90 万亿元，实
际增长了 242 倍多，综合国力大幅提升.
将年份 1978，1988，1998，2008，2018 分别用 1，2，3，4，5 代替，并表示为 t；y 表示全
国 GDP 总量，表中 .
3sin 3CMA∠ =
17 2BMN ACBMN S S∆ ∆= =，且
P ABCD−
, 6, 8, 10,PA AB PA AB PD N⊥ = = =
PAF ⊥
A NF C− −
( ) 5
1
1ln 1,2,3,4,5 , 5i i i
i
z y i z z
=
= = = ∑
（1）根据数据及统计图表，判断 （其中 e=2.718…为自然对数的底数）
哪一个更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理
由），并求出 y 关于 t 的回归方程；
（2）使用参考数据，估计 2020 年的全国 GDP 总量.
线性回归方程 中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
.
参考数据：
21.（12 分）
已知椭圆 的短轴长为 ，左右焦点分别为 ，点 B 是椭
圆上位于第一象限的任一点，且当 时， .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若椭圆 C 上点 A 与点 B 关于原点 O 对称，过点 B 作 BD 垂直于 x 轴，垂足为 D，连
接 AD 并延长交 C 于另一点 M，交 y 轴于点 N.
（i）求 面积最大值；（ii）证明：直线 AB 与 BM 斜率之积为定值.
22.（12 分）
已知函数 .
（1）当 时，不等式 恒成立，求 的最小值；
（2）设数列 ，其前 n 项和为 ，证明： .
dty bt a y ce= + =与
y bx a= +
( )( )
( ) 1
2
1
,
n
i i
i
n
i
i
x x y y
b a y bx
x x
=
=
− −
= = −
−
∑
∑
( )2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
+ = > > 2 3 1 2,F F
2 1 2 0BF F F⋅ =
2
3
2BF =
ODN∆
( ) ( )1lnf x x x Rx
λ λ = + − ∈
1x > ( ) 0f x < λ ( )1 na n Nn ∗= ∈ nS 2 ln 24 n n n aS S− + >
数学试题参考答案及评分标准
一、单英选择题：1-8 CBAC DDBD
二、多项选择题：9.AC 10.ABD 11.BC 12.AB
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
13. ；14. ；15.3、 ；16.0.42.
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10 分）
解：（1）由题意可知：有两种组合满足条件：
① ，此时等差数列 ，……………………2 分
所以其通项公式为 . …………………………4 分
② ，此时等差数列 ， ，……………………2 分
所以其通项公式为 . ……………………………4 分
（2）若选择①， . ………………………………5 分
则 .……………………………………6 分
若 成等比数列，则 ，…………………………………………7 分
即 ，整理，得 ，
………………………………9 分
此方程无正整数解，故不存在正整数 k，使 成等比数列.…………………10 分
若选择②， ， ……………………………5 分
则 ， ……………………………6 分
若 成等比数列，则 ， ……………………………7 分
即 ，整理得 ，因为 k 为正整数，所以 k=6.
……………………………9 分
故存在正整数 ，使 成等比数列. …………………………10 分
18.（12 分）
解：（1）在 中，已知 ，由正弦定理，得
2 3 0x y+ − = 254− 3 7+
1 2 38, 12, 16a a a= = = { } 1 8, 4na a d= =，
4 4na n= +
1 2 32, 4, 6a a a= = = { }na 1 2, 2a d= =
2na n=
22 6nS n n= +
( ) ( )2 2
2 2 2 6 2 2 14 20kS k k k k+ = + + + = + +
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka a S +=
( ) ( )2 24 4 8 2 14 20k k k+ = + + 2 22 1 7 10 5 9k k k k k+ + = + + = −，即
1 2, ,k ka a S +
2
nS n n= +
( ) ( )2 2
2 2 2 5 6kS k k k k+ = + + + = + +
1 2, ,k ka a S +
2
1 2k ka a S +=
( ) ( )2 22 2 5 6k k k= + + 2 5 6 0k k− − =
6k = 1 2, ,k ka a S +
CAM∆ 3sin , 23 3CAM CMA AC
π∠ = ∠ = =，
，……………………………………………………………2 分
于是，解得 .…………………………………………4 分
（2）因为 ，所以 ，
解得 . ……………………………………6 分
在 中，由余弦定理得，
，
……………………………………9 分
即 ，
，………………………………………………11 分
故 . ……………………………………………………………12 分
19.（12 分）
证明：（1）因为底面 ABCD 为正方形，所以 AD=AB=8
又因为 ，满足 ，
所以
又 面 ABCD， 面 ABCD，
，
所以 面 ABCD. …………………………4 分
又因为 面 PAF，所以，面 面 ABCD.………………………………………5 分
（2）由（1）知 AB,AD,AP 两两垂直，以 A 为坐标原点，以 AB,AD,AP 分别为 轴建
系如图所示，
sin sin
CM AC
CAM CMA
=∠ ∠
sin 2 33 3sin 32 3
AC
CM CMA
π⋅ ⋅= = =∠ ⋅
1
2BMN ACBS S∆ ∆= 1 1 1sin 2 2 32 6 2 2BM BN
π⋅ ⋅ ⋅ = × × ×
4 3BM BN⋅ =
BMN∆
( )22 2 2 32 cos 2 16 2MN BM BN BM BN BM BN BM BN
π = + − ⋅ = + − ⋅ ⋅ +
( )2 2 37 2 4 3 1 2BM BN
= + − × × +
( ) ( )22 19 8 3 4 3BM BN+ = + = +
4 3BM BN+ = +
6 10PA PD= =， 2 2 2PA AD PD+ =
PA AD⊥
,PA AB AD⊥ ⊂ AB ⊂
AB AD A∩ =
PA ⊥
PA ⊂ PAF ⊥
, ,x y z
则 则 ，
所以 ，…………7 分
设面 ANF 法向量为 ，则由 ，
令 ；…………………………………9 分
同理可得，面 PBC 的法向量为 ，………………………………………10 分
所以 ，
所以二面角 余弦值为 .……………………………………………12 分
20.（12 分）
解：（1）根据数据及图表可以判断，
更适宜作为全国 GDP 总量 y 关于 t 的回归方程. …………………………2 分
对 两边取自然对数得 ，令 ，
得 . …………………………………………3 分
因为 ， ………………………………………5 分
所以 ，………………………………………7 分
所以 z 关于 t 的线性回归方程为 ，
所以 y 关于 t 的回归方程为 . ………………………8 分
（2）将 代入 ，其中 ，…………10 分
于是 2020 年的全国 GDP 总量约为： 万亿元.…………………12 分
21.（12 分）
解：（1）设 ，由 ，得 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0,0,0 , 0,0,6 , 8,0,0 , 8,8,0 , 0,8,0A P B C D ( ) ( )4,4,3 , 8,4,0N F
( ) ( ) ( ) ( )8,4,0 , 4,4,3 , 0,8,0 , 8,8, 6AF AN BC PC= = = = −
( )1 1 1 1, ,n x y z= 1 1 1
1 1 11
0 8 4 0
4 4 3 00
n AF x y
x y zn AN
⋅ = + = + + =⋅ =
得
1 1 1 1
3 3 3 31 , , ,14 2 4 2z x y n = = = − = −
得 ，即
( )2 3,0,4n =
1 2
1 2 2 2
2 2 21 2
3 3 0 1 4 5 614cos , 613 3 1 3 44 2
n nn n
n n
× + + ×⋅< >= = =
+ − + × +
A NF C− − 5 61
61
−
dty ce=
dty ce= ln lny c dt= + ln , ln ,z y a c b d= = =
z a bt= +
( )( )
( )
5
1
25
1
14.05 1.40510
i i z
i
i
i
t t z
b
t t
−
=
=
−
= = =
−
∑
∑
1.903 1.405 3 2.312a z bt= − = − × = −
1.405 2.312z t= −
( )1.405 2.312 2.312 1.405t ty e e e− −= =
5.2t = 1.405 2.312ty e −= 1.405 5.2 2.312 4.994× − =
4.994 5 148y e e= ≈ =
( )2 ,0F c 2 1 2 0BF F F⋅ =
2 1 2BF F F⊥
将 代入 ，得 ，………………………2 分
由 ，解得 ，………………………………………………………………3 分
所以椭圆 C 的标准方程为 . ……………………………………………4 分
（2）设 ，则
（i）易知 ON 为 的中位线，所以 ，
所以 ，………………………………………5 分
又 满足 ，所以
，得 ，……………………………………6 分
故 ，当且仅当 ，即 时取等号，
所以 面积最大值为 . …………………………………………………………7 分
（ii）记直线 AB 斜率为 ，则直线 AD 斜率为 ，所以直线 AD
方程为 . ………………………………………8 分
由 ，得 ，……………………9 分
由韦达定理得 ，所以 ，代入直线 AD
方程，得 ，…………………………………………………………………11 分
x c=
2 2
2 2 1x y
a b
+ =
2 2
2
3
2
b by BFa a
= = =，即
3b = 2a =
2 2
14 3
x y+ =
( ) ( )1 1 2 2, , ,B x y M x y ( ) ( )1 1 1, ,0A x y D x− − ，
ABD∆ 10, 2
yN
−
1
1 1 1 1 1
1 1 1
2 2 4 4ODN
yS x x y x y∆ = ⋅ − = ⋅ =
( )1 1,B x y
2 2
14 3
x y+ =
2 2
1 1 1 1 1 11 24 3 2 3 3
x y x y x y+ = ≥ ⋅ ⋅ = 1 1 3x y ≤
1 1
1 3
4 4ODNS x y∆ = ≤ 1 1
2 3
x y= 1 1
62 2x y= =，
ODN∆ 3
4
( )1
1
0yk kx
= > 1 1
1 12 2 2
y y k
x x
= =
( )12
ky x x= −
( )1
2 2
2
14 3
ky x x
x y
= −
+ =
( )2 2 2 2 2
1 13 2 12 0k x k x x k x+ − + − =
( ) 2
1
1 2 2
2
3
k xx x k
− + = +
( )22
11
2 12 2
3 32
3 3
k xk xx xk k
+
= + =+ +
3
1
2 23
k xy k
= +
于是，直线 BM 斜率 ，
所以直线 AB 与 BM 斜率之积为定值 . ………………………………………12 分
22.（12 分）
解：（1）由 ，得 .………2 分
当 时，方程 的 ，因式 在区间
上恒为负数.所以 时， ，函数 在区间 上单调递减.又 ，
所以函数 在区间 上恒成立； ……………………3 分
当 时 ， 方 程 有 两 个 不 等 实 根 ， 且 满 足
，
所以函数 的导函数 在区间 上大于零，函数 在区间
上单增，又 ，所以函数 在区间 上恒大
于零，不满足题意； ………………………………………………………………4 分
当 时，在区间 ，函数 在区间
上恒为正数，所以在区间 上 恒为正数，不满足题意；…………5 分
综上可知：若 时，不等式 恒成立， 的最小值为 . …………6 分
（2）由第（1）知：若 时， . …………7 分
若 ， 则 ， 即
( )
3
1
12
2 1
2
2 1 1
12
33
23 3
3
BM
k x kxy y kk x x kk x
xk
−− += = = −− +
−+
3
2
−
( ) ( )1lnf x x x Rx
λ λ = + − ∈
( ) 2
2
x xf x x
λ λ− + −′ =
1
2
λ ≥ 2 0x xλ λ− + − = 21 4 0λ∆ = − ≤ 2x xλ λ− + − ( )1,+∞
1x > ( ) 0f x′ < ( )f x ( )1,+∞ ( )1 0f = ( ) 0f x < ( )1,+∞ 10 2 λ< < 2 0x xλ λ− + − = 2 2 1 2 1 1 4 1 1 412 2x x λ λ λ λ − − + −= < < = ( )f x ( )f x′ 21 1 41, 2 λ λ + − ( )f x 21 1 41, 2 λ λ + − ( )1 0f = ( )f x 21 1 41, 2 λ λ + − 0λ ≤ ( ) ( ) 11, ln lnf x x x xx λ +∞ = + − ≥ 上 lny x= ( )1,+∞ ( )1,+∞ ( )f x 1x > ( ) 0f x < λ 1 2 1x > ( )( )1 11 1ln 2 2
x xx xx x
+ − < − − = n N ∗∈ ( ) 1 11 1 1 1 1 2 1ln 1 1 2 12 1 n n n n n n n + + ⋅ + − + + < = + +
成立. …………………………………………8 分
将 换成 ，得 成立，即
，
以此类推，得 ，……………………
上述各式相加，得
， ……………………10 分
又 ， …………………………11 分
所以 . ……………………………12 分
( ) ( )
1 1ln 1 ln 2 2 1n n n n
+ − < + + n 1n + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1ln 1 1 ln 1 2 1 2 1 1 n n n n + + − + < + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1ln 2 ln 1 2 1 2 2n n n n + − + < ++ + ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1ln 3 ln 2 2 2 2 3n n n n + − + < ++ + ( ) ( ) 1 1ln 2 ln 2 1 2 2 1 4n n n n − − < +− 1 1 1 1 1ln 2 ln ln 2 2 1 2 2 1 4n n n n n n n − = < + + + ⋅⋅⋅ + ++ + − 2 1 1 1 1 1 2 2 1 2n nS S n n n n − = + + ⋅⋅⋅ + ++ + − 2 ln 24 n n n aS S− + >
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