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高 三 数 学（理）
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题只有一个正确选项。
1.已知集合 1{ | ( ) 1}2
xAx， 2{ | 2 8 0}B x x x ，则 AB （ ）
A．{ | 2 0}xx B．{ | 2 4}xx C．{ | 0 4}xx D．{ | 2}xx
2.若复数 1z ， 2z 在复平面内对应的点关于 y 轴对称，且 1 2zi，则复数 1
2
z
z 在复平面
内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.下列关于命题的说法错误的是（ ）
A. 命题“若 2 3 2 0xx ，则 2x ”的逆否命题为“若 2x ，则 2 3 2 0xx ”；
B. “ 2a ”是“函数 ( ) logaf x x 在区间(0, ) 上为增函数”的充分不必要条件
C. 若命题 : ,2 1000np n N ，则 : ,2 1000np n N ；
D. 命题“ ,0 ,2 3xxx ”是假命题.
4. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前
300 年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算
法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示 a 除以b 的余数），
若输入的 a ,b 分别为 675,125，则输出的 a =（ ）
A. 0 B. 25 C. 50 D. 75
5. 已知公差不为 0 的等差数列{}na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2 5 9,,a a a 成等比数列，
则 5
7
7
5
S
S （ ）
A. 5
7
B. 7
9
C. 10
11
D. 11
23
6.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜
的概率均为 2
3
，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三
局的概率为（ ）
A. 1
3
B. 2
5
C. 2
3
D. 4
5
7. 已知函数 ( ) sin ( 0)f x x ，满足 3( ) ( )44ff ，且在 3[ , ]44
内恰有
一个最大值点和一个最小值点，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8.某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，
该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为 43的正方体的六个面所截后
剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为 4 ，
则该球的半径是（ ）
A. 2 B. 4 C. 26 D. 46
9．已知 AB 是圆 2 2: 1 1C x y 的直径，点 P 为直线 10xy 上任意一点，则
PA PB
的最小值是（ ）
A．1 B．0 C． 2 D． 21
10.已知直线 0y kx k与双曲线
22
221 0, 0xy ab
ab
交于 A ，B 两点，以 AB 为直
径的圆恰好经过双曲线的右焦点 F ，若 ABF△ 的面积为 24a ，则双曲线的离心率为
（ ）
A． 2 B． 3 C．2 D． 5
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密
封
线
内
不
得
答
题
11. 数列 na 满足 111, ( 1) ( 1)nna na n a n n ，且 nnba cos 2
3
n ，记 nS 为数
列 nb 的前n 项和，则 24S ( )
A. 294 B. 174 C. 470 D. 304
12.已知以 4 为周期的函数 ()fx满足，当 13x 时
21 , ( 1,1]()
1 | 2 |, (1,3]
m x xfx
xx
，
其中 0m ，若方程3 ( ) 0f x x恰有 5 个根，则实数 m 的取值范围是（ ）
A. 4 ,73
B. 48,33
C. 15 ,73
D. 15 8,33
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知 ()fx为奇函数，当 0x 时， ( ) ln 3f x x x，则 ( 1)f 的值为
14.设实数 ,xy满足
20
2 5 0
20
xy
xy
y
，则 yu x 的取值范围是_________．
15.二项式 1 ( 0, 0)
n
ax a bbx
的展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，且展开
式中的第 3 项的系数是第 4 项的系数的 3 倍，则 ab 的值为________.
16.如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 F 是线段 1BC
上的动点，则下列说法正确的是 （填序号）
①无论点 F 在 1BC 上怎么移动，都有 11A F B D
②无论点 F 在 1BC 上怎么移动，异面直线 1AF与 CD 所成
角都不可能是 30º
③当点 F 移动至 1BC 中点时，直线 1AF与平面 1BDC 所成角最大.
④当点 F 移动至 1BC 中点时，才有 1AF与 1BD 相交于一点，记为点 E，且 1 2AE
EF
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17~21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17.（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinA+ 3 cosA=0, 27a , 2b .
（1）求 c；
（2）设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积．
18.（12 分）
如图，四边形 ABCD 为平行四边形，点 E 在 AB 上,AE=2EB=2,且 DE⊥AB.以 DE 为折
痕把 ΔADE 折起，使点 A 到达点 F 的位置，且∠FEB=60º
（1）求证：平面 BFC⊥平面 BCDE；
（2）若直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 15
5
，求二面角 E-DF-C 的正弦值．
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19.（12 分）
已知圆 C： 221( 1) 4xy ，一动圆与直线 1
2x 相切且与圆 C 外切．
（1）求动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程；
（2）若经过定点 (6,0)Q 的直线 l 与曲线 T 相交于 A、B 两点，M 是线段 AB 的中点，
过 M 作 x 轴的平行线与曲线 T 相交于点 N，试问是否存在直线 l，使得 NA⊥NB，若存
在，求出直线 l 的方程，若不存在，说明理由．
20.（12 分）
已知函数 () mxf x xe .
（1）若函数 ()fx的图象在点 ( 1, ( 1))f 处的切线平行于 x 轴，求函数 ()fx 在
[ 2,2] 上的最小值；
（2）若关于 x 的方程 1()fx x 在 (0, ) 上有两个解，求实数 m 的取值范围．
21. （12 分）
冠状病毒是一个大型病毒家族，可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重
急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（nCoV）
是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸
道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中感染可导致肺炎、严重急性
呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．
某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有 *()n n N 份血液样本，
有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验 n 次．
方式二：混合检验，将其中 *( 2)k k N k且 份血液样本分别取样混合在一起检
验，若不是阳性，检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪
几份为阳性，就要对这 k 份再逐份检验，此时这 k 份血液的检验次数总共为 1k .
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，
且每份样本是阳性结果的概率为 (0 1)pp.现取其中 *( 2)k k N k且 份血液样
本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为 1 ，采用混合检验方式，样本需
要检验的总次数为 2
（1）若 12( ) ( )EE ，试求 p 关于 k 的函数关系式 ()p f k ；
（2）若 p 与干扰素计量 nx 相关，其中 12, , ( 2)nx x x n ， 是不同的正实数，满足
1 1x 且 *( 2)n N n 都有
1 22
2 13
22
1 2 2 3 1 2 1
1 1 1()n
n
nn
xxxex x x x x x x x
成
立．
（i）求证：数列{}nx 为等比数列；
（ii）当 3
4
11p
x
时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值
比逐份检验的总次数的期望值更少，求 k 的最大值．
（ln 4 1.3863,ln5 1.6094）
（二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做第
一题记分.
22.[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
1 cos
1 cos (2sin
1 cos
x
y
为参数） .以 O 为极点，
x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 00( ( ), )= R 0, ，
将曲线 C1 向左平移 2 个单位长度得到曲线 C．
（1）求曲线 C 的普通方程和极坐标方程；
（2）设直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，求 11
| | | |OA OB 的取值范围．
23.（10 分）[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）
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密
封
线
内
不
得
答
题
已知函数 ( ) | 2 7 | | 2 5|f x x x ．
（1）解不等式 ( ) 6fx ；
（2）设函数 ()fx的最小值为 m，已知 a，b 为正实数，且
221max{ , }abk a b a b
，
证明： 2 1km
答案
选择题：CBCBC BDBAD DC
填空题：13. 3 14． _____ 1[ 2]3
， ___．15. _____8___.16. ①②③④
解答题：
17. 【答案】解：(1) ∵ 푠푖푛퐴 + 3푐표푠퐴 = 0，∴ 푡푎푛퐴 = − 3，
∵ 0 < 퐴 < 휋，∴ 퐴 = 2휋 3 ．由余弦定理可得푎2 = 푏2 + 푐2 − 2푏푐푐표푠퐴，即28 = 4 + 푐2 − 2 × 2푐 × (− 1 2)， 即푐2 + 2푐 − 24 = 0，解得푐 = −6(舍去)或푐 = 4，故푐 = 4． (2) ∵ 푐2 = 푏2 + 푎2 − 2푎푏푐표푠퐶， ∴ 16 = 28 + 4 − 2 × 2 7 × 2 × 푐표푠퐶，∴ 푐표푠퐶 = 2 7，∴ 퐶퐷 = 퐴퐶 푐표푠퐶 = 2 2 7 = 7， ∴ 퐶퐷 = 1 2 퐵퐶，∴ 푆△퐴퐵퐷 = 1 2 푆△퐴퐵퐶， 又푆△퐴퐵퐶 = 1 2 퐴퐵 ⋅ 퐴퐶 ⋅ sin∠퐵퐴퐶 = 1 2 × 4 × 2 × 3 2 = 2 3， ∴ 푆△퐴퐵퐷 = 3． 18. 【答案】解：(Ⅰ)证明：∵ 퐷퐸 ⊥ 퐴퐵，∴ 퐷퐸 ⊥ 퐸퐵，퐷퐸 ⊥ 퐸퐹， ∴ 퐷퐸 ⊥平面 BEF，∴ 퐷퐸 ⊥ 퐵퐹， ∵ 퐴퐸 = 2퐸퐵 = 2，∴ 퐸퐹 = 2，퐸퐵 = 1， ∵ ∠퐹퐸퐵 = 60°，∴由余弦定理得 퐵퐹 = 퐸퐹2 + 퐸퐵2 − 2퐸퐹 × 퐸퐵 × cos∠퐹퐸퐵 = 3， ∴ 퐸퐹2 = 퐸퐵2 + 퐵퐹2，∴ 퐹퐵 ⊥ 퐸퐵， 由①②得퐵퐹 ⊥平面 BCDE， ∴平面퐵퐹퐶 ⊥平面 BCDE． (Ⅱ)解：以 B 为原点，BA 为 x 轴，在平面 ABCD 中过点 B 作 AB 的垂线为 y 轴，BF 为 z 轴，建立空间直角坐 标系， 设퐷퐸 = 푎，则퐷(1,a，0)，퐹(0,0， 3)，퐷퐹 = (−1,−푎, 3)， ∵直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正切值为 15 5 ， ∴直线 DF 与平面 BCDE 所成角的正弦值为 6 4 ， 平面 BCDE 的法向量푛 = (0,0，1)，∴ |cos < 푛 , 퐷퐹 > | = |푛 ⋅퐷퐹 |
|푛 |⋅|퐷퐹 | = 3
4+푎2 = 6
4
，解得푎 = 2，
∴ 퐷(1,2，0)，퐶(−2,2，0)，∴ 퐸퐷 = (0,2，0)，퐷퐹 = (−1,−2, 3)，
设平面 EDF 的法向量푚 = (푥,y，푧)，
则 퐸퐷 ⋅ 푚 = 2푦 = 0
퐷퐹 ⋅ 푚 = −푥 − 2푦 + 3푧 = 0
，取푧 = 1，得푚 = ( 3, 0,1)，
同理得平面 DFC 的一个法向量푝 = (0, 3, 2)，
∴ cos < 푚 , 푝 >= 푚 ⋅푝
|푚 |⋅|푝 | = 2
2 7 = 7
7
，∴二面角퐸 − 퐷퐹 − 퐶的正弦值为sin < 푚 , 푝 >= 1 − 1
7 = 42
7
．
19. 【答案】解：(Ⅰ)设푃(푥, 푦)，则由题意，|푃퐶| − (푥 + 1
2) = 1
2，∴ (푥 − 1)2 + 푦2 = 푥 + 1，
化简可得动圆圆心 P 的轨迹 T 的方程为푦2 = 4푥；
(Ⅱ)设퐴(푥1,푦1)，퐵(푥2,푦2).
由题意，设直线 l 的方程为푥 = 푚푦 + 6，联立抛物线方程可得푦2 − 4푚푦 − 24 = 0，
∴ 푦1 + 푦2 = 4푚，푦1푦2 = −24①，
∴ 푥1 + 푥2 = 4푚2 + 12②，푥1푥2 = 36③
假设存在푁(푥0, 푦0)，使得푁퐴 ⊥ 푁퐵，则푦0 = 푦1+푦2
2 = 2푚④，
∴ 푥0 = 푚2⑤，
∵ 푁퐴 ⋅ 푁퐵 = 0，
∴代入化简可得(푚2 + 6)(3푚2 − 2) = 0，∴ 푚 = ± 6
3
，
∴存在直线 l：푥 = ± 6
3 푦 + 6，使得푁퐴 ⊥ 푁퐵．
20. 【答案】解：(1)푓(푥) = 푥푒푚푥 ，푓′(푥) = 푒푚푥 + 푚푥푒푚푥 ，
푓′ −1 = 푒−푚 − 푚푒−푚 = 0，解得푚 = 1．
∴ 푓(푥) = 푥푒푥，푓′(푥) = (1 + 푥)푒푥，令푓′(푥) = 0，解得푥 = −1．
令푓′(푥) > 0，解得푥 > −1，此时函数푓(푥)单调递增；令푓′(푥) < 0，解得푥 < −1，此时函数푓(푥)单调递减． ∴ 푥 = −1时，函数푓(푥)取得极小值即最小值，푓(−1) = −푒−1 = − 1 푒． （2） 11( ) (0, )mxf x xexx 在 有两解 即：ln lnx mx x (0, )在 有两解 ln 2 mx x 设 ln() xFx x 2 1 ln'( ) xFx x 可得 ()Fx在（0,e）上为增 函数，在（e,+）上为减函数 0, ( ) ; , ( ) 0x F x x F x max 1( ) ( )F x F e e 所以 10,2 m e ，解得 2( ,0)m e 21.【答案】解：(1)由已知可得퐸(휉1) = 푘，휉2的所有取值为 1，푘 + 1，푃(휉2 = 1) = (1 − 푝)푘，푃(휉2 = 푘 + 1) = 1 − (1 − 푝)푘， 퐸(휉2) = (1 − 푝)푘 + (푘 + 1)[1 − (1 − 푝)푘] = 푘 + 1 − 푘(1 − 푝)푘， 由퐸(휉1) = 퐸(휉2)，可得푘 = 푘 + 1 − 푘(1 − 푝)푘，即(1 − 푝)푘 = 1 푘，即1 − 푝 = (1 푘) 1 푘 ，即푝 = 1 − (1 푘) 1 푘， 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6 4 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
可得푓(푘) = 1 − (1
푘)
1
푘，푘 ∈ 푁 ∗，푘 ≥ 2；
(2)(푖)证明：当푛 = 2时， 푥22
푥1푥2
= 푒
1
3 ⋅ 푥22−푥12
푥2
2−푥1
2，即푥2
푥1
= 푒
1
3，由푥1 = 1，得푥2 = 푒
1
3，
因为当 n≥2时，푥푛2( 1
푥1푥2
+ 1
푥2푥3
+ ⋯ + 1
푥푛−1푥푛
) = 푒
1
3 ⋅ 푥푛2−1
푒
2
3−1
，
所以 1
푥1푥2
+ 1
푥2푥3
+ ⋯ + 1
푥푛−1푥푛
= 푒
1
3
푒
2
3−1
（1 − 1
푥푛2 ），
1
푥1푥2
+ 1
푥2푥3
+ ⋯ + 1
푥푛−1푥푛
+ 1
푥푛 푥푛+1
= 푒
1
3
푒
2
3 − 1
（1 − 1
푥푛+1
2 ⋅ ）
两式相减得
1
푥푛 푥푛+1
= 푒
1
3
푒
2
3−1
1
푥푛2 − 1
푥푛+1
2 ⋅
푥푛 푥푛+1=
푒
1
3
푒
2
3 − 1
푥푛+1
2 − 푥푛2
则푥푛+1
푥푛
− 푥푛
푥푛+1
= 푒
1
3 − 푒
1
−3，可得푥푛+1
푥푛
= 푒
1
3，因为푥2
푥1
= 푒
1
3，所以数列{푥푛 }为等比数列，且푥푛 = 푒
푛−1
3 ；
(푖푖)由(푖)可知푝 = 1 − 1
푥43 = 1 − 1
푒3 ，퐸(휉1) = 퐸(휉2)，可得푘 > 푘 + 1 − 푘(1 − 푝)푘，即1
푘 < (1 − 푝)푘 = ( 1 푒3 )푘， 所以푙푛푘 > 1
3 푘，设 푓(푥) = 푙푛푥 − 1
3 푥，푥 > 0，푓′(푥) = 3−푥
3푥 ，当 푥 ≥ 3时，푓′(푥) < 0，푓(푥)递减，又푙푛4 ≈ 1.3863， 4 3 ≈ 1.3333，则푙푛4 > 4
3；
푙푛5 ≈ 1.6094，5
3 ≈ 1.6667，则푙푛5 < 5 3，可得 k 的最大值为 4． 【解析】(1)由随机变量的概率公式和数学期望，计算可得所求函数푓(푘)的解析式； (2)(푖)运用数学归纳法证明，注意由푛 = 푘成立，证明푛 = 푘 + 1也成立，运用变形和等比数列的求和公式； (푖푖)运用(푖)的结论和构造函数，求得导数和单调性，计算可得所求最大值． 本题考查随机变量的数学期望和等比数列的证明，注意运用数学归纳法和等比数列的通项公式和求和公式， 考查函数的导数的运用，考查化简运算能力，属于难题． 22.【答案】解：(Ⅰ) ∵ 푥 = 1+푐표푠훼 1−cos 훼 = 2푐표푠2훼 2 2푠푖푛2훼 2 = cos 2훼 2 sin 2훼 2 ，푦 = 2푠푖푛훼 1−cos 훼 = 4푠푖푛 훼 2cos 훼 2 2푠푖푛2훼 2 = 2푐표푠 훼 2 sin 훼 2 ， ∴ 푦2 = 4푐표푠2훼 2 sin 2훼 2 = 4푥，即曲线퐶1的普通方程为푦2 = 4푥． 依题意得曲线 C 的普通方程为푦2 = 4(푥 + 2)． 令푥 = 휌푐표푠휃，푦 = 휌푠푖푛휃得曲线 C 的极坐标方程为휌2sin2휃 − 4휌푐표푠휃 − 8 = 0． (Ⅱ)法一：将휃 = 휃0代入曲线 C 的极坐标方程得휌2sin2휃0 − 4휌푐표푠휃0 − 8 = 0，则휌1 + 휌2 = 4푐표푠휃0 sin 2휃0 ， 휌1휌2 = − 8 sin 2휃0 ，
∵ 휌1휌2 < 0，∴ 휌1，휌2异号． ∴ 1 |푂퐴| + 1 |푂퐵| = 1 |휌1| + 1 |휌2| = |휌1 − 휌2| |휌1휌2| = (휌1 + 휌2)2 − 4휌1휌2 |휌1휌2| = (4푐표푠휃0 sin 2휃0 )2 + 32 sin 2휃0 8 sin 2휃0 = 1 2 1 + sin2휃0 ∵ 휃0 ∈ (0, 휋)，∴ 푠푖푛휃0 ∈ (0,1]，∴ 1 |푂퐴| + 1 |푂퐵| ∈ (1 2 , 2 2 ]． 法二：设直线 l 的参数方程为 푥 = 푡푐표푠휙 푦 = 푡푠푖푛휙 (푡为参数)，代入曲线 C 的普通方程得푡2sin2휑 − 4푡푐표푠휑 − 8 = 0， 则푡1 + 푡2 = 4푐표푠휑 sin 2휙 ，푡1푡2 = − 8 sin 2휙，∵ 푡1푡2 < 0，∴ 푡1，푡2异号． ∴ 1 |푂퐴| + 1 |푂퐵| = 1 |푡1| + 1 |푡2| = |푡1−푡2| |푡1푡2| = (푡1+푡2)2−4푡1푡2 |푡1푡2| = (4푐표푠휑 sin 2휙 )2+ 32 sin 2휙 8 sin 2휙 = 1 2 1 + sin2휑． ∵ 휑 ∈ (0, 휋)，∴ 푠푖푛휑 ∈ (0,1]，∴ 1 |푂퐴| + 1 |푂퐵| ∈ (1 2 , 2 2 ]． 23.【答案】解：(Ⅰ)由푓(푥) ≥ 6，得不等式|2푥 − 7| + |2푥 − 5| ≥ 6， 当푥 < 5 2时，不等式可化为−(2푥 − 7) − (2푥 − 5) ≥ 6，解得푥 ≤ 3 2； 当5 2 ≤ 푥 ≤ 7 2时，不等式可化为−(2푥 − 7) + (2푥 − 5) ≥ 6，即2 ≥ 6，无解； 当푥 > 7
2时，不等式可化为(2푥 − 7) + (2푥 − 5) ≥ 6，解得푥 ≥ 9
2．
综上，不等式푓(푥) ≥ 6的解集是(−∞, 3
2] ∪ [9
2 , +∞)．
(Ⅱ) ∵ 푓(푥) = |2푥 − 7| + |2푥 − 5| ≥ |2푥 − 7 − (2푥 − 5)| = 2，
当且仅当(2푥 − 7)(2푥 − 5) ≤ 0时取等号，∴ 푚 = 2．
∵ 푎2+푏2
(푎+푏)2 ≥ 1
2，∴ 1
푎+푏 ⋅ 푎2+푏2
푎+푏 ≥ 1
2
．
∵ 푘 = 푚푎푥{ 1
푎+푏 , 푎2+푏2
푎+푏 } > 0，
∴ 푘2 ≥ 1
푎+푏 ⋅ 푎2+푏2
푎+푏 ≥ 1
2
，
∴ 2푘2 ≥ 1，即푘2푚 ≥ 1．
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