数学（理）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡
上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1．答题前，考生在答题卡上务必用直径 0．5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考
证号填写清楚，并帖好条形码。请认真核准条形码的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1．已知集合 , , 则 （ ）
A. B. C. D.
2．若 （ 为虚数单位， ），则 等于（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
（ ）
4.某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表
广告费用 x（百元） 1 2 3 4
销售额 y（万元） 0.1 1.8 m 4
根据上表可得回归方程 ， 则 m=
A.2.9 B.3.0 C.3.1 D.2.8
5．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当 AQI 指数值不大于
100 时称空气质量为“优良”．如图是某地 4 月 1 日到 12 日 AQI 指数值的统计数据，图中
点 A 表示 4 月 1 日的 AQI 指数值为 201，则下列叙述不正确的是()
{ lg(3 2 )}A x y x= = − 2{ 4}B x x= ≤ A B =
3{ 2 }2x x− ≤ < { 2}0, φ为参数)，以
坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
60 40 100
90%
6 70
80 70 3 3
3 x 80 4
2 3 y x y< 2( )P K k> 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
−= + + + + n a b c d= + + +
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
+ = > > (2,0)A
1F 2F A 1
2
y P
B B x 1F
C
P 1
2
,M N
| | | |PM PN> :PAM PBNS S λ∆ ∆ = λ
11 1
0
2 − = < { 2 2}B x x= − ≤ ≤ { 2}A B x x= ≤ i i i i (1 2i) = i - 2t1 2i a t a t t + = ⇒ + = ⋅ ++ 1 22 t aa t = ⇒ = − = − 1t a+ = − 1.3 ,25.2448.11.0,25.2,5.2 =∴ ×=+++∴== m myx 代入回归直线方程得
6 ． B 【 解 析 】 ，
．故答案选 B．
7．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥 O﹣ABCD，正方体
的棱长为 2，A，D 为棱的中点
根据几何体可以判断：球心应该在过 A，D 的平行于底面的中截面上，
设球心到截面 BCO 的距离为 x，则到 AD 的距离为：2﹣x，
∴R2=x2+（ ）2，R2=12+（2﹣x）2，
解得出：x= ，R= ，
该多面体外接球的表面积为：4πR2= π，
故选：D．
8.【解析】圆 D 与不等式组{－x＋y－1 ≥ 0，
3x－y－1 ≥ 0，
x＋y－7 ≤ 0
表示的平面区域有交点，作出图象后易求得 a
的取值范围是[2
5，4 ].
9 ． B 【 解 析 】 由 题 意 可 得 直 线 与 抛 物 线 联 解 得 ：
，
所以点 ， ，则 ．在 中，
边上的高 ，则 ，故答案选 B．
方法二:不防设交点 在 轴上方,由抛物线焦点弦性质得 ,
且 , ， 故 ，
7 8 1 1 1 62 2( 6 ) ( 7 ) 5a a a d a d a d a− = + − + = + =
1 11
11 611 11 552
a aS a
+= × = =
: 3( 1)PQ y x= − 2 4y x=
23 10 3 0x x− + =
(3,2 3)P 1 2 3( , )3 3Q − 2 3 8 32 3 3 3MN = + = MNF∆ MN
2h = 1 8 3 8 322 3 3MNFS∆ = × × =
P x | | | |PF PM= | | | |QF QN=
1 1 2 1| | | |PF QF p
+ = = | | | | | | | | 1
| | | | | | | | 2
PM QN PF QF
PM QN PF QF
− −= =+ + | | 4PF =
，
所以 ，故答案选 B．
10．A【解析】因为函数 可化简为 可知函数为奇函数关
于原点对称，可排除答案 C；同时有
，则当 ,可知函数在 处附近单
调递增，排除答案 B 和 D，故答案选 A．
11．D【解析】要使符合题意，则圆上所有点在直线
之间，
因为圆心到直线 的距离 且 ，则所有圆心到
直线 的距离 ，且 ，解得 ，故答案选 D．
12．答案 C
【 解 析 】 依 题 意 ， ， 故 ， 即 ， 令
， 故 ， 故 当 时 ， ， 当
时， ，当 时， ，作出函数 的图象如下所
示，可知三个正整数解为 1,2,3；令 ，则 ，
，解得 ，故选 C.
4| | 3QF =
1 1 4 3 8 3| | (4 ) 22 2 3 2 3MNFS MN p∆ = × × = × + × × =
2
2sin( ) 11
xy f x
x
= =
+
2
2
2 sin( ) 1
x xf x x
= +
4 2
2 2
4 sin 2 cos 2 cos' '( ) ( 1)
x x x x x xy f x x
+ += = +
3
2 2
2 (2sin cos cos )
( 1)
x x x x x x
x
+ += + (0, )2x
π∈ '( ) 0f x >
2x
π=
1 2:3 4 0, :3 4 9 0l x y a l x y− + = − − =
2l 2 2
| 3 4 9 | 2 1
3 ( 4)
d
− −= = >
+ − 3 1 4 1 9 0× − × − < 1l 1 2 2 | 3 4 | 1 3 ( 4) ad − += ≥ + − 3 1 4 1 0a× − × + ≥ 6a ≥ 2 e ex xx mx m− > ( )2 1 exx m x> + ( )2
1ex
x m x> +
( ) 2
ex
xf x = ( ) ( )2 22' e ex x
x xx xf x
−−= = ( ),0x∈ −∞ ( )' 0f x < ( )0,2x∈ ( )' 0f x > ( )2,x∈ +∞ ( )' 0f x < ( )f x ( ) 2 e ex xg x x mx m= − − ( ) 3 33 9 3 e e 0g m m= − − >
( ) 4 44 16 4 e e 0g m m= − − ≤
4 3
16 9
5e 4em≤ = =
⋅
2 5
5
2 2
2 ( ) 100 (20 20 40 20)
( )( )( )( ) 60 40 60 40
n ad bcK a b c d a c b d
− × × − ×= =+ + + + × × ×
400 400 100 2.778 2.7065760000
× ×= ≈ >
x y< 0, 1x y= = 0, 2x y= = 0, 3x y= = 1, 2x y= = 1, 3x y= = 2, 3x y= = 0 3 1 2 3 3 4 2 3 3 6 6 4( 0, 1) 400 C C C CP x y C C = = = × = 0 3 2 1 3 3 4 2 3 3 6 6 12( 0, 2) 400 C C C CP x y C C = = = × =
，
，
所以： ．………………（12 分）
20．【解析】（Ⅰ）因为 轴，得到点 ，
所以 ，所以椭圆 的方程是 ．………………
（4 分）
（Ⅱ）因为 ，
所 以 ． 由 （ Ⅰ ） 可 知 ， 设 方 程 ，
，
联立方程 得： ．即得 （*）
又 ，有 ，
将 代入（*）可得： ．
因为 ，有 ，
则 且 ．
综上所述，实数 的取值范围为 ．
0 3 3 0
3 3 4 2
3 3
6 6
4( 0, 3) 400
C C C CP x y C C
= = = × =
1 2 2 1
3 3 4 2
3 3
6 6
108( 1, 2) 400
C C C CP x y C C
= = = × =
1 2 3 0
3 3 4 2
3 3
6 6
36( 1, 3) 400
C C C CP x y C C
= = = × =
2 1 3 0
3 3 4 2
3 3
6 6
36( 2, 3) 400
C C C CP x y C C
= = = × =
4 12 4 108 36 36 200 1( ) 400 400 2P x y
+ + + + +< = = = 1BF x⊥ 2 ( , )bB c a − − 2 2 2 2 2 2 1 3( ) 2 1 a a b ba a c c a b c = = = ⇒ = + = = + C 2 2 14 3 x y+ = 1 sin 22 ( 2)1 1 2sin2 PAM PBN PA PM APMS PM PM S PN PNPB PN BPN λλ λ∆ ∆ ⋅ ⋅ ∠ ⋅= = = ⇒ = >⋅⋅ ⋅ ∠
2PM PN
λ= − (0, 1)P − MN : 1y kx= −
1 1 2 2( , ), ( , )M x y N x y
2 2
1
14 3
y kx
x y
= − + =
2 2(4 3) 8 8 0k x kx+ − − =
1 2 2
1 2 2
8
4 3
8
4 3
kx x k
x x k
+ = + − ⋅ = +
1 1 2 2( , 1), ( , 1)PM x y PN x y= + = +
1 22x x
λ= −
1 22x x
λ= − 2 2
2
(2 ) 16
4 3
k
k
λ
λ
− = +
1
2k >
2
2
2
16 16 (1,4)34 3 4
k
k
k
= ∈+ +
2(2 )1 4
λ
λ
−< < 2λ > 4 4 2 3λ⇒ < < + λ (4,4 2 3)+
………………（12 分）
21、【答案】（1）解： ，x＞﹣1， 令 g（x）
=2ax2+2ax+1，△=4a2﹣8a=4a（a﹣2），
若△＜0，即 0＜a＜2，则 g（x）＞0，
当 x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
若△=0，即 a=2，则 g（x）≥0，仅当 时，等号成立，
当 x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增．
若 △ ＞ 0 ， 即 a ＞ 2 ， 则 g （ x ） 有 两 个 零 点 ，
，
由 g（﹣1）=g（0）=1＞0， 得 ，
当 x∈（﹣1，x1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当 x∈（x1 ， x2）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当 x∈（x2 ， +∞）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
综上所述，
当 0＜a≤2 时，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
当 a＞2 时，f（x）在 和 上单调递增，
在 上单调递减
（2）解：由（1）及 f（0）=0 可知：仅当极大值等于零，即 f（x1）=0 时，符合要求． 此
时，x1 就是函数 f（x）在区间（﹣1，0）的唯一零点 x0 ．
所以 ，从而有 ，
又因为 ，所以 ，
令 x0+1=t，则 ，
设 ，则 ，
再由（1）知： ，h'（t）＜0，h（t）单调递减，
又因为 ， ，
所以 e﹣2＜t＜e﹣1 ， 即
22．【解析】(Ⅰ)由题意可知直线 l 的直角坐标方程为 y＝ 3x＋2,
曲线 C 是圆心为( 3，1)，半径为 r 的圆，直线 l 与曲线 C 相切，可得：
r＝| 3· 3－1＋2|
2
＝2；可知曲线 C 的方程为(x－ 3) 2
＋(y－1 )
2
＝4,
所 以 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ρ 2 － 2 3ρ cos θ － 2 ρ sin θ ＝ 0 ， 即 ρ ＝
4sin(θ＋
π
3 ).(5 分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)不妨设 M(ρ1，θ)，N(ρ2，θ＋
π
6 )，(ρ1>0，ρ2>0)，
S△MON＝1
2|OM→
||ON→
|sinπ
6 ，
＝1
4ρ1·ρ2＝4sin(θ＋
π
3 )·sin(θ＋
π
2 )＝2sin θcos θ＋2 3cos2 θ
＝sin 2θ＋ 3cos 2θ＋ 3＝2sin(2θ＋
π
3 )＋ 3，
当θ＝π
12时， S△MON＝2＋ 3，所以△MON 面积的最大值为 2＋ 3.(10 分)
23 ． 【 解 析 】 （ Ⅰ ） 不 等 式 等 价 于 或
( ) 2f x < 3 2 (2 3) (2 1) 2 x x x < − − + + −
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