陕西渭南市司马迁中学2020届高三数学（理）下学期冲刺考试试卷（Word版带答案）

陕西省渭南市韩城市司马迁中学 2020 届高三下学期冲刺考试数学（理）试卷 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2．若复数满足 ，其中 为虚数单位，则 A． B． C． D． 3．已知，命题 ： ， ： ，则 是 的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数 的部分图像可能是 5．已知双曲线 （ ， ）与椭圆 有共同焦 点，且双曲线的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的方程为 A． B． C． D． 6．执行如图所示的程序框图，则输出的 值为 A． B． C． D． 7．已知 为正方形，其内切圆 与各边分别切于 ， ， ， ，连接 ， ， ， ．现向正方形 内随机抛 掷一枚豆子，记事件 ：豆子落在圆 内，事件 ：豆子落在四边 { }2| log ( 2)A x y x= = − { }2| 9B x x= ≥ =)( BCA R [2, 3) (2,3) (3, )+∞ (2, )+∞ 2 3z z i+ = − i | |z = 2 3 2 3 p 1 3x< < q 3 1x > p q 2 sin( ) 1 xf x x = + 2 2 2 2 1x y a b − = 0a > 0b > 2 2 112 4 x y+ = 3y x= 2 2 14 12 x y− = 2 2 112 4 x y− = 2 2 16 2 x y− = 2 2 12 6 x y− = S 4 8 4 9 50 51 4 9 5 1 4 9 5 0 ABCD I E F G H EF FG GH HE ABCD A I B 形 外，则 A． B． C． D． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是 某四面体的三视图，则该四面体的体积为 A． B． C． D． 9．将函数 图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，然后向左平移 个单位长度，得到 图象，若关于 的方程 在 上有两个不 相等的实根，则实数 的取值范围是 A． B． C． D． 10．若函数 ， 分别是定义在 上的偶函数，奇函数，且满足 ，则 A． B． C． D． 11．已知 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆上位于第 一象限内的点，延长 交椭圆于点 ，若 ，且 ，则椭圆的离 心率为 A． B． C． D． EFGH ( | )P B A = 1 4 π− 4 π 21 π− 2 π 8 3 2 3 4 3 2 ( ) 2sinf x x= 1 2 6 π ( )y g x= x ( )g x a= ,4 4 π π −   a [ ]2,2− [ 2, 2)− [1,2) [ 1, 2)− ( )f x ( )g x R ( ) 2 ( ) xf x g x e+ = ( 2) ( 3) ( 1)f f g− < − < − ( 1) ( 3) ( 2)g f f− < − < − ( 2) ( 1) ( 3)f g f− < − < − ( 1) ( 2) ( 3)g f f− < − < − 1F 2F 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > P 2PF Q 1PF PQ⊥ 1| | | |PF PQ= 2 2− 3 2− 2 1− 6 3− 12．已知函数 ，则 的零点个数可能为 A． 个 B． 个或 个 C． 个或 个或 个 D． 个或 个 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13．已知 的展开式各项系数之和为 256，则展开式中含 项的系数为 ． 14．设等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则公差 ． 15．在 中， ，其面积为 3，设点 在 内，且满足 ，则 ． 16．已知正三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上，棱锥的底面是边长为 的正 三角形，侧棱长为 ，则球 的表面积为 ． 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（满分 12 分） 在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ． （1）求角 的大小； （2）若 ， 的面积为 ，求 的值． 18．（满分 12 分）2022 年北京冬奥会的申办成功与“3 亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这 个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运 动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣 的占 ，而男生有 10 人表示对冰球运动没有兴趣． （1）完成下列列联表，并回答能否有 的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有 关”？ 有兴趣 没兴趣 合计 男 55 女 合计 （2）若将频率视为概率，现再从该校一年级全体学生中，采用随机抽样的方法每次抽取 1 ( ) 3 21 1 23 2f x x a x x = + + +   ( )f x 1 1 2 1 2 3 2 3 (1 )nx+ 2x { }na n nS 6 6a = 15 15S = d = ABC∆ 3B π∠ = H ABC∆ ( ) ( )CH CB CA AH AB AC⋅ − = ⋅ −      0= BH BC⋅ =  S ABC− O 2 3 2 5 O ABC∆ A B C a b c cos sina B b A c+ = A 2a = ABC∆ 2 1 2 − b c+ 2 3 90% 名学生，抽取 5 次，记被抽取的 5 名学生中对冰球有兴趣的人数为 ，若每次抽取的结果是 相互独立的，求 的分布列，期望和方差． 附表： 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 19．（满分 12 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ． （1）证明：平面 平面 ； （2）若 ， 为棱 的中点， ， ，求二面角 的余弦值． 20．（满分 12 分） 已知点 ，直线 ： ， 为平面上的动点，过点 作直线 的垂线，垂足 为 ，且满足 ． （1）求动点 的轨迹 的方程； （2）过点 作直线 与轨迹 交于 ， 两点， 为直线 上一点，且满足 ，若 的面积为 ，求直线 的方程． 21．（满分 12 分） 设函数 ． （1）求证：当 时， ； （2）求证：对任意给定的正数 ，总存在 ，使得当 时，恒有 ． 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在平面直角坐标系 中，曲线 的方程为 ，直线 的参数方程 （ 为参数），若将曲线 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍， x x 2 0( )P K k≥ 0k 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + P ABCD− ABCD PBC ⊥ ABCD PB PD⊥ PAB ⊥ PCD PB PC= E CD 90PEA∠ = ° 2BC = B PA E− − 1(0, )2F l 1 2y = − P P l H ( ) 0HF PH PF⋅ + =   P C F 'l C A B M l MA MB⊥ MAB∆ 2 2 'l 1( ) xf x x e −= ⋅ 0x > ( ) ef x x < k 0x 0( , )x x∈ +∞ ( ) kf x x < xOy 1C 2 2 4x y+ = l 2 , 3 3 3 x t y t = − − = + t 1C 3 2 得曲线 ． （1）写出曲线 的参数方程； （2）设点 ，直线 与曲线 两个交点分别为 ， ，求 的值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ， 为不等式 的解集. （1）求集合 ； （2）若 ， ，求证： . 2C 2C ( 2,3 3)P − l 2C A B 1 1 | | | |PA PB + ( ) | 3 1| | 3 1|f x x x= + + − M ( ) 6f x < M a b M∈ | 1 | | |ab a b+ > + 答案 一、选择题 BCAAD BCBCDDA 二、填空题 13. 14. 15. 16. 三、解答题 17.解：(1)由已知及正弦定理得： ， ， (2) 又 所以， ． 18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表 有兴趣 没有兴趣 合计 男 45 10 55 女 30 15 45 合计 75 25 100 根据列联表中的数据，得到 所以有 90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”。 （2）由列联表中数据可知，对冰球有兴趣的学生频率是 ，将频率视为概率，即从大一学 生中抽取一名学生对冰球有兴趣的概率是 ， 由题意知 ，从而 X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 28 5 2 − 2 3 25π sin cos sin sin sinA B B A C+ = sin sin( ) sin cos cos sinC A B A B A B= + = + sin in cos sinBs A A B∴ = sin 0 sin cosB A A≠ ∴ = (0, ) 4A A ππ∈ ∴ = 1 2 2 1sin 2 22 4 2ABCS bc A bc bc −= = = ∴ = −  2 2 2 22 cos 2 ( ) (2 2)a b c bc A b c bc= + − ∴ = + − + 2( ) 4, 2.b c b c+ = + = 4 3 4 3 ），（ 4 35~ BX ， . 19.（Ⅰ）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，∴CD⊥BC. ∵平面 PBC⊥平面 ABCD，平面 PBC∩平面 ABCD=BC，CD 平面 ABCD， ∴CD⊥平面 PBC， ∴CD⊥PB. ∵PB⊥PD，CD∩PD=D，CD、PD 平面 PCD，∴PB⊥平面 PCD. ∵PB 平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PCD. （2）设 BC 中点为 ,连接 ， ，又面 面 ，且面 面 ， 所以 面 。 以 为坐标原点， 的方向为 轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐 标系 .由（1）知 PB⊥平面 PCD，故 PB⊥ ，设 ， 可得 所以 由题得 ，解得 . 所以 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 可取 . 设 是平面 的法向量，则 ，即 ， 可取 . P 1024 1 1024 15 1024 90 1024 270 1024 405 1024 243 4 15 4 35)( =×== npXE 3 3 15( ) (1 ) 5 (1 )4 4 16D X np p= − = × × − = ⊂ ⊂ ⊂ O ,PO OE ,PB PC PO BC= ∴ ⊥ PBC ⊥ ABCD PBC  ABCD BC= PO ⊥ ABCD O O C x OC O xyz− 1 12PC PO BC∴ = = BC a= ( ) ( ) ( )0,0,1 , 1, ,0 , 1, ,0 , 1,0,0 ,2 aP E A a B  − −   1, , 1 , 2, ,0 ,2 2 a aPE EA   = − = −         0PE EA• =  2 2a = ( ) ( ) ( )0, 2 2,0 , 1, 2 2, 1 , 2, 2,0 ,BA PA EA= = − − = −   ( , , )x y z=n PAB 0 0 PA BA  ⋅ = ⋅ =   n n 2 2 0 2 2 0 x y z y − + − = = (1,0, 1)= −n ( , , )x y z=m PAE 0 0 PA EA  ⋅ = ⋅ =   m m 2 2 0 2 2 0 x y z x y − + − = − + = (1, 2,3)=m 则 ， 所以二面角 的余弦值为 . 20.解：（1）设 ，则 ， ， ， ， ，即轨迹 的方程为 . （II）法一：显然直线 的斜率存在，设 的方程为 ， 由 ，消去 可得： ， 设 ， ， ， ， ， 即 ， ，即 ， ，即 ， ， 到直线 的距离 ， ，解得 ， 直线 的方程为 或 ． 法 2：（Ⅱ）设 ,AB 的中点为 则 6cos , | || | 6 ⋅= = −< > n mn m n m A PB C− − 6 6 − ( , )P x y 1( , )2H x − 1( ,1), (0, ),2HF x PH y∴ = − = − −  1( , )2PF x y= − − ( , 2 )PH PF x y+ = − −  ( ) 0HF PH PF+ =     2 2 0x y∴ − = C 2 2x y= l′ l′ 1 2y kx= + 2 1 2 2 y kx x y  = +  = y 2 2 1 0x kx− − = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 1( , )2M t − 1 2 1 2 2 1 x x k x x + =∴ ⋅ = − 1 1 2 2 1 1( , ), ( , )2 2MA x t y MB x t y= − + = − +  MA MB⊥ 0M A M B∴ =   1 2 1 2 1 1( )( ) ( )( ) 02 2x t x t y y− − + + + = 2 1 2 1 2 1 2( ) ( 1)( 1) 0x x x x t t kx kx∴ − + + + + + = 2 2 21 2 2 1 0kt t k k∴ − − + − + + = 2 22 0t kt k− + = 2( ) 0t k− = t k∴ = 1( , )2M k − 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2| | 1 | | 1 ( ) 4 2(1 )AB k x x k x x x x k= + − = + + − = + 1( , )2M k − l′ 2 2 2 | 1| 1 1 kd k k += = + + 3 2 21 | | (1 ) 2 22MABS AB d k∆ = = + = 1k = ± l′ 1 02x y+ − = 1 02x y− + = 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ( )00,yxE 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 02 1 22 2 2 ( )( ) 2( ) 2 AB x y y yx x x x y y x kx xx y  = − ⇒ − + = − ⇒ = = −= 直线 的方程为 ， 过点 A,B 分别作 ，因为 为 AB 的中点， 所以在 中， 故 是直角梯形 的中位线，可得 ，从而 点 到直线 的距离为： 因为 E 点在直线 上，所以有 ，从而 由 解得 所以直线 的方程为 或 ． 21. 解析：(1)当 时， 等价于 ， 构造函数 , .则 ， 记 ， ， 当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减. 于 是 ， ， 即 当 时 ， ， 为 上的增函数，所以， ，即 . 于是，当 时， . (2)由(1)可知，当 时， .于是， . 所以， .解不等式 ，可得 ， 取 .则对任意给定的正数 ， ，当 时，有， 即 . 22 解：（1）若将曲线 上的点的纵坐标变为原来的 ，则曲线 的直角坐标方程为 'l 0 1 2y x x= + 1111 B于，于 lBBAlAA ⊥⊥ ,⊥MA MB E Rt AMB 1 1 1 1 1| | | | (| | | |) (| | | |)2 2 2 = = + = +EM AB AF BF AA BB EM 1 1ABBA ⊥EM l 0 1( , )2M x − M 'l 2 20 02 0 | 1| 1 1 xd x x += = + + 'l 2 0 0 1 2y x= + 2 1 2 0 0| | 1 2 1 2( 1)AB y y y x= + + = + = + 2 2 0 0 1 1| | 2( 1) 1 2 22 2MABS AB d x x= = × + + =  0 1x =± 'l 1 2y x= + 1 2y x= − + 0x> ( )f x x < e 20, xx x> < e ( ) 2xg x x= −e 0x> ( ) 2xg x x′ = −e ( )( ) 2xh x g x x′= = −e ( )' 2xh x = −e ln 2x > ( )' 0h x > ( )h x ( )ln2,+¥ 0 ln2x< < ( )' 0h x < ( )h x ( )0,ln2 ( ) ( )minmin ( ) ln 2 2 2 ln 2 0g x h x h′ = = = − > 0x> ( ) 0g x′ > ( )g x ( )0,+¥ ( ) ( )0 0g x g> > 2x x>e 0x> ( )f x x < e 0x> 2x x>e 4 4 2 2 2 16 x x x x x = ⋅ > =  e e e 4 16 x kxk >e 4 2 16 kx x> e 4x k > e 0 4x k = e k 3 21 3 xk kx x> >e e 0x x> ( )1 xk x f xx −> ⋅ =e 1C 2 3 2C ， 整理得 ，曲线 的参数方程 （ 为参数）． （2）将直线 的参数方程化为标准形式为 （ 为参数）， 将参数方程带入 得 整理得 . ， ， ． 23.解:（1） 当 时， ，由 解得 ， ； 当 时， ， 恒成立， ； 当 时， 由 解得 ， 综上， 的解集 （2） 由 得 . 2 22( ) 43x y+ = 2 2 14 9 x y+ = 2C 2cos , 3sin x y θ θ =  = θ l ' ' 12 2 33 3 2 x t y t  = − −  = + t ′ 2 2 14 9 x y+ = 221 3( 2 ) (3 3 )2 2 14 9 t t′ ′− − + + = 27 ( ) 18 36 04 t t′ ′+ + = 1 2 72 7PA PB t t′ ′+ = + = 1 2 144 7PA PB t t′ ′= = 72 1 1 17 144 2 7 PA PB PA PB PA PB ++ = = = ( ) 3 1 3 1 6f x x x= + + − < 1 3x < − ( ) 3 1 3 1 6f x x x x= − − − + = − 6 6x− < 1x > − 11 3x∴ − < < − 1 1 3 3x− ≤ ≤ ( ) 3 1 3 1 2f x x x= + − + = 2 6< 1 1 3 3x∴ − ≤ ≤ 1 3x > ( ) 3 1 3 1 6f x x x x= + + − = 6 6x < 1x < 1 13 x∴ < < ( ) 6f x < { }1 1M x x= − < < ( ) ( )2 2 2 2 2 21 2 1 ( 2 )ab a b a b ab a b ab+ − + = + + − + + 2 2 2 2 1a b a b= − − + 2 2( 1)( 1)a b= − − ,a b M∈ 1, 1a b< < 2 21 0, 1 0a b∴ − < − < 2 2( 1)( 1) 0a b∴ − − > 1ab a b∴ + > +