陕西省渭南市韩城市司马迁中学 2020 届高三下学期冲刺考试数学（文）试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每题只有一个选项正确。
1．已知 为虚数单位，实数 ， 满足 ，则 （）
A．1 B． C． D．
2．已知集合 ，集合 ，
若 ，则 （）
A． B． C． D．
3．函数 图象向右平移 个单位后所得图象关于原点对称， 可以是
（）
A． B． C． D．
4． 地的天气预报显示， 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为 ，现用随
机模拟的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生 0—9 之间整数
值的随机数，并用 0，1，2，3，4，5，6 表示没有强浓雾，用 7，8，9 表示有强浓雾，再以
每 3 个随机数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下 20 组随机数：
则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为（）
A． B． C． D．
5．如图所示的三视图表示的几何体的体积为 ，则该几何体的外接球的表面积为（）
A． B． C． D．
i x y ( )2i i ix y+ = − ix y− =
2 3 5
{ }2| 4 0A x x x= ∈ − >， 2
( ) ( )2 2 4 0x m y m− + = > 2 2 m
2
( ) 3 1 sin3 1
x
xf x x x
−= + ++ [ ]21x∃ ∈ − ， ( ) ( )2 0f x x f x k+ + − < k
A． B． C． D．
11．如图，过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 ， 与抛物线及其准线从上
到下依次交于 、 、 点，令 ， ，则当 时， 的值为
（）
A．3 B．4 C．5 D．6
12 ． 已 知 定 义 域 为 的 奇 函 数 的 导 函 数 为 ， 当 时 ，
，若 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系正确的是（）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。
13．已知实数 ， 满足条件 ，则 的最大值为__________．
14．已知 ， ，则 __________．
15．在 中， 是 的中点， ，点 在 上，且满足 ，则
的值为___________．
16 ． 已 知 中 ， 角 、 、 所 对 的 边 分 别 是 、 、 且 ，
，有以下四个命题：
① 的面积的最大值为 40；②满足条件的 不可能是直角三角形；
③当 时， 的周长为 15；④当 时，若 为 的内心，则
( )1,− +∞ ( )3,+∞ ( )0,+∞ ( ), 1−∞ −
2 4y x= F α l l
A B C 1
AF
BF
λ= 2
BC
BF
λ= π
3
α = 1 2
λ λ+
R ( )y f x= ( )y f x′= 0x ≠
( )( ) 0f xf x x
′ + > 1 1
2 2a f =
( )2 2b f= − − 1 1ln ln2 2c f = a b c
a b c< < b c a< < a c b< < c a b< < x y 2 3 0 0 x y x y x y − ≥ + ≤ ≥ ≥ 3x y+ 3cos 5 α = 3π,2π2 α ∈ os 3 πc α − = ABC△ M BC 3AM = P AM 2AP PM= ( )PA PB PC⋅ + ABC△ A B C a b c 6a = 4sin 5sinB C= ABC△ ABC△ 2A C= ABC△ 2A C= O ABC△ AOB△
的面积为 ．其中正确命题有__________（填写出所有正确命题的番号）．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12 分）数列 满足 ， （ 为常数）．
（1）试探究数列 是否为等比数列，并求 ；
（2）当 时，求数列 的前 项和 ．
18．（12 分）为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机
抽取了 60 名学生的成绩（满分 100 分）作为样本，其中成绩不低于 80 分的学生被评为优秀
生，得到成绩分布的频率分布直方 图如图所示．
（1）若该所中学共有 2000 名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；
（2）①试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
②若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于 70 分的学生中随机抽取 6 人，再从中抽
取 3 人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中 2 名优秀生的概率．
19．（12 分）三棱柱 中， ， ， 分别为棱 ， ， 的中
点．
7
{ }na 1 1a = 1 2n na a λ+ = + λ
{ }na λ+ na
1λ = ( ){ }nn a λ+ n nT
1 1 1ABC ABC− M N O 1AC AB 1 1AC
（1）求证：直线 平面 ；
（2）若三棱柱 的体积为 ，求三棱锥 的体积．
20．（12 分）已知长度为 的线段 的两个端点 、 分别在 轴和 轴上运动，动
点 满足 ，设动点 的轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）过点 且斜率不为零的直线 与曲线 交于两点 、 ，在 轴上是否存在定点
，使得直线 与 的斜率之积为常数．若存在，求出定点 的坐标以及此常数；若
不存在，请说明理由．
21．（12 分）已知函数 ．
（1）若函数 在区间 上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范
围；
（2）若 ，设 ，求证：当 时，不
等式 成立．
请考生在 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
22．【坐标系与参数方程】在平面直角坐标系 中，直线 ： （ 为参数），以
MN∥ 1AOB
1 1 1ABC ABC− 10 3 A MON−
3 2 AB A B x y
P 2BP PA= P C
C
( )4,0 l C M N x
T MT NT T
21( ) ln , ( ) ( 1) , 12f x x a x g x a x a= + = + ≠ −
( ), ( )f x g x [1,3]
(1, ] ( 2.71828 )a e e∈ = ( ) ( ) ( )F x f x g x= − 1 2, [1, ]x x a∈
1 2| ( ) ( )| 1F x F x− < xOy l 2 2 x t y t = + = − t
坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 ： ．
（1）求直线 的极坐标方程及曲线 的直角坐标方程；
（2）记射线 与直线 和曲线 的交点分别为点 和点 （异
于点 ），求 的最大值．
23．【不等式选讲】 已知函数 ．
（1）解关于 的不等式 ；
（2）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围．
x C 2 sinρ θ=
l C
0,0 2
πθ α ρ α = ≥ <
+
( )f x [ ]2,1x∈ −
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2f x x f x k f x x f k x x x k x+ < − − ⇒ + < − ⇒ + < − ( )2 min 2k x x> + ( )1,− +∞
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 2
4 162 sin 60 3AB x x= + + = =° 1 2
10
3x x∴ + =
2
1 2 14
px x = = 1 3x =
2
1
3x = A B
E D
( )
( )1
3 1= 31 13
AF AE
BF BD
λ − −= = =
− − 2 2BC
BF
λ= = 1 2 5λ λ∴ + =
( ) ( )h x xf x= 0x＞ ( ) ( ) ( ) 0h x f x x f x′ ′= + ⋅ ＞ ( )h x
1 1 1
2 2 2a f h = = ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2b f f h= − − = =
( ) ( )1 1 1ln ln ln ln2 ln22 2 2c f h h h = = = − =
12 ln 2 2
＞ ＞ b c a∴ ＞ ＞
1 2n na a λ+ = + ( )1 2n na aλ λ+ + = +
1 1a = 1λ = − 1 0a λ+ = { }na λ+
1 0n na aλ+ = − = 1na = 1λ ≠ − 1 0a λ+ ≠ 0na λ+ ≠
{ }na λ+ 1 λ+
( ) 11 2n
na λ λ −+ = + ( ) 11 2n
na λ λ−= + −
2 1n
na = − ( )1 2n
nn a n+ = ×
①， ②，
①-②得：
，所以 ．
18.（1）由直方图可知，样本中数据落在 的频率为 ，
则估计全校这次考试中优秀生人数为 ．
（2）①设样本数据的平均数为 ，
则 ，
则估计所有参加考试的学生的平均成绩为 72.5．
②由分层抽样知识可知，成绩在 ， ， 间分别抽取了 3 人，2 人，
1 人．记成绩在 的 3 人为 ， ， ，成绩在 的 2 人为 ， ，成绩在
的 1 人为 ，记恰好抽中 2 名优秀生为 事件，则从这 6 人中抽取 3 人的所有可
能结果有 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，
， 共 20 种，
其中恰好抽中 2 名优秀生的结果有 ， ， ， ，
， ， ， ， 共 9 种 ， 则
．
19. （ 1 ） 连 交 于 点 ， 连 ， ． 则 ， 且 ， 又
，且 ∴ ，且 ，∴四边形 为平行四边形，
∴ ，又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ．
（2）由题意得 ，
∵ 平面 ，∴ ，
2 32 2 2 3 2 2n
nT n= + × + × +⋅⋅⋅+ × 2 3 4 12 2 2 2 3 2 2n
nT n += + × + × +⋅⋅⋅+ ×
2 3 12 2 2 2 2n n
nT n +− = + + +⋅⋅⋅+ − ×
( ) 1 1 1 12 1 2
2 2 2 2 (1 )2 21 2
n
n n n nn n n+ + + +
−
= − × = − − × = − −−
( ) 11 2 2n
nT n += − +
[ ]80,100 0 2 01 0 3+ =. . .
2000 0 3 600× =.
x
45 0 05 55 015 65 0 2 75 0 3 85 0 2 95 01 72 5x = × + × + × + × + × + × =. . . . . . .
[ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100
[ )70,80 a b c [ )80,90 d e
[ ]90,100 f A
( )a b c， ， ( )a b d， ， ( )a b e， ， ( )a b f， ， ( )a c d， ， ( )a c e， ，
( )a c f， ， ( )a d e， ， ( )a d f， ， ( )a e f， ， ( )b c d， ， ( )b c e， ，
( )b c f， ， ( )b d e， ， ( )b d f， ， ( )b e f， ， ( )c d e， ， ( )c d f， ，
( )c e f， ， ( )d e f， ，
( )a d e， ， ( )b d e， ， ( )c d e， ， ( )a d f， ，
( )b d f， ， ( )c d f， ， ( )a e f， ， ( )b e f， ， ( )c e f， ，
( ) 9
20P A =
1AB 1AB P NP OP 1NP BB∥ 1
1
2NP BB=
1MO AA∥ 1
1
2MO AA= MO NP∥ MO NP= MOPN
MN OP∥ MN ⊄ 1AOB OP ⊂ 1AOB MN∥ 1AOB
1 1 1 1 1
1 1 1
2 4 8A MON N AMO N AC O N C A A B C A AV V V V V− − − − −= = = =
1BB∥ 1 1AAC 1 1 1 1 1B C A A B C A AV V− −=
∴ ，∴ ．
20.（1）设 ， ， ，
由于 ，所以 ，
即 ，所以 ，又 ，所以 ，
从而 ，即曲线 的方程为： ．
（2）由题意设直线 的方程为： ， ， ，
由 得： ，所以 ，
故 ， ，
假设存在定点 ，使得直线 与 的斜率之积为常数，则
，
当 ，且 时， 为常数，解得 ；
显然当 时，常数为 ；当 时，常数为 ，
所以存在两个定点 ， ，使得直线 与 的斜率之积为常数，
当 定 点 为 时 ， 常 数 为 ； 当 定 点 为 时 ， 常 数 为
．
1 1 1 1 1 1
1 10 3
3 3B C A A ABC A B CV V− −= = 1 10 3 5 38 3 12A MONV − = × =
( ),P x y ( ),0A m ( )0,B n
2BP PA= ( ) ( ) ( ), 2 , 2 2 , 2x y n m x y m x y− = − − = − −
2 2
2
x m x
y n y
= −
− = −
3
2
3
m x
n y
=
=
3 2AB = 2 2 18m n+ =
2
29 9 184
x y+ = C
2 2
18 2
x y+ =
l 4x my= + ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y
2 2
4
18 2
x my
x y
= +
+ =
( )2 24 8 8 0m y my+ + + =
( )
1 2 2
1 2 2
2 2
8
4
8
4
64 32 4 0
my y m
y y m
m m∆
+ = − +
= +
=
− + >
( )1 2 1 2 2
328 4x x m y y m
+ = + + = +
( ) 2
2
1 2 1 2 1 2 2
64 84 16 4
mx x m y y m y y m
−= + + + = +
( ),0T t MT NT
( )( )1 2
1 2
MT NT
y yk k x t x t
⋅ = − − ( )1 2
2
1 2 1 2
y y
x x t x x t
= − + + ( ) ( )22 2
8
8 4 4t m t
=
− + −
2 8 0t − = 4 0t − ≠ MT NTk k⋅ 2 2t = ±
2 2t = 3 2 2
4
+
2 2t = − 3 2 2
4
−
( )1 2 2 , 0T ( )2 2 2, 0T − MT NT
( )1 2 2 , 0T
3 2 2
4
+ ( )2 2 2, 0T −
3 2 2
4
−
21. 解：（1） ， ……………（2 分）
当 时， 恒成立，即 恒成立，
∴ 在 时恒成立，或 在 时恒成立，
∵ ，∴ 或 ………………（6 分）
（II） ，
∵ 定义域是 ， ，即
∴ 在 是增函数，在 是减函数，在 是增函数
∴当 时， 取极大值 ，
当 时， 取极小值 ， ………………（8 分）
∵ ，∴ ………………（10 分）
设 ，则 ，
∴ ，∵ ，∴ ∴ 在
是增函数，∴ ∴ 在 也是增函数∴
，即 ，
而 ，∴
∴当 时，不等式 成立． ………………（14
分）
22.（1）由题意得直线的普通方程为： ，所以其极坐标方程为： ；
由 得： ，所以曲线 的直角坐标方程为： ．
（2）由 ， ，
( ) , ( ) 1af x x g x ax
′ ′= + = +
[1,3]x∈
2( 1)( )( ) ( ) 0a x af x g x x
+ +′ ′⋅ = ≥ 2( 1)( ) 0a x a+ + ≥
2
1a
a x
> −
≥ −
[1,3]x∈
2
1a
a x
< − ≤ − [1,3]x∈ 9 1x− ≤ ≤− 1a > − 9a ≤ −
21( ) ln ( 1)2F x x a x a x= + − + ( )( 1)( ) ( 1)a x a xF x x ax x
− −′ = + − + =
( )F x (0, )+∞ (1, ]a e∈ 1a >
( )F x (0,1) (1, )a ( , )a +∞
1x = ( )F x 1(1) 2M F a= = − −
x a= ( )F x 21( ) ln 2m F a a a a a= = − −
1 2, [1, ]x x a∈ 1 2| ( ) ( )| | |F x F x M m M m− ≤ − = −
21 1( ) ln2 2G a M m a a a= − = − − ( ) ln 1G a a a′ = − −
1[ ( )] 1G a a
′ ′ = − (1, ]a e∈ [ ( )] 0G a′ ′ > ( ) ln 1G a a a′ = − − (1, ]a e∈
( ) (1) 0G a G′ ′> = 21 1( ) ln2 2G a a a a= − − (1, ]a e∈
( ) ( )G a G e≤
2
21 1 ( 1)( ) 12 2 2
eG a e e
−≤ − − = −
2 2
21 1 ( 1) (3 1)1 1 12 2 2 2
ee e
− −− − = − < − = ( ) 1G a M m= − < 1 2, [1, ]x x a∈ 1 2| ( ) ( )| 1F x F x− < 4x y+ = 4 sin cos ρ θ θ= + 2 sinρ θ= 2 2 sinρ ρ θ= 2 2 2 0x y y+ − = 2sinON α= 4 sin cosOM α α= +
所以 ，
由于 ，所以当 时， 取得最大值 ．
23.（1） ；（2） ．
2sin sin cos 2 1sin 22 4
π
4 4
ON
OM
α α α α+ = = − +
0 π
2
α< < 3π 8 α = ON OM 2 1 4 + { }| 0 1x x x≤ ≥或 ( )1,− +∞
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