四川省泸县第一中学2020届高三数学（理）三诊模拟考试试题（Word版带答案）

2020 年春四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2． ，若 ，则 A． B． C． D． 3．若 ，则 A． B． C． D． 4．函数 的图象大致为 { }| 1 0A x x= − < { }2| 2 0B x x x= − < A B = { }| 0x x < { }| 1x x < { }1| 0x x< < { }|1 2x x< < z C∈ | | 1 2z z i− = + z = 3 22 i− 3 22 i+ 2 2i+ 2 2i− sin 78 m= sin 6 = 1 2 m + 1 2 m− 1 2 m + 1 2 m− ( ) 2 1xf x x −=A． B． C． D． 5．已知等差数列 的前 项和为 则数列 的前 10 项和为 A． B． C． D． 6．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数为偶函数，则 的 值为 A． B． C． D． 7．从装有若干个大小相同的红球、白球和黄球的袋中随机摸出 1 个球，摸到红球、白球和黄球的概 率分别为 ，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸 3 次，则记下的颜色中有红有 白，但没有黄的概率为 A． B． C． D． 8．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 的离心 率为 A． B． C． D． 9．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，则 面 积的最大值为 { }na n ,nS 9 12 2 1 6, 4,2a a a= + = 1{ } nS 11 12 10 11 9 10 8 9 ( ) sin 2f x x= 0 2 πϕ ϕ ≤ ≤   ϕ 12 π 6 π 3 π 4 π 1 1 1, ,2 3 6 5 36 5 6 5 12 1 2 2 2 1 : 110 x yC m m + =− 2 2 2 : 14 yC x − = 1C 5 4 5 5 5 2 ABC A B C a b c 6C π= 12a b+ = ABCA．8 B．9 C．16 D．21 10．如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面 体外接球的表面积为 A． B． C． D． 11．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，点 为抛物线上任意一点 的 平分线与 轴交于 ，则 的最大值为 A． B． C． D． 12．若函数 在 上单调递增，则实数 的取 值范围为 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． ． 14．设 是两个向量，则“ ”是“ ”的__________条件. 2 4y x= F x K P KPF∠ x ( ,0)m m 3 2 2− 2 3 3− 2 3− 2 2− ( ) ( ) ( )1 cos2 3 sin cos 4 12f x x a x x a x= + − + − ,02 π −   a 1 ,17      11, 7  −   ] [1, 1,7  −∞ − ∪ +∞   [ )1,+∞ =+ oo 75cos75sin ,a b  a b a b+ > −   0a b⋅ > 15．圆 的切线与椭圆 交于两点 分别以 为切点的 的切 线交于点 ，则点 的轨迹方程为__________． 16．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是 ______． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17 ． (12 分 ) 已 知 正 项 等 比 数 列 的 前 项 和 为 ， ， ， 数 列 满 足 ，且 ． （I）求数列 的通项公式； （II）求数列 的前 项和． 18．(12 分)如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 底面 ， ， 点 是 的中点. （I）求证： 平面 ； （II）若直线 与平面 所成角为 ，求二面角 的大小. 19．(12 分)在某市高中某学科竞赛中，某一个区 名考生的参赛成 绩统计如图所示. 2 2 1x y+ = 2 2 14 3 x y+ = ,A B ,A B 2 2 14 3 x y+ = P P 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x < a { }nb n nS 3 4b = 3 7S = { }na ( )* 1 1n na a n n N+ − = + ∈ 1 1a b= { }na 1 na       n P ABCD− ABCD PD ⊥ ABCD PD DC= E PC / /PA BDE BD PBC 30° C PB D− − 4000（I）求这 名考生的竞赛平均成绩 （同一组中数据用该组区间中点作代表）； （II）由直方图可认为考生竞赛成绩 服正态分布 ，其中 ， 分别取考生的平均成绩 和考生成绩的方差 ，那么该区 名考生成绩超过 分（含 分）的人数估计有多少人？ （III）如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市的参赛考生的成绩情况，现从全市参赛考生中随 机抽取 名考生，记成绩不超过 分的考生人数为 ，求 .（精确到 ） 附：① ， ；② ，则 ， ；③ . 20．(12 分)中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，且椭 圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 . （I）求椭圆 E 的标准方程； （II）过点 的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P 点 A 关 于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究 是否为定值？请说明理由. 21．(12 分)已知函数 ． 4000 x z 2( , )N µ σ µ 2σ x 2s 4000 84.81 84.81 4 84.81 ξ ( 3)P ξ ≤ 0.001 2 204.75s = 204.75 14.31= 2( , )z N µ σ ( ) 0.6826P zµ σ µ σ− < < + = ( 2 2 ) 0.9544P zµ σ µ σ− < < + = 40.8413 0.501= 2: 4C x y= y x= ( )2,0 ( )0, 2− | | | |OP OQ⋅ 2( ) 2lnf x x ax x= − +（I）当 时，求 的单调区间； （II）若 有两个极值点 ,且 ，求 取值范围．（其中 e 为自然对数的底 数）． （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知直线 ： ( 为参数)，曲线 ： （ 为参数）． (I)设 与 相交于 两点，求 ； (II)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，设 点 P 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最大值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知： ， ，且 （I）若 求 x 的取值范围； （II） 恒成立，求 m 的取值范围. 5a = ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 2 1 1 3 x xe < < < a l 11 2 3 2 x t y t  = +  = t 1C cos sin x y θ θ =  = θ l 1C ,A B AB 1C 1 2 3 2 2C 2C l 0x > 0y > 6x y+ = | 5| | 4 | 6x y− + − ≤ | 5| | 4 | | 2 |x y m− + − ≥ −2020 年春四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试 理科数学参考答案 1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．C 8．C 9．B 10．C 11．A 12．D 13． 14．充分必要 15． . 16． 17．（Ⅰ）根据题意，设 的公比为 ，所以 解得 又 ， 所以 ． （Ⅱ）因为 ， 所 以 ． 18．（1）连接 交 于 ，连接 ， 由题意可知， ， ， 又 在平面 外， 平面 ，所以 平面 . 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系 2 6 1916 22 =+ yx ),2( +∞ { }nb q 2 1 2 1 1 1 4,{ 7, b q b b q b q = + + = 1 1,{ 2. b q = = 1 1n na a n+ − = + ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a a a− − −= − + − +…+ − + − + ( ) ( ) 211 2 1 2 2 n n n nn n + += + + +…+ + = = 2 1 2 1 12 1na n n n n  = = − + +  1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 1 1 1 1n n a a a n n n n n n           + + + = − + − +…+ − + − = − =          − + + +           AC BD O OE ,PE EC AO OC= = / /PA EO∴ PA BED EO ⊂ BED / /PA BED ( )2 D , ,DA DC DP x y z，设 ， ，则 ， ， ， ， ， ， 设平面 的法向量 ， 由 ，得 ，取 ， 又由直线 与平面 所成的角为 ， 得 ，解得 ， 同理可得平面 的法向量 ， 由向量的夹角公式，可得 ， 又因为二面角 为锐二面角，所以二面角 的大小为 . 19．（1）由题意知： 中间值 概率 ∴ ， D xyz− 1PD CD= = AD a= ( ,0,0)A a ( ,1,0) (0,1,0)B a C， 1(0 )0,P ， ( ,1,0)DB a= ( , )1, 1PB a= − ( )0,1, 1PC = − PBC ( , )n x y z= ， · 0 · 0 PB n PC n  =  =     0 0 ax y z y z + − =  − = (0,1,1)n = BD PBC 30 2 1 1cos , 21 2 DB n DB n DB n a = = = + ×       1a = PBD 1, )0( 1,m = − 1 1cos , 22 2 n mn m n m = = = ×      C PB D− − C PB D− − 60° 45 55 65 75 85 95 0.1 0.15 0.2 0.3 0.15 0.1 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3x = × + × + × + × 85 0.15 95 0.1 70.5+ × + × =∴ 名考生的竞赛平均成绩 为 分. （2）依题意 服从正态分布 ，其中 ， ， ，∴ 服从正态分布 ，而 ，∴ .∴ 竞赛成绩超过 分的人数估计为 人 人. （3）全市竞赛考生成绩不超过 分的概率 .而 ，∴ . 20．（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称， 所以椭圆 E 的右焦点为 ，所以 . 又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 ，所以 ，又 ， 所以椭圆 E 的标准方程为 . （2）设直线 l 的方程为 ， ，则点 ，设 则点 ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 ， 得 ，所以有 ，即 且 ，即直线 BD 的方程为 4000 x 70.5 z ( )2,N µ σ 70.5xµ = = 2 204.75Dσ ξ= = 14.31σ = z ( ) ( )2 2, 70.5,14.31N Nµ σ = ( ) (56.19 84.81) 0.6826P z P zµ σ µ σ− < < + = < < = ( ) 1 0.682684.81 0.15872P z −≥ = = 84.81 0.1587 4000 634.8× = 634≈ 84.81 1 0.1587 0.8413− = ( )4,0.8413Bξ ∼ ( ) ( ) 4 4 43 1 4 1 0.8413P P Cξ ξ≤ = − = = − ⋅ 1 0.501 0.499= − = 2: 4C x y= y x= 1,0（ ） 1c = 2,0（ ） 2a = 2 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = 2y kx= − 0k ≠ 2 ,0P k      ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y ( )1 1,D x y− 2 2 14 3 2 x y y kx  + =  = − ( )2 23 4 16 4 0k x kx+ − + = ( )248 4 1 0k∆ = − > 2 1 4k > 1 2 2 1 2 2 16 3 4 4 3 4 kx x k x x k  + = +  = + 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x + −=+ −令\ ，得点 Q 的横坐标为 ， 代入得： ， 所以 ，所以 为定值 4. 21.（1） 的定义域为 ， ， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . （2∵ ， 有两个极值点 ∴令 ，则 的零点为 ，且 . ∴ ＞０, ∴ 或 ∵ ， ∴ . 根据根的分布，则 且 g( ) 1 2 02 ax x+ = > 1 2 1=x x 4a > 1( ) 03g > 1 e 1 12 2 09 3 a× − + > 2 12 2 0a e e ⋅ − + < 2 202 3e ae + < < l ( )3 1y x= − 1C 2 2 1x y+ = 2 2 3( 1) 1 y x x y  = − + = ( ) 1 31,0 , ,2 2A B  −    AB 2 21 3(1 ) (0 ) 12 2 − + + =（2）曲线 ： （ 为参数）．设所求的点为 ， 则 到直线 的距离 . 当 时， 取得最大值 ． 23．（1）把 代入原不等式得 ， 此不等式等价于 或 或 分别解得： 或 货 ，故原不等式解集为 （2） ，当且仅当 ， 时取等号， ∴ ，故 . 2C 1 cos2 3 sin2 x y θ θ  =  = θ 1 3cos , sin2 2P θ θ      P l 3 3cos sin 32 2 3 1 d θ θ− − = = + 1 6 cos( ) 32 2 4 πθ + − cos( ) 14 pq + = - d 3 6 2 4 + 6y x= − | 5| | 2 | 6x x− + − ≤ 2 5 2 6 x x x   − + − ≤ 1 22 x≤ < 2 5x≤ ≤ 135 2x< ≤ 1 13,2 2      | 5| | 4 | | 9 | 3x y x y− + − ≥ + − = 0 5x< ≤ 0 4y< ≤ | 2 | 3m − ≤ 1 5m− ≤ ≤