四川省泸县第一中学2020届高三数学（文）三诊模拟考试试题（Word版带答案）

2020 年春四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试 文科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 ， ，则 A． B． C． D． 2． ，若 ，则 A． B． C． D． 3．若 ，则 A． B． C． D． 4．函数 的图象大致为 A． B． C． D． 5．已知等差数列 的前 项和为 则数列 的前 10 项和为 { }| 1 0A x x= − < { }2| 2 0B x x x= − < A B = { }| 0x x < { }| 1x x < { }1| 0x x< < { }|1 2x x< < z C∈ | | 1 2z z i− = + z = 3 22 i− 3 22 i+ 2 2i+ 2 2i− sin 78 m= sin 6 = 1 2 m + 1 2 m− 1 2 m + 1 2 m− ( ) 2 1xf x x −= { }na n ,nS 9 12 2 1 6, 4,2a a a= + = 1{ } nSA． B． C． D． 6．将函数 的图象向左平移 个单位长度，得到的函数为偶函数，则 的 值为 A． B． C． D． 7．已知 ，则 满足 A． B． C． D． 8．已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，则双曲线 的离心 率为 A． B． C． D． 9．设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ， ，则 面 积的最大值为 A．8 B．9 C．16 D．21 10．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它有如下问题：“今有圆堡我 ，周四丈八尺， 高一丈一尺.问积几何？”意思是“今有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为 4 丈 8 尺，高 1 丈 1 尺， 问它的体积是多少？”（注：1 丈=10 尺，取 ） A．704 立方尺 B．2112 立方尺 C．2115 立方尺 D．2118 立方尺 11．正三棱锥底面边长为 3，侧棱与底面成 角，则正三棱锥的外接球的体积为 A． B． C． D． 12．若函数 在 上单调递增，则实数 的取 值范围为 A． B． C． D． 第 II 卷 非选择题（90 分） 11 12 10 11 9 10 8 9 ( ) sin 2f x x= 0 2 πϕ ϕ ≤ ≤   ϕ 12 π 6 π 3 π 4 π ln2 4 2 1log 5 log 32a b c e= = =， ， a b c， ， a b c< < b a c< < c a b< < c b a< < 2 2 1 : 110 x yC m m + =− 2 2 2 : 14 yC x − = 1C 5 4 5 5 5 2 ABC A B C a b c 6C π= 12a b+ = ABC ( )cong 3π = 60° 4π 16π 16 3 π 32 3 π ( ) ( ) ( )1 cos2 3 sin cos 4 12f x x a x x a x= + − + − ,02 π −   a 1 ,17      11, 7  −   ] [1, 1,7  −∞ − ∪ +∞   [ )1,+∞二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13． ． 14．设 是两个向量，则“ ”是“ ”的__________条件. 15．已知函数 图象上一点 处的切线方程为 ，则 _______． 16．已知函数 ，若 存在唯一的零点 ，且 ，则 的取值范围是 ______． 三．解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）已知正项等比数列 的前 项和为 ， ， ，数列 满足 ，且 ． （I）求数列 的通项公式； （II）求数列 的前 项和． 18．（12 分）鱼卷是泉州十大名小吃之一,不但本地人喜欢,而且深受外来游客的赞赏.小张从事鱼卷 生产和批发多年,有着不少来自零售商和酒店的客户当地的习俗是农历正月不生产鱼卷,客户正月所 需要的鱼卷都会在上一年农历十二月底进行一次性采购小张把去年年底采购鱼卷的数量 x(单位:箱) 在 的客户称为“熟客”,并把他们去年采购的数量制成下表: 采购数 x 客户数 10 10 5 20 5 (I)根据表中的数据作出频率分布直方图,并估计采购数在 168 箱以上(含 168 箱)的“熟客”人数; (II)若去年年底“熟客”们采购的鱼卷数量占小张去年年底总的销售量的 ,估算小张去年年底总的销售 量(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表); (III)由于鱼卷受到游客们的青睐,小张做了一份市场调查,决定今年年底是否在网上出售鱼卷,若不在 网上出售鱼卷,则按去年的价格出售,每箱利润为 20 元,预计销售量与去年持平;若在网上出售鱼卷,则 =+ oo 75cos75sin ,a b  a b a b+ > −   0a b⋅ >  2( ) lnf x a x bx= − (2, (2)f 3 2ln 2 2y x= − + + a b+ = 3 2( ) 3 1f x ax x= − + ( )f x 0x 0 0x < a { }nb n nS 3 4b = 3 7S = { }na ( )* 1 1n na a n n N+ − = + ∈ 1 1a b= { }na 1 na       n [ )100,200 [ )100,120 [ )120,140 [ )140,160 [ )160,180 [ )180,200 5 8需把每箱售价下调 2 至 5 元,且每下调 m 元( )销售量可增加 1000m 箱,求小张今年年底收 入 Y(单位:元)的最大值. 19．（12 分）如图，在多面体 中， ， ， 平面 ， ， ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求三棱锥 的体积． 20．（12 分）中心在原点的椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称，且 椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 . （I）求椭圆 E 的标准方程； （II）过点 的直线 l（直线的斜率 k 存在且不为 0）交 E 于 A，B 两点，交 x 轴于点 P 点 A 关 于 x 轴的对称点为 D，直线 BD 交 x 轴于点 Q.试探究 是否为定值？请说明理由. 21．（12 分）已知函数 ． （I）当 时，求 的单调区间； （II）若 有两个极值点 ,且 ，求 取值范围．（其中 e 为自然对数的底 数）． 2 5m≤ ≤ EFABCD / /AB CD AB BC⊥ EB ⊥ ABCD //BE DF 2 4 4CD BC AB= = = 2 4BE DF= = AC EF⊥ A CDF− 2: 4C x y= y x= ( )2,0 ( )0, 2− | | | |OP OQ⋅ 2( ) 2lnf x x ax x= − + 5a = ( )f x ( )f x 1 2,x x 1 2 1 1 3 x xe < < < a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 已知直线 ： ( 为参数)，曲线 ： （ 为参数）． (I)设 与 相交于 两点，求 ； (II)若把曲线 上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲线 ，设 点 P 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离的最大值． 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知： ， ，且 （I）若 求 x 的取值范围； （II） 恒成立，求 m 的取值范围. l 11 2 3 2 x t y t  = +  = t 1C cos sin x y θ θ =  = θ l 1C ,A B AB 1C 1 2 3 2 2C 2C l 0x > 0y > 6x y+ = | 5| | 4 | 6x y− + − ≤ | 5| | 4 | | 2 |x y m− + − ≥ −2020 年春四川省泸县第一中学高三三诊模拟考试 文科数学参考答案 1．C 2．B 3．B 4．D 5．B 6．D 7．A 8．C 9．B 10．B 11．D 12．D 13． 14．充分必要 15．3 . 16． 17．（Ⅰ）根据题意，设 的公比为 ，所以 解得 又 ， 所以 ． （Ⅱ）因为 ， 所 以 ． 18．解： (1)作出频率分布直方图,如图 根据上图,可知采购量在 168 箱以上(含 168 箱)的“熟客”人数为 (2)去年年底“熟客”所采购的鱼卷总数大约为 (箱) 2 6 ),2( +∞ { }nb q 2 1 2 1 1 1 4,{ 7, b q b b q b q = + + = 1 1,{ 2. b q = = 1 1n na a n+ − = + ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 2 2 1 1n n n n na a a a a a a a a a− − −= − + − +…+ − + − + ( ) ( ) 211 2 1 2 2 n n n nn n + += + + +…+ + = = 2 1 2 1 12 1na n n n n  = = − + +  1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 12 2 3 1 1 1 1n n a a a n n n n n n           + + + = − + − +…+ − + − = − =          − + + +           180 16850 20 0.005 0.020 1720 − × × + × =   110 10 130 10 150 5 170 20 190 5 7500× + × + × + × + × =小张去年年底总的销售量为 (箱) (3)若不在网上出售鱼卷,则今年年底小张的收入为 (元); 若在网上出售鱼卷,则今年年底的销售量为 箱,每箱的利润为 , 则今年年底小张的收入为 , 当 时, 取得最大值 256000 ∵ , ∴小张今年年底收入 的最大值为 256000 元. 19．（Ⅰ） 平面 ， 平面 又 则 又 平面 又 平面 （Ⅱ）三棱锥 的体积： 20．（1）因为椭圆 E 的一个焦点与抛物线 的焦点关于直线 对称， 所以椭圆 E 的右焦点为 ，所以 . 又椭圆 E 与坐标轴的一个交点坐标为 ，所以 ，又 ， 所以椭圆 E 的标准方程为 . （2）设直线 l 的方程为 ， ，则点 ，设 57500 120008 ÷ = 1200 20 240000Y = × = ( )12000 100m+ ( )20 m− ( )2 2(20 ) (12000 1000 ) 1000 8 240 1000 ( 4) 256Y m m m m m = − ⋅ + = − + + = − − +  4m = Y 256000 240000> Y EB ⊥ ABCD AC ⊂ ABCD EB AC∴ ⊥ , / /AB BC AB CD⊥ 90ABC BCD∴∠ = ∠ =  2 4 4CD BC AB= = = 1 2 AB BC BC CD ∴ = = ABC BCD∴∆ ∼ ∆ CAB DBC∠ = ∠ 90ABD DBC∠ + ∠ =  90ABD CAB∴∠ + ∠ =  AC BD∴ ⊥ EB BD B∩ = AC∴ ⊥ DBEF EF ⊂ DBEF AC EF∴ ⊥ A CDF− 1 1 1 1 8 3 3 3 2 3A CDF F ADC ADC BDCV V S DF S DF BC CD DF− − ∆ ∆= = ⋅ = ⋅ = × ⋅ ⋅ ⋅ = 2: 4C x y= y x= 1,0（ ） 1c = 2,0（ ） 2a = 2 2 2 3b a c= − = 2 2 14 3 x y+ = 2y kx= − 0k ≠ 2 ,0P k      ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y则点 ，联立直线 l 与椭圆 E 的方程有 ， 得 ，所以有 ，即 且 ，即直线 BD 的方程为 令\ ，得点 Q 的横坐标为 ， 代入得： ， 所以 ，所以 为定值 4. 21.（1） 的定义域为 ， ， 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 . （2∵ ， 有两个极值点 ∴令 ，则 的零点为 ，且 . ∴ ＞０, ∴ 或 ∵ ， ∴ . 根据根的分布，则 且 g( ) 2 1 4k > 1 2 2 1 2 2 16 3 4 4 3 4 kx x k x x k  + = +  = + 1 1 2 1 2 1 y y x x y y x x + −=+ − 0y = ( ) ( )1 2 1 21 2 2 1 1 2 1 2 2 2 4Q kx x x xx y x yx y y k x x − ++= =+ + − ( )2 2 8 32 24 21216 4 3 4Q k k kx k k k − −= = =−− + 2| | | | 2 4P QOP OQ x x kk ⋅ = ⋅ = ⋅ = | | | |OP OQ⋅ ( )f x ( )0 + ∞， ( ) ( )( )2 2 1 22 2 5 22 5 x xx xf x x x x x − −− + =′ = − + = ( )f x 10, 2      ( )2,+∞ 1 ,22      ( ) 22 2 22 x axf x x a x x =′ − += − + ( )f x ( ) 22 2g x x ax= − + ( )g x 1 2,x x 1 2 1 1 3 x xe < < < 2 16a∆ = − 4a < - 4a > 1 2 02 ax x+ = > 1 2 1=x x 4a > 1( ) 03g > 1 e 1 12 2 09 3 a× − + > 2 12 2 0a e e ⋅ − + < 2 202 3e ae + < < l ( )3 1y x= − 1C 2 2 1x y+ = 2 2 3( 1) 1 y x x y  = − + = ( ) 1 31,0 , ,2 2A B  −    AB 2 21 3(1 ) (0 ) 12 2 − + + =（2）曲线 ： （ 为参数）．设所求的点为 ， 则 到直线 的距离 . 当 时， 取得最大值 ． 23．（1）把 代入原不等式得 ， 此不等式等价于 或 或 分别解得： 或 货 ，故原不等式解集为 （2） ，当且仅当 ， 时取等号， ∴ ，故 . 2C 1 cos2 3 sin2 x y θ θ  =  = θ 1 3cos , sin2 2P θ θ      P l 3 3cos sin 32 2 3 1 d θ θ− − = = + 1 6 cos( ) 32 2 4 πθ + − cos( ) 14 pq + = - d 3 6 2 4 + 6y x= − | 5| | 2 | 6x x− + − ≤ 2 5 2 6 x x x   − + − ≤ 1 22 x≤ < 2 5x≤ ≤ 135 2x< ≤ 1 13,2 2      | 5| | 4 | | 9 | 3x y x y− + − ≥ + − = 0 5x< ≤ 0 4y< ≤ | 2 | 3m − ≤ 1 5m− ≤ ≤