四川省棠湖中学2020届高三数学（理）下学期第三次月考试题（Word版带答案）

2020 年春四川省棠湖中学高三第三学月考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第 I 卷 选择题（60 分） 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1．已知集合 ，集合 ，则 等于 A． B． C． D． 2．复数 （ 为虚数单位），则 等于 A．3 B． C．2 D． 3．函数 的图象大致为 A． B． C． D． { }2 3 10 0A x x x= − − < { }1 6B x x= − ≤ < A B { }1 5x x− < < { }1 5x x− ≤ < { }2 6x x− < < { }2 5x x− < < 2 1 iz i = − i z 2 2 2 ( )1 ln 1y xx = − +4．已知 ，则“m⊥n”是“m⊥l”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设 ， ，则 的值为 A． B． C． D． 6．在平行四边形 中， 若 则 A． B． C． D． 7．已知函数 为奇函数，且 ，则 A．2 B．5 C．1 D．3 8． 的展开式中的常数项为 A．－60 B．240 C．－80 D．180 9．已知函数 满足：当 时， ，且对任意 ，都 有 ，则 A．0 B．1 C．-1 D． 10．已知四棱锥 中， 平面 ，底面 是边长为 2 的正方形， ， 为 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 A． B． C． D． , , ,m n lα β α β α β⊥ ⊂ ⊂ = 1tan 2 α = 4cos( ) ( (0, ))5 π β β π+ = − ∈ tan 2( )α β− 7 24 − 5 24 − 5 24 7 24 ABCD 1 13, 2, , D,3 2AB AD AP AB AQ A= = = =    CP C 12,Q⋅ =  ADC∠ = 5 6 π 3 4 π 2 3 π 2 π 2( ) (2 )g x f x x= + (2) 3f = ( 2)f − = ( ) 6 3 21x x x  − +   ( )f x [ )2,2x∈ − ( ) ( ) 2 2 , 2 0 log ,0 2 x x xf x x x  + − ≤ ≤=  <    ,3 2 π π −   ω 2 ,23      20, 3      2 ,13      (0,2] 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b − = > > ( )0 0,P x y 4 0bx ay a− + = ( ) ( )2 2 0 0 1x x y y− + − = C ( ]1,2 ( ]1,4 [ )2,+∞ [ )4,+∞ 3 2 0 2 0 4 4 0 x y x y x y − − ≥  + − ≤  + + ≥ 2z x y= + { }na { }nb n nS nT 3 5 7 n n S n T n += + 7 7a b = 3 2( ) sin 3cos ,3 2f x x x x π π  = + ∈ −     ABC 1PA = 2PB = 2PC = 90A∠ =  ABC∆ ABC , ,A B C , ,a b c 2 2ccosB a b= +（I）求角 的大小； （II）若函数 图象的一条对称轴方程为 且 ，求 的值． 18．（12 分）在多面体 中，四边形 是正方形， 平面 ， ， ， 为 的中点. （I）求证： ； （II）求平面 与平面 所成角的正弦值. 19．（12 分）阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工 智能程序,由谷歌(Google)公司的团队开发.其主要工作原理是“深度学习”.2017 年 5 月,在中国乌镇围 棋峰会上,它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战,以 3 比 0 的总比分获胜.围棋界公认阿尔法围 棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平. 为了激发广大中学生对人工智能的兴趣,某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛, 从参加比赛的学生中随机抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计,得到如下数 据表: 成绩等级 成绩(分) 5 4 3 2 1 C ( ) 2sin 2 cos2 ( )6f x x m x m R π = + + ∈   2 Cx = 6 2 5f α  =   (2 )cos Cα + ABCDEF ABCD CF ⊥ ABCD CF DE 2 2AB CF DE= = = G BF CG AF⊥ BCF AEF A B C D E人数（名） 4 6 10 7 3 (I)根据上面的统计数据,试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人,其成绩等级为“ 或 ”的 概率; (II)根据(I)的结论,若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选 3 人,记 表示抽到成绩等级为 “ 或 ”的学生人数,求 的分布列及其数学期望 ； (III)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 1 分”的概率. 20．（12 分）设函数 . （I）若关于 的方程 在区间 上有解，求 的取值范围； （II）当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 21．（12 分）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 是椭圆上一动点（与 左、右顶点不重合）已知 的内切圆半径的最大值为 ，椭圆的离心率为 . （I）求椭圆 C 的方程； （II）过 的直线 交椭圆 于 两点，过 作 轴的垂线交椭圆 与另一点 （ 不与 重合）.设 的外心为 ，求证 为定值. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计 分。 A B X A B X EX ( ) ( ) 1xf x lnx g x xe x= = − −, x ( )f x x m= + [ ]1,3 m 0x > ( ) ( )g x a f x− ≥ a 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1F 2F 1 2PF F△ 3 3 1 2 2F l C ,A B A x C Q Q ,A B ABQ△ G 2 | |AB GF22．[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10 分） 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （I）求 和 的直角坐标方程； （II）设 为曲线 上的动点，求点 到直线 的距离的最小值. 23．[选修 4-5：不等式选讲]（10 分） 已知函数 ，其中 . （I）若 ，求实数 的取值范围； （II）记 中的 的最大值为 ，若正实数 满足 ，求 的最小 值. xOy C 21 ,2 2 x s y s  =  = s O x l cos 2 sin 9 0ρ θ ρ θ+ + = C l P C P l ( ) 2 2f x x a x a= + + + − a R∈ ( )2 5f − ≤ a ( )1 a M , ,m n p 2m n p M+ + = 1 1 m n n p ++ +2020 年春四川省棠湖中学高三第三学月考试 理科数学参考答案 1．B 2．D 3．A 4．B 5．D 6．C 7．B 8．D 9．C 10．B 11．B 12．D 13．3 14． 15． 16． 17．（1）由题意，根据正弦定理，可得 ， 又由 ，所以 ， 可得 ，即 ， 又因为 ，则 ，可得 ，∵ ，∴ ． （2）由（1）可得 ，所以函数 的图象的一条对称轴方程为 ， ∴ ，得 ，即 ， ∴ ， 又 ，∴ ， ∴ ． 18．（1）∵ 平面 ， 平面 ，∴ . 11 5 6 3 3 ,38  −     5 2 2sinCcosB 2sinA sinB= + ( )A B Cπ= − + ( )sin sin sin cos cos sinA B C B C B C= + = + 2sinCcosB 2sinBcosC 2cosBsinC sinB= + + 2sinBcosC sinB 0+ = ( )0,B π∈ sin 0B > 1cosC 2 = − ( )0,C π∈ 2πC 3 = ( ) ( )f x 2sin 2x 1 mcos2x 2sin2xcos 2cos2xsin mcos2x= + + = + + ( )3sin2x m 1 cos2x= + + ( )f x πx 3 = ( ) 2πf 0 f 3  =    ( )4π 4πm 1 3sin m 1 cos3 3 + = + + m 2= − ( ) πf x 3sin2x cos2x 2sin 2x 6  = − = −   α π 6f 2sin α2 6 5    = − =       π 3sin α 6 5  − =   ( ) 22π π π π 7cos 2α C cos 2α cos 2α- cos2 α 2sin α 13 3 6 6 25        + = + = − = − − = − − = −               CF ⊥ ABCD AB Ì ABCD CF AB⊥又∵四边形 是正方形，∴ . ∵ ，∴ 平面 .∵ 平面 ，∴ . 又∵ ， 为 的中点，∴ . ∵ ，∴ 平面 .∵ 平面 ，∴ . （2）∵ 平面 ， ，∴ 平面 . 以 为坐标原点， ， ， 所在的直线分别为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系. 如图所示：则 ， ， ， . ∴ ， ， . 设 为平面 的法向量，则 ，得 ， 令 ，则 .，由题意知 为平面 的一个法向量， ∴ ， ∴平面 与平面 所成角的正弦值为 . 19．(1)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的 30 名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或 ”的概率为： ，即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“ 或 ” 的概率为： . (2)由题意知随机变量 可取 ，则 . ,所以 的分布列为： ABCD AB BC⊥ BC CF C= AB ⊥ BCF CG ⊂ BCF CG AB⊥ 2BC CF= = G BF CG BF⊥ AB BF B= CG ⊥ ABF AF ⊂ ABF CG AF⊥ CF ⊥ ABCD CF DE DE ⊥ ABCD D DA DC DE x y z ( )0,0,0D ( )2,0,0A ( )0,2,0C ( )0,0,1E ( )0,2,2F ( )2,0,1AE = − ( )0,2,1EF = ( )0,2,0DC = ( ), ,n x y z= AEF · 0 · 0 n AE n EF  =  =   2 0 2 0 x z y z − + =  + = 1x = ( )1, 1,2n = − ( )0,2,0DC = BCF ( ) 2 6cos , 6| || | 6 2 n DCn DC n DC −= = = − ×      BCF AEF 26 301 ( )6 6 − − = A B 4 6 1 30 30 3 + = A B 1 3 X 0,1,2,3 1~ 3, 3X B     ( ) ( )3 4 3 1 2 0,1,2,33 3 k k P x k C k −   = = =       X0 1 2 3 则 ,所求期望值为 1 (3)设事件 :从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 1 分. 设从这 30 名学生中，随机选取 2 人,记两个人的成绩分别为 , 则基本事件的总数为 ,不妨设 , 当 时， ,基本事件的个数为 ； 当 时， ，基本事件的个数为 ； 当 时, ,基本事件的个数为 ； 20．解：（1）方程 ，即为 令 ， 则 在 恒成立，故 在 上单调递减. ， 当 时， 的取值范围是 （2）依题意，当 时， 恒成立. 令 ， 则 令 ，则当 时， ， 函数 在 上单调递增， ， ， 存在唯一的零点 ， X P 8 27 4 9 2 9 1 27 ( ) 13 13E x = × = M ,m n 2 20C m n> 5m = 3,2,1n = ( )2 1 1 1 4 10 7 3C C C C+ + 4m = 2,1n = ( )1 1 1 6 7 3C C C+ 3m = 1m = 1 1 10 3C C ( ) 34 87P M = ( )f x x m= + ln .x x m− = ( ) ( )0h x lnx x x= − > ( ) 1 1' 1 0xh x x x −= − = ≤ [ ]1,3x∈ ( )h x [ ]1,3 ( ) ( )1 1, 3 3 3h h ln= − = − ∴ [ ]1,3x∈ ( ) [ ]3 3, 1h x ln∈ − − m∴ [ ]3 3, 1ln − − 0x > ( ) ( )g x f x a− ≥ ( ) ( ) ( ) ( )1 0xF x g x f x x e lnx x x= − = ⋅ − − − > ( ) ( ) ( ) ( )11' 1 1 1x xxF x x e x ex x += + ⋅ − − = ⋅ ⋅ − ( ) 1xG x x e= ⋅ − 0x > ( ) ( )' 1 0xG x x e= + > ∴ ( )G x (0 )+ ∞， ( )0 1 0G = − ( )G x∴ ( )0,1c∈且当 时， ，当 时， ， 则当 时， ，当 时， ， 在 上单调递减，在 上单调递增，从而 . 由 得 ，两边取对数得 ， ， ， ，即实数 的取值范围是 21．（1）由题意知： ，∴ ，∴ .设 的内切圆半径为 ， 则 ， 故当 面积最大时， 最大，即 点位于椭圆短轴顶点时 ， 所以 ，把 代入，解得： ，所以椭圆方程为 . （2）由题意知，直线 的斜率存在，且不为 0，设直线 为 ， 代入椭圆方程得 . 设 ，则 ， 所以 的中点坐标为 ， 所以 . ( )0,x c∈ ( ) 0G x < ,( )x c∈ +∞ ( ) 0G x > ( )0,x c∈ ( )F' 0x < ,( )x c∈ +∞ ( )' 0F x > ( )F x∴ ( )0,c ( , )c +∞ ( ) ( ) 1xF x F c ce lnc c≥ = − − − ( ) 0G c = 1 0, 1c cce ce− = = 0lnc c+ = ( ) 0F c∴ = ( ) ( ) 0F x F c∴ ≥ = 0a∴ ≤ a ( ],0∞- 1 2 c a = 2 2 22 ,a c b a c= = − 3b c= 1 2PF F△ r ( ) 1 2 1 2 1 2 1 1 (2 2 ) ( )2 2PF FS PF PF F F r a c r a c r= + + ⋅ = + ⋅ = + ⋅  1 2PF F△ r P 3 3r = 3 ( )3 a c bc+ = 2 , 3a c b c= = 2, 3a b= = 2 2 14 3 x y+ = AB AB 1x my= + ( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A x y B x y 1 2 1 22 2 6 9,3 4 3 4 my y y ym m − −+ = =+ + AB 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m −   + +  ( )22 2 2 1 2 2 12 112 1| | 1 | 2 | 1 3 4 3 4 mmAB m y m m m ++= + − = + × =+ +因为 是 的外心，所以 是线段 的垂直平分线与线段 的垂直平分线的交点， 的垂直平分线方程为 ， 令 ，得 ，即 ，所以 所以 ，所以 为定值，定值为 4. 22．（1） 的直角坐标方程为： ， 将 代入 的极坐标方程得 的直角坐标方程为： . （2）设 ，则点 到直线 的距离 ， 当 时，距离最小，最小值为 . 23．解：（1）由条件知 ，则函数图象如下所示： 又 ， 或 或 解得 （2）由（1）知， ， 于是 G ABQ△ G AB AQ AB 2 2 3 4 3 4 3 4 my m xm m  + = − − + +  0y = 2 1 3 4x m = + 2 1 ,03 4G m   +  2 2 2 2 1 3 313 4 3 4 mGF m m += − =+ + ( )2 2 2 2 2 12 1 | | 123 4 43 3 3 3 4 m AB m mGF m + += = =+ + 2 | |AB GF C 2 4y x= cos , sinx yρ θ ρ θ= = l l 2 9 0x y+ + = 21 , 22P s s    P l 22 11 ( 2 2) 5| 2 2 9 22 1 4 5 ss s d + ++ + = = + 2 2s = − 5 5 5 d = = ( ) 3 2, 0 2 2 2 2, 1 0 3 2, 1 a a f a a a a a a + > − = + + = + − ≤ ≤ − − < − ( )2 5f − ≤ 3 2 5 0 a a + ≤∴ > 2 5 1 0 a a + ≤ − ≤ ≤ 3 2 5 1 a a − − ≤  < − 7 ,13a  ∈ −   1M = 2 1m n p∴ + + = ( )1 1 1 1 m n n pm n n p m n n p  + = + + + + + + + + ， 当且仅当 时取等号， 故 的最小值为 . 2 2 42 n p m n n p m n m n n p m n n p + + + += + + ⋅+ + ≥ ++ =+ n p m n m n n p + +=+ + 1 1 m n n p ++ + 4