2019-2020 学年第二学期高三年级第八次统练数学试卷
满分：150 时间：120 分钟
一、选择题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）
1. 记全集 ，集合 ，集合 ，则
A. B. C. D.
2. 若 ， ，则“ ”是“ ”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知各项均为正数的等比数列 的前 4 项和为 15，且 ，则
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
4. 函数 的图象大致为
A. B.
C. D.
5. 已知 ， ， ，则 a，b，c 的大小关系为
A. B. C. D.
6. 已知圆 与直线 交于 A、B 两点，过 A、B 分别作 A
轴的垂线，且与 x 轴分别交于 C、D 两点，若 ，则
A. 3 B. 2 C. D. 1
7. 已知函数 的图象与 x 轴交点的横坐标构成一个
公差为的等差数列，把函数 的图象沿 x 轴向左平移个单位，纵坐标扩大到原来的 2
倍得到函数 的图象，则下列关于函数 的命题中正确的是
A. 函数 是奇函数
B. 的图象关于直线 对称
C. 在 上是增函数
D. 当 时，函数 的值域是
8. 已知点 是双曲线 的左焦点，过 F 且平行于双曲线渐近线的直
线与圆 交于点 P，且点 P 在抛物线 上，则该双曲线的离心率的平
方是A. B. C. D.
9. 已知函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线
的对称点在 的图象上，则实数 k 的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分）
10. 已知复数 ，则复数 z 的虚部为______．
11. 在二项式 的展开式中，常数项是______ ．
12. 如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布
直方图．若一个月以 30 天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天
数为______．
13. 在三棱锥 中， 平面 ABC， ， ， ， ，则三棱锥
的外接球的表面积为______．
14. 已知 a，b 均为正数，且 ，则当 ______时，代数式 的最小值为
______．
15. 如图，在 中，已知 ， ， ，D 为边 BC 的中点若
，垂足为 E，连接 BE，则 的值为________．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
16. 已知 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 ．Ⅰ求角 A
的值；Ⅱ若 ， ，求 的值．17. 如图，三棱柱 中， 侧面 ，已知 ， ，
，点 E 是棱 的中点．
求证： 平面 ABC；
求二面角 的余弦值；
在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 所成角的正弦值为 ，若存在，
求出 的值；若不存在，请说明理由．
18. 已知椭圆 的左、右焦点为 、
， ，若圆 Q 方程 ，
且圆心 Q 满足 ．Ⅰ求椭圆 的方程；Ⅱ
过点 的直线 ： 交椭圆 于 A、B 两点，
过 P 与 垂直的直线 交圆 Q 于 C、D 两点，M 为线段
CD 中点，若 的面积为 ，求 k 的值．19. 已知数列 满足 ．
设 ，求数列 的通项公式；
求数列 的前 n 项和 ；
记 ，求数列 的前 n 项和 ．
已知函数 ， ．
当 时，求函数 的单调区间和极值；
若对于任意 ，都有 成立，求实数 k 的取值范围；
若 ，且 ，证明： ．2019-2020 学年度第二学期高三年级第八次统练数学
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解： 全集 ，集合 或 ，
集合 ，
，
．
故选：C．
求出集合 A，集合 B，从而求出 ，由此能求出 ．
本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集等基础知识，考查运算求解能力，是基础
题．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，均值不等式，考查了推理能力与计算能力．
充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果．
【解答】
解： ， ， ，
， ，即 ，
若 ， ，则 ，
但 ，
即 推不出 ，
是 的充分不必要条件
故选 A．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质和前 n 项和公式，考查方程思想，属基础题．
设等比数列 的公比为 ，根据条件可得 ，解方程即
可．
【解答】
解：设等比数列 的公比为 ，
则由前 4 项和为 15，且 ，有
，
故选 C．4.【答案】D
【解析】解：函数的定义域为 ，
，
则函数 为偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 B，
当 时， ，排除 A，
当 时， ，排除 C，
故选：D．
根据条件平时函数的奇偶性，结合函数值的符号是否对应，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数奇偶性和对称性的关系，以及函数值的对应
性，利用排除法是解决本题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查对数、指数的大小比较，这里尽量借助于整数 1 作为中间量来比较．本题属中
档题．
本题先将 a、b、c 的大小与 1 作个比较，发现 ，a、c 都小于 再对 a、c 的表达式进行
变形，判断 a、c 之间的大小。
【解答】
解：由题意，可知：
，
．
，
最大，a、c 都小于 1．
， ．
而 ，
．
，
．
故选 A．
6.【答案】D
【解析】解：设 ， ，
由 ，消去 y，得 ，
由韦达定理知， ， ，
，
即 ， ，
解得 或 ，又 ， ．
故选：D．
利用设而不求的思想，联立方程，设出 ， ，由根与系数的关系结合
列式求出 m 的值．
本题考查直线和圆的位置关系的运用，考查“设而不求”的解题思想方法，考查计算能力，是
中档题．
7.【答案】C
【解析】解：函数 ，
由题意知 ，解得 ，
所以 ，
所以 ；
把函数 的图象沿 x 轴向左平移个单位，
得 ；
纵坐标扩大到原来的 2 倍，得 ；
则函数 ；
所以 不是定义域 R 上的奇函数，A 错误；
时， ， ，
所以 的图象不关于直线 对称，B 错误；
时， ，
所以 是增函数，C 正确；
时， ， ，
所以函数 的值域是 ，D 错误．
故选：C．
由辅助角公式把三角函数化简，求出周期和 的值，写出三角函数解析式，
再由图象平移变换得到 的解析式，判断选项中的命题真假性即可．
本题考查了命题的真假判断问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是中档
题．
8.【答案】D
【解析】解：如图，设抛物线 的准线为 l，
作 于 Q，
双 曲 线 的 右 焦 点 为 ， 由 题 意 可 知 为 圆的直径，
设 ， ，则 ，且 ，
满足 ，
将 代入 得 ，
则 ，
即 ，或 舍去
将 代入 ，
得 ，
即 ，再将 y 代入 得，
，
即 ，
，
即
．
故选：D．
利用抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质、联立方程组，建立 a，
c 的关系即可得到结论．
数列掌握抛物线的性质、双曲线的渐近线、直线平行的性质、圆的性质是解题的关键．本题
运算量较大，综合性较强，难度较大．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
由 题 意 可 化 为 函 数 图 象 与
的图象有且只有四个不
同的交点，结合题意作图求解即可．
本题考查了函数的性质的判断与应
用，同时考查了学生的作图能力及数
形结合的思想应用．
【解答】
解： 函数 的图象上有且仅有四个不同的点关于直线 的对称点在 的图象上，
而函数 关于直线 的对称图象为 ，
的图象与 的图象有且只有四个不同的交点．
作函数 的图象与 的图象如下，
易知直线 恒过点 ，
设直线 AC 与 相切于点 ，
，
故 ，
解得， ；
故 ．
设直线 AB 与 相切于点 ，
，
故 ，
解得， ．
故 ；
故 ，
故 ．
故选 A．
10.【答案】
【解析】解： ，
复数 z 的虚部为．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
11.【答案】180
【解析】解：二项式 的展开式的通项公式为 ，
令 ，则 ，
常数项是 ，
故答案为：180．
在二项展开式的通项公式中，令 x 的幂指数等于 0，求出 r 的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式
中某项的系数，属于基础题．
12.【答案】9
【解析】解：根据频率分布直方图，得：
日销售量不少于 150 个的频率为 ，
则估计这家面包店一个月内日销售量不少于 150 个的天数为： ．
故答案为：9．
根据频率分布直方图，求出对应的频率与频数即可．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率 的应用问题，是基础题
目．
13.【答案】
【解析】解： 在三棱锥 中， 平面 ABC， ， ， ， ，
以 AB，BC，PA 为长宽高构建长方体，
则长方体的外接球就是三棱锥 的外接球，
三棱锥 的外接球的半径 ，
三棱锥 的外接球的表面积为：
．
故答案为： ．
以 AB，BC，PA 为长宽高构建长方体，则长方体的外接球就是三棱锥 的外接球，由
此能求出三棱锥 的外接球的表面积．
本题考查三棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基
础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为 ，所以 ，
则 ，
当且仅当 且 即 时取等号，此时取得最小值 ．
故答案为： ， ．
结合已知，把所求的式子分子上的 1 进行代换 ，然后进行分离后结合基本不等
式即可求解．
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是应用条件的配凑．
15.【答案】
【解析】【分析】
考查向量加法的几何意义，向量数量积的运算，余弦定理，考查运算求解能力，是较难
题．在 中，由余弦定理即可求出 ，从而得出 ，并求出 ，
这样在 中，由余弦定理即可求出 AD 的值，从而求出 ，这样在
中即可求出 DE 的值，而 ，从而可求出数量积 的值．
【解答】
解：在 中， ， ，
由余弦定理得：
，
， ，
．
在 中：
，
，
，
在 中， ；
．
故答案为： ．
16.【答案】解：Ⅰ ，
由正弦定理得， ．
化简得， ．
由余弦定理得， ．
又 ，
．Ⅱ由Ⅰ知， ，
又 ， ，．
又 ， ，
．
，
，
．
【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两
角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档
题．Ⅰ由正弦定理化简已知可得 ，由余弦定理 cosA 的值，结合范围
，可求 A 的值．Ⅱ由正弦定理可求sinB，利用同角三角函数基本关系式可求 cosB
的值，根据二倍角公式可求 sin2B，cos2B 的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．
17.【答案】 证明： ， ， ，
，
， ，
又 侧面 ， ，
又 ， 平面 ABC；
以 B 为原点，BC， ，BA 分别为 x， y，z
轴，建立空间直角坐标系，
则 0 ， ， 0 ， ， ，
，
， 0， ；
则 ， ， 0， ；
设平面 的法向量为 y， ，则 ，即 ，
令 ，得 ， ，所以 ；
设平面 的法向量为 y， ，则 ，即 ，
令 ，求得 ；
， ，二面角 的余弦值为 ；
假设在棱 CA 上存在一点 M，使得 EM 与平面 所成角的正弦值为 ，
不妨设 ， ；
又 y， ， 0， ；
即 ，所以 0， ；
所以 ，平面 的法向量为 ；
则 EM 与平面 所成角的正弦值为：
， ，
化简得 ，解得 或 ；
所以在棱 CA 上是否存在一点 M，使得 EM 与平面 所成角的正弦值为 ，
此时 或 ．
【解析】 推导出 ， ，由此证明 平面 ABC．
以 B 为原点，BC， ，BA 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出
二面角 的余弦值；
设在棱 CA 上存在一点 M，使得 EM 与平面 所成角的正弦值为 ，且 ，
，利用法向量求出 EM 与平面 所成角的正弦值，列方程求出 的值即可．
本题考查了线面垂直的证明问题，也考查了线面角、面面角的计算问题，考查了运算求解能
力，是中档题．
18. 【 答 案 】 解 ： Ⅰ 由 题 意 可 知 ： ， ， ， ，
， ，
椭圆 的方程为 ；Ⅱ设 ， ，由
消去 y，得 ，
， ， ，
，
为线段 CD 中点， ，
又 ， ， ，又点 Q 到 的距离 ，
．
此时 ，
圆心 Q 到 的距离 ，成立；
综上： 即为所求．
【 解 析 】 Ⅰ 由 题 意 焦 距 及 焦 点 在 x 轴 的 焦 点 坐 标 ， 和 Q 坐 标 即 可 求 出 ， a ， c 再
，即可写出椭圆方程；Ⅱ设 的方程联立椭圆，设而不求的方法求出弦长 AB，
再由题意直线 CD，联立圆，设而不求求出 CD 的中点 M 坐标，再用点到直线的距离公式求
出 M 到直线 AB 的距离，由面积求出参数 k 的值．
考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题
19. 【 答 案 】 解 ： 数 列 满 足 ， 可 得 ： ， 设
，数列 是等差数列，公差为 1，首项为 1，所以 ；
易得 ，其前 n 项和： ，
，
可得：
；
，
或写成 ．
【解析】 利用已知条件两边同除 ，推出数列 是等差数列，然后求解的通项公
式．
利用数列 的通项公式，求解数列 的通项公式，然后通过错位相减法求和即可．
化简通项公式，利用裂项求和求解即可．
本题考查数列通项公式的求法，数列求和的应用，考查计算能力．20.【答案】解： ，
， ，
当 时， ， ，
函数 的单调增区间是 ，无单调减区间，无极值；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ；当 ， ，
函数 的单调减区间是 ，单调增区间是 ，
在区间 上的极小值为
，无极大值．
对于任意 ，都有 成立，
，
即问题转化为 对于 恒成立，
即 对于 恒成立，
令 ，则 ，
令 ， ，则 ，
在区间 上单调递增，
故 ，
故 ，
在区间 上单调递增，函数 ，
要使 ，对于 恒成立，只要 ，
，即实数 k 的取值范围是 ．
证明： ，由 知，函数 在区间 上单调递减，在区间
上单调递增，且 ，
不妨设 ，则 ，
要证 ，只要证 ，即证 ，
在区间 上单调递增，
，又 ，即证 ，
构造函数
，
即 ，，
， ， ，即 ，
函数 在区间 上单调递增，故 ，
，故 ，
，即 ，
成立．
【解析】本题考查函数的单调区间和极值的求法，考查实数的取值范围的求法，考查不等式
的证明，属于难题．
由题意 ， ，由此根据 ， 利用导数
性质分类讨论，能求出函数 的单调区间和极值．
问题转化为 对于 恒成立，令 ，则 ，
令 ， ，则 ，由此利用导数性质能求出实数 k 的
取值范围．
设 ，则 ，要证 ，只要证 ，即证 ，
由此利用导数性质能证明 ．
微信/支付宝扫码支付