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2020 届湘赣皖·长郡十五校高三联考 第二次考试
数学(理科)试卷
总分：150 分 时量：120 分钟
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第 I 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知复数 z＝ ，则|z|＋z 在复平面内对应的点位于
A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限
2.已知 A＝{x∈Z|log2(x－2)≤2}，B＝{x|－x2＋4x－3c C.a>b>c D.c>a>b
5.干支历法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历，是一部深奥的历法。它是用 60 组各
不相同的天干地支标记年月日时的历法。具体的算法如下：先用年份的尾数查出天干，如 2013
2i)(1
i2
+
+
∅
3 2 3
2
1
3
13
3
1 7(( ) ), log( ), l2 o 54 ( g )c ff b f ==年 3 为癸；再用 2013 年除以 12 余数为 9，9 为巳。那么 2013 年就是癸巳年了。
2020 年高三应届毕业生李东是壬午年出生，李东的父亲比他大 25 岁，问李东的父亲是哪一年
出生
A.甲子 B.乙丑 C.丁巳 D.丙卯
6.函数 f(x)＝ 的大致图象是
7.纹样是中国传统文化的重要组成部分，它既代表着中华民族的悠久历史、社会的发展进步，
也是世界文化艺术宝库中的巨大财富。小楠从小就对纹样艺术有浓厚的兴趣，收集了如下 9
枚纹样徽章，其中 4 枚凤纹徽章，5 枚龙纹徽章。小楠从 9 枚徽章中任取 3 枚，则其中至少有
一枚凤纹徽章的概率为
A. B. C. D.
8.设函数 f(x)＝sin( x－ )( ∈N*)在[ ， ]上单调递减，则下述三个结论：
①f(x)在[ ，π]上的最大值为 ，最小值为－1；
②f()在[0，2π]上有且仅有 4 个零点；
③f(x)关于 x＝ 轴对称；
其中所有正确结论的编号是
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
9.在直角△ABC 中，∠A＝ ，点 D 在边 BC 上，AD＝4，AC＝5，且△ADC 的面积为 8，
2
sin
cos
x x
x x
−
+
3
4
37
42
21
37
5
42
ω
6
π ω 5
12
π 5
6
π
2
π 1
2
7
12
π
2
π则 cosB＝
A. B. C. D.
10.已知随机变量 X～N(1，σ2)，且 P(X点在直线 3x－4y＋1＝0 上，则此椭圆的离心率为 。
16.已知 A、B、C、D 四点都在表面积为 100π 的球 O 的表面上，若 BC＝4 ，∠BAC＝
120°，则球 O 内接三棱锥 A－BCD 的体积的最大值为 。
三、解答题(共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分 12 分)
设数列{an}的前 n 项和为 Sn，Sn＝3an－2n，bn＝an＋2，cn＝ 。
(1)证明：{bn}为等比数列，并求 an；
(2)记 Tn 为{cn}的前 n 项和，Tn > 3
2 3 1
2发展“会员”、提供优惠，成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式。某连锁店为了
吸引会员，在 2019 年春节期间推出一系列优惠促销活动，抽奖返现便是针对“白金卡会员”、
“金卡会员”、“银卡会员”“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动：“白金
卡会员”“金卡会员”、‘银卡会员”、“基本会员”分别有 4 次、3 次、2 次、1 次抽奖机会。抽
奖机如图：抽奖者第一次按下抽奖键，在正四面体的顶点 O 出现一个小球，再次按下抽奖键，
小球以相等的可能移向邻近的顶点之一，再次按下抽奖键，小球又以相等的可能移向邻近的
顶点之一……每一个项点上均有一个发光器，小球在某点时，该点等可能发红光或蓝光。若
出现红光则获得 2 个单位现金，若出现蓝光则获得 3 个单位现金。
(1)求“银卡会员”获得奖金的分布列；
(2)Pi(i＝1，2，3，4，…)表示第 i 次按下抽奖键，小球出现在 O 点处的概率。
①求 P1，P2，P3，P4 的值；
②写出 Pn＋1 与 Pn 关系式，并说明理由。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ex(xlnx＋ )，g(x)＝ax，a∈Z，其中 e 是自然对数的底数。
(1)求函数 f(x)在 x＝1 处的切线方程；
(2)当 x>0 时，f(x)>g(x)恒成立，求 a 的最大值。
请考生在第 22、23 题中任选一题作答，若多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 xOy 中，直线 l 经过点 P(3，0)，倾斜角 ，曲线 C 的参数方程为
(θ 为参数)，以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)写出直线 l 的极坐标方程和曲线 C 的直角坐标方程；
(2)设直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求|PA|＋|PB|的值。
23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲
已知 a>0，b>0，c>0，函数 f(x)＝|x＋a|＋|x－b|＋c。
2
e
6
π 2cos
3siny
x θ
θ
=
=
(1)当 a＝1，b＝2 时，求不等式 f(x)>5＋c 的解集；
(2)当 f(x)的最小值为 6 时，证明： 。
2 2 2 2 2 2
122 2 2
a b a c b c+ + + ≥+ +
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