高中数学易错题举例解析

高中数学易错题举例解析 高 中 数 学 中 有 许 多 题 目 ， 求 解 的 思 路 不 难 ， 但 解 题 时 ， 对 某 些 特 殊 情 形 的 讨 论 ，却 很 容 易 被 忽 略 。也 就 是 在 转 化 过 程 中 ，没 有 注 意 转 化 的 等 价 性 ，会 经 常 出 现 错 误 。本 文 通 过 几 个 例 子 ，剖 析 致 错 原 因 ，希 望 能 对 同 学 们 的 学 习 有 所 帮 助 。 加 强 思 维 的 严 密 性 训 练 。 ● 忽 视 等 价 性 变 形 ， 导 致 错 误 。 (x > 0 y > 0) ⇔ (x + y > 0 xy > 0 )， 但 (x > 1 y > 2)与 (x + y > 3 xy > 2 )不 等 价 。 【 例 1】 已 知 f(x) = ax + x b， 若 求 的 范 围 。 错 误 解 法 由 条 件 得 ② × 2－ ① ① × 2－ ② 得 + 得 错 误 分 析 采 用 这 种 解 法 ， 忽 视 了 这 样 一 个 事 实 ： 作 为 满 足 条 件 的 函 数 ， 其 值 是 同 时 受 制 约 的 。 当 取 最 大 （ 小 ）值 时 ， 不 一 定 取 最 大 （ 小 ） 值 ， 因 而 整 个 解 题 思 路 是 错 误 的 。 正 确 解 法 由 题 意 有 , 解 得 ： 把 和 的 范 围 代 入 得 在 本 题 中 能 够 检 查 出 解 题 思 路 错 误 ， 并 给 出 正 确 解 法 ， 就 体 现 了 思 维 具 有 反 思 性 。 只 有 牢 固 地 掌 握 基 础 知 识 ， 才 能 反 思 性 地 看 问 题 。 ,6)2(3,0)1(3 ≤≤≤≤− ff )3(f    ≤+≤ ≤+≤− 6223 03 ba ba ② ① 156 ≤≤ a ③ 3 2 33 8 −≤≤− b ④ ③ ④ .3 43)3(3 10,3 43 333 10 ≤≤≤+≤ fba 即 b xaxxf +=)( ba和 a b    += += 22)2( )1( baf baf )],2()1(2[3 2)],1()2(2[3 1 ffbffa −=−= ).1(9 5)2(9 16 33)3( ffbaf −=+=∴ )1(f )2(f .3 37)3(3 16 ≤≤ f2 ● 忽 视 隐 含 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。 【 例 2】 (1) 设 是 方 程 的 两 个 实 根 ，则 的 最 小 值 是 思 路 分 析 本 例 只 有 一 个 答 案 正 确 ， 设 了 3 个 陷 阱 ， 很 容 易 上 当 。 利 用 一 元 二 次 方 程 根 与 系 数 的 关 系 易 得 ： 有 的 学 生 一 看 到 ， 常 受 选 择 答 案 （ A） 的 诱 惑 ， 盲 从 附 和 。 这 正 是 思 维 缺 乏 反 思 性 的 体 现 。如果 能 以 反 思 性 的 态 度 考 察 各 个 选 择 答 案 的 来 源 和 它 们 之 间 的 区 别 ， 就 能 从 中 选 出 正 确 答 案 。 原 方 程 有 两 个 实 根 ， ∴ ⇒ 当 时 ， 的 最 小 值 是 8； 当 时 ， 的 最 小 值 是 18。 这 时 就 可 以 作 出 正 确 选 择 ， 只 有 （ B） 正 确 。 (2) 已 知 (x+2)2+ y2 4 =1, 求 x2+y2 的 取 值 范 围 。 错 解 由 已 知 得 y2=－ 4x 2－ 16x－ 12， 因 此 x 2+y2=－ 3x 2－ 16x－ 12=－ 3(x+ ) 2+ ， ∴ 当 x=－ 8 3时 ， x2+y2 有 最 大 值 28 3 ， 即 x2+y2 的 取 值 范 围 是 (－ ∞ , 28 3 ]。 分 析 没 有 注 意 x 的 取 值 范 围 要 受 已 知 条 件 的 限 制 ， 丢 掉 了 最 小 值 。 事 实 上 ， 由 于 (x+2)2+ y2 4 =1 ⇒ (x+2) 2=1－ y2 4 ≤ 1 ⇒ － 3≤ x≤ － 1， βα、 0622 =++− kkxx 22 )1()1( −+− βα 不存在)D(18)C(8)B(4 49)A( − ,6,2 +==+ kk αββα .4 49)4 3(4 2)(22)( 1212)1()1( 2 2 2222 −−= ++−−+= +−++−=−+−∴ k βααββα ββααβα 4 49−  βα、 0)6k(4k4 2 ≥+−=∆ .3k2k ≥−≤ 或 3≥k 22 )1()1( −+− βα 2−≤k 22 )1()1( −+− βα 3 8 3 28从 而 当 x=－ 1 时 x 2+y2 有 最 小 值 1。 ∴ x 2+y2 的 取 值 范 围 是 [1, 28 3 ]。 注 意 有 界 性：偶 次 方 x2≥ 0， 三 角 函 数 － 1≤ sinx≤ 1， 指 数 函 数 a x>0， 圆 锥 曲 线 有 界 性 等 。 ● 忽 视 不 等 式 中 等 号 成 立 的 条 件 ， 导 致 结 果 错 误 。 【 例 3】 已 知 ： a>0 , b>0 , a+b=1,求 (a+ 1 a)2+(b+ 1 b)2 的 最 小 值 。 错 解 (a+ )2+(b+ )2=a2+b2+ + +4≥ 2ab+ +4≥ 4 +4=8, ∴ (a+ )2+(b+ )2 的 最 小 值 是 8. 分 析 上 面 的 解 答 中 ， 两 次 用 到 了 基 本 不 等 式 a2+b2≥ 2ab， 第 一 次 等 号 成 立 的 条 件 是 a=b= ,第 二 次 等 号 成 立 的 条 件 是 ab= ，显 然 ，这 两 个 条 件 是 不 能 同 时 成 立 的 。 因 此 ， 8 不 是 最 小 值 。 事 实 上 ， 原 式 = a2+b2+ + +4=( a2+b2)+( + )+4=[(a+b)2－ 2ab]+[( + )2－ ]+4 = (1－ 2ab)(1+ )+4， 由 ab≤ ( ) 2= 得 ： 1－ 2ab≥ 1－ = , 且 ≥ 16， 1+ ≥ 17， ∴ 原 式 ≥ × 17+4= (当 且 仅 当 a=b= 时 ， 等 号 成 立 )， ∴ (a + )2 + (b + )2 的 最 小 值 是 25 2 。 ● 不 进 行 分 类 讨 论 ， 导 致 错 误 【 例 4】 (1)已 知 数 列 的 前 项 和 ， 求 错 误 解 法 错 误 分 析 显 然 ， 当 时 ， 。 错 误 原 因 ： 没 有 注 意 公 式 成 立 的 条 件 是 。 a 1 b 1 2 1 a 2 1 b ab 2 abab 1• a 1 b 1 2 1 ab 1 2 1 a 2 1 b 2 1 a 2 1 b a 1 b 1 ab 2 22 1 ba 2 ba + 4 1 2 1 2 1 22 1 ba 22 1 ba 2 1 2 25 2 1 a 1 b 1 { }na n 12 += n nS .na .222)12()12( 111 1 −−− − =−=+−+=−= nnnnn nnn SSa 1=n 123 11 11 =≠== −Sa 1−−= nnn SSa4 因 此 在 运 用 时 ， 必 须 检 验 时 的 情 形 。 即 ： 。 (2)实 数 为 何 值 时 ， 圆 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 。 错 误 解 法 将 圆 与 抛 物 线 联 立 ， 消 去 ， 得 ① 因 为 有 两 个 公 共 点 ， 所 以 方 程 ① 有 两 个 相 等 正 根 ， 得 ， 解之 得 错 误 分 析 （ 如 图 2－ 2－ 1； 2－ 2－ 2） 显 然 ， 当 时 ， 圆 与 抛 物 线 有 两 个 公 共 点 。 要 使 圆 与 抛 物 线 有 两 个 交 点 的 充 要 条 件 是 方 程 ① 有 一 正 根 、 一 负 根 ； 或 有 两 个 相 等 正 根 。 当 方 程 ① 有 一 正 根 、 一 负 根 时 ， 得 解 之 ， 得 1−−= nnn SSa 1=n    ∈≥ == ),2( )1(1 NnnS nSa n n a 012 222 =−+−+ aaxyx xy 2 12 = 012 222 =−+−+ aaxyx xy 2 12 = y ).0(01)2 12( 22 ≥=−+−− xaxax       >− >− =∆ .01 02 12 0 2a a .8 17=a 0=a    ∆ .01 0 2a .11 = xxy x )30(0 ≠>= xxy 且 )30(0 ≠>= xxy 且 y α β βα 轴－y− °60 β C′ )0(22 >′= pxpy C′ α C′ β .0),0,2( >′ ppF βα 轴－y− °60 轴，轴轴，轴 yxyx ⊥⊥′ .60°=′∠ xxo F′ α ),( yxF F x y O x′ β α x F′ · 图 3 － 2 －2从 而 所 以 所 以 点 是 所 求 射 影 的 焦 点 。依题 意 ， 射 影 是 一 条 抛 物 线 ，开 口 向 右 ，顶 点 在 原 点 。所 以 曲 线 在 内 的 射 影 的 曲 线 方 程 是 错 误 分 析 上 述 解 答 错 误 的 主 要 原 因 是 ， 凭 直 观 误 认 为 F 是 射 影 (曲 线 ) 的 焦 点 ， 其 次 ， 没 有 证 明 默 认 C/在α 内 的 射 影 (曲 线 )是 一 条 抛 物 线 。 正 确 解 法 在 内 ， 设 点 是 曲 线 上 任 意 一 点 （ 如 图 3－ 2－ 3） 过 点 作 ， 垂 足 为 ， 过 作 轴 ， 垂 足 为 连 接 ， 则 轴 。 所 以 是 二 面 角 的 平 面 角 ， 依 题 意 ， . 在 又 知 轴 （ 或 与 重 合 ）， 轴 （ 或 与 重 合 ），设 ， 则 因 为 点 在 曲 线 上 ， 所 以 即 所 求 射 影 的 方 程 为 44、设 椭 圆 的 中 心 是 坐 标 原 点 ，长 轴 在 轴 上 ，离 心 率 ，已 知 点 到 这 个 椭 圆 上 的 最 远 距 离 是 ， 求 这 个 椭 圆 的 方 程 。 错 误 解 法 依 题 意 可 设 椭 圆 方 程 为 ,90,60,0 °=′∠°=′∠= FOFOFFy .42 1 260cos ppFOOF =⋅=°⋅′= )0,4( pF C′ α .2 pxy = β ),( yxM ′′ M α⊥MN N N yNH ⊥ .H MH yMH ⊥ MHN∠ β−α 轴－y MHN∠ °= 60 .2 160cos, xHMHNMNHRt ′=°⋅=∆ 中 xHM ′// M O xHN // H O ),( yxN    =′ =′∴    ′= ′= . 2 2 1 yy xx yy xx ),( yxM ′′ )0(22 >′= pxpy ).2(22 xpy = ).0(42 >= ppxy x 2 3=e )2 3,0(P 7 )0(12 2 2 2 >>=+ bab y a x y O x′ β α x F′ · 图 3 － 2 －3 M NH16 则 ， 所 以 ， 即 设椭圆上的点 到点 的距离为 ， 则 所以当 时， 有最大值，从而 也有最大值。 所以 ，由此解得： 于是所求椭圆的方程为 错解分析 尽管上面解法的最后结果是正确的，但这种解法却是错误的。结果正 确只是碰巧而已。由当 时， 有最大值，这步推理是错误的，没有考虑 到的取值范围。事实上，由于点 在椭圆上，所以有 ，因此在求 的最大值时，应分类讨论。即： 若 ，则当 时， （从而 ）有最大值。 于是 从而解得 所以必有 ，此时当 时， （从而 ）有最大值， 4 31 2 2 2 22 2 2 2 =−=−== a b a ba a ce 4 1 2 2 = a b .2ba = ),( yx P d 222 )2 3( −+= yxd .34)2 1(3 4 93)1( 22 2 2 2 2 +++−= +−+−= by yyb ya 2 1−=y 2d d 22 )7(34 =+b .4,1 22 == ab .14 2 2 =+ yx 2 1−=y 2d y ),( yx byb ≤≤− 2d 2 1