1
分类讨论思想高中数学中应用
分类的准则：
分类科学，标准统一，不重不漏，力求最简。
分类讨论的标准：
① 涉及的数学概念是分类定义的；
② 涉及运算的数学定义、公式或运算性质、法则是分类给出的；
③ 涉及题中所给出的限制条件或研究对象的性质而引起的；
④ 涉及数学问题中参变量的不同取值导致不同结果二引起的；
⑤ 涉及几何图形的形状、位置的变化而引起的；
⑥ 一些较复杂或非常规的数学问题，需要采用分类讨论的解题策略解决的．
分类讨论的步骤一般可分为以下几步：
① 确定讨论的对象及其范围；
② 确定分类讨论的标准，正确进行分类；
③ 逐步讨论，分级进行；
④ 归纳整合，作出结论．2
一．集合，不等式中的应用
例题1： 解关于 x 的不等式 ,并写出解集
m =0 时，不等式为-2x-2>0,不等式的解集为 ；
时，可得 若 m>0,则 , 此时不等式的解集为
若 m − 2- -1 +m
∞ ∪ ∞（ ，）（ ， ）
2 )( 1) 0x xm
+ +−++ 21 a
axx >−+ 2-1 a
{ }21,1,2, 2x x x∈ − − x { }-1 0,2,3，
2
1log 13x− < 72, (3, )3
+ ∞
1 1 1 2 2 2, , , , ,a b c a b c 2
1 1 1 0a x b x c+ + > 2
2 2 2 0a x b x c+ + >
1 1 1
2 2 2
a b c
a b c
= = M N=
.A .B
.C .D3
巩固5： 若不等式 对任意自然数 恒成立，则实数 的取值范围是
巩固6： 从集合 的子集中选出 4 个不同的子集，需同时满足以下两个条件：
(1) 都要选出；
(2)对选出的任意两个子集 A 和 B，必有 或 ．
那么，共有 种不同的选择．36
巩固7： 解关于 的不等式 .
巩固8： 原不等式可化为： ＞0，
①当 a＞1 时，原不等式与 同解．
由于 ，
∴原不等式的解为(－∞， )∪(2，+∞) ．
②当 a＜1 时，原不等式与 同解．
由于 ，
若 a＜0， ，解集为( ，2)；
若 时， ，解集为 ；
若 0＜a＜1， ，解集为(2， )．
综上所述：当 a＞1 时解集为(－∞， )∪(2，+∞)；当 0＜a＜1 时，解集为(2， )；当 a=0 时，解集
为 ；当 a＜0 时，解集为( ，2) ．
x
1( 1)( 1) 3 1
n
n a n
+−− < + + n a [ 3,2)−
{ , , , }U a b c d=
,U∅
A B⊆ A B⊇
( 1) 1( 1)2
a x ax
− > ≠−
( 1) (2 )
2
a x a
x
− + −
−
( )2 2 01
ax xa
− − − > −
2 11 1 21 1
a
a a
− = − < + 2( )h x x x
= +
( )h x 2,0)[ - ( )h x 1 0x− ≤ <
max ( ) ( 1) 3a h x h> = − = −
1a > −
− ≤ =
>
1
2
1 1 02( )
0
x
x
f x
x x
>( ) 1f a ( , 1) (1, )− − +∞ ∞
= + − +2( ) ( 1) 5f x m x mx − +
1 ,2
∞ (2)f [7,8]
)(xgy = )1()1( 2 ≤−= xxy xy = )4(g
x 21 2 2kx x k≤ + + ≤ k
1 5{ | 1 2 }2
或k k k
−= + =
axxxxf −+−++= 11)( x a∈
{ 3, 0, 3}−6
6.对于任意实数 ， 表示不小于 的最小整数，如 ．定义在 上的函数 ，
若集合 ，则集合 中所有元素的和为
答案：
7.已知定义在 上的函数 对任意的 都满足 ，
当 时， ，若函数 只有 4 个零点，则 的取值范围是
答案：
8．动点 在边长为 1 的正方体 的对角线 上从 向 移动，
过点 作垂直于面 的直线与正方体表面交于 ， ，
则函数 的解析式为 ．
9.已知 ,函数 ．当 时，求函数 在闭区间 上的最小值；
【参考答案】
解： ,
1O． 当 时， ，这时， 对称轴 ，
所以函数 在区间 上递增， ；
2O． 当 时， 时函数 ；
3O． 当 时， ，这时， 对称轴 ，
，
所以函数 ；
10.已知函数 ，其中常数 满足 .
（1）若 ，判断函数 的单调性；
x x x 1.2 2, 0.2 0= − = R ( ) 2f x x x= +
{ }( ), 1 0A y y f x x= = − ≤ ≤ A
4−
R ( )y f x= x ( 2) ( )f x f x+ = −
1 1x− ≤ < 3( )f x x= ( ) ( ) logag x f x x= − a
1 1( , ) (3,5)5 3
∪
P 1 1 1 1ABCD A B C D− 1BD B 1D
P 1 1BB D D ,M N ,BP x MN y= =
( )y f x=
2 6 3, 0,3 2
2 6 32 2 , , 33 2
x x
y
x x
∈
= − ∈
0a > ( ) | | 1( )f x x x a x R= − + ∈ (0,3)a∈ ( )y f x= [1,2]
2
2
1, ( )
1,
x ax x af x
x ax x a
− + ≥= − + + x
0, 0a b> > 2xa⋅ 3xb⋅ ( )f x
0, 0a b> > 2xa⋅ 3xb⋅ ( )f x
( 1) ( ) 2 2 3 0x xf x f x a b+ − = ⋅ + ⋅ >
0, 0a b< > 3( )2 2
x a
b
> −
3
2
log ( )2
ax b
> −
0, 0a b> < 3( )2 2
x a
b
< −
1.5log ( )2
ax b
< −
| |
1( ) 2 2
x
xf x = −
( ) 2f x = x
2 (2 ) ( ) 0t f t mf t+ ≥ [1 2]t ∈ ，
20, log ( 2 1)x x≥ = +
20, log ( 2 1)x x< = +
5m ≥ −
0a >
2 2
2 2
1 1( ) 1 1
x xf x ax x
− += ++ −
1a = ( )f x
1a = ( )f x
a 2 5 2 5,5 5
−
r s t、 、
( ) ( ) ( )f r f s f t、 、
( )f x ( 1,1)− ( )f x8
（1） 时, ………………………2 分
时 最小值为 2. ………………………4 分
（2） 时,
时， 递增； 时， 递减； ………………………6 分
为偶函数.所以只对 时，说明 递增.
设 ，所以 ，得
，所以 时， 递增； ………10 分
（3） ， ，
从而原问题等价于求实数 的范围，使得在区间 上，恒有 . ………………11 分
①当 时， 在 上单调递增，
由 得 ，从而 ； ………………12 分
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 得 ，从而 ；……………………13 分
③当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
，
由 得 ，从而 ； …………………14 分
④当 时， 在 上单调递减，
由 得 ，从而 ；……………………………………………15 分
1a = ( ) 2 2
2 2 4
1 1 2
1 1 1
x xf x x x x
− += + =+ − −
0x = ( ) 2 2
2 2
1 1
1 1
x xf x x x
− += ++ −
1a = ( ) 2 2
2 2 4
1 1 2
1 1 1
x xf x x x x
− += + =+ − −
[ )0,1x∈ ( )f x ( ]1,0x∈ − ( )f x
( )f x [ )0,1x∈ ( )f x
1 20 1x x≤ < < 4 4
1 21 1 0x x− > − >
4 4
1 2
1 1
1 1x x
<
− −
( ) ( )1 2 4 4
1 2
1 1 0
1 1
f x f x
x x
− = − <
− −
[ )0,1x∈ ( )f x
2
2
1
1
xt x
−= +
2 5 2 5 1, , [ ,1]5 5 3x t
∈ − ∴ ∈
1( 1)3
ay t tt
∴ = + ≤ ≤
a 1[ ,1]3 min max2y y>
10 9a< ≤ ay t t
= + 1[ ,1]3
min max
13 , 1,3y a y a∴ = + = + min max2y y> 1
15a > 1 1
15 9a< ≤
1 1
9 3a< ≤ ay t t
= + 1[ , ]3 a [ ,1]a
min max
12 , max{3 , 1} 13y a y a a a∴ = = + + = +
min max2y y> 7 4 3 7 4 3a− < < + 1 1
9 3a< ≤
1 13 a< < ay t t
= + 1[ , ]3 a [ ,1]a
min max
1 12 , max{3 , 1} 33 3y a y a a a∴ = = + + = +
min max2y y> 7 4 3 7 4 3
9 9a
− +< < 1 13 a< <
1a ≥ ay t t
= + 1[ ,1]3 min max
11, 3 ,3y a y a∴ = + = +
min max2y y> 5
3a < 51 3a≤ ( )max
1( ) 1 12 2f x
λ= + = 1
2
λ =
0λ < ( )max
1( ) 1 22 2f x
λ= − = 1 2λ = − −
212
1 −−== λλ 或
2a = 5b = − π( ) 2 sin 2 26f x a x b a = − + + +
π0, 2x ∈
π 1sin 2 ,16 2x + ∈ −
> 0a + +
− =+→ 1 1
3lim 3
n n
n nn
a
a∞
0 3
1 3
1 0 33
a
aa
a
=
− >
< ≥
+ − = < ≤ ≤
4n = min
5 105( ) (4) 2 8
af n f= = +13
巩固练习
1.若数列 的前 n 项和 ，则其通项公式为___________.. ；
2.已知数列 满足： （ 为正整数）， 若 ，则 所有可能的取值
为 ．
3. 若等比数列 的前 项和为 ，公比为 ，集合 ，则用列举法表示
．
【教法指导】：
（1）本题 q 的范围不确定，不能直接求无穷项和，实际上本题要先求前 n 项和，注意讨论 q 是否为 1
（2）代入原式，根据 q 的取值范围来讨论
【满分解答】：
若 ，则
若 ，则
所以
4.数列 的通项公式是 ，前 项和为 ，则 .
【答案】
5.数列 满足 ，则 的前 60 项和等于 .
【答案】1830
{ }na 1
,2
3 1,
n
n
n
n n
a aa
a a
+
=
+
当 为偶数时，
当 为奇数时。
{ }na = + −23 4 1nS n n 6 1
6 1 2n
na n n
== + ≥
ma =1 m 4 7a = m
{ }na n nS q
2
lim , 1,n
n n
SM x x qS→∞
= = ≠ −
q
∈
R
M =
1=q =
∞→ n
n
n S
S
2
lim =
∞→ 1
1
2lim na
na
n 2
1
1≠q =
∞→ n
n
n S
S
2
lim =−
−
∞→ n
n
n q
q
21
1lim =+∞→ n
n q1
1lim
>
<
时，当
时，当
1q1
1q0
}2
1,1,0{=M
{ }na
1 ( 1,2)1
1 ( 2)3
n
n
nna
n
= +=
>
n nS lim nn
S→∞
=
8
9
{ }na 1 ( 1) 2 1n
n na a n+ + − = − { }na14
6.市 2013 年发放汽车牌照 12 万张，其中燃油型汽车牌照 10 万张，电动型汽车
2 万张．为了节能减排和控制总量，从 2013 年开始，每年电动型汽车牌照按 50%增长，而燃油型汽车牌照每一年
比上一年减少 万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过 15 万张，以后每一年发放的电动车的
牌照的数量维持在这一年的水平不变．
（1）记 2013 年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列 ，每年发放的电动型汽车牌照数
为构成数列 ，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式；
（2）从 2013 年算起，求二十年发放的汽车牌照总量．
解：（1） ………………………………2 分
9 8.5 …………
3 4.5 6.75 …………
当 且 ， ；
当 且 ， ． ……………………5 分
而 ， ………………8 分
（2） ……………………10 分
……………13 分
从 2013 年算起，二十年发放的汽车牌照总量为 229.25 万张．……………………14 分
7.已知数列 满足 ( )．
(1) 求 的值；
(2) 求 (用含 的式子表示)；
(3) 记数列 的前 项和为 ，求 (用含 的式子表示)．
解(1) ( )，
0.5
{ }na
{ }nb
1 10a = 2 9.5a = 3a = 4a =
1 2b = 2b = 3b = 4b =
1 20n≤ ≤ n N ∗∈ 2110 ( 1) ( 0.5) 2 2n
na n= + − × − = − +
21n ≥ n N ∗∈ 0na = ∴
21, 1 202 2
0, 21
n
n n n Na
n n N
∗
∗
− + ≤ ≤ ∈=
≥ ∈
且
且
4 4 15.25 15a b+ = > ∴
132 ( ) , 1 42
6.75, 5
n
n
n n Nb
n n N
− ∗
∗
⋅ ≤ ≤ ∈=
≥ ∈
且
且
1 2 20
20 19 110 20 ( ) 1052 2a a a
×+ + + = × + × − =
4
1 2 3 4 5 20
32[1 ( ) ]2 6.75 16=124.2531 2
b b b b b b
−
+ + + + + + = + ×
−
∴
{ }na n
nn
n
nn aaaaa 3,)1(,1 2121221 +=−+== +−
*Nn∈
753 aaa 、、
12 −na n
{ }na n nS nS n
n
nn
n
nn aaaaa 3,)1(,1 2121221 +=−+== +−
*Nn∈15
(2)由题知，有 ．
．
∴ ．
(3) ∵ ，∴ ．∴ ．
又 ，
当 为偶数时，
．
当 为奇数时，
．
综上，有
1
2 1
1
3 2
4 3
2
5 4
6 5
3
7 6
( 1) 0,
3 3,
1 4,
3 13,
1 12,
3 39.
a a
a a
a a
a a
a a
a a
∴ = + − =
= + =
= + =
= + =
= − =
= + =
*
2 1 2 1 3 ( 1) ( N )n n
n na a n+ −− = + − ∈
1 1
2 1 2 3
2 2
2 3 2 5
1 2 1 1 2 1
2 1 1
2 2
5 3
1 1
3 1
3 ( 1)
3 ( 1)
(3 3 3 ) [( 1) ( 1) ( 1) ]
3 ( 1)
3 ( 1)
n n
n n
n n
n n
n n
n
a a
a a
a a
a a
a a
− −
− −
− −
− −
− −
−
∴ − = + −
− = + − ⇒ − = + + + + − + − + + −
− = + −
− = + −
*
2 1
3 ( 1) 1( N )2
n n
na n−
− −= − ∈
*
2 1
3 ( 1) 1( N )2
n n
na n−
− −= − ∈ *
2
3 ( 1) 1( N )2
n n
na n
+ −= − ∈ 2 1 2 3 2n
n na a− + = −
1 2 3 1n n nS a a a a a−= + + + + +
01 n 1 2 3 4 1( ) ( ) ( )n n nS a a a a a a−= + + + + + +
1 2 2(3 2) (3 2) (3 2)
n
= − + − + + −
23 332 2
n
n= ⋅ − −
02 n 1 2 3 4 2 1( ) ( ) ( )n n n nS a a a a a a a− −= + + + + + + +
1 1
1 2 2
1 2 2 3 ( 1)(3 2) (3 2) (3 2) 12
n n
n
+ +
− − −= − + − + + − + −
1
1 2
2 3 ( 1)3 2 2
n
n
n
+
+ −= − − −
2
*
1
1 2
2
3 33 ,2 2
( N )
3 ( 1)3 .2 2
n
nn
n
n n
S n
n n
+
+
⋅ − −= ∈
−− − −
为偶数
为奇数16
8. 记数列 的前 项和为 ．已知向量 （ ）和
（ ）满足 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ；
（3）设 ，求数列 的前 项的和为 ．
【正确答案】
解（1）∵
∴ =
=
=
∴ ；
（2）数列 为周期为 3 的周期数列且
（3）
当 时，
∵
∴
当 时，
{ }na n nS cos sin ,13 3
n na
π π = +
*Nn∈ ,cos sin3 3n
n nb a
π π = −
*Nn∈ / /a b
{ }na
3nS
2n
n nb a= { }nb n nT
/ /a b
na cos sin3 3
n nπ π + cos sin3 3
n nπ π −
2 2cos sin3 3
n nπ π−
2cos 3
nπ
2cos 3n
na
π=
{ } 1 1 1 1: , ,1, , ,1,2 2 2 2na − − − − ( )3 2 3 1 3 0 N .k k ka a a k ∗
− −+ + = ∈
3 1 2 3n nS a a a= + + +
( ) ( ) ( )1 2 3 4 5 6 3 2 3 1 3n n na a a a a a a a a− −= + + + + + + + + +
1 1 1 0.2 2n = − − + =
22 2 cos .3
n n
n n
nb a
π= =
( )3n k k N ∗= ∈
3 2 3 1 3 3 3
3 2 3 1 3
1 12 2 2 1 5 2 .2 2
k k k k
k k kb b b − − −
− −
+ + = − + − + ⋅ = ⋅
( ) ( ) ( )3 3 3 3
3
5 55 1 2 2 2 1 2 1 .7 7
k k n
n kT T −= = + + + = − = −
( )3 1n k k N ∗= − ∈17
当 时，
故
（2012 浦东新区二模文 22）（本大题满分 16 分）本大题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满 6 分，
第 3 小题满 6 分．
记数列 的前 项和为 ．已知向量 和
满足 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）求 ；
（3）设 ，求数列 的前 项的和为 ．
【正确答案】
解（1）∵
∴ =
=
=
∴ ；
（2）数列 为周期为 3 的周期数列且 ．
故 ．
( ) 3 1 2
3 3
3 1 3 3
5 2 5 2 52 1 2 1 .7 7 7
k n
k k
n k k kT T T b
+ +
−
+ += = − = − − ⋅ = − = −
( )3 2n k k N ∗= − ∈
3 1 3 2
3 1
3 2 3 1 3 1
2 5 1 2 5 2 52 .7 2 7 7
k k n
k
n k k kT T T b
+ −
−
− − −
+ + + = = − = − − ⋅ − = − = −
( ) ( )
( )
( )
( )2
5 2 1 , 3 ,7
2 5 , 3 1 , .7
2 5 , 3 2 ,7
n
n
n
n
n k
T n k k N
n k
+
∗
− =
+= − = − ∈
+− = −
{ }na n nS cos sin ,13 3
n na
π π = +
*( N )n∈ ,cos sin3 3n
n nb a
π π = −
*( N )n∈ / /a b
{ }na
30S
n nb na= { }nb n nT
/ /a b
na cos sin3 3
n nπ π + cos sin3 3
n nπ π −
2 2cos sin3 3
n nπ π−
2cos 3
nπ
2cos 3n
na
π=
{ } 1 1 1 1: , ,1, , ,1,2 2 2 2na − − − − ( )3 2 3 1 3 0 Nk k ka a a k ∗
− −+ + = ∈
30 0S =18
（3） ．
当 时，
∵ = ．
∴ ；
当 时，
；
当 时，
；
故
9.(理)给定常数 ，定义函数 ．数列 满足 ， ．
（1）若 ，求 及 ；
（2）求证：对任意 ， ；
（3）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ；若不存在，说明理由．
23．[解]
（1） ．
（2）
当 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
2cos 3n n
nb na n
π= =
( )3n k k N ∗= ∈
( ) ( )3 2 3 1 3
1 13 2 3 1 3 12 2k k kb b b k k k− −
+ + = − − + − − + ⋅
3
2
3
3 3
2 2 3 2n k
n nT T k= = = ⋅ =
( )3 1n k k N ∗= − ∈
3 1 3 3
3 3 3 1 13 12 2 2 3 2n k k k
n nT T T b k k k−
+ += = − = − ⋅ = − = − ⋅ = −
( )3 2n k k N ∗= − ∈
( )3 2 3 3 3 1
3 1 3 3 1 13 3 12 2 2 2 2n k k k k
kT T T b b k k k k− −
− = = − − = − − − − = − + = −
( )
( )
( )
( )
, 3 ,2
1, 3 1 , .2
1 , 3 2 .2
n
n n k
nT n k k N
n k
∗
=
+= − = − ∈
− = −
0c > ( ) 2 4f x x c x c= + + − + 1 2 3, , ,a a a 1 ( )n na f a+ = *n N∈
1 2a c= − − 2a 3a
*n N∈ 1n na a c+ − ≥
1a 1 2, , , ,na a a 1a
2 32, 10a a c= = +
( )
8,
3 3 +8,
8,
x c
f x x c
x c
+ +
= +
− − −
,
4 ,
4.
x c
c x c
x c
≥ −
− − ≤ < −
< − −
na c≥ − 1 8n na a c c+ − = + >
4 nc a c− − ≤ < − ( )1 2 3 8 2 4 3 8n n na a a c c c c+ − = + + ≥ − − + + =
4na c< − − ( )1 2 8 2 4 8n n na a a c c c c+ − = − − − ≥ − − − − − =19
所以，对任意 ， ．
（3）由（2），结合 得 ，即 为无穷递增数列．
又 为等差数列，所以存在正数 ，当 时， ，
从而， ．
由于 为等差数列，因此其公差 ．
① 若 ，则 ，
又 ，故 ，即 ，从而 ．
当 时，由于 为递增数列，故 ，
所以， ，而 ，
故当 时， 为无穷等差数列，符合要求；
② 若 ，则 ，又 ，
所以， ，得 ，舍去；
③ 若 ，则由 得到 ，
从而 为无穷等差数列，符合要求．
综上， 的取值集合为 ．
（文）已知函数 ，无穷数列 满足 ， ．
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，且 成等比数列，求 的值；
（3）是否存在 ，使得 成等差数列？若存在，求出所有这样的 ；若不存在，说明理由．
22．[解]
（1） ， ， ．
（2） ， ．
n N ∗∈ 1n na a c+ − ≥
0c > 1n na a+ > { }na
{ }na M n M> na c≥ −
1 ( ) 8n n na f a a c+ = = + +
{ }na 8d c= +
1 4a c< − − 2 1 1( ) 8a f a a c= = − − −
2 1 1 8a a d a c= + = + + 1 18 8a c a c− − − = + + 1 8a c= − − 2 0a =
2n ≥ { }na 2 0na a c≥ = > −
1 ( ) 8n n na f a a c+ = = + + 2 1 8a a c= + +
1 8a c= − − { }na
14c a c− − ≤ < − 2 1 1( ) 3 3 8a f a a c= = + + 2 1 1 8a a d a c= + = + +
1 13 3 8 8a c a c+ + = + + 1a c= −
1a c≥ − 1na a≥ 1 ( ) 8n n na f a a c+ = = + +
{ }na
1a [ ) { }, 8c c− +∞ − −
( ) 2f x x= − { }na 1 ( )n na f a+ = *n N∈
1 0a = 2 3 4, ,a a a
1 0a > 1 2 3, ,a a a 1a
1a 1 2, , , ,na a a 1a
2 2a = 3 0a = 4 2a =
2 1 12 2a a a= − = − 3 2 12 2 2a a a= − = − −20
① 当 时， ，所以 ，得 ．
② 当 时 ， ， 所 以 ， 得 （ 舍 去 ） 或
．
综合①②得 或 ．
（3）假设这样的等差数列存在，那么 ， ．
由 得 （ ）．
以下分情况讨论：
① 当 时，由（ ）得 ，与 矛盾；
② 当 时，由（ ）得 ，从而 ，
所以 是一个等差数列；
③ 当 时，则公差 ，因此存在 使得
．此时 ，矛盾．
综合①②③可知，当且仅当 时， 构成等差数列．
10.对于实数 ，将满足“ 且 为整数”的实数 称为实数 的小数部分，用记号 表示，对于实数 ，
无穷数列 满足如下条件：
其中 .
（1）若 ，求数列 ；
（2）当 时，对任意的 ，都有 ，求符合要求的实数 构成的集合 ．
10 2a< ≤ ( )3 1 12 2a a a= − − = ( )22
1 12a a= − 1 1a =
1 2a > ( )3 1 12 2 4a a a= − − = − ( ) ( )2
1 1 14 2a a a− = − 1 2 2a = −
1 2 2a = +
1 1a = 1 2 2a = +
2 12a a= − 3 12 2a a= − −
2 1 32a a a= + 1 1 12 2 2a a a− + − = ∗
1 2a > ∗ 1 0a = 1 2a >
10 2a< ≤ ∗ 1 1a = 1na = ( )1,2,n =
{ }na
1 0a ≤ ( )2 1 1 12 2 0d a a a a= − = + − = > 2m ≥
( )1 2 1 2ma a m= + − > 1 2 0m m m md a a a a+= − = − − <
1 1a = 1 2 3, ,a a a
x 10 a n∈ *N aan = a A21
（3）若 是有理数，设 （ 是整数， 是正整数， 、 互质），问对于大于 的任意正整数 ，是否
都有 成立，并证明你的结论．
23．（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.
解：（1） ， ， …2 分
，则
所以 . ………4 分
（2） ，所以 ，所以 ，
①当 ，即 时， ，所以 ，
解得 （ ，舍去）. ………6 分
②当 ，即 时， ，所以 ，
解得 （ ，舍去）. ………7 分
③当 ，即 时， ，所以 ，
解得 （ ，舍去）. ………9 分
综上， ， ， . ………10 分
（3）成立. ………11 分
（证明 1）
由 是有理数，可知对一切正整数 ， 为 0 或正有理数，可设 （ 是非负整数， 是正整数，且
既约）. ………12 分
①由 ，可得 ； ………13 分
②若 ，设 （ ， 是非负整数）
a q
pa = p q p q q n
0=na
1 2 2 1a = = − 2
1
1 1 2 1 2 1
2 1
a a
= = = + = −
−
12 −=ka 12121
1 −=+==+
k
k aa
2 1na = −
1a a a= = 1 14 a< < 1 4a
1< <
1 12 a< < 1 2a
1< < 2
1
1 1 1 1a aa a a
= = = − = 2 1 0a a+ − =
1 5
2a
− += 1 5 1( 1)2 2a
− −= ∉ ，
1 1
3 2a< ≤ 12 3a
2
5
15
13
A
A 3
5 B 8
15 C 2
5 D 1
5
1 2 3 4
1 2 3 4
a a a a
b b b b
D
B=C
A
1 2
2.5
y
x
-2
x
y
-1 1
3 A
B
C
D
O
O
D
C
B
A3
1-1
y
x26
①每行中的四个数所构成的集合均为 ；
②四列中至少有两列的上下两数是相同的．
则这样的不同矩阵的个数为（ ）C
．48； ．72； ．168； ．312．
2.计算机毕业考试分为理论与操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合
格”，只有当两部分考试都“合格”者，才颁发计算机“合格证书”．甲、乙两人在理论考试中“合格”的
概率依次为 ，在操作考试中“合格”的概率依次为 ，所有考试是否合格，相互之间没有影响．
则甲、乙进行理论与操作两项考试后，恰有 1 人获得“合格证书”的概率 ．
【答案】
3．一个少年足球爱好者报考某知名足球学校。面试过程是这样的：先由二位助理教练单独面试（假设相互独立），
若能同时通过两位助理教练的面试，则予以录取；若均未通过两位助理教练面试，则不予取录；若恰好能通过
一位助理教练的面试，则再由主教练进行终审（直接决定录取或不予录取）。如果该少年足球爱好者通过两位
助理教练面试的概率均为 0.5，通过主教练终审的概率为 0.3，那么该少年足球爱好者被这知名足球学校录取的
概率为…（ ）
A、0.55 B、0.4 C、0.25 D、0.325
4.如对自然数 作竖式加法 均不产生进位现象，则称 为“可连数”.例如：32 是“可连数”，因 32+33+34
不产生进位现象，而 23 不是可连数，因 23+24+25 产生进位现象，那么小于 100 的“可连数”共有 个. 12
5.一个五位数 满足 且
(如 37201,45412)，则称这个五位数符合“正弦规律”.那么，共有 个五位数符合“正弦规律”
答案：2892
详解：根据题意，第二位最大，第四位最小，其他三个数介于二者之间；由此可以展开分类
① 第二位数与第四位数相差 2，情况为 种；
② 第二位数与第四位数相差 3，情况为 种；
③ 第二位数与第四位数相差 4，情况为 种；
……
以此类推，总共的情况为 种
{1,2,3,4}
A B C D
4 2
5 3
、 1 5
2 6
、
23
45
n ( ) ( )21 ++++ nnn n
abcde , , ,a b b c d d e< > > < ,a d b e> >
31 8×
32 7×
33 6×
3 3 3 3 3 3 3 31 8+2 7+3 6+4 5+5 4+6 3+7 2+8 1=2892× × × × × × × ×27
6 如图，三行三列的方阵中有 9 个数 ，从中任取三个数， 则至少有两个
数位于同行或同列的概率是____________． (结果用分数表示)
【答案】
7 如图，点 , ,… , 分别是四面体的顶点或其棱的中点，
则在同一平面内的四点组 （ ）共有 个.
【答案】33
8.设集合 ，
则集合 A 中满足条件“ ”的元素个数为 ．
【答案】
( 1 2 3 1 2 3)ija i j= =，，； ，，
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
14
13
1P 2P 10P
( )kji PPPP ,,,1 101 ≤
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