立体几何中最值解法

1 一、考情分析 立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉 及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等,题目较为综合,解决此类问题 一般可从两个方面思考：一是函数法,即利用传统方法或空间向量的坐标运算,建立所求的目标函数,转化为函 数的最值问题求解；二是直接法,即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论,直接判断最值. 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能 力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分 析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目 便产生畏惧心理． 二、经验分享 1.解决立体几何中的最值问题常见方法有： (1)建立函数法是一种常用的最值方法，很多情况下，我们都是把这类动态问题转化成目标函数，最终利用 代数方法求目标函数的最值.解题途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法；二次数的配方法、公 试法； 有界函数界值法（如三角函数等）及高阶函数的拐点导数法等. (2)公理与定义法通常以公理与定义作依据，直接推理问题的最大值与最小值，一般的公理与定理有：两点 之间以线段为最短，分居在两异面直线上的两点的连线段中，以它们的公垂线段为短.球面上任意两点间的 连线中以过这两点与球心的平面所得圆的劣弧长为最短等.如果直接建立函数关系求之比较困难，而运用两 异面直线公垂线段最短则是解决问题的捷径. (3)解不等式法是解最值问题的常用方法、在立体几何中同样可利用不等式的性质和一些变量的特殊不等关 系求解：如 最小角定理所建立的不等关系等等. (4)展开体图法是求立体几何最值的一种特殊方法，也是一种常用的方法，它可将几何题表面展开，也可将 几何体内部的某些满足条件的部分面展开成平面，这样能使求解问题，变得十分直观，由 难化易. (5)变量分析法是我们要透过现象看本质，在几何体中的点、线、面，哪些在动，哪些不动，要分析透彻， 明白它们之间的相互关系，从而转化成求某些线段或角等一些量的求解最值总题的方法. abba ≥+ 2 22 2 baab +≤2 除了上述 5 种常用方法外，还有一些使用并不普遍的特 殊方法，可以让我们达到求解最值问题的目的，这 就是：列方程法、极限思想法、向量计算法等等其各法的特点与普遍性，大家可以通过实例感受其精彩内 涵与思想方法所在. 2.决定棱锥体积的量有两个，即底面积和高，当研究其体积的最值问题时，若其中有一个量确定，则只需另 一个量的最值；若两个量都不确定，可通过设变量法，将体积表示为变量的函数解析式，利用函数思想确定 其最值；将空间问题转化为平面问题是转化思想的重要体现，通过旋转到一个平面内，利用两点之间距离最 短求解 3.解决几何体体积最值问题的方法(1) 根据条件建立两个变量的和或积为定值,利用基本不等式求体积的最值； 通过建立相关函数式,将所求的最值问题转化为函数的最值问题求解,此法应用最为广泛；由图形的特殊位置 确定最值,如垂直求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为 平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解． 4.解题时，通常应注意分析题目中所有的条件，首先应该在充分理解题意的基础上，分析是否能用公理与定 义直接解决题中问题；如果不能，再看是否可将问题条件转化为函数，若能写出确定的表意函数，则可用建 立函数法求解；再不能，则要考虑其中是否存在不等关系，看是否能运用解等不式法求解；还不行则应考虑 是否可将其体图展开成平面，这样依次从本文所标定的方法顺序思考，必能找到解题的途径 三、题型分析 (一) 距离最值问题[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 1.空间中两点间距离的最值问题 【例 1】正方体 的棱长为 1, 、 分别在线段 与 上,求 的最小值. 1 1 1 1ABCD A B C D− M N 1 1AC BD MN3 由正方体的棱长为 1 可得 . 连结 ,则 ,所以 为两异面直线 与 所成角. 在正方形 中, ,所 以 . 过点 作 ,垂足为 ,连结 ,则 ,且 . 设 , ,则 . 在 中, , 在 中, . 显然,当 时, 取得最小值 1,即 的最小值为 1. 1PQ = AC 1 1//AC AC BQC∠ 1 1AC BD ABCD AC BD⊥ 90BQC∠ =  M MH AC⊥ H NH //MH PQ 1MH PQ= = PM m= QN t= QH m= Rt QNH∆ 2 2 2 2 2HN QN QH n m= + = + Rt MHN∆ 2 2 2 2 2 21MN MH HN n m= + = + + 0m n= = 2MN MN4 【点评】空间中两点距离的最值,最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数,根据目标函数解析式的结构 特征求解最值.对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值,可以根据这两个元素之间的关系,借助立体 几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值.如【典例 1】中的两点分别在两条异面直线上,显然这两 点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度.另外注意直线和平面的距离,两平面的距离等的灵 活运用.学科#网 【小试牛刀】【2017 甘肃省上学期期末】如图所示,在空间直角坐标系中, 是坐标原点,有一 棱长为 的正方体 , 和 分别是体对角线 和棱 上的动点,则 的最小值为（ ）5 A. B. C. D. 【答案】B 2.几何体表面上的最短距离问题 【例 2】正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长均为 2,M 为 AA1 中点,N 为 BC 的中点,则在棱柱的表面上从点 M 到点 N 的最短距离是多少?并求之. 【分析】将正三棱柱的表面展开,即可转化为平面内两点间距离的最小值问题求解.注意两种不同的展开方式 的比较. 【解析】 (1)从侧面到 N,如图 1,沿棱柱的侧棱 AA1 剪开,并展开, 则 . (2)从底面到 N 点,沿棱柱的 AC、BC 剪开、展开,如图 2. 则 2 2MN AM AN= + 2 21 (2 1) 10= + + = 2 2 2 cos120MN AM AN AM AN= + − ⋅ °6 图（1） 图（2） 【点评】求解几何体表面上的最短距离问题,往往需要将几何体的侧面或表面展开,将问题转化为平面图形中 的最值,进而利用平面几何中的相关结论判断并求解最值.如【典例 2】中就是利用了平 面内两点间线段最短 来确定最值,但要注意几何体表面的展开方式可能有多种,求解相关最值时,需要比较才能得到正确结论. 【小试牛刀】【2017 甘肃省上学期期末】在侧棱长为 的正三棱锥 中, ,过 作截面 ,交 于 ,交 于 ,则截面 周长的最小值为__________． 【答案】6 【解析】将棱锥的侧面沿侧棱 展开,如图, 的长就 是截面 周长的最小值,由题意 ,由等腰 三角形的性质得 .7 (二) 面积的最值 1.旋转体中面积的最值[来源:学.科.网 Z.X.X.K] 【例 3】一个圆锥轴截面的顶角为 ,母线为 2,过顶点作圆锥的截面中,最大截面面积为 . 【分析】本题是截面问题中的常见题,应根据几何体的结构特征确定截面形状,然后求解截面的数字特征,进 而确定其最值. 【点评】由圆锥的性质可知,过圆锥顶点的截面一定是等腰三角形,且腰长等于圆锥的母线长,该等腰三角形 的顶角的最大值为轴截面的顶角,所以截面面积的最大值取决于轴截面顶角的取值范围,不能误认为轴截面 的面积就是最大值. 【小试牛刀】圆柱轴截面的周长 为定值,求圆柱侧面积的最大值. 【解析】设圆柱的底面直径为 ,高为 . 则由题意得： . 所以 . 而圆柱的侧面积为 . 由均值不等式可得 ,即 （当且仅当 时等号成立）. 所以圆柱侧面积为 ,即圆柱侧面积的最大值为 . 2.多面体中的面积最值 【例 4】如图中 1 所示,边长 AC＝3,BC＝4,AB＝5 的三角形简易遮阳棚,其 A、B 是地面上南北方向两个定点, 正西方向射出的太阳光线与地面成 30°角,试问：遮阳棚 ABC 与地面成多大角度时,才能保证所遮影面 ABD 面积最大? 5 6 π l d h 2( )d h L+ = 1 2d h L+ = 2S rh dhπ π= = 2( )2 d h dh + ≥ 2 16 Ldh ≤ d h= 2 16S dh L ππ= ≤ 2 16 L π8 【分析】首先分析几何体的结构特征,明确遮影面 ABD 中的定值——AB,则所求最值问题转化为该边上的高 的最值,进而根据已知——太阳光的照射角度将其与 中 AB 上的高建立联系,从而确定最值. 【点评】求解几何体中的面积最值,首先要明确所求图形面积的表示式,区分该图形中的定值与变量,然后根 据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可.如该题中抓住 QD 的变化,建立与已知——太阳光的 照射角的关系是准确确定最值的关键所在.学￥科网 【小试牛刀】在三棱锥 A—BCD 中,ΔABC 和 ΔBCD 都是边长为 a 的正三角形,求三棱锥的全面积的最大值. ABC∆9 (三) 体积的最值问题 【例 5】如图 3,已知在 中, , 平面 ABC, 于 E, 于 F, , ,当 变化时,求三棱锥 体积的最大值. 图 3 【分析】 的变化是由ＡＣ与ＢＣ的变化引起的,要求三棱锥 P-AEF 的体积,则需找到三棱锥 P-AEF 的底面 积和高,高为定值时,底面积最大,则体积最大. 【解析】因为 平面 ABC, 平面 ABC,所以 又因为 ,所以 平面 PAC,又 平面 PAC,所以 , 又 , 所 以 平 面 PBC, 即 .EF 是 AE 在 平 面 PBC 上 的 射 影 , 因 为 ,所以 ,即 平面 AEF.在三棱锥 中, , 所以 , ∆ABC ∠ = °C 90 PA⊥ AE PB⊥ AF PC⊥ AP AB= = 2 ∠ =AEF θ θ P AEF− θ PA⊥ BC ⊂ PA BC⊥ BC AC PA AC A⊥ ∩ =, BC⊥ AF ⊂ BC AF⊥ AF PC PC BC C⊥ ∩ =, AF⊥ AF EF⊥ AE PB⊥ EF PB⊥ PE⊥ P AEF− AP AB AE PB= = ⊥2, PE AE= =2 2, AF EF V S PEP AEF AEF = = = ⋅ = × × ⋅ × − 2 2 1 3 1 3 1 2 2 2 2 sin , cos sin cos θ θ θ θ ， ∆10 ,因 为 ,所以 因此,当 时, 取得最大值为 . 学.科网 【点评】几何体体积的最值问题的解决,要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式,分清定量与变量, 然后根据变量的取值情况,利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值.如该题中确定三棱锥底面的 面积最值是关键. 【小试牛刀】【2017 安徽省黄山市上学期期末质量检测】在棱长为 6 的正方体 中, 是 中 点,点 是面 所在的平面内的动点,且满足 ,则三棱锥 的体积最大值是（ ） A. 36 B. C. 24 D. 【答案】B (四) 角的最值 【例 6】如图,在四棱锥 S － ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,侧棱 SA⊥底面 ABCD,AB 垂直于 AD 和 BC,SA =AB=BC =2,AD =1．M 是棱 SB 的中点． （Ⅰ）求证：AM∥面 SCD； （Ⅱ）求面 SCD 与面 SAB 所成二面角的余弦值； （Ⅲ）设点 N 是直线 CD 上的动点,MN 与面 SAB 所成的角为 ,求 sin 的最大值, 【分析】直接根据几何体的结构特征建立空间直角坐标系,求出相关点的坐标和向量坐标,利用向量运算进行 证明计算即可. 【解析】 θ θ = 2 6 2sin θ 0 2 <