高考数学4大思想涉及的20种高频考点全梳理---5.6

; 1 高考数学 4 大思想涉及的 20 种高频考点全梳理 函数与方程思想在高考中也是必考内容，特别是在函数、解析几何、三角函数等处都可能考到，几乎 大多数年份高考中大题都会涉及到．因此认真体会函数与方程思想是成功高考的关键． 在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求 解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。 因为对数形结合等思 想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思 维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。 分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点和热点，也是高考的考点，高考中经常会 有一道解答题，解题思路直接依赖于分类讨论． 预测以后的高考，将会一如既往地考查分类讨论思想，特别在解答题中(尤其导数与函数)，将有一道进 行分类、求解的把关题，选择题、填空题也会出现不同情形的分类讨论求解题． 化归与转化的思想在高考中必然考到，主要可能出现在立体几何的大题中，将空间立体几何的问题转 化为平面几何问题，解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题等，总之将复杂问题转化 为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．; 2 一、函数与方程思想 一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、 周期性、最大值和最小值、图象变换等．在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和巧用 函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题． 1．方程思想就是将所求的量(或与所求的量相关的量)设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中 的已知条件列出方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，使问题得到解决． 2．方程思想与函数思想密切相关：方程 f(x)＝0 的解就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标；函数 y ＝f(x)也可以看作二元方程 f(x)－y＝0，通过方程进行研究，方程 f(x)＝a 有解，当且仅当 a 属于函数 f(x)的 值域．函数与方程的这种相互转化关系十分重要． 可用函数与方程思想解决的相关问题． 1．函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： (1)借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； (2)在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难 为易、化繁为简的目的． 2．方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面： (1)解方程或解不等式； (2)带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒 成立等知识的应用； (3)需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；[来源:学|科|网 Z|X|X|K] (4)构造方程或不等式求解问题．; 3 二、数形结合的数学思想 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形 的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说 明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： 数形结合思想解决的问题常有以下几种： (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围； (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围； (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系； (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式； (5)构建立体几何模型研究代数问题； (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题； (7)构建方程模型，求根的个数； (8)研究图形的形状、位置关系、性质等． 常见适用数形结合的两个着力点是： 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数 助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。 数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效， 这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：(1) 准确画出函数图象，注意函数的定义域；(2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之 有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时可能先作适当调整， 以便于作图)，然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题 时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合， 通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。; 4 1．数形结合的途径 （1）通过坐标系形题数解 借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考 中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角函数也 是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理） 实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线 与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的 等式或代数式的结构含有明显的几何意义。 。 常见方法有： ①解析法：建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。 ②三角法：将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。 ③向量法：将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。把抽象的几 何推理化为代数运算。特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。 （2）通过转化构造数题形解 许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化.例如，将 a＞0 与距离互化， 将 a2 与面积互化，将 a2+b2+ab=a2+b2－2 与余弦定理沟通，将 a≥b≥c＞0 且 b+c＞a 中的 a、b、c 与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、 将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形（平 面的或立体的）。另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合 思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。 常见的转换途径为： ①方程或不等式问题常可以转化为两个图象交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关问题。 ②利用平面向量的数量关系及模 的性质来寻求代数式性质。 （3）构造几何模型。通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将 与正方形的面积互化， 将 与体积互化，将 与勾股定理沟通等等。 （4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离 ，点到 直线的距离 ，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式图形背景及有关性质。 AB 2a abc 2 2a c−; 5 2．数形结合的原则 （1）等价性原则 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞.有时，由于图形的局限 性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严 格证明的诱导。 （2）双向性原则 在数形结合时，既要进行几何直观的 分析，又要进行代数抽象的探索，两 方面相辅相成，仅对代数问题进 行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利 用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。 （3）简单性原则 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于 那种方法更为简单.而不是去刻意追求一种流性的模式——代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。 三、分类讨论的思想 分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实 现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于是增加的一个已知条件，实现了有效增 设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度． 1．由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数 等． 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件 下结论不一致，如等比数列的前 n 项和公式、函数的单调性等． 3．由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求， 指数运算中底数的要求，不等式两边同时乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等． 4．由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限；点、线、 面的位置关系等． 5．由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同 会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法． 6．由实际意义引起的讨论：此类问题在应用题中，特别是在解决排列、组合中的计数问题时常用．; 6 四、化归与转化的思想 1、化归与转化的思想方法 解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运 用恰当的数学方法进行变换， 将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题 的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”． 2 、化归与转化的思想方法应用的主要方向 化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转 化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想 是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知 向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间 向平面的转化，高维向低维的转化，多元向一元的转化，高次向低次的转化，超越式向代数式的转化，函 数与方程的转化等，都是转化思想的体现． 3、等价转化和非等价转化 转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已 的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．; 7 高频考点一：函数与方程思想在三角函数、平面向量中的应用 例 1．(1)若方程 cos2x－sin x＋a＝0 在(0，π 2 ]上有解，则 a 的取值范围是________ 【解析】法一：把方程变形为 a＝－cos2x＋sin x，设 f(x)＝－cos2x＋sin x，x∈(0，π 2 ] 显然，当且仅当 a 属于 f(x)的值域时有解 因为 f(x)＝－(1－sin2x)＋sin x＝(sin x＋1 2)2－5 4，且由 x∈(0，π 2 ]知 sin x∈ (0,1] 易求得 f(x)的值域为(－1,1]，故 a 的取值范围是(－1,1] 法二：令 t＝sin x，由 x∈(0，π 2 ]，可得 t∈(0,1] 将方程变为 t2＋t－1－a＝0.依题意，该方程在(0,1]上有解 设 f(t)＝t2＋t－1－a，其图象是开口向上的抛物线，对称轴 t＝－1 2，如图所示 因此，f(t)＝0 在(0,1]上有解等价于Error!即Error!所以－10 恒成立，所以 f(x)在[1，＋∞)上是增函数， 故当 x＝1 时，f(x)min＝f(1)＝3，即当 n＝1 时，(bn)max＝1 6， 要使对任意的正整数 n，不等式 bn≤k 恒成立，则须使 k≥(bn)max＝1 6，所以实数 k 的最小值为1 6. 【小结】本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出 bn 的表达式，说 明要求 bn≤k 恒成立时 k 的最小值，只需求 bn 的最大值，从而构造函数 f(x)＝2x＋ 1 x(x≥1)，利用函数求 解． 【变式 2】设数列{an}，{bn}满足 a1＝a>0，an＋1＝n＋1 2n an，且 bn＝ln(1＋an)＋1 2a2n，n∈N*，证明： 2 an＋20(n∈N*)，故 bn>0(n∈N*)．; 9 因为an bn0，构造函数 f(x)＝ln(1＋x)＋1 2x2－x(x>0)， 则其导数 f′(x)＝ 1 1＋x＋x－1＝ x2 x＋1， 当 x>0 时，f′(x)>0，故 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，所以 f(x)>f(0)＝0，即 bn－an>0，所以an bn